BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP VÀ ỨNG DỤNG

Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP VÀ ỨNG DỤNG GS TS Trần Vũ Thiệu Khoa Toán – Tin, Đại học Thăng Long Email: trvuthieu@gmail.com Tóm tắt Báo cáo đề cập tới toán tối ưu hai cấp có dạng: (BPP) {F(x, y) | x ∈ X, G(x, y) ≤ 0, y ∈ argmin {f(x, y) | y ∈ Y, g(x, y) ≤ 0}}, X ⊆ »n, Y ⊆ »m, F, G, f, g : »n+m → » Đây toán qui hoạch toán học theo hai nhóm biến x ∈ »n, y ∈ »m ràng buộc toán này, y nghiệm toán tối ưu thứ hai (với y véctơ biến x vectơ tham số) Bài toán tối ưu hai cấp nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, ý nghĩa khoa học khả ứng dụng toán Bài trình bày nội dung, nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, tính chất đáng ý toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính Cuối cùng, báo cáo nêu số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp kinh tế, phân bổ nguồn lực, thiết kế mạng vận tải thị trường lượng Từ khóa Tối ưu hai cấp, toán tối ưu tuyến tính hai cấp, toán nhiều mục tiêu, qui hoạch toán học, trò chơi Stackelberg Bài toán tối ưu hai cấp Bài toán tối ưu hai cấp (Bilevel Programming Problem, viết tắt BPP) nảy sinh từ nhiều ứng dụng khác vận tải, kinh tế, sinh học, kỹ thuật, v.v Tối ưu hai cấp xuất sách báo, tạp chí thường có liên quan đến hệ thống phân cấp Tối ưu hai cấp bao gồm hai toán tối ưu, phần liệu toán thứ xác định ẩn thông qua nghiệm toán thứ hai Người định cấp cố gắng tối ưu hóa (cực tiểu hay cực đại) hàm mục tiêu riêng cấp mà không để ý tới mục tiêu cấp kia, định cấp lại ảnh hưởng tới giá trị mục tiêu hai cấp tới không gian định nói chung Để làm ví dụ, ta xét tình thực tế sau lĩnh vực giao thông đường bộ: Mạng giao thông đường vùng (miền Bắc chẳng hạn), gồm nhiều đường quốc lộ đường liên tỉnh, liên kết với nối liền nhiều tỉnh, thành phố Cơ quan quản lý (cấp trên) dự tính thu lệ phí số tuyến đường hệ thống mục tiêu mong muốn tối đa hóa số tiền thu Với mức thu phí đề ra, người tham gia giao thông (cấp dưới) đáp lại tìm hành trình lại cho làm cực tiểu tổng chi phí bỏ ra, có tính toán, cân nhắc yếu tố có liên quan thời gian, khoảng cách, hao phí xăng xe, lệ phí lựa chọn hành trình tối ưu, tham gia giao thông hệ thống Nếu cấp đặt lệ phí cao, người tham gia giao thông từ chối chọn tuyến đường có chi phí đắt hệ quan quản lý thu kinh phí Vậy toán đặt cho quan quản lý (cấp trên) đặt mức lệ phí tuyến đương mức thu có lợi (thu nhiều tiền nhất)? Sau phát biểu toán học số dạng toán tối ưu hai cấp • Bài toán tối ưu hai cấp mục tiêu: Trường Đại học Thăng Long 112 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I  G ( x , y) ≤ 0, x ∈ X,  min f ( x , y) F(x, y) với điều kiện  , y nghiêm  y x ,y   g( x , y) ≤ 0, y ∈ Y  (BPP) X ⊂ »n, Y ⊂ »m, F, f : X×Y → » hàm mục tiêu toán (bài toán cấp trên) toán (bài toán cấp dưới), G, g : X×Y → » hàm ràng buộc Ta thấy (BPP) toán qui hoạch toán học có chưa toán tối ưu ràng buộc • Khi F, f G, g hàm tuyến tính afin, (BPP) gọi toán tối ưu tuyến tính hai cấp (Bilevel Linear Programming Problem, viết tắt BLPP) hay trò chơi Stackelberg tuyến tính (Linear Stackelberg Game) • Khi F f véctơ hàm (hàm giá trị véctơ), tức F : »n×»m → »p f : »n×»m → »q, ta có toán tối ưu đa mục tiêu hai