CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT BÀI TỐN 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập, hệ biến cố đầy đủ Đây bước xác định giả thiết tốn tính xác suất, khơng phân biệt kỹ hiểu kỹ khơng giải toán, bị nhầm lẫn áp dụng quy tắc tính xác suất Bài 1: Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp CĐ LNK8 trường cao đẳng KT – KT Quảng Nam Gọi A biến cố “Sinh viên biết nói tiếng Anh” B biến cố “Sinh viên biết nói tiếng Nga” a A B có phải hai biến cố xung khắc hay không? b Biến cố A  B gì? Hướng dẫn a A B hai biến cố khơng xung khắc sinh viên vừa nói tiếng Anh vừa nói tiếng Nga b Biến cố A  B “ Sinh viên biết nói tiếng Anh, tiếng Nga, nói hai tiếng Anh Nga” Bài 2: Gieo súc sắc hai lần liên tiếp Gọi A biến cố “ lần gieo thứ số chấm mặt súc sắc chẵn”, B biến cố “ lần gieo thứ hai số chấm mặt súc sắc lẻ” a Hai biến cố A B độc lập hay không ? b Giao hai biến cố A B biến cố ? Hướng dẫn a Hai biến cố A B độc lập gieo súc sắc hai lần liên tiếp việc xảy hay khơng xảy mặt có số chấm chẵn lần gieo thứ không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay khơng xảy mặt có số chấm lẻ lần gieo thứ hai b Giao hai biến cố A B biến cố “lần gieo thứ số chẵn lần thứ hai số lẻ” Bài 3: Gieo hạt giống 1, 2, Gọi Ai biến cố “hạt giống i nảy mầm”; Ai biến cố “hạt giống i không nảy mầm” (i = 1, 2, 3); Bj biến cố “có j hạt nảy mầm” (j = 0, 1, 2, 3) a Các biến cố Ai có độc lập hay khơng? b Các biến cố Bj có tạo thành hệ đầy đủ không? c Hai biến cố B1 B2 có đối lập khơng? d Biểu diễn quan hệ biến cố Bj với biến cố Ai Ai Hướng dẫn a Khi gieo ba hạt giống nảy mầm hay khơng nảy mầm hạt giống không làm ảnh hưởng đến nảy mầm hay không nảy mầm hạt giống 3, tương tự hai hạt giống 2, Như biến cố A1, A2 A3 độc lập với đôi độc lập toàn thể b Khi gieo ba hạt giống ba hạt khơng nảy mầm (B0), có hạt số nảy mầm (B1), có hai hạt nảy mầm (B2), ba hạt nảy mầm(B3); trường hợp không xảy đồng thời tiến hành gieo hạt giống, mà: B0  B1 = B1  B2 = B2  B3 = B3  B0 =  hay biến cố Bj đôi xung khắc Ngồi ra, ta thấy rằng: ngồi trường hợp xảy gieo hạt giống khơng cịn trường hợp khác, hay: B0  B1  B2  B3 =  Vậy, biến cố Bj (j = 0,3 ) tạo thành hệ đầy đủ c Hai biến cố B1 B2 xung khắc với nhau, B1 = {B0, B2, B3}  B2, nên B1 B2 không đối lập d Ta có: B0 = A1 A2 A3 B1 = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 B2 = A1.A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2.A3 B3 = A1.A2.A3 Bài 4: Trong phịng có máy vi tính hoạt động độc lập Kí hiệu Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính i hoạt động tốt Hãy viết biến cố sau đây: a Có máy vi tính hoạt động tốt; b Có máy vi tính hoạt động tốt; c Có máy vi tính hoạt động tốt; d Khơng có máy vi tính hoạt động tốt Hướng dẫn Ta có Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính i hoạt động tốt; Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính i hoạt động khơng tốt (biến cố đối lập Ai); máy vi tính hoạt động độc lập nên Ai, Ai : độc lập Nếu gọi: a A biến cố có máy vi tính hoạt động tốt, thì: A = A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 b B biến cố có máy vi tính hoạt động tốt, thì: B = A1.A2.A3 A4 + A1.A2 A3 A4 + A1 A2 A3.A4 + A1 A2.A3.A4 c C biến cố có máy vi tính hoạt động tốt, thì: C = A1 + A2 + A3 + A4 = A1 A2 A3 A4 d D biến cố khơng có máy vi tính hoạt động tốt, thì: D = A1 A2 A3 A4 = C Nhận xét: Khi xác định biến cố độc lập hay xung khắc thông thường dựa vào khái niệm thực tế việc xảy biến cố Nhưng có tốn xác định điều phải dựa vào quy tắc tính xác suất, ví dụ minh hoạ Bài 5: Cho P( A)  ; P( B )  ; P( AB )  Hỏi hai biến cố A B có: 12 a Xung khắc hay không? b Độc lập với hay không? Hướng dẫn a Vì P( AB )   nên