Một số công thức tính xác suất và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  LÊ THỊ KIM OANH MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  LÊ THỊ KIM OANH MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng – Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Cao Văn Nuôi Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả luận văn Lê Thị Kim Oanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu 1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên 1.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 1.2.1 Biến cố kéo theo 1.2.2 Biến cố 1.2.3 Biến cố xung khắc 1.2.4 Biến cố đối lập 1.2.5 Biến cố đồng khả 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ 1.3.1 Phép hợp 1.3.2 Phép giao 1.3.3 Hiệu hai biến cố 1.4 HỆ ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ 1.5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TOÁN VỀ BIẾN CỐ 1.6 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT 1.7 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT CHƯƠNG MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 13 2.1 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 13 2.1.1 Công thức cộng xác suất cho trường hợp biến cố xung khắc 13 2.1.2 Công thức cộng xác suất cho trường hợp biến cố tùy ý 14 2.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 18 2.3 SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ 23 2.4.1 Cơng thức xác suất tồn phần 30 2.4.2 Công thức Bayes 32 2.5 CÔNG THỨC BERNOULLI 35 2.5.1 Lược đồ Bernoulli công thức Bernoulli 35 2.5.2 Số lần có khả lớn 38 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ÁP DỤNG 39 3.1 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 39 3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 43 3.3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ 46 3.4 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES 49 3.5 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC BERNOULLI 58 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất môn nghiên cứu tượng ngẫu nhiên đời vào cuối kỉ XVII Pháp Năm 1982, nhà toán học Laplace dự báo rằng: “Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người” Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, mơi trường …Vì lý thuyết xác suất nói riêng mơn xác suất – thống kê nói chung vào giảng dạy hầu hết trường cao đẳng, đại học Trong lý thuyết xác suất hầu hết lĩnh vực việc xác định khả xảy kiện định quan trọng cần thiết Do nhiều phương pháp tính xác suất đời, cơng thức tính xác suất công cụ hiệu Các toán xác suất thường hay, thú vị trừu tượng nên giải tốn xác suất người đọc cảm thấy khó, dễ nhầm lẫn, dễ bị sai thường lúng túng việc lựa chọn phương pháp hay công thức phù hợp người đọc khơng phân tích vấn đề cách chặt chẽ, xác Qua thực tiễn giảng dạy môn Xác suất – thống kê trường Cao đẳng công nghệ - kinh tế thủy lợi miền Trung, sinh viên làm quen với số quy tắc tính xác suất trường trung học phổ thông song đa số sinh viên thường thiếu kĩ năng, cảm thấy khó khăn vận dụng cơng thức tính xác suất vào việc giải tốn xác suất cụ thể Ngồi việc tìm hiểu cơng thức tính xác suất nhu cầu cần thiết cho việc giảng dạy tác giả Chính lý mà tác giả nghiên cứu chọn đề tài:”Một