Một số công thức phần xác suất

Một số công thức phần xác suất

Một số công thức phần xác suất i Xác suất biến cố: m (A ) P (A )= n(A ) I * * A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = • A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B)+P(C) B C xung khắc P(B)+P(C)-P(B.C) B C không xung khắc P(B).P(C) B C độc lập P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) B C không độc lập * A 1A A n =A +A + +A n * A + A + A n = A A A n * P(A)+ P (A ) =1 • Cơng thức Bernoulli: Pn ( x) = C nxpx (1 − p) n −x , x = 0,1,2,…,n n • Cơng thức Xác suất đầy đủ: P(A )= ∑P(H i)P(A /H i) i=1 • Cơng thức Bayes: P(H i)P(H i/A ) P(H i)P(H i/A ) P(H i/A )= = n P(A ) ∑P(H i)P(H i/A ) i=1 II E(X) = Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất: Các tham số đặc trưng: n p X biến ngẫu nhiên rời rạc ∑xi i i = + ∞ ∫ xf(x)nếu X biến ngẫu nhiên liên tục − ∞ n x ∑ i i= p i X biến ngẫu nhiên rời rạc E(X ) = +∞ ∫ −∞ x f ( x ) X biến ngẫu nhiên liên tục ( ) V(X)= E ( X − E ( X ) ) = E X − ( E ( X ) ) σ( X ) = V ( X ) Phạm Hương Huyền-TKT ∀ i= 1,2, , n Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: ♦X∼ A(P) ⇒ X P * 1-p p P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x x = 0;1 * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p ) ♦ X∼ B(n,p) ⇒ X … x … n P C p q n− C p1q n−1 … C x p x q n− x … C n p n q n n n n ( q=1-p ) * P( X = x ) = C nx p x ( − p ) * E(X)=np ; V(X)=npq ; n− x x = 0,1, , n σ ( X ) = npq x0 ∈ N * Mốt X∼ B(n,p): x0 = np + p −1 ≤ x ≤ np + p ♦ X∼ P(λ) ⇒ * P ( X = x ) = C p (1 − p ) x n x n− x λx e − λ ≈ x! ; x=0,1,2,… ( n lớn, p nhỏ; λ=np ) σ( X ) = λ * Mốt X∼ P(λ): λ − ≤ x ≤ λ ; x0∈N * E(X)=V(X)=λ; (x− μ)2 − ( x)= e 2σ ♦ X∼ N(µ ,σ 2) ⇒ f (σ>0) 2∏ * E(X)=µ ; V(X)=σ ; σ (X)=σ  b −µ   a −µ   −Φ0   * P ( a < X < b) = Φ0   σ   σ  b −µ +0,5  σ  a −µ 0,5 −Φ  0  σ   * P(Xa) ≈ ( ε   σ  ) * P X −µ U α ) =α U , 025 =1,96 ( ) P T > Tα( n ) = α T1(−nα) = −Tα( n ) * Chú ý: • Giá trị tới hạn Khi bình phương: * Định nghĩa: ( , U∼ N(),1) ; U , 05 =1,645 , T∼ T(n) Tα( n ) ≈ U α ; ) P χ > χ α2( n ) = α n ≥ 30 χ2∼χ 2(n) , • Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor: ( n ,n ) * Định nghĩa: P F > Fα =α ( với ) , F ∼ F(n1,n2) (n1 , n2 ) Fα = (n2 , n1 ) F1− α * Chú ý: III Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc X x1 … x2 … xi xn Tổng P(xn,y1) P(xn,y2) … P(xn,yj) … P(xn,ym) P(X=xn) P(Y=y1) P(Y=y2) … P(Y=yj) … P(Y=ym) Y P(x1,y1) P(x2,y1) P(x1,y2) P(x2,y2) … … … yj P(x1,yj) P(x2,yj) … … … ym P(x1,ym) P(x2,ym) Tổng P(X=x1) P(X=x2) • P xi , y j = P X = xi , Y y1 y2 ( ) ( … … … … … … … = yj ) P (x i , y j • P ( X =x i ) =∑ m j= • P (( X =x i ) / (Y = y j P(xi,y1) P(xi,y2) … P(xi,yj) … P(xi,ym) P(X=xi) ) )) = P ; (X … … … …… … … … P (Y =y j =x i , Y = y j P (Y = y j ) • ) ) =∑ P (x n i= i , y j µ XY = Cov( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) )( (Y − E (Y ) ) ) = ∑∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n • ρ XY i =1 j =1 µ σ (X )σ (Y ) = Phạm Hương Huyền-TKT m XY ) • V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y ) III Một số quy luật số lớn: • Bất đẳng thức Trêbưsép: X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε >0 P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 − ⇔P ( X − E (X ) V (X ) ε2 ) ≥ ε) ≤V ( X ε • Định lý Trêbưsép: X1, X2,…, Xn độc lập đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε >0 1 n  n   Lim P ∑ Xi − ∑ E (X i ) < ε = n→ ∞ n n i= i=   • Định lý Bernoulli: f tần suất xuất biến cố A lược đồ Bernoulli với tham số n, p ε > , ta có ε Lim P ( f − p < )= n→ ∞ B Một số công thức phần Thống kê tốn I Một số cơng thức mẫu: k x = ∑ni xi ; n i =1 s= * * n Ms n −1 ; s *2 ; () Ms = x − x k = ∑ni ( xi − µ) n i =1 Tần suất mẫu f hình ảnh tham số p tổng thể mẫu  σ2    N µ , Tổng thể : X∼ N µ , σ ⇒ X ∼   ⇒ n   ( ( ) E X =µ * k x = ∑ni xi2 n i =1 , ) ( ) V X = σ2 n pq    ⇒ E( f ) = p Tổng thể X∼ A(p) ⇒ f ∼ N p, n   ( n đủ lớn) II Một số công thức ước lượng: Ước lượng giá trị tham số µ quy luật N ( µ , σ ) Phạm Hương Huyền-TKT , V( f ) = pq n Cơ Trường hợp biết σ (ít gặp) ng thức KTC đối xứng KTC ước lượng x− σ Uα < µ < x + n σ µ< x+ σ n n Uα Trường hợp chưa biết σ (thường gặp) n ≤ 30 Uα s x− n n>30 s Tα( n −1) < µ < x + n µ< s x + n Tα( n −1) x − (n − 1) Tα s n Uα < µ < x + µ < x+ s µ > x− s µ max KTC ước lượng µ > x− µ Cơng thức xác định kích thước mẫu (n*) cho: Giữ nguyên độ tin cậy (1-α ) muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 n * σ Uα n 4σ 2 ≥ Uα / I 02 µ > n x− ≥ * s n Tα( n −1) 4s (Tα( n/ −21) ) 2 I0 ε Chú ý : n = * f− KTC ước lượng KTC ước lượng p max p Phạm Hương Huyền-TKT f (1 − f ) n Uα < p < f + ≥ I f (1 − f ) n p< f + p>f − f (1 − f ) Uα n f (1 − f ) n Uα n n Uα Uα 4s 2 Uα / I 02 Ước lượng giá trị tham số p quy luật A(p) KTC đối xứng s Uα n Uα Công thức xác định kích thước mẫu (n*) cho: Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 ≥ n* f (1 − f I 02 Chú ý : ε = )U2 α/ I Chú ý: Nếu P= M ước lượng M qua P N (quan hệ M P thuận chiều), N ước lượng N qua P M (quan hệ N P ngược chiều) Ước lượng giá trị tham số σ quy luật N μ, σ2 Cơng thức Trường hợp biết µ Trường hợp chưa biết µ (ít gặp) (thường gặp) *2 *2 n s n s ( n −1) s ( n −1) s 2 < < (n ) 2 (n ) 1− ns *2 σ2 (n − 1) s < (n − 1) σ ( n −1) s > 2(n− 1) 2(n ) χα χ 1− α χα Một số công thức kiểm định giả thuyết thống kê ♦Kiểm định tham số quy luật phân phối gốc Bài tốn kiểm định tham số µ quy luật N ( µ , σ ) : a Bài tốn so sánh µ với giá trị