A B không xung khắc   P( AB) 12 b Vì P( A) P( B )   Vậy A B hai biến cố độc lập Bài 6: Tung súc sắc Gọi A biến cố “số chấm súc sắc chia hết cho số chấm súc sắc 2”, B biến cố “tổng số chấm súc sắc số chẵn” Hỏi A B có độc lập khơng, có xung khắc không? Hướng dẫn Số trường hợp đồng khả C61  C61  36 Số kết xảy biến cố A 14 (6,1),(6, 2), (6,3), (6, 6), (5,1), (5, 5), (4,1)  (4, 2), (4, 4), (3,1),(3,3), (2,1), (2, 2), (1,1)  A=  Số kết xảy biến cố B 18 (6, 2), (6, 4), (6,6), (5,1),(5,3), (5,5), (4, 2), (4, 4), (4, 6)   (3,1), (3,3), (3,5),(2, 2), (2, 4), (2, 6), (1,1), (1, 3), (1,5)  B=  Ta có: 14 7   36 18    P( A / B)  P( A) Vậy A, B không độc lập 10  P( A / B)  18  P( A)  AB = (6, 2),(6,6),(5,1),(5,5), (4, 2),(4, 4), (3,1), (3,3), (2, 2),(1,1) , AB ≠  Vậy A, B không xung khắc Nhận xét: Để nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập, hệ biến cố đầy đủ cần: - Nắm vững khái niệm quan hệ biến cố, điều kiện xảy biến cố - Phân tích kỹ thực tế toán, dựa theo diễn biến việc xảy dự kiến gọi tên cho biến cố liên quan cần vận dụng để biểu biễn mối quan hệ chúng BÀI TOÁN 2: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất giải toán tính xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất cho ta cơng thức tính xác suất biến cố trường hợp khả xuất biến cố sơ cấp (đồng khả xảy ra, không gian biến cố sơ cấp phân bố đều), thường áp dụng để tính cho biến cố riêng lẻ Để giải tốn này, ta cần phải xác định khơng gian mẫu số kết thuận lợi cho xuất biến cố Tùy theo thực tế toán ta chia thành dạng: Dạng Các tốn xác suất có khơng gian mẫu mơ tả cụ thể : Các tốn dạng có không gian mẫu với số kết hữu hạn, mang tính rời rạc khơng nhiều, ta dùng phương pháp liệt kê để liệt kê đếm số kết số kết thuận lợi Bài 1: Giả sử gia đình có Khi xác suất để gia đình có trai, gái bao nhiêu? Hướng dẫn Chúng ta lập mơ hình xác suất với kiện thành phần: trai, trai gái, trai gái, gái Thế kiện thành phần khơng “cân bằng” với nhau, không kết luận xác suất “2 trai gái” 1/4 Để có khơng gian mẫu, ta lập mơ hình xác suất với kiện thành phần (n() = 8) sau: {TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG} (Chẳng hạn, GGT có nghĩa thứ gái, thứ hai gái, thứ ba trai) Sự kiện “2 trai gái” hợp kiện thành phần mơ hình xác suất này: TTG, TGT,GTT (tương ứng n(A) = 3) Như xác suất 3/8 Bài 2: Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất để : a Tổng số chấm xuất hai b Số chấm xuất hai Gieo đồng thời ba súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm xuất ba 10 Hướng dẫn Gọi Ω tập hợp tất khả xảy Vì có hai súc sắc, có sáu khả xuất nên : n() = 6.6 = 36 a Gọi A biến cố” tổng chấm xuất hai súc sắc 9” Khả thuận lợi là: (3;6), (4;5), (6;3), (5;4) nên có n( A ) = Từ ta có P( A)  n ( A ) =  36 n() b Gọi B biến cố “tổng chấm xuất hai súc sắc 2” Các khả thuận lợi là: (1;3), (2;4),(3;5),(4;6), (3;1), (4;2), (4;2), (6;4) nên có n( B ) = Từ ta có P( B )  n ( B ) =  36 n ( ) Gọi Ω tập hợp tất khả xảy Vì có ba súc sắc, có sáu khả xuất nên : n () = 6.6.6 = 216 Gọi C biến cố “tổng chấm xuất ba súc sắc 10” Các khả thuận lợi C là tổ hợp có tổng 10 sau đây: (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) hoán vị tổ hợp Do n(C ) = + + + + = 24 Để ý (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;3;5) tập có hốn vị, cịn (2;2;6), (3;3;4) tập có ba hốn vị Vậy nên: P(C )  24 n(C )  = 216 n() Nhận xét: Để giải tốn tính xác suất có khơng gian mẫu mô tả cụ thể cần: - Liệt kê phần tử không gian mẫu, đếm số phần tử không gian mẫu - Liệt kê khả thuận lợi biến cố, tính số khả thuận lợi biến cố - Thay vào cơng thức tính xác suất Dạng Các tốn tính xác suất có khơng gian mẫu mơ tả trừu tượng hơn: Để tính xác suất biến cố theo