- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2019 - 2020
MƠN TỐN 11
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu (6,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 3sin 2x1 2sin x 1 sin 3xcos 2xsinx0
b)
3
20 6 17 5 3 6 3 5
( 3 8) 2 5x 3 5 12
x y x x y y
x y x x y x
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Gọi S tập tất số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 45
b) Cho dãy số (un) xác định
3
1
( 1)
3 2 , *
n n
u
n u
u n n n n N
n
Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Câu ( 5,0 điểm)
a) Cho tứ diện ABCD, hai cạnh AD BC lấy điểm M N cho
D
AM CN
M NB Hai điểm E, F thuộc BM DN cho EF/ /AC Tính tỉ số EF AC. b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AD/ /BC AD2BC Gọi O giao điểm AC BD, điểm M thay đổi nằm hình thang cho OM khơng song song với cạnh hình thang Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắtcác mp(SAB), (SBC), (SCD) (SDA) điểm E, F, G H
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có M(3; 1) trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC qua điểm E(1;3) Điểm D(4; 2) đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d: x2y 3 0và có hồnh độ
dương Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC
Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c0
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3
3
a b ac(a c) bc(b c) 5abc
P
a b c
… Hết …
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đáp án gồm trang)
Câu Nội dung Điểm
1a) 3sin 2x1 2sin x 1 sin 3xcos 2xsinx0 3.0
Ta có
(1) sin (2sin 1) 2cos sin cos sin (2sin 1) cos (2sin 1)
x x x x x
x x x x
1.0
2sin 1 3 sin 2 1 cos 2 0 2sin 1 0
3 sin 2 cos 2 1 0
x
x x x
x x 0.5 * 2 1 6
2sin 1 0 sinx
5 2 2 6 x k x x k 0.5 *
3 1
3 sin cos sin cos
2 2
2
6 6
sin sin
7
6
2
6
x x x x
x k x k
x
x k x k
0.75
Vậy PT cho có nghiệm 2 , , ,
6 6 2
x k x k x k k 0.25
1b)
3
20 6 17 5 3 6 3 5 (1)
( 3 8) 2 5x 3 5 12 (2)
x y x x y y
x y x x y x
3.0 ĐK:
2
x y x x Đặt 2 6 5
a x x a
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Thay vào (1) ta có
2
3 2
2
20 17 3(6 ) 3(5 )
3 ( ) 3( )
( Do 3( ) 0)
a b a a b b
a a b b a b a ab b
a b a ab b
6 x 5 y y x 1thế vào (2) ta có
1.0
3
3
( 3 8) 5( 1) 12
( 5) 5
x x x x x x x
x x x x x x x
0,25
3
(x 3x 5) 2x 5x 2x 5x x
3
2
2
3 (2 1)
2
x x
x x x x x
x x
0,5
2
3
2x 5x
3x 2x 5x
x x x
2
5 33 33
4
2x 5x
5 33 33
4
x y
x y
(thỏa mãn)
0.5
3
3x 2x 5x (2x 5) (2x 5)
x x x x x x (3) với x0 Đặt ax x, b 2x5
ta có a2b2 ab a b vơ nghiệm với
5
x Đặt ax x, b 2x
ta có a2 b2 ab a b vô nghiệm
0.5
Câu a) 3.0
Có 9.A97 1632960 số tự nhiên có tám chữ số đơi khác
Phép thử Chọn ngẫu nhiên số tập S nên số phần tử không gian mẫu n( ) 1632960
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Một sô chia hết cho 45 số chia hết cho chia hết cho
Ta có 9 45 chia hết để tạo số có chữ số đơi khác ta lấy chữ số 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng chữ số chia hết cho Suy phải bỏ hai chữ số có tổng Tức bỏ 0;9 , 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5