thực cho trước µ Trường hợp σ biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ giả thuyết H0 định H0: µ = µ   x −µ0 n   W = U = ; U > U  α α H1: µ > µ σ     H0: µ = µ   x −µ0 n   W = U = ; U < − U  α α H1: µ < µ σ     H0: µ = µ   x − µ0 n   W = U = ; U > U   α α / µ ≠ µ H1: σ     Trường hợp σ chưa biết (thường gặp) Miền bác bỏ giả thuyết H0 ( ) ( ( Phạm Hương Huyền-TKT ) ) Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: µ = µ H1: µ > µ H0: µ = µ H1: µ < µ H0: µ = µ H1: µ ≠ µ Trường hợp n ≤ 30 Trường hợp n>30 ( ) n  ; T > Tα( n −1)   ( ) n ( )   ; T < −Tα( n −1)     x − µ0 Wα = T = s   x − µ0  Wα = T = s   ( ) ( )   x − µ0 n   Wα = U = ; U > Uα  s       x − µ0 n   Wα = U = ;U < −U α  s     ( b Bài toán so sánh hai tham số µ1 với µ quy luật phân phối chuẩn Trường hợp σ 12 , σ 22 biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ giả thuyết H0 định µ = H0: µ     H1: µ1 > µ x −x   H0: H1: H0: H1: )    x − µ0 n x − µ0 n  ) Wα = T = ; T > Tα( n/ −1 W = U = ; U > U   α α /2  s s     Wα = U = ; U >U α  2 σ σ   +   n1 n2       µ1 = µ x1 − x   Wα = U = ; U < −U α  µ1 < µ 2 σ1 σ2   +   n1 n2       µ1 = µ x1 − x   Wα = U = ; U >U α /  µ1 ≠ µ 2 σ1 σ2   +   n1 n2   2 Trường hợp σ , σ chưa biết; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thường gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: µ1 = µ H1: µ1 > µ Phạm Hương Huyền-TKT Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα    = U =    x1 − x s12 s2 + n1 n2    ; U >U α     H0: H1: µ1 = µ µ1 < µ H0: µ1 = µ H1: µ1 ≠ µ    Wα = U =       Wα = U =    Trường hợp σ 12 , σ 22 chưa biết Miền bác bỏ giả thuyết H0 Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: µ1 = µ H1: µ1 > µ H0: H1: Wα    = T =    Wα    = T =    µ1 = µ µ1 < µ H0: µ1 = µ H1: µ1 ≠ µ Wα k = (n   x1 − x  ; U < −U α  s12 s2  +  n1 n2    x1 − x  ; U >Uα /  s12 s2  +  n1 n2     =T =    x1 −x s12 s 22 + n1 n2 x1 −x s12 s 22 + n1 n2 s12 s 22 + n1 n2 ; c = (s 2 Bài toán kiểm định tham số σ quy luật N ( µ , σ ) : a Bài toán so sánh σ với giá trị thực cho trước σ Phạm Hương Huyền-TKT   (k )  ; T Tα( k/ 2)     x1 −x (n1 −1)(n −1) −1)c +(n1 −1)(1 −c )   (k )  ; T >Tα     s12 / n1 / n1 ) +(s 22 / n ) Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: σ = σ 02 H1: σ > σ 02 Miền bác bỏ giả thuyết H0  ( n −1) s 2 ( n −1)  Wα = χ = ; χ > χ  α σ02    ( n −1) s 2 ( n −1)  Wα = χ = ; χ < χ  1−α σ02   H0: σ = σ 02 H1: σ < σ 02  ( n − 1) s Wα =  χ = σ 02  H0: σ = σ H1: σ ≠ σ 02 2 ;  χ > χ α2 (/n2−1) hay χ < χ 12−(αn−/ 12)   b Bài toán so sánh hai tham số σ 12 với σ 22 quy luật phân phối chuẩn Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ giả thuyết H0 kiểm định H0: σ 12 = σ 22  s ( n1 − 1, n2 − 1) Wα = F = ; F >Fα H1: σ 12 > σ 