phương pháp cổ điển địi hỏi phải tính số trường hợp thuận lợi biến cố số trường hợp Ở dạng khơng gian biến cố sơ cấp hữu hạn mô tả trừu tượng hơn, số kết nhiều nên dễ bị thiếu sót khó khăn để liệt kê Vì cần nắm vững phương pháp giải tích tổ hợp để vận dụng tính trường hợp Điều khó khăn phải biết sử dụng cơng thức với thực tế tốn Bài 1: Một người gọi điện thoại quên hai số cuối số điện thoại nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi Hướng dẫn Gọi A biến cố “quay ngẫu nhiên lần số cần gọi” Số trường hợp số cặp hai chữ số khác từ 10 chữ số từ đến Nó số chỉnh hợp 10 chập Vậy số kết n() = A10  10.9  90 Số kết thuận lợi A n(A) = Do đó: P ( A)  90 Bài 2: Một công ty cần tuyển nhân viên Có 10 người nộp đơn có nữ nam Giả sử khả trúng tuyển 10 người Tính xác suất biến cố: a Ba người trúng tuyển nữ b Có hai người nam trúng tuyển Hướng dẫn Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên người từ 10 người nộp đơn” Vì khả trúng tuyển 10 người việc tuyển nhân viên ngẫu nhiên khơng xét đến vị trí tuyển dụng nên số phần tử không gian mẫu tổ hợp chập 10 phần tử n( )  C10 a Gọi A: biến cố “Ba người trúng tuyển nữ” C 43 Số kết thuận lợi A là: n( A) = C43 Xác suất A: P ( A)   C10 30 b Gọi B: biến cố “Hai người nam trúng tuyển” Để tuyển chọn nam nữ ta phải thực công đoạn liên tiếp: Công đoạn 1: Chọn nam từ nam có Cơng đoạn 2: Chọn nữ từ nữ có C62 C41 Số kết thuận lợi B là: n(B) = C62 C41 C62 C41  Xác suất B: P ( B )  C103 Bài 3: Một hộp đựng 12 hạt giống, có hạt giống loại A Lấy ngẫu nhiên có thứ tự khơng hồn lại hạt để ươm Tìm xác suất để: a hạt lấy giống loại A b hạt lấy loại A c Chỉ có hạt lấy lần thứ hai hạt loại A Hướng dẫn Do lấy có thứ tự khơng hồn lại nên số trường hợp đồng khả n() = A123 a Gọi B: biến cố “3 hạt lấy loại A” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố B: n( B ) = A53 n ( B ) A53 Xác suất B: P( B )   n () A123 b Gọi E: biến cố “3 hạt lấy loại A” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố E: n( E ) = A73 Xác suất E: P( E )  n( E ) A73  n() A123 c Gọi D: biến cố “Chỉ có hạt lấy lần thứ hai hạt loại A.” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố D: hạt lấy lần loại A, lần loại A, lần không hạt loại A: n( D ) = C71  C51  C61 n( D ) C71  C51  C61 Xác suất D: P( D)   n ( ) A123 Bài 4: Có hành khách lên đoàn tàu gồm toa Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người, toa cịn lại khơng có Hướng dẫn Phép thử T: “Xếp hành khách lên đoàn tàu toa” Số phần tử khơng gian mẫu: Mỗi hành khách có cách chọn toa nên có 4 cách xếp 4 người lên đoàn tàu toa  n()  Xét biến cố A: “1 toa có người, toa có người, toa cịn lại khơng có ai.” Xét cơng đoạn liên tiếp: - Chọn hành khách hành khách, chọn toa toa xếp lên toa hành khách vừa chọn  C43 C41  16 - Chọn toa toa lại xếp lên toa hành khách  C31  Số kết thuận lợi A là: n( A )  16.3  48 Xác suất A: P ( A)  48  4 16 Bài 5: Một nhóm gồm người đàn ơng, người phụ nữ đứa bé xếp vào bàn dài Tính xác suất để: a Đứa bé người đàn ơng b Mỗi nhóm ngồi cạnh c người phụ nữ ngồi xen kẽ người đàn ông Hướng dẫn Gọi Ω tập hợp cách xếp chỗ ngồi cho 10 người n()  10!  3628800 a Gọi A biến cố “đứa bé người đàn ông” - Chọn vị trí đứa bé: cách - Chọn người đàn ông ngồi bên đứa bé: C52  10 cách - Hốn vị người đàn ơng đó: 2! = cách - Chọn chỗ cho người lại: 7! = 5040 Có 80640 cách chọn, n( A )  80640 Vây ta có: P  A   80640  10! 45 b Gọi B biến cố “mỗi nhóm ngồi cạnh nhau” - Chọn vị trí cho nhóm: 3! = cách - Hốn vị người đàn ơng: 5! =120 cách - Hoán vị người phụ nữ: 4! = 24 cách Nên có 172080 cách xếp n( B )  17280 PB  17280  10! 