Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Cà Mau

Nhằm phục vụ quá trình học tập cũng như chuẩn bị cho kì thi học kì sắp đến. TaiLieu.VN gửi đến các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Cà Mau. Đây sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích, giúp các bạn hệ thống lại kiến thức đã học đồng thời rèn luyện kỹ năng giải đề. Mời các bạn cùng tham khảo.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT MƠN TỐN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2020 TOANMATH.com Câu 1: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) cos x  5sin x  sin x  cos x   b)  x  3  x  x  x  x  x  Câu 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng xét dấu f   x  sau: x 3   1      f  x Tìm điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  Câu 3: x  3x đồng biến 1;   xm (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A 1;  , đường trung tuyến đường phân giác hạ từ đỉnh B có phương trình d : x  y  , d1 : x  y  16 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a Biết SA  SB  SC  a   Đặt SD  x  x  a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD  x  a b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Câu 5: (3,0 điểm) a Cho đa giác có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh  H  Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng b Cho P  x   1  x  x  Xác định hệ số x khai triển P  x  theo lũy thừa 13 Câu 6: x (3,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định u1  un1  3un2  , n   a) Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  b) Tính tổng S  u12  u22   u2020 Câu 7: (2,0 điểm) Cho hai số thực thay đổi x, y với x  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P xy ( x  y )( x  x  12 y ) HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Giải phương trình sau: a) cos x  5sin x  sin x  cos x   b)  x  3  x  x  x  x  x  Lời giải a) cos x  5sin x  sin x  cos x      5 sin x  cos x  sin x  cos x   1  3  5  sin x  cos x   sin x  cos x   2 2       5sin  x    sin  x     3 6   Đặt t  x    2x    2t     Phương trình trở thành 5sin t  sin  2t     2   5sin t  cos 2t    2sin t  5sin t   sin t      t   k 2  x   k 2  k    sin t   b)  x  3  x  x  x  x  x  Điều kiện: 1  x  PT   x  3  x  x  3       x   x   x  x2  x x  x  3 1 x 1 1  x  x  x  3  x  x  3   1   2   x  1   x 1  2 x  x  1     x   1 Xét phương trình (2): Ta có      x  1   x   x    x  1 Dấu xảy  (vơ lí) Vậy phương trình (2) vơ nghiệm x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  Câu 2: a) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng xét dấu f   x  sau: x  f  x  3 1      Tìm điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  Lời giải x 1 x 1  x  x     x   BC  2  Ta có g   x    x   f   x  x    x  x  1    x    BC    x  2x   x  2; x    x  2x  Vậy điểm cực trị hàm số g  x  x  2; x  1; x  b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  3x đồng biến 1;   xm Lời giải ĐK: x   m x  2mx  3m Ta có: y   x  m  y  0, x  1;    x  2mx  3m  0, x  1;   *  Hàm số đồng biến 1;     m  1 m  1;   f  x   với f  x   x  2mx  3m *  min 1;   Đồ thị hàm số f  x  parabol có toạ độ đỉnh I   m; m  3m  BBT: x m f  x  1 m Dựa vào BBT, suy f  x     m   m  1;  Vậy 1  m  thoả mãn yêu cầu toán Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A 1;  , đường trung tuyến đường phân giác hạ từ đỉnh B có phương trình d : x  y  , d1 : x  y  16 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Lời giải x  2 x  y   Ta có d  d1  B nên toạ độ điểm B thoả hệ phương trình   y  9 x  y  16   2 Do B  2;   3 Gọi A  a; b  điểm đối xứng với A qua d1  A  BC    1 a  b  Khi trung điểm AA I  ;   d1 AA  ud1 nên ta có hệ:   18    1 a    b  a  9    3   16  18 17    A  ;       5 5 a    b    b  17     8 41   2 Đường thẳng BC qua điểm B  2;  nhận vectơ AB   ;  làm vectơ pháp tuyến nên  3  15  có phương trình: 72 x  123 y  226  Gọi M trung điểm đoạn AC  226  72t   t  472  72t  ; Do C  BC  C  t;  M   123  123    t 1 472  72t 513  513 278  suy C  M  d   2t ;  123 113  113 339  Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a Biết SA  SB  SC  a   Đặt SD  x  x  a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD  x  a