Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019 - 2020

MƠN TỐN 11

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu (6,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a)  3sin 2x1 2sin x 1 sin 3xcos 2xsinx0

b)

3

20 6 17 5 3 6 3 5

( 3 8) 2 5x 3 5 12

x y x x y y

x y x x y x

       

 

     



Câu 2 (5,0 điểm)

a) Gọi S tập tất số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 45

b) Cho dãy số (un) xác định  

3

1

( 1)

3 2 , *

n n

u

n u

u n n n n N

n



  

 

     

 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Câu ( 5,0 điểm)

a) Cho tứ diện ABCD, hai cạnh AD BC lấy điểm M N cho

D

AM CN

M  NB  Hai điểm E, F thuộc BM DN cho EF/ /AC Tính tỉ số EF AC. b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AD/ /BC AD2BC Gọi O giao điểm AC BD, điểm M thay đổi nằm hình thang cho OM khơng song song với cạnh hình thang Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắtcác mp(SAB), (SBC), (SCD) (SDA) điểm E, F, G H

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có M(3; 1) trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC qua điểm E(1;3) Điểm D(4; 2) đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d: x2y 3 0và có hồnh độ

dương Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c0

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 

3

a b ac(a c) bc(b c) 5abc

P

a b c

     



 

… Hết …

(3)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đáp án gồm trang)

Câu Nội dung Điểm

1a)  3sin 2x1 2sin x 1 sin 3xcos 2xsinx0 3.0

Ta có

 

(1) sin (2sin 1) 2cos sin cos sin (2sin 1) cos (2sin 1)

x x x x x

x x x x

     

1.0

2sin 1 3 sin 2 1 cos 2  0 2sin 1 0

3 sin 2 cos 2 1 0

x

x x x

x x               0.5 * 2 1 6

2sin 1 0 sinx

5 2 2 6 x k x x k                   0.5 *

3 1

3 sin cos sin cos

2 2

2

6 6

sin sin

7

6

2

6

x x x x

x k x k

x

x k x k

                                                         0.75

Vậy PT cho có nghiệm 2 , , ,

6 6 2

x  k  x   k x  k k 0.25

1b)

3

20 6 17 5 3 6 3 5 (1)

( 3 8) 2 5x 3 5 12 (2)

x y x x y y

x y x x y x

                 3.0 ĐK:

2

x y x x            Đặt 2 6 5

a x x a

(4)

Thay vào (1) ta có

2

3 2

2

20 17 3(6 ) 3(5 )

3 ( ) 3( )

( Do 3( ) 0)

a b a a b b

a a b b a b a ab b

a b a ab b

    

 

          

     

6 x 5   y y x 1thế vào (2) ta có

1.0

3

( 3 8) 5( 1) 12

( 5) 5

x x x x x x x

       

       

0,25

 

3

(x 3x 5) 2x 5x 2x 5x x

       

 

3

2

3 (2 1)

2

x x

x x x x x

x x

 

     

 

0,5

2

3

2x 5x

3x 2x 5x

x x x

   

 

    



2

5 33 33

4

2x 5x

5 33 33

4

x y

    

  

 

   

    

  



(thỏa mãn)

0.5

3

3x 2x 5x (2x 5) (2x 5)

x   x   x x   x x  (3) với x0 Đặt ax x, b 2x5

ta có a2b2 ab  a b vơ nghiệm với

5

x  Đặt ax x, b  2x

ta có  a2 b2 ab  a b vô nghiệm

0.5

Câu a) 3.0

Có 9.A97 1632960 số tự nhiên có tám chữ số đơi khác

Phép thử Chọn ngẫu nhiên số tập S nên số phần tử không gian mẫu n( ) 1632960 

(5)

Một sô chia hết cho 45 số chia hết cho chia hết cho

Ta có 9    45 chia hết để tạo số có chữ số đơi khác ta lấy chữ số 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng chữ số chia hết cho Suy phải bỏ hai chữ số có tổng Tức bỏ  0;9 ,  1;8 ,  2;7 ,  3;6 ,  4;5

Mặt khác số cần tìm chia hết phải chứa

0.75

TH1 Chỉ chứa hai số

- Loại  0;9 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số - Loại  4;5 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số