210 c Gọi C biến cố “4 người phụ nữ ngồi xen kẽ người đàn ơng” - Chọn vị trí cho đứa bé: cách - Hốn vị người đàn ơng: 5! = 120 cách - Hoán vị người phụ nữ: 4! = 24 cách Nên có 5760 cách xếp, n(C )  5760 Vậy P  C   5760  10! 630 Nhận xét: Để tính số phần tử không gian mẫu mô tả trừu tượng cần phân tích đề vận dụng toán Tổ hợp Lưu ý phân biệt dùng công thức tổ hợp chỉnh hợp: Ta để ý dạng công thức lấy không hoàn lại k phần tử từ n phần tử cho trước tổ hợp k phần tử lấy khơng có thứ tự, cịn chỉnh hợp k phần tử lấy có thứ tự (trước sau, dưới, đầu cuối, ngoài, ) Ngoài ra, k phần tử lấy có thứ tự hồn lại ta dùng chỉnh hợp lặp 10 Vì lấy bi lấy đen, trắng đen, , trắng nên biến cố Bi không đồng thời xảy P( E )  P ( B1 )  P ( B2 )  P( B3 )  P( B4 )  P( B5 ) C85   P( B0 )   C15 b Gọi F: biến cố “lấy nhiều bi đen” Ta có: F = B3 + B4 + B5 P( F )  P( B3 )  P( B4 )  P ( B5 )  C82C73 C81C74 C80C75   C155 C15 C15 Bài 4: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy Lớp học có đủ ánh sáng bóng đèn sáng Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng Hướng dẫn Gọi Ai biến cố “lớp học có i bóng đèn sáng”, i = 4, 5, Mỗi bóng có xác suất sáng Ta có: 4 3 P(A4) = C     ; P(A5)= C65     ; P(A6) =   4 4 4 4 4 Gọi B biến cố lớp có đủ ánh sáng Ta có : B = A4 + A5 + A6 Các biến cố Ai không xảy đồng thời nên: P(B) = P(A4) + P(A5) + P(A6) = 0,8305 Nhận xét: Để giải toán áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta cần: - Gọi tên biến cố thành phần có liên quan; - Gọi tên biến cố cần tìm xác suất - Sử dụng biến cố tổng, biểu diễn biến cố cần tìm xác suất với biến cố liên quan; cần phân tích kỹ tốn để đưa mối quan hệ (thường có biến cố xảy ra, biến cố biến cố xảy ra) - Kiểm tra tính xung khắc biến cố, tính xác suất thành phần áp dụng quy tắc cộng để tính xác suất theo yêu cầu 13 Sử dụng xác suất có điều kiện quy tắc nhân xác suất: Xác suất biến cố phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác mà nói khơng nói (điều kiện hiểu ngầm) Để cách cụ thể việc xác suất kiện A phụ thuộc vào điều kiện B sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện Bài 1: Một lớp học có 30 sinh viên, có 17 bạn nữ 13 bạn nam Có bạn tên Thanh, có bạn nữ bạn nam Thầy giáo gọi ngẫu nhiên bạn lên bảng Tìm xác suất để: a Bạn có tên Thanh b Bạn có tên Thanh, với điều kiện “đó bạn nữ” c Nếu thầy giáo gọi bạn có tên Thanh lên bảng, xác suất để bạn bạn nữ ? Hướng dẫn Gọi A : biến cố “tên Thanh” B : biến cố “nữ” Khơng gian xác suất Ω có 30 phần tử, A có phần tử, B có 17 phần tử, A ∩ B có phần tử a Xác suất để sinh viên gọi có tên Thanh, tức người gọi cần có tên Thanh khơng cần biết nam hay nữ: P(A) =  30 10 b Xác suất để bạn gọi có tên Thanh, với điều kiện “đó bạn nữ” P( A  B) P( A / B)   30  17 P( B) 17 30 c Xác suất để bạn gọi nữ có tên Thanh Trong bạn Thanh có bạn nữ, xác suất 1/3 14 Hoặc sử dụng công thức P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) với xác suất có điều P( A  B) 30 kiện, ta có P ( B / A)  P ( A)   30 Bài 2: Có 40 phiếu thi Tốn, phiếu có câu hỏi, có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm: câu hỏi khó, câu hỏi dễ) 27 câu hỏi tập (gồm: 12 câu hỏi khó, 15 câu hỏi dễ) Rút ngẫu nhiên phiếu thi Tìm xác suất rút câu lý thuyết khó Hướng dẫn Gọi A kiện rút câu lý thuyết B kiện rút câu khó Dễ thấy P( A)  13 17 , P ( B )  , P( AB)  40 40 40 Nếu biết B xảy (nghĩa câu hỏi rút số 17 câu khó) xác suất để câu hỏi lý thuyết (tức câu hỏi số câu hỏi lý thuyết khó) xác suất có điều kiện kiện A điều kiện B xảy Vậy P( A / B )  P( AB ) / 40 13   P( A)  P ( B ) 17 / 40 17 40 Bài 3: Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối Tính xác suất để tổng số chấm xuất hai súc sắc  10, biết có nốt Hướng dẫn Gọi A biến cố nốt   11 P ( A)   P ( A)        36 Gọi B biến cố tổng số chấm hai  10, trường