22  H0: σ 12 = σ 22 H1: σ 12 < σ 22 H0: σ 12 = σ 22 H1: σ ≠ σ 2 Wα s2  s12 1, n2 − 1)  1− =F = ; F F ( n1 − 1, n − 1) 1− α / hay F < F Bài toán kiểm định tham số p quy luật A(p): a Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước: Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ giả thuyết H0 kiểm định H0: p = p0 H1: p > p0 H0: H1: p = p0 p < p0 H0: p = p0 H1: p ≠ p0   ( f − p0 ) n   Wα =U = ; U >U α  p (1 − p )       ( f − p0 ) n   Wα =U = ; U U    Wα = U = α/  p0 (1 −p0 )     b Bài toán so sánh hai tham số p1 với p quy luật Không-Một Phạm Hương Huyền-TKT       Cặp giả thuyết cần kiểm định H0: p1 = p H1: p1 > p Miền bác bỏ giả thuyết H0 Wα H0: p1 = p H1: p1 < p H0: p1 = p H1: p1 ≠ p Trong đó:    = U =    Wα Wα f    f −f ; U >U α 1   f −f   n +n      (    = U =       = U =    )    f1 − f ; U U α/  1    f −f  +  n  n2    ( ) n f + n2 f =1 n1 + n2 ♦ Kiểm địnhphi tham số • Kiểm định dạng quy luật phân phối gốc: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X ∼ Quy luật A H1: X ∼ Quy luật A (Xét quy luật A rời rạc) * Miền bác bỏ giả thuyết H0: k  (ni −ni′)2  Wα = χ =∑ ni′  i=  χ2 ;  (k − r− 1)  >χ  α   Trong đó: k Mẫu ngẫu nhiên chiều X X(n); xi xuất ni lần ; ∑n i =1 i = n ; ni′ = np i ; pi = P( X = xi ) ; r số tham số quy luật A cần ước lượng, tham số quy luật A ước lượng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa; Phạm Hương Huyền-TKT 10 • Kiểm định tính độc lập hay phụ thuộc dấu hiệu định tính: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X , Y độc lập H1: X , Y phụ thuộc * Miền bác bỏ giả thuyết H0: Wα k  h  nij2   = χ =n∑ −1 ∑   i =1 j =1 ni m j   ; χ >χ α (( h − 1)( k − 1) )      Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên chiều X,Y X(n); giá trị (xi,yj )xuất nij lần; h n ∑ i= ij =m j , k n ∑ j= ij =ni , h k n ∑ ∑ i= j= ij h k i= j= =∑ ni =∑ m j =n • Kiểm định Jarque-Bera dạng phân phối chuẩn: H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn +> H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn   a2 (a4 −3)2  2(2) JB =n + ; JB > χ → MBB H0 : W α =  α  24     ( a3 hệ số bất đối xứng, a4 hệ số nhọn) - Phạm Hương Huyền-TKT 11 ... Định lý Bernoulli: f tần suất xuất biến cố A lược đồ Bernoulli với tham số n, p ε > , ta có ε Lim P ( f − p < )= n→ ∞ B Một số công thức phần Thống kê tốn I Một số cơng thức mẫu: k x = ∑ni xi ;... p, n   ( n đủ lớn) II Một số công thức ước lượng: Ước lượng giá trị tham số µ quy luật N ( µ , σ ) Phạm Hương Huyền-TKT , V( f ) = pq n Cô Trường hợp biết σ (ít gặp) ng thức KTC đối xứng KTC... ( n −1) s > 2(n− 1) 2(n ) χα χ 1− α χα Một số công thức kiểm định giả thuyết thống kê ♦Kiểm định tham số quy luật phân phối gốc Bài toán kiểm định tham số µ quy luật N ( µ , σ ) : a Bài tốn so