số công thức tính xác suất ứng dụng” làm đề tài luận văn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu hệ thống hóa cơng thức tính xác suất nhằm tạo điều kiện cho sinh viên học tập môn Xác suất – thống kê dễ dàng, thuận lợi Đồng thời giúp người đọc hiểu sâu sắc công thức xác suất vận dụng tốt vào việc giải toán xác suất từ đơn giản đến phức tạp Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên nghiên cứu kiến thức liên quan đến đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tổng quan kiến thức liên quan đến cơng thức tính xác suất Phạm vi nghiên cứu: Công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần, cơng thức Bayes, cơng thức Bernoulli, dạng toán áp dụng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu, giáo trình, sách tham khảo có liên quan đến luận văn Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kiến thức bản, trọng tâm liên quan đến công thức tính xác suất áp dụng thơng qua ví dụ, tập cụ thể Chứng minh chi tiết định lý xây dựng hệ thống tốn lời giải với mức độ khó dễ khác nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Đồng thời tạo tài liệu phù hợp cho việc học tập, nghiên cứu sinh viên tiếp cận với môn học Xác suất – thống kê Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Các khái niệm mở đầu Trong chương tơi trình bày khái niệm phép thử ngẫu nhiên biến cố, mối quan hệ biến cố, phép toán biến cố, hệ đầy đủ biến cố, số tính chất phép tốn biến cố, khơng gian xác suất Chương 2: Một số cơng thức tính xác suất Trong chương tơi trình bày định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ cơng thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes, cơng thức Bernoulli Chương 3: Một số dạng toán áp dụng Trong chương tơi trình bày số dạng tốn liên quan đến cơng thức tính xác suất, ứng dụng để giải toán liên quan đến cơng thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần công thức Bayes, công thức Bernoulli CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử khái niệm lý thuyết xác suất mà dựa vào người ta xây dựng định nghĩa xác suất Cũng giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng,… phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử thí nghiệm, quan sát hay phép đo … để ta nghiên cứu đối tượng hay tượng Các phép thử xảy nhóm điều kiện xác định cho trước gắn liền với thực Nhóm phải rõ ràng, ổn định q trình nghiên cứu lặp lại nhiều lần Chẳng hạn, muốn quan sát việc xuất mặt sấp hay ngửa đồng xu ta phải tung đồng xu đó; hay muốn kiểm tra chất lượng lô sản phẩm ta phải lấy một vài sản phẩm từ lơ để kiểm tra Do vậy, việc thực nhóm điều kiện xác định để nghiên cứu tượng có xảy hay khơng gọi thực phép thử Hay nói cách khác làm cho nhóm điều kiện thỏa mãn ta làm phép thử Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy phép thử, ký hiệu  Mỗi phần tử  gọi biến cố sơ cấp, ký hiệu  Do đó, khơng gian mẫu cịn gọi không gian biến cố sơ cấp Không gian mẫu mơ tả theo cách sau: - Khi khơng gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta liệt kê phần tử - Khi khơng gian mẫu có vơ hạn phần tử, phần tử có thuộc tính, ta mơ tả khơng gian mẫu mệnh đề quy tắc - Khơng gian mẫu cịn mơ tả sơ đồ 1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên a Biến cố (hay gọi kiện) Kết phép thử gọi biến cố hay kiện Dùng chữ A, B, C, … để ký hiệu cho biến cố b Phân loại biến cố Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử, biến cố tương ứng với không gian mẫu nên ký hiệu  Biến cố biến cố không xảy thực phép thử, ký hiệu  Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy khơng xảy thực phép thử 1.