Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn

Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi học sinh giỏi. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN TOANMATH.com Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 toán tự luận (4 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị trái dấu b) Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  x  c đường thẳng y  g  x  có đồ thị hình vẽ bên AB  Giải phương trình f  x   g  x   x  Câu (6 điểm)  x3  x  13 x  y  y  10 Giải hệ phương trình tập số thực   x  y    x  y   y a) Giải phương trình 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin x b) Câu Giải phương trình 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin x (2,0 điểm) Gọi S tập hợp số có chữ số đơi khác abcde với a, b, c, d , e  1, 2,3, ,9 Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn thỏa mãn a  b  c  d  e Câu (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho thuê với giá 400 nghìn đồng ngày tồn phịng th hết Biết lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng có thêm phòng trống Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng để số tiền thu khách sạn ngày lớn Câu (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' , ABC A ' B ' C ' , M trung điểm AA ' , G trọng tâm tam giác A ' B ' C ' a) Gọi I  MB ' A ' B; J  MC ' A ' C Tính thể tích VA '.B 'C ' IJ b) Tính khỏng cách hai đường thẳng BC , MG c) Gọi mặt phẳng qua song song với Tính tan góc tạo mặt phẳng  P  A ' B ' C ' HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị trái dấu b) Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  x  c đường thẳng y  g  x  có đồ thị hình vẽ bên AB  Giải phương trình f  x   g  x   x  Lời giải a) Ta có y  3 x  x   m  1    x  x  m  1 2 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình y   x1 , x2 hai điểm cực trị  x1  x2  Theo định lý Vi-ét, ta có   x1 x2  m  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  phương trình y  có hai nghiệm trái dấu, nghĩa m  x1 x2    m      m  1 b) Đặt g  x   mx  n (với m  )  Ta có A  1;  m  n  , B  2; 2m  n  Suy AB   3;3m  Ta lại có AB    9m  25  m  Do g  x   16  m  (vì m  ) xn Dựa vào đồ thị, ta thấy f  x   g  x   a  x  1  x    a  x  x  x   Mặt khác, ta lại có f  x   g  x   ax  bx  x  c  n b  2a  Đồng hệ số, ta  a  1  f  x   g  x   x  x  x  2a  c  n  Do f  x   g  x   x2   f  x   g  x   x2    x3  x  x   x   x   x  3x  x     x   13  Câu 2 (6 điểm) a) b)  x3  x  13 x  y  y  10 Giải hệ phương trình tập số thực   x  y    x  y   y Giải phương trình 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin x Lời giải a) 3  x  x  13 x  y  y  10   x  y    x  y   y Ta có x3  x  13 x   x  a    x  a   10  x3  x  13x  x  3x a  3xa  a  x  a  10  a  Nên x3  x  13 x  y  y  10   x     x    y  y , dễ thấy hàm số f  t   t  t  f   t   3t   nên hàm số đồng biến  Suy ta x   y Thay vào phương trình thứ hai ta x   x   x điều kiện  x  Khi phương trình cho viết lại    x  3 3x     3x     2x 1   x  2x 1   x  3   2x 1 x        VN   2x   x  Vậy nghiệm hệ  x; y    3;1     b) Giải phương trình  sin x cos x   cos x sin x   sin x   sin x  cos x   sin x cos x  sin x  cos x    sin x  cos x    x    k    1  sin x cos x  sin x  cos x      x    k x    k       sin x    x   k 2  cos x   x  k 2     Câu (2,0 điểm) Gọi S tập hợp số có chữ số đơi khác abcde với a, b, c, d , e  1, 2,3, ,9 Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chẵn thỏa mãn a  b  c  d  e Lời giải Lập số tự nhiên có chữ số đơi khác từ số 1, 2, 3, ,9 chỉnh hợp chập phần tử nên n( S )  A95  9.8.7.6.5  15120 Chọn ngẫu nhiên số từ S có n     C15120  15120 Gọi A biến cố: “Số chọn số chẵn thỏa mãn a  b  c  d  e ” TH1: e  : có C54  cách lập số thỏa mãn biến cố A TH2: e  : có C74  35 cách lập số thỏa mãn biến cố A 40 Do đó: n( A)  35   40 Vậy P( A)   15120 378 Câu (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho th với giá 400 nghìn đồng ngày tồn phịng thuê hết Biết lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng có thêm phịng trống Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng để số tiền thu khách sạn ngày lớn Lời giải Gọi x (ngàn đồng) giá phòng khác sạn cần đặt  x  400  Giá chênh lệch sau tăng x  400 Số phòng cho thuê giảm giá tăng Số phòng cho thuê với giá x 50   x  400   x  400 20 10 x  400 x  90  Tổng doanh thu ngày là: 10 10 x x2  \ f  x   x  90    90 x  10  10  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f  x  với x  400 x Ta có: f '  x   90  , f '  x    x  450 Mặc khác: max f  x   f  450   20250 x 400;   Vậy cho thuê với giá 450 ngàn có doanh thu cao ngày 2.025.000 (đồng) Câu (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' , ABC A ' B ' C ' , M trung điểm AA ' , G trọng tâm tam giác A ' B ' C ' a) Gọi I  MB ' A ' B; J  MC ' A ' C Tính thể tích VA '.B 'C ' IJ b) Tính khỏng cách hai đường thẳng BC , MG c) Gọi mặt phẳng qua song song với Tính tan góc tạo mặt phẳng  P  A ' B ' C ' Lời giải MI MJ   MB ' MC ' Đặt V  VMA ' B 'C ' a) Ta có   8 16 VA '.B 'C ' IJ  V  VMA ' IJ  V   9 b) Lấy H  A ' B ', K  A ' C ' cho HK / / BC G  HK d  A,  MHK   Có HK   MA ' G  , kẻ A ' O  MG  A ' O   MHK  d  BC , MG   d  BC ,  MHK    d  B,  MHK    1    A'O  2 A'O A' M A 'G2  d  BC , MG   Ta có '  MA '  ' , ta có tan MGA c) Góc tạo mặt phẳng  P   A ' B ' C ' MGA GA ' HẾT ... 1, 2, 3, ,9 chỉnh hợp chập phần tử nên n( S )  A95  9.8.7.6.5  1 5120 Chọn ngẫu nhiên số từ S có n     C1 5120  1 5120 Gọi A biến cố: “Số chọn số chẵn thỏa mãn a  b  c  d  e ” TH1:... Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình y   x1 , x2 hai điểm cực trị  x1  x2  Theo định lý Vi-ét, ta có   x1 x2  m  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  phương trình y  có hai nghiệm... e  : có C74  35 cách lập số thỏa mãn biến cố A 40 Do đó: n( A)  35   40 Vậy P( A)   1 5120 378 Câu (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho th với giá 400 nghìn đồng ngày tồn