hợp xảy B = {(4; 6), (6; 4), (5; 5), (5; 6), (6;5), (6; 6)} Biến cố AB có trường hợp xảy {(5; 5), (5; 6), (6;5)}, có xác suất: P ( AB )  P ( AB) / 36   Vậy xác suất cần tìm là: P( B / A)  36 P ( A) 11/ 36 11 15 Những toán xảy xác suất có điều kiện thường kèm với việc sử dụng dụng quy tắc nhân xác suất, gặp toán dạng ta cần lưu ý đến độc lập hay phụ thuộc biến cố để vận dụng công thức Bài 4: Chọn ngẫu nhiên cỗ 52 lá, ghi nhận kết trả lại cỗ rút khác Tính xác suất để bích Hướng dẫn Gọi A biến cố “chọn thứ bích” B biến cố “chọn thứ hai cơ” Ta biết A B hai biến cố độc lập ta trả lại thứ trước rút thứ hai Do xác suất cần tìm là: P(AB) = P(A).P(B) Mà P(A) = 1 1 P(B) = Vậy P(AB) = 52 52 52 52 Bài 5: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm chiếc, bề ngồi chúng giống hệt có mở kho Anh ta thử ngẫu nhiên chìa (chìa khơng trúng bỏ ra) Tính xác suất để mở kho lần thứ ba Hướng dẫn Gọi Ai biến cố “thử chìa lần thứ i” Lần thử sau thực hay không phụ thuộc vào lần thử trước có thành cơng hay khơng chìa khơng trúng bỏ nên xác suất cần tìm là: P ( A1 A2 A3 )  P ( A1 ).P ( A2 / A1 ).P ( A3 / A1 A2 )   Bài 6: Có 12 hộp sữa có hộp hư, chia làm gói gói hộp Tính xác suất để gói có hộp hư Hướng dẫn Gọi Ai biến cố “gói thứ i có hộp hư” B biến cố cần tìm xác suất Để gói có hộp hư biến cố Ai phải xảy đồng thời Áp dụng quy tắc nhân ta có: 16 C31  C93 C21  C63 C11  C33 P(B)  P( A1.A2.A3 )  P( A1).P( A2 / A1).P( A3 / A1 A2 )  C124 C84 C44 Bài 7: Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A lần bắn Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng 10 B lần bắn Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn 10 Hướng dẫn Gọi A1 biến cố xạ thủ A bắn trượt lần bắn thứ P ( A1 )  10 Gọi A2 biến cố xạ thủ A bắn trượt lần bắn thứ hai P ( A )  10  A1, A2 hai biến cố độc lập A  A1  A2 biến cố xạ thủ A bắn trượt hai lần bắn P ( A )  P ( A1 ).P ( A2 )  ( ) 10 Tương tự: B  B1  B2  B3 biến cố xạ thủ B bắn trượt ba lần bắn P ( B )  P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 )  ( ) 10 A, B độc lập, A  B biến cố xạ thủ A xạ thủ B bắn trượt hay A  B biến cố “Mục tiêu khơng trúng đạn” Vậy xác suất cần tìm: 32 P ( A  B )  P ( A).P ( B )  10 Nhận xét: Để giải toán áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta cần: - Gọi tên biến cố thành phần có liên quan; - Gọi tên biến cố cần tìm xác suất - Sử dụng biến cố tích, biểu diễn biến cố cần tìm xác suất với biến cố liên quan; cần phân tích kỹ tốn để đưa mối quan hệ (thường toán 17 gồm nhiều giai đoạn có liên kết với nhau, tất biến cố liên quan xảy cách đồng thời) - Kiểm tra tính độc lập biến cố, tính xác suất thành phần áp dụng quy tắc nhân để tính xác suất theo yêu cầu Sử dụng kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân tốn xác suất: Trong cơng thức cộng xác suất lại xuất xác suất biến cố tích, biến cố xung khắc xác suất biến cố tích Tuy nhiên có nhiều trường hợp khơng có xung khắc ta phải áp dụng quy tắc nhân để tính xác suất biến cố tích Ngồi ra, có toán phải sử dụng kết hợp quy tắc nhân cộng để tìm xác suất biến cố Bài 1: Một chàng trai viết thư cho bạn gái, đãng trí nên bỏ thư vào phong bì cách ngẫu nhiên Tính xác suất để có nhận thư viết cho Hướng dẫn Nếu gọi Ai (i = 1, 2, 3) kiện thứ i nhận thư Khi kiện B có nhận thư viết cho biểu diễn A1 + A2 + A3, áp dụng công thức cộng xác suất ta có: P( B)  P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 A2 )  P( A2 A3 )  P ( A3 A1 )  P ( A1 A2 A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 ) P( A2 / A1 )  P ( A2 ) P ( A3 / A2 )  P( A3 ) P( A1 / A3 )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) 1 1 1 1 1 1         3 3 3 3 Bài 2: Một hộp đựng hạt giống có 12 hạt