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Cho A B hai biến cố phép thử 1.2.1 Biến cố kéo theo Biến cố A gọi kéo theo biến cố B , ký hiệu A  B , biến cố A xảy biến cố B xảy 1.2.2 Biến cố Hai biến cố A B gọi A kéo theo B B kéo theo A , ký hiệu A  B 1.2.3 Biến cố xung khắc Hai biến cố gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy thực phép thử 1.2.4 Biến cố đối lập Biến cố đối lập với biến cố A , ký hiệu A hay A c , biến cố xảy 49 b Xác suất để không chuẩn đoán P( E2 )  P ( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,01.0,05.0,09  0,000045 c Xác suất để có người chuẩn đốn P( E3 )   P( E2 )   0,000045  0,999955 3.4 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES Bài tốn 3.4.1 Hai người sản xuất loại sản phẩm với số lượng Xác suất để người thứ người thứ hai sản xuất phế phẩm tương ứng 0,03 0,04 Rút ngẫu nhiên sản phẩm, tính xác suất để sản phẩm phế phẩm Lời giải Gọi Bi biến cố sản phẩm lấy người thứ i  i  1,  sản xuất A biến cố sản phẩm lấy phế phẩm Ta có B1 , B2 lập thành hệ đầy đủ biến cố Theo công thức xác suất tồn phần ta có 1 P  A  P  B1  P  A / B1   P  B2  P  A / B2    0,03   0,04  0,035 2 Bài toán 3.4.2 Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh loại nhãn hiệu IBM, Dell Toshiba Trong cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% lại máy Toshiba Tất máy bán có thời hạn bảo hành 12 tháng Kinh nghiệm kinh doanh chủ cửa hàng cho thấy 2% máy IBM phải sửa chữa hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa hai hiệu lại 4% 5% a Nếu có khách hàng mua máy tính, tìm khả để máy tính khách hàng phải đem lại sửa chữa hạn bảo hành b Có khách hàng mua máy tính tháng phải đem lại sửa chữa có trục trặc, tính xác suất mà máy khách thuộc hiệu Toshiba 50 Lời giải Gọi A1 biến cố máy tính khách hàng mua hãng IBM A2 biến cố máy tính khách hàng mua hãng Dell A3 biến cố máy tính khách hàng mua hãng Toshiba A biến cố máy tính khách hàng phải đem lại sửa chữa hạn bảo hành Ta có A1 , A2 , A3 lập thành hệ đầy đủ biến cố P( A1 )  0,5; P( A2 )  0,3; P( A3 )  0,2 P( A / A1 )  0,02; P( A / A2 )  0,04; P( A / A3 )  0,05 a Theo công thức xác suất tồn phần ta có khả để máy tính khách hàng phải đem lại sửa chữa hạn bảo hành P( A)  P( A1 ) P ( A / A1 )  P ( A2 ) P ( A / A2 )  P ( A3 ) P ( A / A3 ),  0,5.0,02  0,3.0,04  0, 2.0,05  0,032 b Theo công thức Bayes ta có xác suất mà máy khách thuộc hiệu Toshiba P( A3 / A)  P( A3 ) P( A / A3 )  P( A ) P( A / A ) i 1 i  0, 2.0,05  0,3125 0,032 i Bài toán 3.4.3 Một nhà máy gồm phân xưởng Phân xưởng I đảm nhận sản xuất 50% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 5% Phân xưởng II đảm nhận sản xuất 30% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 3% Phân xưởng III đảm nhận sản xuất 20% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 1% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kho hàng nhà máy Tính xác suất để sản phẩm lấy phế phẩm Từ suy tỉ lệ phế phẩm nhà máy 51 Lời giải Gọi Bi biến cố sản phẩm lấy phân xưởng thứ i sản xuất (i  1, 2,3) , A biến cố sản phẩm lấy phế phẩm Ta có B1 , B2 , B3 lập thành hệ đầy đủ biến cố Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có P  A  P  B1  P  A / B1   P  B2  P  A / B2   P  B3  P  A / B3   0,5.0,05  0,3.0,03  0, 2.0,01  0,036 Vậy tỉ lệ phế phẩm nhà máy 3,6% Bài toán 3.4.4 Có hai chuồng gà Chuồng I có gà trống gà mái Chuồng II có gà trống gà mái Bắt ngẫu nhiên gà từ chuồng I bỏ sang chuồng II Sau từ chuồng II bắt ngẫu nhiên gà Tính xác suất để gà gà mái Lời giải Gọi B1 biến cố gà bắt từ chuồng I bỏ sang chuồng II gà trống, B2 biến cố gà bắt từ chuồng I bỏ sang chuồng II gà mái, A biến cố gà bắt từ chuồng II gà mái Ta có B1 , B2 lập thành hệ đầy đủ biến cố 4 P( B1 )  ; P( B2 )  ; P( A / B1 )   ; P ( A / B2 )   7 10 10 Khi xác suất cần tìm 16 P( A)  P( B1 ) P( A / B1 )  P ( B2 ) P ( A / B2 )      7 35 Bài toán 3.4.5 Theo thống kê vùng có 65% đàn ông bị béo phì 55% phụ nữ bị béo phì Số đàn ơng phụ nữ vùng coi Tỉ lệ người dân vùng bị béo phì bao nhiêu? Lời giải Gọi H1 chọn người đàn ông, H biến cố chọn người phụ nữ, A biến cố người chọn bị béo phì Khi H1 , H lập thành hệ đầy đủ biến cố 52 P( H1 )  P( H )  ; P( A / H1 )  0,65 ; P( A / H )  0,55 Xác suất để người vùng chọn ngẫu nhiên bị béo phì 1 P( A)  P( H1 ) P ( A / H1 )  P( H ) P ( A / H )  0,65  0,55  0,6 2 Do tỉ lệ người dân vùng bị béo phì 60% Bài tốn 3.4.6 Ba kiện hàng có 20 sản phẩm với số sản phẩm tốt tương ứng 15, 10, 17 Lấy ngẫu nhiên kiện hàng từ lấy sản phẩm a Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt b Giả sử sản phẩm lấy sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm thuộc kiện hàng thứ ba Lời giải a Gọi Bi biến cố sản phẩm lấy thuộc kiện hàng thứ i  i  1, 2,3 A biến cố sản phẩm lấy sản phẩm tốt Ta có B1 , B2 , B3 lập thành hệ đầy đủ biến cố P( B1 )  P( B2 )  P( B3 )  P( A / B1 )  15 10 17  ; P ( A / B2 )   ; P( A / B3 )  20 20 20 Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có P( A)  P( B1 ) P ( A / B1 )  P( B2 ) P( A / B2 )  P( B3 ) P( A / B3 ) 1 17        3 20 10 b Theo công thức Bayes ta có xác suất cần tìm 17  P ( B3 ) P( A / B3 ) 17 P( B3 / A)   20  42 P ( Bi ) P( A / Bi )  10 i 1 53 Bài toán 3.4.7 Tại phòng khám chuyên khoa tỉ lệ người đến khám có bệnh 0,8 Người ta áp dụng phương pháp chuẩn đốn thấy khẳng định có bệnh 10 trường hợp; cịn khẳng định khơng có bệnh 10 trường hợp Hãy tìm xác suất: a Chuẩn đốn có bệnh b Chuẩn đoán Lời giải Đặt B biến cố người có bệnh; B biến cố người khơng có bệnh Đặt A biến cố chuẩn đốn có bệnh; A biến cố chuẩn đốn khơng bệnh Theo đề ta có P( B )  0,8; P( B )  0, 2; P ( B / A)  0,9; P( B / A)  0,5  P( B / A) a Vì A A lập thành hệ đầy đủ biến cố nên theo cơng thức xác suất tồn phần ta có P ( B )  P( A) P ( B / A)  P ( A) P( B / A)  0,8  P ( A).0,9  (1  P ( A)).0,5 Suy P  A  0,75 b Đặt H biến cố chuẩn đoán A A lập thành hệ đầy đủ biến cố nên P( H )  P ( A) P( H / A)  P( A) P( H / A) Vì P ( H / A)  P( B / A); P ( H / A)  P( B / A) Nên P( H )  P ( A) P( H / A)  P( A) P ( H / A)  0,75.0,9  0, 