0.75

TH2 Có hai  0;9  4;5

Trong TH ta loại ba bộ 1;8 ,  2;7 ,  3;6 Chẳng hạn loại  1;8 ta lập 7! + 6.6! = 9360 Vậy TH có 3.9360 = 28080

0.5

Vậy hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160 Xác suất cần tìm 38160 53

1632960 2268

0.5

b)

 

1

3

1

( 1)

3 2 , *

n n

u

n u

u n n n n N

n



  

       



2.0

Từ hệ thức truy hồi ta có

2

( 1)

3( 1)( 1)

3( 1)

1 n n

n n

n u

u n n n

n u u

n n n n



    

    



0.25

2 3

1

3

1

3 3 ( 1)

1

( 1)

1

n n n n

n n

u u u u

n n n n

u u

n n

 



          

 

     



(6)

Xét dãy số (vn) với n n

u

v n

n

 

Ta có vn1 vn suy dãy số (vn) cấp số cộng có số hạng đầu

1 1

1

u

v    với công sai d =

0.5

1 ( 1) ( 1).2

n

v   v n d   n  n 0.25

Suy

2

n

n n

u

v n n u n n n

n

        0.5

Câu a) 2.0 điểm

0.25 Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD K

Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) EF//AC nên EF nằm mp(BMK), F giao điểm DN (BMK)  F BKDN Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM E Ta có hai điểm E, F cần tìm

0.5

Do

MD

AM CK CN

KD NB

   nên NK//BD Suy

D D

KF NK CK

FB  B  C 

0.5

3 EF BF

MK BK

   mà

3 MK

AC  Do

3

4 EF EF MK

AC  MK AC  

0.75

F

B D

C

A

N

M

(7)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) 3.0 điểm

Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD AD I, K, L N Ta có mp (SMO) cắt mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo giao tuyến SI, SK, SL, SN

Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt đường thẳng SI, SK, SL, SN điểm E, F, G H điểm cần dựng

0.5

Ta có MAB

OAB

ME IM S

SO  IO  S

0.5

Tương tự MBC OBC

S MF

SO  S ,

MCD OCD

S MG

SO  S , D

MAD OA

MH S SO  S

0.5

Ta có SOAD 4SOBC 2SOAB 2SOCD 4S1 0.5 Suy

D D

1 1 1

2S

2 4S

2

2S

2 4S

9

2

MBC MAB MC MAD

OBC OAB OCD OAD

MBC MAB MC MAD ABCD

S S

MF ME MG MH

SO SO SO SO S S S S

S S S

S S S S S

      

     

1.0 E

H

L I

O

A D

B C

S

K N

G

(8)

Vậy MF2(MEMG)4MH 9SO

Câu 4 2.0

Gọi H trực tâm tam giác ABC

Ta có BH song song với CD vng góc với AC

Tương tự CH song song với BD nên BDCH hình bình hành

0.5

Do M trung điểm BC nên M trung điểm DH Vậy H(2; 0) 0.25 Gọi C(3-2c; c) suy B(3+2c ; -c-2)

Ta có BH    2c 1;c2, EC 2 ; c c3

( 1).(2 ) (c 2).(c 3) 5c BH EC  c  c      c

0.5

BH ECnên

1

8

5 c BH EC c c

c    

     

   Do C có hồnh độ dương nên C(5; -1), B(1; -1)

0.5

PT AH : x – = PT AC : x + y = suy tọa độ A(2 ; 2) 0.25

Câu 5 2.0

Đặt x a ,y b ,z c

a b c a b c a b c

  

     

Ta có x, y, z không âm x + y + z = 1

0.5 H

I

C B

A

D M

(9)

3

3 2

P x y xz(x z) yz(y z) 5xyz x y z(x y 5xy) z (x y)

      

      

Ta có

 

3

2

3 (x y) (1 z) 2 3

x y , x y 5xy x y (1 z)

4 4

 

          

0.5

 3  

2 2 2

1 z 1

P z z z (1 z) z z

4 4



           0.5

1

P 

1

x y z x y

5

x y

3 z

z

5



      

  

 

  



  



Vậy GTNN P 

3 c a b

0.5

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác

TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia