Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Kon Tum

Đây là tài liệu thực sự hữu ích cho các em học sinh nằm trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường. Đề thi có hướng dẫn giải chi tiết, hi vọng giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đạt điểm cao trong kì thi quan trọng này. Mời các em tham khảo.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM TOANMATH.com Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 toán tự luận (2,5 điểm) Cho hàm số f  x    x  2mx  m  Tìm m để đồ thị hàm số f  x  có ba điểm cực trị ba điểm gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sin x  cos 3x  cos x  với x    ;0   x   x  y  y  1   y Giải phương trình   x  y    x  y  y  Câu 1   (5,0 điểm) Một nhóm gồm học sinh lớp có ba bạn Việt, Nam Hùng dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đánh số từ đến Tính xác suất để số ghế bạn Hùng trung bình cộng số ghế hai bạn Việt Nam u1  2020 Cho dãy số  un  thỏa   n  5n   un   2n  6n   un 1 , n  1, 2,  2n u  Tính lim  n   n  Câu (6,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có BC  AD  a, AC  BD  b, AB  CD  c Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD theo a, b, c Biết mặt phẳng  ABC  vng góc với mặt phẳng  ABD  Chứng minh cos A.cos B  cos C ; với A, B, C ký hiệu ba góc tương ứng với đỉnh A, B, C tam giác ABC Gọi S diện tích tồn phần tứ diện ABCD Tìm giá trị lớn biểu thức Câu S2 S2 S2   a 2b b c c a (2,5 điểm) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biều thức P  abc 2  a  b 1 2  c2  c  2ab ab c - HẾT - Câu 1: HƯỚNG DẪN GIẢI Cho hàm số f  x    x  2mx  m  Tìm m để đồ thị hàm số f  x  có ba điểm cực trị ba điểm gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn Lời giải f   x   4 x  4mx  4x   x  m  x  x   x2  m    x  m Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị : m  Ba điểm cực trị A  0;  m  1 ; B m ; 1 ; C  m ; 1   BA  m ;  m ; BO  m ;1         Để ba điểm A , B , C gốc tọa độ O  0;0  tạo thành tứ giác nội tiếp    C  ) B  C  180  B  90 (do B   m   BA.BO   m  m2    m  Vậy m  Câu 2.1: Giải phương trình sin 3x  cos x   với x    ;0  cos x Lời giải Trường hợp 1: sin 3x  sin x  cos 3x       x   k  cos x    sin 3x  cos 3x   sin x  cos 3x   2  x k      sin   x   sin     2 3  x  k  18 Theo đề x    ;0  x    13   k nên x   ;  18    Trường hợp 2: sin 3x   sin 3x  cos x       x   k  cos x     sin 3x  cos x  1   sin x  cos x   2  x k    2   sin   3x   sin      x    k 2  18  5  11   k nên x   ; ;  18    5  11  13  Vậy nghiệm phương trình x   ; ; ; ;  18 18   Theo đề x    ;0  x    x   x  y  y  1   y Câu 2.2: Giải phương trình   x  y    x  y  y  Lời giải 1  2  x  y  y  1   Điều kiện: 2 x  y   2 y    Ta có 1   x  y   Đặt u  x  y , v   x  y  y  1   y  1  y   u  0, v   u  v Khi 1 trở thành u  3uv  4v    u  4v   Với u  v ta có x  y  1, thay vào   ta được: y   y 1  y   Dễ dàng ta tìm y   x  Vậy nghiệm phương trình 3;1 Câu 3.1: Một nhóm gồm học sinh lớp có ba bạn Việt, Nam Hùng dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đánh số từ đến Tính xác suất để số ghế bạn Hùng trung bình cộng số ghế hai bạn Việt Nam Lời giải Số phần tử không gian mẫu n()  9! Gọi A biến cố mà số ghế bạn Hùng trung bình cộng số ghế hai bạn Việt Nam Gọi số ghế Hùng, Việt, Nam h, v, n Có h  h, v, n   vn mà  h, v, n 1;9  v, n lẻ chẵn Mỗi v, n lẻ chẵn h Các v, n thõa mãn ( Chưa xét hoán vị ) 1;3 ; 1;5  ; 1;7  ; 1;9  ;  3;5  ;  3;  ;  3;9   5;7  ;  5;9  ;  7;9  ;  2;  ;  2;  ;  2;8  4;  ;  4;8 ;  6;8  16 v, n  16.2!.1 cách xếp h, v, n thõa mãn  n  A   16.2!.1 6!  P  A  16.2!.1.6!  9! 