25.0,5  0,8 Bài toán 3.4.8 Trong hộp đựng bi xanh bi đỏ, lần thứ lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi quan sát bi đỏ bỏ viên bi vào hộp với viên bi đỏ khác nữa, viên bi xanh bỏ viên bi vào 54 hộp viên bi xanh khác Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi a Tính xác suất bi lấy lần hai viên bi xanh b Giả sử bi lấy lần hai bi xanh, tính xác suất để bi xanh bi hộp lúc ban đầu (không phải bi bỏ vào) Lời giải Gọi H biến cố lần thứ lấy bi xanh Suy H biến cố lần thứ lấy bi đỏ P( H )  ; P( H )  9 H H tạo thành hệ đầy đủ biến cố a Gọi A biến cố biến cố bi lấy lần hai bi xanh Ta có P ( A / H )   ; P( A / H )  10 11 Áp dụng cơng thức xác suất tồn phần ta có 14 P( A)  P( H ) P( A / H )  P( H ) P( A / H )      9 11 33 b Gọi B biến cố bi lấy lần bi hộp lúc ban đầu P( B / H )  9 ; P( B / H )  11 10 Áp dụng công thức xác suất tồn phần ta có 9 47 P( B )  P( H ) P( B / H )  P( H ) P( B / H )      10 11 55 Giả sử bi lấy lần bi xanh, xác suất để bi xanh bi hộp ban 47  P ( BA) P ( B ) P( A / B ) 55 94    đầu P ( B / A)  14 105 P( A) P( A) 33 Bài tốn 3.4.9 Một hộp có bi xanh bi vàng Lần lấy ngẫu nhiên bi từ hộp, lần lấy ngẫu nhiên bi 55 a Tìm xác suất để bi lấy lần bi xanh b Biết bi lần bi vàng, tìm xác suất để bi lấy lần bi xanh Lời giải Gọi E biến cố bi lấy lần bi xanh Ei biến cố bi lấy lần có i bi vàng (i  0,1, 2) a Các biến cố E0 , E1 , E2 lập thành hệ đầy đủ biến cố C72 C61C71 C62 P( E0 )   ; P( E1 )   ; P( E2 )   C13 26 C13 13 C13 26 P( E / E0 )  ; P( E / E1 )  ; P( E / E2 )  11 11 11 b Xác suất để bi lấy lần bi xanh P( E )  P ( E0 ) P( E / E0 )  P( E1 ) P( E / E1 )  P( E2 ) P ( E / E2 )  7       0,538 26 11 13 11 26 11 c Ta có P( E )   P ( E )   0,538  0, 462 ; P( E / E0 )  11 Xác suất để bi lấy lần bi xanh, biết bi lần bi vàng  P( E0 ) P ( E / E0 ) 26 11 P ( E0 / E )    0, 2119 P( E ) 0, 462 Bài toán 3.4.10 Trên tàu điện có n hành khách Đến ga người xuống ga với xác suất p Có hành khách lên với xác suất  p0 không lên thêm với xác suất p0 Tìm xác suất để sau lần dừng tàu có n hành khách Lời giải Gọi H biến cố ga hành khách lên tàu thêm H1 biến cố ga có hành khách lên thêm 56 A biến cố sau lần dừng tàu có n hành khách Theo giả thiết ta có P( H )  p0 ; P( H1 )   p0 P( A / H )  (1  p ) n (không có xuống) P( A / H1 )  Cn1 p(1  p ) n 1 (có người xuống) Vậy P( A)  P( H ) P( A / H )  P ( H1 ) P ( A / H1 )  p0 (1  p ) n  (1  p0 )Cn1 p (1  p ) n 1  (1  p ) n 1  p0 (1  p )  np (1  p0 ) Bài toán 3.4.11 (Bài toán người đánh bạc phá sản) Một niên mong muốn mua xe với giá n đôla Trong túi có k đơla (  k  n ) Anh ta định kiếm n – k đơla cịn lại cách đánh bạc, chơi trị chơi sấp ngửa Ở ván chơi, đồng xu tung lên Nếu đồng xu xuất mặt sấp đơla, cịn đồng xu xuất mặt ngửa đôla Anh ta định chơi tới kiếm đủ n đôla k đôla (bị phá sản) Tìm xác suất để bị phá sản Lời giải Gọi A biến cố bị phá sản Đặt pk  P( A) xác suất phá sản lúc bắt đầu chơi có k đôla Gọi B biến cố đồng xu xuất mặt sấp Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có P( A)  P( B ) P( A / B )  P( B ) P( A / B ) Giả sử P( B )  p ; P( B )  q   p Nếu B xảy có k  đơla Do P ( A / B )  pk 1 Nếu B xảy đơla Do P( A / B )  pk 1 Vậy ta có pk  ppk 1  qpk 1 57 Dãy ( pk ) dãy truy hồi cấp nên ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1: p   p  q Phương trình đặc trưng dãy ( pk ) px  x  q Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1  1; 2  q Vậy p k q pk có dạng pk  c  d   c  d    p k k Trong c, d hai số Từ điều kiện ban đầu p0  pn  ta có c  d  p0   n  q c  d  p      n q  p 1 Suy c   n ; d  n q q  p  1  p  1     n k q q  p  p Vậy pk    n   q  p  1   + Trường hợp 2: p  Trong trường hợp phương trình đặc trưng dãy ( pk ) có nghiệm kép 1  2  Do pk có dạng pk  c1  c2 k c1 , c2 số Từ điều kiện ban đầu p0  pn  ta có c1  1, c2   Vậy n pk   k n 58 3.5 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC BERNOULLI Bài tốn 3.5.1 Xác suất thành cơng ca phẫu thuật tim 0,7 Tiến hành phẫu thuật tim cách độc lập cho 10 em bé Tính xác suất để 10 ca phẫu thuật đó: a Có ca thành cơng b Có từ đến ca thành công Lời giải a Theo cơng thức Bernoulli ta có xác suất cần tìm P10 (3)  C103 (0,7)3 (1  0,7)10 3  0,009 b Xác suất để có từ đến ca thành công 10 ca phẫu thuật 5 k 2 k 2 P10 (2,5)   P10 ( k )   C10k (0,7) k (1  0,7)10 k  0,15 Bài toán 3.5.2 Theo dõi kết điều tra bệnh lao vùng thấy tỉ lệ người bị lao 0,002 Tính xác suất để khám 15 người thấy: a Khơng có người bị lao b Có người bị lao c Ít người bị lao Lời giải a Gọi A biến cố 15 người người bị lao Xác suất để 15 người khơng có người bị lao P( A)  P15 (0)  (0,998)15  0,97042 b Gọi B biến cố 15 người có người bị lao Xác suất để 15 người có người bị lao P( B )  P15 (5)  C155 (0,002)5 (0,998)10 c Gọi C biến cố 15 người có người bị lao Xác suất để 15 người có người bị lao P(C )   P ( A)   0,97042  0,02958 59 Bài toán 3.5.3 Hai người Minh Thanh thi đấu cờ Xác suất thắng Minh ván cờ 0,6 (khơng có hịa) Trận đấu bao gồm ván đấu Người thắng với số ván thắng lớn người thắng Tìm xác suất để Thanh thắng Lời giải Xác suất để Thanh thắng ván cờ P5 (3)  C53 (0, 4)3 (1  0, 4)  0, 2304 Xác suất để Thanh thắng ván cờ P5 (4)  C54 (0, 4) (1  0, 4)  0,0768 Xác suất để Thanh thắng ván cờ P5 (5)  C55 (0, 4)5  0,0102 Xác suất để Thanh thắng P5 (3)  P5 (4)  P5 (5)  0,31744 Bài toán 3.5.4 Xác suất để chai bị bị vỡ trình vận chuyển từ nhà máy sản xuất đến nơi tiêu thụ 0,001 Tìm xác suất để vận chuyển 12000 chai bia có chai bị vỡ Lời giải Theo cơng thức Bernoulli ta có xác suất cần tìm P12000 (3)  C12000 (0,0001)3 (1  0,0001)12000 3  0,00176 123 12 Cách khác: Theo xấp xỉ Poisson ta có P12000 (3)  e  0,00176 3! Bài toán 3.5.5 Thực 30 lần gieo liên tiếp đồng xu có xác suất xuất mặt sấp 0,52 Tính số mặt sấp có khả xác suất tương ứng Lời giải Ta có n  30; p  0,52; np  q  30.0,52  0, 48  15,12 Suy số mặt sấp có khả k0  np  q    16 16 Và xác suất tương ứng P30 (16)  C30  0,52  16 1  0,52  14  0,14324 60 Bài tốn 3.5.6 Từ lơ trái có tỉ lệ trái hỏng 5% , người ta chọn ngẫu nhiên để kiểm tra a Hỏi phải kiểm tra trái để xác suất có trái hỏng không bé 90% ? b Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát trái bị hỏng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ 10 Lời giải Gọi p xác suất trái bị hỏng lô hàng n số trái cần kiểm tra Khi ta có dãy phép thử Bernoulli với xác suất p  0,05 a Gọi A biến cố có trái hỏng P( A)   Pn (0)   (0,95) n  0,9  n  44,98 Vậy phải kiểm tra 45 trái để xác suất có trái hỏng không bé 90% b Việc kiểm tra dừng lại phát trái bị hỏng suy lần đầu phát trái hỏng lần thứ 10 phải trái hỏng Gọi B biến cố để việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ 10 P( B )  P9 (2).0,05  C92 (0,05) (1  0,05)7  0,05  0,003143 Bài toán 3.5.7 Tỉ lệ phế phẩm lô hàng 1% Hỏi cần chọn mẫu (chọn có hồn lại) sản phẩm cho xác suất để mẫu có phế phẩm lớn 0,95 Lời giải Gọi n số sản phẩm cần chọn Khi ta có dãy phép thử Bernoulli với xác suất p  0,001 Xác suất để mẫu có phế phẩm  (1  p ) n   0,99n Theo u cầu tốn ta có 61  0,99n  0,95  0,05  0,99n  ln 0,05  n ln 0,99 n ln 0,05  298 ln 0,99 62 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn TS Cao Văn Ni tơi hồn thành luận văn tiến độ đạt mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn đạt kết sau : Luận văn trình bày cách rõ ràng, có hệ thống tổng quan kiến thức liên quan đến công thức xác suất Luận văn lựa chọn phân loại hệ thống tập phong phú từ đến nâng cao Ở chương tơi nghiên cứu trình bày cách đa dạng dạng toán xác suất, ứng dụng cho kiến thức trình bày chương trước Kết luận văn nhằm giúp sinh viên học tập tốt môn Xác suất – thống kê tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Xác suất – thống kê Tuy nhiên, hạn chế mặt thời gian, kinh nghiệm luận văn bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học nên kết đạt luận văn cịn khiêm tốn số khía cạnh chưa nghiên cứu sâu Đó mục tiêu đề thực thời gian đến TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đinh Văn Gắng (2000), Bài tập xác suất thống kê, NXB Giáo dục [2] Đặng Hấn (2004), Xác suất thống kê, NXB Thống kê [3] Đặng Đức Hậu (2008), Xác suất thống kê, NXB Giáo dục [4] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Hộ (2009), Xác suất thống kê, NXB Giáo Dục [6] Trần Lộc Hùng (1997), Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB Giáo Dục [7] Phạm Văn Kiều (2005), Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB Giáo Dục [8] Tống Đình Quỳ (2007), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Bách khoa – Hà Nội [9] Đặng Hùng Thắng (1997), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo Dục [10] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh (2008), Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn, NXB Đại học Kinh tế quốc dân Tiếng Anh [11] Gnedenko, B.V (1976), The theory of probability, Mir Publishers Moscow (Translated from the Russian by George Yankovsky) [12] Shuhov, Y and Kelbert, M (2005), Probability and Statistics by example, Cambridge University Press, New York ... kiến thức liên quan đến công thức tính xác suất Phạm vi nghiên cứu: Cơng thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần, cơng thức Bayes, cơng thức. .. 1.5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỐN VỀ BIẾN CỐ 1.6 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT 1.7 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT CHƯƠNG MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 13 2.1 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT... thức tính xác suất, ứng dụng để giải tốn liên quan đến công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes, cơng thức Bernoulli