cấp (Bilevel Multi-Objective Programming Problem, viết tắt BMOPP) Các toán tối ưu hai cấp, cấp có hàm mục tiêu (bài toán (BPP)) nhiều người nghiên cứu Với toán mà mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính (bài toán (BLPP)), có số kết lý thuyết, ứng dụng phương pháp giải cụ thể Tuy nhiên, toán tối ưu hai cấp, cấp có nhiều hàm mục tiêu (bài toán (BMOPP)) đề cập tới tài liệu Sự thiếu vắng nghiên cứu có lẽ có khó khăn định tìm kiếm xác định nghiệm tối ưu Trong toán hai cấp, cấp quyền điều khiển (chọn giá trị) số biến định cấp Mỗi cấp đề định nhằm tối ưu hóa mục tiêu riêng cấp mình, nhiên giá trị hàm mục tiêu thường phụ thuộc phần biến cấp điều khiển Sự tương tác hai cấp phản ánh tình xây dựng định theo kiểu phi tập trung hóa, nghĩa cấp cao (cấp trên, lãnh đạo hay chủ cái) gây ảnh hưởng không lệnh hay ép buộc cấp (người quyền hay người chơi) lựa chọn Khả ứng dụng tối ưu hai cấp bị hạn chế nhiều khó khăn tính toán toán hai cấp thường không lồi, thuộc lớp toán NP-khó thiếu thuật toán giải hiệu Ví dụ Sau ví dụ đơn giản toán tối ưu hai cấp: Tìm x, y ∈ » cho F(x, y) = x - 2y x ,y với điều kiện - x + 3y - ≤ với x ∈ » y nghiệm cực tiểu toán {f(x, y) = x + y : x - y ≤ 0, - x - y ≤ 0} y Tập chấp nhận toán cấp phụ thuộc x, ký hiệu S(x) với S(x) = {y ∈ » : x - y ≤ 0, - x - y ≤ 0} = {y ∈ » : y ≥ |x|} Trường Đại học Thăng Long 113 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I Tập nghiệm cực tiểu toán cấp dưới, ký hiệu P(x), xác định P(x) = {y : y ∈ argmin {x + y : y ∈ S(x)}} = {y : y = |x|} Bài toán tối ưu hai cấp viết lại thành {x - 2y : - x + 3y - ≤ 0, y ∈ P(x)} x ,y Tập chấp nhận M = {(x, y) : - x + 3y - ≤ 0, y ∈ P(x)} toán hai cấp gọi miền cảm sinh Nói chung, miền thường không lồi, không liên thông chí rỗng Ở ví dụ này, miền cảm sinh toán hai cấp không lồi, liên thông Đó tập M = {(x, y) : - x + 3y - ≤ 0, y ∈ P(x)} = {(x, y) : - x + 3y - ≤ 0, y = |x|} = {(x, y) : y = - x, - ≤ x ≤ 0} ∪ {(x, y) : y = x, ≤ x ≤ 2} Nếu ràng buộc toán hai cấp nêu đổi thành - x + 3y - ≤ 0, - y + 0,5 ≤ miền cảm sinh toán trở thành tập không lồi không liên thông: M = {(x, y) : y = - x, - ≤ x ≤ - 0,5} ∪ {(x, y) : y = x, 0,5 ≤ x ≤ 2} Trong hai trường hợp, toán hai cấp có hai điểm cực tiểu địa phương (- 1, 1) (2, 2), điểm (- 1, 1) cực tiểu toàn cục toán với Fmin= F(- 1, 1) = - Nguồn gốc toán tối ưu hai cấp A Xuất phát từ lý thuyết qui hoạch toán học Phát biểu toán tối ưu hai cấp xuất báo: "Bracken J and McGill J., Mathematical Programs with Optimization Problems in the Constraints, Operations Research 21 (1973), 37 - 44", tên gọi tối ưu hai cấp nhiều cấp thức sử dụng lần đầu báo cáo: "Candler W and Norton R., Multilevel Programming, Tech Rep 20, World Bank Development Research Center,Washington D.C., 1977" Tuy nhiên, sau thập kỷ 80 kỷ 20, toán tối ưu hai cấp nhiều cấp bắt đầu nhận ý thực phát triển B Xuất phát từ lý thuyết trò chơi Được thúc đẩy lý thuyết trò chơi Stackelberg (Stackelberg H., The Theory of the Market Economy, Oxford University Press, 1952), số tác giả đẩy mạnh nghiên cứu tối ưu hai cấp qua thúc đẩy phát triển tối ưu hai cấp cộng đồng qui hoạch toán học Một số khái niệm tối ưu hai cấp hay nhiều cấp bắt nguồn từ thuật ngữ dùng lý thuyết trò chơi chủ cái, người