loại A hạt loại B Chọn ngẫu nhiên có thứ tự khơng hồn lại hạt để gieo vào vị trí khác Tìm xác suất để có: a Đúng hạt loại B gieo b Ít hạt loại B gieo Hướng dẫn 18 Thay sử dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất, ta gọi: H i biến cố hạt lấy lần thứ i hạt loại B a Gọi E biến cố có hạt loại B gieo E  H1 H H  H1 H H  H1 H H Các biến cố tích H1 H H , H1 H H , H1 H H xung khắc có thay đổi lần lấy sau hạt giống lấy khơng hồn lại, nên xác suất: P( E )  P( H1 H H )  P( H1 H H )  P( H1 H H )  P ( H1 ).P( H / H1 ).P( H / H1 H )  P( H1 ).P ( H / H1 ).P( H / H1 H )  P ( H1 ).P( H / H1 ).P( H / H1 H )  12 11 12 11 12 11    0, 46317 20 19 18 20 19 18 20 19 18 b Gọi F biến cố có hạt loại B gieo Để có hạt loại B gieo, tức không xảy trường hợp ba hạt loại A Do vậy, thay liệt kê hết trường hợp xảy biến cố F, ta sử dụng biến cố đối: F  H1 H H P( F )   P( H1 H H )   P( H1 ).P( H / H1 ).P( H / H1 H ) 1 12 11 10  0,80702 20 19 18 Nhận xét: Thông thường toán dạng này, xác suất biến cố thành phần cho trước, để tính xác suất yêu cầu ta cần biểu diễn kiện cần tìm xác suất dạng tổng, tích biến cố thành phần kiểm tra tính độc lập, xung khắc biến cố Bài 3: Có người chơi bóng rổ, người ném Giả sử xác suất ném trúng rổ người 0,5; 0,6; 0,7 Tính xác suất để có người ném trúng rổ Hướng dẫn Gọi Ai (i = 1, 2, 3) kiện người thứ i ném trúng rổ, người ném trúng hay không không ảnh hưởng đến việc ném người khác nên ta có {A1, 19 A2, A3} họ kiện độc lập toàn thể gọi B kiện có người ném trúng rổ B = A1 + A2 + A3 Áp dụng công thức cộng xác suất ta được: P( B)  P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 A2 )  P( A2 A3 )  P( A3 A1 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 ) P( A2 )  P( A2 ) P( A3 )  P( A3 ) P( A1 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,  0,  0,  0, 5.0,  0, 6.7  0, 7.0,  0,5.0, 6.0,  0,94 cách khác, Ai kiện bù Ai P( B)  P( A1  A2  A3 ) 1  P( A1 A2 A3 ) 1  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1  (1  P( A1 )).(1  P( A2 )).(1  P( A3 ))   0,5.0, 4.0,3  0,94 Bài 4: Tỉ lệ đất có quyền sử dụng xã X Y 60% 80% Chọn ngẫu nhiên xã lơ để kiểm tra Tính xác suất để được: a Một lơ có quyền sử dụng b Ít lơ có quyền sử dụng Hướng dẫn Gọi A, B biến cố lô chọn xã X,Y có quyền sử dụng Vì tỉ lệ đất có quyền sử dụng xã X Y 60% 80% nên P(A) = 0,6; P(B) = 0,8 Việc chọn lô xã X, Y khác nên A, B hai biến cố độc lập a Gọi M biến cố để lơ có quyền sử dụng M  AB  AB P( M )  P ( AB  AB )  P ( AB )  P ( AB )  P ( A) P ( B )  P ( A) P ( B )  P ( A).(1  P ( B ))  (1  P ( A)).P ( B )  0, 6.0,  0, 4.0,8  0, 44 b Gọi N biến cố lơ có quyền sử dụng P ( N )   P ( A.B )   P ( A).P ( B ) 1  0, 4.0,  0,92 Hoặc : 20 N  AB  AB  AB P( N )  P ( AB )  P ( AB)  P( AB )  P ( A) P ( B )  P( A) P ( B )  P ( A) P ( B)  P ( A).(1  P ( B ))  (1  P ( A)).P ( B )  P ( A).P ( B )  0, 6.0,  0, 4.0,8  0, 6.0,8  0,92 Bài 5: Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi 0,9 Nếu trượt lần đầu xác suất vượt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trượt hai lần xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Hướng dẫn Gọi Ai biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Ta có: B  A1  (A1A )  (A1 A A ) Suy ra: P(B)  P(A1 )  P(A1A )  P(A1 A A ) Vậy: P(B)  0,  0,1.0,  0,1.0,3.0,  0,979 Bài 6: Trong phịng có máy vi tính hoạt động độc lập Xác suất máy hoạt động tốt cho lần khởi động 0,7 Cho khởi động máy Tính xác suất có máy vi tính hoạt động tốt Hướng dẫn Gọi Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính i hoạt động tốt; Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính i hoạt động khơng tốt (biến cố đối lập Ai); máy vi tính hoạt động độc lập nên Ai, Ai : độc lập Ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 0,7 Nếu gọi B biến cố có máy vi tính hoạt động tốt, thì: B = A1.A2.A3 A4 + A1.A2 A3 A4 + A1 A2 A3.A4 + A1 A2.A3.A4 21 P ( B )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  0, 7.0, 7.0, 7.0,  0, 7.0, 7.0, 3.0,  0, 7.0, 3.0, 7.0,  0, 3.0, 7.0, 7.0,  C41 (0, 7)3 0,  0, 4116 Bài 7: Trong phòng có máy vi tính hoạt động độc lập Xác suất máy hoạt động tốt cho lần khởi động 0,7 Khởi động máy máy hoạt động tốt dừng Tính xác suất để: a có máy vi tính dùng đến b máy vi tính dùng đến Hướng dẫn Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính khởi động thứ i hoạt động tốt; Gọi Ai (i = 1, 2, 3, 4) biến cố máy vi tính thứ i hoạt động khơng tốt (biến cố đối lập Ai); máy vi tính hoạt động độc lập nên Ai, Ai : độc lập Ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 0,7 a Nếu gọi B biến cố có máy vi tính dùng đến, thì: B = A1 A2 A3 P ( B )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 )  0, 3.0, 3.0,  0, 063 b Trường hợp máy dùng máy bị hỏng máy cuối không bị hỏng Nếu gọi C biến cố máy vi tính dùng đến, thì: C = A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 P (C )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  0, 3.0, 3.0,3.0,  0, 3.0, 3.0, 3.0,  0, 027 Nhận xét: Trong tập ta sử dụng xen kẽ quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất quy tắc tính xác suất biến cố đối Để giải toán sử dụng kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất, ta cần: 22 - Phân tích kỹ đề bài, linh hoạt liên tưởng vào thực tế - Gọi tên biến cố thành phần có liên quan biến cố cần tìm xác suất - Biểu diễn quan hệ biến cố cần tìm xác suất với biến cố liên quan (sử dụng biến cố tổng, biến cố tích) - Kiểm tra tính độc lập, xung khắc - Xác định xác suất thành phần có liên quan xác định xác suất toán yêu cầu (việc xác định xác suất biến cố (tính trực tiếp) phức tạp nên sử dụng xác suất biến cố đối) Ngoài quy tắc nhân, xác suất có điều kiện quan trọng hai công thức Một công thức xác suất đầy đủ công thức khác công thức Bayes Sử dụng công thức xác suất đầy đủ Bayes tốn tính xác suất: Đây dạng công thức mới, chưa đề cập đến chương trình tốn lớp 11, nên đa số sinh viên gặp khó khăn vận dụng cơng thức Bài 1: Một bình đựng hạt giống có hạt loại A hạt loại B Lấy ngẫu nhiên lần thứ hạt, lần thứ hai hạt a Tính xác suất để hạt giống lấy lần hạt loại A b Biết hạt giống lấy lần hai loại A Tính xác suất để hai hạt lấy lần thứ loại B Hướng dẫn Gọi F biến cố hạt lấy lần hai loại A H0, H 1, H2 biến cố hai hạt lấy lần thứ có 0,1, hạt loại B {H0, H1, H 2} hệ đầy đủ a Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có P ( F )  P ( H ).P( F / H )  P ( H1 ).P ( F / H1 )  P( H ).P ( F / H )  C72 C71 C61 C62    0,538 C132 11 C132 11 C132 11 b Áp dụng công thức Bayes, ta được: 23 C62 P ( H ).P( F / H ) C132 11 P( H / F )    0, 227 P( F ) 0,538 Bài 2: Một trạm phát hai tín hiệu A B với xác suất tương ứng 0,85 0,15 Do có nhiễu đường truyền nên 1/7 tín hiệu A bị méo thu tín hiệu B cịn 1/8 tín hiệu B bị méo thu A a Tìm xác suất thu tín hiệu A b Giả sử thu tín hiệu A Tìm xác suất thu tín hiệu lúc phát Hướng dẫn Gọi A biến cố “phát tín hiệu A” B biến cố “phát tín hiệu B” Khi {A, B} hệ đầy đủ Gọi TA biến cố “thu tín hiệu A” TB biến cố “thu tín hiệu B” 1 P( A)  0,85; P( B )  0,15; P (TB / A)  ; P (TA / B)  a Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có xác suất thu tín hiệu A: P (TA )  P ( A).P (TA / A)  P ( B ).P (TA / B )  0,85   0,15   0, 7473 b Áp dụng cơng thức Bayes ta có: P ( A).P (TA / A)  0,975 P ( A / TA )   P (TA ) 0,7473 0,85  Bài 3: Trước đưa sản phẩm thị trường người ta vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng sản