b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Lời giải Cách 1: S x A A D B O D G B C C a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD  x  a Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  Ta có: SA  SB  SC  SD  a  OA  OB  OC  OD  ABCD hình vng Xét tam giác vng: a BO    450 cos SBC    SBC SB a b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do SA  SB  SC  SG   ABCD   AC  BD  AC   SBD   AC  SO Ta có:   AC  SG SOC  BOC (do SC  BC  a , OC chung) SO  OB  OD  BSD vuông S a2  x2 a  x 3a  x OA2  AD  OD  a   4 BD  a  x  OD  3a  x  AC  3a  x x  3a  x 3a Xét AC.SD  x 3a  x   2  OA  Dấu "  " xảy x  3a  x  x  3a  x  3a a a x  2 Cách 2: a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD  x  a Do SA  SB  SC  SD  a  SO   ABCD  Gọi H trung điểm CD suy CD   SOH   CD  OH  ABCD hình vng    45 Từ SBD vng cân S , nên  SB,  ABCD    SBD b) Tính x theo a cho tích AC SD đạt giá trị lớn Gọi I hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  , SA  SB  SC  a nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dễ thấy I thuộc đường thẳng BO    Ta có AC  R sin  Suy Đặt ABC BO  a  R sin  1 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ABC ta có: a sin   a  R sin  R sin  2 a 4R2  a2 2R2 Mặt khác xét tam giác vng SBI tam giác vng SID ta có:  a  R  a  R sin    sin     SI  a  R  x  a  R sin   R Thay sin   a2 a 4R  a2 vào rút gọn ta R  2R a2  x2 Nên AC  R sin   3a  x Từ AC.SD  x 3a  x   x  3a x   Xét hàm số f  x    x  3a x với  x  a x  Có f   x   4 x  6a x    x  0; 3a nên ta nhận x  a a x      Lập bảng biến thiên ta max f  x   f  Vậy x  a a AC SD đạt giá trị lớn     0; 3a      Câu 5: a Cho đa giác có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh  H  Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng b Cho P  x   1  x  x  Xác định hệ số x khai triển P  x  theo lũy thừa 13 x Lời giải a Số phần tử không gian mẫu : C244 Đa giác có 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm nên số hình chữ nhật , kể hình vng : C122 hình Ứng với đường chéo có đường chéo để tạo thành hình vng, nên số hình vng Nên số hình chữ nhật cần tìm C122  Vậy xác suất cần tìm : C122  10  C24 1771 b P  x   1  x  x   1  x   x   C130 1  x   C131 1  x  3x  13 13 13 12  1  x   13 1  x  x   1  x   39 1  x  x  13 12 13 12 * Tìm hệ số x khai triển 1  4x  : 13 1  x  13 13 13   C13k 113 k  x    C13k 4k x k k k 0 k 0 Ta có k  nên hệ số x : C133 43 * Tìm hệ số x khai triển 1  x  x tức tìm hệ số x khai triển 12 1  4x  12 12 12 Ta có 1  x    C12m 112  m  x    C12m m.x m 12 m k 0 k 0 Từ m  nên hệ số x : C 12 Vậy hệ số x khai triển P  x  : C133 43  39.C121  20176 Câu 6: Cho dãy số  un  xác định u1  un1  3un2  , n   a) Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  b) Tính tổng S  u12  u22   u2020 Lời giải a) Xác định số hạng tổng quát dãy số  un    Ta có: un 1  3un2   un21   un2  , n   v  Đặt  un2     vn1  3vn , n   Suy   cấp số nhân với số hạng đầu v1  , công bội q    2.3n1 , n    un  2.3n1  , n   số hạng tổng quát dãy số  un  b) Tính tổng S  u12  u22   u2020   Ta có: S  u12  u22   u2020    32   32019  2020   32020  2020  32020  2021 1 Vậy S  32020  2021 Câu 7: Cho hai số thực thay đổi x, y với x  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P xy ( x  y )( x  x  12 y ) Lời giải P Đặt xy ( x  y )( x  x  12 y ) y2 x2 2 = y2 y2 (1  )(1   12 ) x x (do x  ) y t x Khi đó: P  t2 (1  3t )(1   12t )  t (1   12t ) 1  12t  1  12t    (1  3t )(12t ) 12  3t 12t  Đặt m   12t  m 1 m 1 Khi P   3P   f ( m) m 3 m 3 f '(m)  m   2m(m  1)  m  2m   0 (m  3) (m  3)2  m  1  m    3P  1 0P 18 + P  , dấu "  "  m   y  + P , dấu "  "  m   x  y 18 Vậy MinP   y  ; MaxP   2x2  y2 18 HẾT ... x khai triển 12 1  4x  12 12 12 Ta có 1  x    C12m 112  m  x    C12m m.x m 12 m k 0 k 0 Từ m  nên hệ số x : C 12 Vậy hệ số x khai triển P  x  : C133 43  39.C121  20176 ... x  x  12 y ) Lời giải P Đặt xy ( x  y )( x  x  12 y ) y2 x2 2 = y2 y2 (1  )(1   12 ) x x (do x  ) y t x Khi đó: P  t2 (1  3t )(1   12t )  t (1   12t ) 1  12t  1  12t  ... 72 x  123 y  226  Gọi M trung điểm đoạn AC  226  72t   t  472  72t  ; Do C  BC  C  t;  M   123  123    t 1 472  72t 513  513 278  suy C  M  d   2t ;  123 113