Mặt khác số cần tìm chia hết phải chứa
0.75
TH1 Chỉ chứa hai số
- Loại 0;9 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số - Loại 4;5 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số
0.75
TH2 Có hai 0;9 4;5
Trong TH ta loại ba bộ 1;8 , 2;7 , 3;6 Chẳng hạn loại 1;8 ta lập 7! + 6.6! = 9360 Vậy TH có 3.9360 = 28080
0.5
Vậy hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160 Xác suất cần tìm 38160 53
1632960 2268
0.5
b)
1
3
1
( 1)
3 2 , *
n n
u
n u
u n n n n N
n
2.0
Từ hệ thức truy hồi ta có
2
2
( 1)
3( 1)( 1)
3( 1)
1 n n
n n
n u
u n n n
n u u
n n n n
0.25
2 3
1
3
1
3 3 ( 1)
1
( 1)
1
n n n n
n n
u u u u
n n n n
n n n n
u u
n n
n n
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Xét dãy số (vn) với n n
u
v n
n
Ta có vn1 vn suy dãy số (vn) cấp số cộng có số hạng đầu
1 1
1
u
v với công sai d =
0.5
1 ( 1) ( 1).2
n
v v n d n n 0.25
Suy
2
n
n n
u
v n n u n n n
n
0.5
Câu a) 2.0 điểm
0.25 Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD K
Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) EF//AC nên EF nằm mp(BMK), F giao điểm DN (BMK) F BKDN Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM E Ta có hai điểm E, F cần tìm
0.5
Do
MD
AM CK CN
KD NB
nên NK//BD Suy
D D
KF NK CK
FB B C
0.5
3 EF BF
MK BK
mà
3 MK
AC Do
3
4 EF EF MK
AC MK AC
0.75
F
B D
C
A
N
M
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) 3.0 điểm
Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD AD I, K, L N Ta có mp (SMO) cắt mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo giao tuyến SI, SK, SL, SN
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt đường thẳng SI, SK, SL, SN điểm E, F, G H điểm cần dựng
0.5
Ta có MAB
OAB
ME IM S
SO IO S
0.5
Tương tự MBC OBC
S MF
SO S ,
MCD OCD
S MG
SO S , D
MAD OA
MH S SO S
0.5
Ta có SOAD 4SOBC 2SOAB 2SOCD 4S1 0.5 Suy
D D
1 1 1
2S
2 4S
2
2S
2 4S
9
2
MBC MAB MC MAD
OBC OAB OCD OAD
MBC MAB MC MAD ABCD
S S
MF ME MG MH
SO SO SO SO S S S S
S S S
S S S S S
1.0 E
H
L I
O
A D
B C
S
K N
G
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Vậy MF2(MEMG)4MH 9SO
Câu 4 2.0
Gọi H trực tâm tam giác ABC
Ta có BH song song với CD vng góc với AC
Tương tự CH song song với BD nên BDCH hình bình hành
0.5
Do M trung điểm BC nên M trung điểm DH Vậy H(2; 0) 0.25 Gọi C(3-2c; c) suy B(3+2c ; -c-2)
Ta có BH 2c 1;c2, EC 2 ; c c3
( 1).(2 ) (c 2).(c 3) 5c BH EC c c c
0.5
BH ECnên
1
8
5 c BH EC c c
c
Do C có hồnh độ dương nên C(5; -1), B(1; -1)
0.5
PT AH : x – = PT AC : x + y = suy tọa độ A(2 ; 2) 0.25
Câu 5 2.0
Đặt x a ,y b ,z c
a b c a b c a b c
Ta có x, y, z không âm x + y + z = 1
0.5 H
I
C B
A
D M
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
3
3 2
P x y xz(x z) yz(y z) 5xyz x y z(x y 5xy) z (x y)
Ta có
3
2
3 (x y) (1 z) 2 3
x y , x y 5xy x y (1 z)
4 4
0.5
3
2 2 2
1 z 1
P z z z (1 z) z z
4 4
0.5
1
P
1
x y z x y
5
x y
3 z
z
5
Vậy GTNN P
3 c a b
0.5
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác
TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
Đ