chơi, chiến lược, xung đột, cạnh tranh, cân bằng, Mỗi trò chơi thường bao gồm nhiều người chơi, người chơi có số cách chơi hay chiến lược chơi phải nộp (hay nhận) số tiền trả tương ứng với cách chơi Đơn giản trò chơi hai người với tổng hay gọi trò chơi đối kháng Trong trò chơi này, số tiền Trường Đại học Thăng Long 114 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I thắng người số tiền thua người lập nên ma trận trả tiền Mỗi người chơi biết thông tin cách chơi người số tiền trả tương ứng Cả hai định (công bố chiến lược chơi) luc Hai người chơi độc lập không hợp tác với Các trò chơi dân gian trò chơi tung đồng xu, trò chơi gieo xúc sắc trò chơi "Giấy Búa - Kéo" (hay trò chơi "One - Two - Three") thuộc loại trò chơi đối kháng, hai đấu thủ Tiếp theo trò chơi song ma trận với hai người chơi, số tiền thắng người khác số tiền thua người kia, người chơi trả tiền theo ma trận riêng Hai người chơi định theo thứ tự qui định (người trước, kẻ sau) Mục đích người chơi tìm chiến lược chơi đem lại lợí ích cao (hay chi phí thấp nhất) cho người chơi Trạng thái trò chơi mà không người chơi lợi người đơn phương thay đổi chiến lược chơi mình, đối phương giữ nguyên chiến lược chơi họ, gọi nghiệm cân Nash (Nash equili-brium) Phát triển tiếp trò chơi Stackelberg với qui tắc chơi khác Người chơi giữ quyền định trước gọi chủ (leader) Những người chơi sau đáp trả lại định (chiến lược) chủ gọi người chơi thứ cấp (followers) Hành động người chơi tác động đến hàm mục tiêu (lợi ích hay chi phí) lựa chọn định người kia, ngược lại Theo quan điểm qui hoạch toán học, trò chơi Stackelberg toán tối ưu hai cấp, theo nghĩa có toán mức (chủ hành động trước, cố gắng tối ưu hóa mục tiêu mình) toán mức (những người chơi thứ cấp hành động sau chủ cái, tìm cực tiểu chi phí hay cực đại lợi ích riêng họ) Trong thực tế, thường chủ hãng lớn trội thị trường cạnh tranh người chơi lại hãng kinh doanh nhỏ thị trường Tính chất toán tối ưu hai cấp Lý thuyết tối ưu hai cấp nghiên cứu tồn nghiệm tính chất nghiệm toán, điều kiện cần tối ưu, thuật toán tìm nghiệm độ phức tạp toán Người ta chứng minh toán tối ưu tuyến tính hai cấp, hàm tuyến tính, toán NP-cực khó, theo nghĩa toán giải thuật toán thời gian đa thức nhiều toán khó khác giải thuật toán thời gia đa thức Cũng dễ dàng xây dựng toán tối ưu hai cấp tuyến tính có số điểm cực tiểu địa phương tăng theo cấp hàm mũ theo số biến toán Nhiều kết lý thuyết đáng ý khác chứng minh mối liên hệ tối ưu hai cấp với lĩnh vực khác qui hoạch toán học Chẳng hạn, toán minimax, toán qui hoạch tuyến tinh, qui hoạch nguyên, qui hoạch song tuyến tính qui hoạch toàn phương trường hợp riêng toán tối ưu hai cấp Các lớp toán khác toán tối ưu đa mục tiêu, toán Stackelberg tĩnh có quan hệ mật thiết vối toán tối ưu hai cấp Có thuật toán điểm cực biên cho toán hai cấp tuyến tính, thuật toán nhánh cận thuật toán xoay vần bù tìm cực tiểu toàn cục cho toán với cấp tuyến tính, cấp tuyến tính lồi toàn phương, phương pháp hướng giảm phương pháp phạt tìm cực tiểu địa phương cho toán hai cấp phi tuyến Trường Đại học Thăng Long 115 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I Ta có toán tối ưu hai cấp nguyên biến x, y hai bị hạn chế nhận giá trị nguyên Nếu thay toán cấp