63 u1  2020 Câu 3.2: Cho dãy số  un  thỏa   n  5n   un   2n  6n   un 1 , n  1, 2,  2n u  Tính lim  n   n  Lời giải  n  1   n  1  u n  5n  Ta có un1  un  n 2  n  6n    n  3n  1   n  1   n  1   n  3n  1  n  1   n  1  1    n  1   n  1  u n 1 22  n  1   n  1  1   n  3n  un 1   n  1   n  1  u  …   n  1   n  1  u  n  5n  404  n 2 2n 23  n     n    1 2n   1    1  1     Vậy un  n  3n  404 2n 1  2n u  Suy lim  n   808  n  Câu 4: Cho tứ diện ABCD có BC  AD  a, AC  BD  b, AB  CD  c Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD theo a, b, c Biết mặt phẳng  ABC  vng góc với mặt phẳng  ABD  Chứng minh cos A.cos B  cos C ; với A, B, C ký hiệu ba góc tương ứng với đỉnh A, B, C tam giác ABC Gọi S diện tích tồn phần tứ diện ABCD Tìm giá trị lớn biểu thức S2 S2 S2   a 2b b c c a Lời giải Dựng hình hộp chữ nhật AMBN QCPD (tham khảo hình vẽ) Gọi x, y, z ba kích thước hình hộp chữ nhật AMBN QCPD  2 2 x  a  c  b  x  y  c    Theo giả thiết, ta có  y  z  b   y   b  c  a    2 x  z  a   2 2 z  a  b  c   Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD theo a, b, c 2  AB   AMBN   a  b2  c Ta có CD   QCPD   d  AB, CD   d   AMBN  ,  QCPD    z    AMBN  //  QCPD  a  b2  c 2 Chứng minh cos A.cos B  cos C Cách 1: Sử dụng bổ đề sau: Vậy d  AB, CD   Nếu  P    Q   d   R    P  ,  R       P  ,  Q    180          Q  ,  R       P  ,  Q       Áp dụng vào toán sau:   ABD  ,  AMBN     ;  ABC  ,  AMBN     d  D,  AMBN   z x  y Ta có tan    1 Gọi d  N , AB  xy Tương tự, có tan   d  C ,  AMBN   d  C , AB   z x2  y2 xy  2 Từ 1    tan   tan      Do  ABC    ABD       45  z  x2  y   x2 y  a  b2  c2 a  c2  b2 b2  c  a c  2 a  b  c a  c  b2 b2  c  a  2ab 2ac 2bc  cos C  cos A.cos B (đpcm) Cách 2:  Dựng CH  AB  ABC    ABD   CH   ABD  Ta có CH  a.sin B ; BH  a.cos B Áp dụng định lý cosin tam giác BHD , ta có DH  BH  BD  BH BD.cos  ABD 2 2    DH  a cos B  b  a.cos B.b.cos A (vì ABD  CAB )  DH  a cos B  b  ab cos A cos B Lại có CHD vng H , nên DH  CD  CH  CD  CH  DH  c  a sin B  a cos B  b  2ab cos A cos B a  b2  c2  cos C 2ab Vậy cos C  cos A.cos B (đpcm)  cos A.cos B  Tìm giá trị lớn biểu thức S2 S2 S2   a 2b b c c a S2 S2 S2   a 2b2 b c c a Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có a  R sin A , b  R sin B , c  R sin C Tứ diện ABCD , có BC  AD  a, AC  BD  b, AB  CD  c Đặt T   S  4.S ABC  R sin A sin B sin C Suy T   sin A  sin B  sin C    Ta có T   sin A  sin B  sin C   1   cos A  cos B   sin C     T  1  cos  A  B  cos  A  B   sin C   T    cos C cos  A  B   cos C   T    cos C  cos  A  B   cos  A  B     1  cos A cos B cos C   (vì cos A cos B cos C  ) Suy T  Vậy giá trị lớn biểu thức T , xảy ABC Câu 5: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biều thức P abc 2  a  b 1 2  c2  c  2ab ab c Lời giải Ta có c  2ab  c  a  b  2 2   Dễ thấy  x  y  z   x  y  z  x  y  z  xyz abc 1 1   a  b  2  2  c2   ab ab c c 2 1 c abc c    a  b  ab  3  ab  bc  ca   3P  a  b  c  a  b  c  abc Từ suy P a2 b2 c  abc  3 abc  abc abc 3P  3t  3t  t  3P  3 abc  3 abc  Đặt t  abc ,  t  Ta liên tục  ;1 có t2 3t  t  12 f   t    6t    ,t   ;1 t t3 nên f  t  nghịc biến  ;1 suy f  t   f 1    P  3  Xét f  t   3t  3t    Vậy giá trị nhỏ P 3  đạt a  b  c  - HẾT - ... nghiệm phương trình 3;1 Câu 3.1: Một nhóm gồm học sinh lớp có ba bạn Việt, Nam Hùng dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đánh số từ đến Tính xác suất... bổ đề sau: Vậy d  AB, CD   Nếu  P    Q   d   R    P  ,  R       P  ,  Q    180          Q  ,  R       P  ,  Q       Áp dụng vào toán. ..  ? ?12 f   t    6t    ,t   ;1 t t3 nên f  t  nghịc biến  ;1 suy f  t   f 1    P  3  Xét f  t   3t  3t    Vậy giá trị nhỏ P 3  đạt a  b  c  -