phẩm thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể mua” 69 người trả lời “không mua” Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực mua sản phẩm tương ứng với cách trả lời tương ứng 70%, 30% 1% a Hãy đánh giá thị trường tiềm sản phẩm b Trong số khách hàng thực mua sản phẩm có phần trăm trả lời “sẽ mua” Hướng dẫn 24 Gọi A biến cố “người vấn mua sản phẩm” Gọi H1, H2, H3 biến cố tương ứng với cách trả lời khách hàng vấn: H1 – người trả lời “sẽ mua” H2 – người trả lời “có thể mua” H3 – người trả lời “khơng mua” H1, H 2, H3 hệ đầy đủ biến cố với xác suất tương ứng 34 97 69 , , 200 200 200 Các xác suất điều kiện P ( A / H1 )  0,7; P( A / H )  0,3; P( A / H )  0,01 a.Theo công thức xác suất đầy đủ P ( A)  34 97 69 0,  0,  0, 01  0, 268 200 200 200 Vậy thị trường tiềm sản phẩm 26,8% b Theo công thức Bayes P( H1 / A)  P ( H1 ).P( A / H1 ) 0,17.0,7   0, 444  44, 4% P ( A) 0, 268 Bài 4: Có trạm điện thoại có ba điện thoại, số có không hoạt động, luôn hoạt động lại hoạt động với xác suất Trên đường đến thành phố ngày, muốn xác định điện thoại đáng tin cậy, tơi sử dụng vào lúc tơi trở lại Trạm khơng có bên trong, tơi thử điện thoại khơng hoạt động Tơi thử điện thoại khác hai lần liên tiếp hoạt động hai lần Tính xác suất mà điện thoại thứ hai điện thoại đáng tin cậy Hướng dẫn Gọi A kiện: Điện thoại thử không hoạt động thứ hai hoạt động tin cậy lần thử thứ hai Rõ ràng: P(A/máy thử tin cậy) = 0; P(A/máy thử hai tin cậy) = P(máy thử không hoạt động/máy thử hai tin cậy) +  P(máy thử hoạt động nửa thời gian/máy thử hai tin cậy) 25 = 1    2 P(A/máy thử ba tin cậy) = gian/máy thử ba tin cậy) = 1   P(máy thử hoạt động nửa thời 2 Vậy xác suất yêu cầu P(máy thử hai tin cậy/ A) là: 1/  /  / 1/  (0  /  1/ 8) Bài 5: Giả sử tỉ lệ người dân tỉnh Q nghiện thuốc 20%; tỉ lệ người bị bệnh phổi số người nghiện thuốc 70%, số người không nghiện thuốc 15% Hỏi ta gặp ngẫu nhiên người dân tỉnh Q khả mà người bị bệnh phổi bao nhiêu? Nếu biết người mà ta gặp bị bệnh phổi, tìm xác suất người nghiện thuốc Hướng dẫn Ký hiệu N kiện người nghiện thuốc lá, kiện người không nghiện thuốc lá, {N, } đầy đủ, B kiện người bị bệnh phổi Để người mà gặp bị bệnh phổi người nghiện thuốc khơng nghiện thuốc lá, theo công thức xác suất đầy đủ : P ( B )  P ( B / N ).P ( N )  P ( B / N ).P ( N )  0, 7.0,  0,15.0,8  0, 26 hay tỉ lệ người bị bệnh phổi tỉnh Q 26% Xác suất mà người nghiện thuốc biết bị bệnh phổi P(N/B), để tính ta dùng cơng thức Bayes: P( N / B)  P ( B / N ).P ( N ) 0, 7.0,   0,54 P ( B) 0, 26 Như số người bị bệnh phổi tỉnh Q, có khoảng 54% số người nghiện thuốc Nhận xét: Qua tập dạng này, thấy công thức xác suất đầy đủ Bayes áp dụng trường hợp việc toán đề cập đến gồm 26 nhiều giai đoạn có liên đới trình xảy Khi áp dụng giải, biến cố cần tìm xác suất chi phối hệ đầy đủ biến cố trước Vì vậy, để giải tốn xác suất dạng này, ta cần: - Phân tích kỹ đề bài, linh hoạt liên tưởng vào thực tế - Xác định nhóm biến cố đầy đủ giai đoạn đầu việc toán đưa - Gọi tên biến cố xảy giai đoạn sau liên quan đến nhóm biến cố đầy đủ xác định trước - Xác định xác suất biến cố hệ đầy đủ, xác suất có điều kiện biến cố giai đoạn sau với biến cố hệ đầy đủ - Áp dụng cơng thức đầy đủ biến cố cần tìm xác suất biến cố xảy giai đoạn sau; biết biến cố xảy giai đoạn sau, để xác định xác suất biến cố giai đoạn trước liên quan đến biến cố giai đoạn sau ta sử dụng cơng thức Bayes Trên số tốn tổng hợp biên soạn cách có hệ thống nhằm giúp người học củng cố kiến thức học tập nghiên cứu toán xác suất qua áp dụng chúng, sâu tìm hiểu phương pháp thích hợp cho tình cụ thể Hy vọng tài liệu tham khảo cho muốn tìm hiểu giải tốn xác suất Tác giả Ths Huỳnh Thị Kim Phượng 27