So s¸nh mét sè víi c¸c nghiÖm cña mét tam thøc bËc hai.[r]
(1)B¶ng xÐt dÊu tam thøc bËc hai
DÊu cđa biƯt thøc
DÊu cđa f(x)
af(
x
) > 0,
x
R
af(
x
) 0,
x
Ph ơng trình f(
x
) = 0
af(
x
) > 0,
x
(-;
x
1) (
x
2; +)
af(
x
) < 0,
x
(
x
;x
)
(2)t5
Định lý đảo dấu tam thức bậc hai
I Định lý đảo dấu tam thức bậc hai
(3)định lí đảo dấu tam thức bậc hai
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax+ bx + c (a 0), R
I - Định lý đảo dấu tam thức bậc hai
* f(x) cã hai nghiƯm ph©n biệt x, x (x <x)
1) Định lí:
* x < < x. Chøng minh.
• Gi¶ sư ta cã:≤
a f ( ) < 0
, theo bảng xét dấu tam thức f(x)
Ta cã : a.f(x) ≥ , x R Nªn a.f( ) ≥ , R (trái giả thiết)
( p \ c )
(4)HƯ qu¶ 1.
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c = (a 0)
f(x) = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 (x1 < x2) : a.f() <
VÝ dơ1: Chøng minh r»ng víi mäi m, ph ¬ng trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2- (2m2 +1+ 2m2+1) x+2m2 = 0
- 2m2+1
a.f(1) < víi mäi m Theo hƯ ph ơng trình có hai nghiệm phân biÖt
f(1) =
Ta cã a =
Gi¶i:
(5)HƯ qu¶ 2.
Cho f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) Vµ hai sè R (<.
Ph ơng trình f(x) = có hai nghiÖm,
f().f() < (1)
Chøng minh.
f()f() <
af() af() < ( 1) Ta cã víi a :
a.f() < a.f() > a.f() > a.f() < Ph ¬ng tr×nh f(x) = cã hai nghiƯm x1 < x2
Ph ơng trình f(x) = có hai nghiệm x1 < x2
1nghiÖm thuéc (, nghiệm nằm đoạn []
*
Theo nh lý đảo: (6)
VÝ dô 2: Cho tam thøc bËc
f(x) = x2 – 1+mx( x+4) víi m -1 (1)
Chứng minh ph ơng trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt m
Bài giải :
f(0) = -1 ; f(-4) = 15
f(0).f(-4) <0 víi m
Theo hƯ Ph ơng trình f(x) = cã nghiƯm ph©n biƯt m
(1)
f(x) = (1+m) x2 + 4m x -1VÝ dô 3
X2+ (m+2) x +3m - = 0
Giải: á
p dng .l o:
a =1 ;
f(-3) =-1
af(-3) <0 VËy ph ơng trình có nghiệm:
x
1; x
2( x
1
< x
2)
Vµ: x1
< -
3< x
2 Ta cã: a = + m (7)VÝ dô 4: Cho ph ơng trình: f(x) = 2x2 + ( 2m - 1)x + m + = 0
Tìm m để ph ơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( 1; 3)
- nghiÖm đoạn [- 1; ]
Bài giải
Theo hệ
ph ơng trình có nghiệm (-1; 3) nghiệm đoạn [ -1; ]
f(-1).f(3) < (*)
( - m)(7m + 16) <
m(-,-16/7) ( 4, ) KÕt luËn:
víi m (-,-16/7) ( 4, ) th×:
f(-1)= - m ; f(3) = 7m + 16
(8)Định lý:
Cho tam thøc bËc hai (x)= a x2 + bx +c (a o) ; R.
NÕu:a()< o : + (x) có hai nghiệm phân biệt x < x +Vµ x < < x
2
1
HƯ qu¶2:
Cho tam thøc bËc hai : Vµ , R ( )
PT (x) = o cã hai nghiƯm ph©n biƯt, mét nghiƯm n»m (,
),
nghiƯm n»m ngoµi , () () < o
(x) <
HƯ qu¶1:
ĐK cần đủ để P.T.Bâc hai có hai nghiệm: x ,x (x x ) L.à : R : a() < o
<
(9)áp dụng:
Bài toán2:
Xác định m để P.T.bậc hai có nghiệm (a,b), nghiệm đoạn a,b (a) (b )<
* a()< (Đ.L đảo -H.quả 1) * () ( )< (H.quả 2)
1
Nếu a( :)< x < < x (Đ.L đảo )
So s¸nh mét sè víi c¸c nghiƯm cđa ph ơng trình bậc hai:
Bài toán3:
CM ph ơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt:
(10)