toán bất đẳng thức biến phân, ta có toán tối ưu hai cấp suy rộng, thường gọi toán tối ưu với ràng buộc cân • Về tồn nghiệm: + Bài toán tối ưu hai cấp nghiệm Ví dụ nêu cho thấy điều + Với hàm mục tiêu F, f hàm ràng buộc G, g liên tục, bị chặn không đảm bảo toán có nghiệm Ví dụ (Bard, 1998) Xét bàu toán tơi ưu hai cấp (BPP) với liệu {F(x, y) = (2y1 + 3y2)x1 + (4y1 + y2)x2} x ,y với điều kiện x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, với x thỏa mãn điều kiện trên, y nghiệm tối ưu toán {f(x, y) = - (x1 + 3x2)y1 - (4x1 + 2x2)y2 : y1 + y2 = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0} y Nghiệm tối ưu yˆ toán tối ưu cấp hàm biến x có dạng x + 3x > x + x hay x < 14 , (1, 0)  yˆ (x) =  y1 + y = x = 14 ,  (0, 1) x 1> 14  Thay giá trị vào hàm mục tiêu toán cấp ta nhận ; x < 14  x1 + 4x  F =  y1 + 32 (0 ≤ y1 ≤ 1) ; x = 14 x 3x + X ; x 1> 14  với điều kiện x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ Hình Không gian nghiệm cấp Tính toán cho thấy x = ( 14 , Hình Nghiệm tối ưu cấp ) giá trị mục tiêu cấp f = - 2,5 đạt điểm đoạn thẳng y1 + y2 = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ Giá trị tối ưu tương ứng cấp Trường Đại học Thăng Long 116 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I F = 2y1 + , F ∈ [ 32 , ] (do ≤ y1 ≤ 1) Vì thế, cấp cách đảm bảo cho họ đạt số tiền trả cực tiểu Cho nên trường hợp toán vô nghiệm • Thứ tự định: + Thứ tự định trước, định sau quan trọng + Vai trò cấp cấp không đổi cho (bài toán không đối xứng) Ví dụ (đảo lại thứ tự toán so với Ví dụ 2) cho thấy toán có nghiệm {f(x, y) = - (x1 + 3x2)y1 - (4x1 + 2x2)y2} x ,y với điều kiện y1 + y2 = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, với y thỏa mãn điều kiện trên, x nghiệm tối ưu toán {F(x, y) = (2y1 + 3y2)x1 + (4y1 + y2)x2 : x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} y Nghiệm tối ưu xˆ toán tối ưu cấp hàm biến y có dạng y1 + 3y < y1 + y hay y1 > 12 , (1, 0)  xˆ (y) = x + x = y1 = 12 ,  (0, 1) y1< 12  Thay giá trị vào hàm mục tiêu toán cấp ta nhận ; y1 > 12  − y1 − y  f = − (3 − x ) y1 − (2 x + 2) y ; y1 = 12 y  − 3y − y ; y1< 12  với điều kiện Hình Không gian nghiệm cấp y1 + y2 = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ Hình Nghiệm tối ưu cấp Tại y* = ( 12 , 12 ) giá trị tối ưu toán cấp F = 2,5 đạt điểm đoạn thẳng x1 + x2 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ Trường Đại học Thăng Long 117 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I Bảng So sánh nghiệm hai Ví dụ Ví dụ Ví dụ Nghiệ mx ( 14 , Chi phí x1 + x2 =1 Điểm cân ( 14 , ) ) 1,5 2,5 2,5 (0, 1) ( 12 , ( 12 , 12 ) - 2,5 - 2,5 F Nghiệ my Chi phiis f - 2,5 ) Tóm lại, toán tối ưu hai cấp (BPP) có tính chất đáng ý sau • Nói chung, tối ưu hai cấp toán tối ưu không lồi không liên thông • Bài toán hai cấp nghiệm tối ưu hay nghiệm Pareto có nhiều mục tiêu • Bài toán cấp cấp đổi chỗ cho nhau, nghĩa thứ tự theo định đưa quan trọng • Trường hợp tuyến tính toán NP-khó, có nhiều cách diễn tả cách giải • Các tính chất cho toán với hàm liên tục bị chặn Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp có dang: F(x, y) = c1x + d1y (BLPP) x ,y với điều kiện  A1 x + B1 y ≤ b1 , x ∈ X,  f ( x , y) = c x + d y ,  y nghiêm  y   A x + B y ≤ b , y ∈ Y  X ⊂ »n, Y ⊂ »m, x, c1, c2 ∈ »n, y, d1, d2 ∈ »m, A1, A2, B1, B2 b1, b2 ma trận véctơ có kích thước thích hợp Ta nêu số định nghĩa: • Miền ràng buộc toán (BLPP): S = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y, A1x + B1y ≤ b1, A2x + B2y ≤ b2} • Tập chấp nhận toán cấp với x ∈ X cố định: S(x) = {y ∈ Y : B2y ≤ b2 - A2x} • Tập nghiệm tối ưu (còn gọi tập phản ứng có lý trí) toán cấp dưới: P(x) = {y ∈ Y : y ∈ argmin{f(x, y) : y ∈ S(x)}} • Tập chấp nhận (còn gọi miền cảm sinh) toán (BLPP): Trường Đại học Thăng Long 118 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I M = {(x, y) ∈ S : y ∈ P(x)} Khi S P(x) khác rỗng, toán (BLPP) viết lại thành toán tối ưu cấp thông thường: {F(x, y) : (x, y) ∈ S, y ∈ P(x)} = {F(x, y) : (x, y) ∈ M} Các khái niệm minh họa qua ví dụ số sau Ví dụ Xét toán tối ưu hai cấp F(x, y) = x - 4y x≥0 với điều kiện {f(y) = y : - x - y ≤ - 3, - 2x + y ≤ 0, 2x + y ≤ 12, - 3x + 2y ≤ - 4} y≥0 Với toán tập S, S(x), P(x) miền cảm sinh M vẽ Hình Hình Minh họa tập S, S(x), P(x) M Ví dụ • Người ta chứng minh (xem Bard J F., Practical Bilevel Optimization: Applica-tions and Algorithms, Kluwer Academic Press, 1998) Định lý Tập chấp nhận M toán (BLPP) tập nghiệm ràng buộc đẳng thức tuyến tính khúc tạo nên giao S vơi số siêu phẳng tựa S Định lý Nghiệm tối ưu (x*, y*) toán (BLPP) đạt đỉnh tập S Các định lý sử dụng thuật toán liệt kê đỉnh Candler Townsley đăng tạp chí Computers and Operations Research, (1982) Ngoài ra, cách tiêp cận dựa phương pháp đơn hình nhiều phương pháp phạt khác đề xuất • Sau nêu cách tiếp cận sử dụng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) Cách tiếp cận thay toán tối ưu cấp điều kiện KKT: Cố định x = xˆ , điều kiện KKT cho điểm tối ưu địa phương y* toán Trường Đại học Thăng Long 119 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I {f( xˆ , y) : g( xˆ , y) ≤ 0} y ∇yf( xˆ , y*) - µΤ∇yg( xˆ , y*) = 0, µΤg( xˆ , y*) = 0, µ ≥ Bài toán cấp {f(x, y) = c2x + d2y : A2x + B2y ≤ b2, y ≥ 0} = y∈ Y {f(x, y) = c2x + d2y : b2 - A2x - B2y ≥ 0, y ≥ 0} y∈ Y thay điều kiện KKT (các biến đối ngẫu u, v véctơ hàng): d2 + uB2 - v = 0, u(b2 - A2x - B2y) + vy = 0, u, v ≥ Khi viết lại toán (BLPP) thành (theo biến x, y, u, v) {F(x, y) = c1x + d1y} x ∈X với điều kiện A1x + B1y ≤ b1, uB2 - v = - d2, u(b2 - A2x - B2y) + vy = 0, A2x + B2y ≤ b2, x ≥ 0, y ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ • Còn có cách diễn đạt khác cho toán (BLPP): Thay tập nghiệm toán cấp cách mô tả thông qua hàm giá trị tối ưu Tuy nhận toán tương đương, hàm giá trị tối ưu thường không trơn, kể hàm toán tuyến tính afin {F(x, y) : G(x, y) ≤ 0, g(x, y) ≤ 0, f(x, y) - ϕ (x) ≤ 0}, x ∈ X, y ϕ(x) := {f(x, y) : g(x, y) ≤ 0} y Để hàm giá trị tối ưu xác định, toán cấp phải có nghiệm với x Một số hướng ứng dụng Mô hình toán tối ưu hai cấp thường áp dụng vào hệ thống có cấu trúc phân cấp, định cấp có ảnh hưởng tới định cấp mà không cần can thiệp trực tiếp vào hoạt động cấp hàm mục tiêu phận phụ thuộc phần vào biến bị điều khiển phận khác, hoạt động cấp cao hay cấp thấp Tối ưu hai cấp áp dụng công tác lập kế hoạch phát triển kinh tế, xã hội cho vùng lãnh thổ hay quốc gia: cấp nhà nước nắm quyền điều khiển biến sách biểu thuế, tỉ giá, côta nhập khẩu, nhằm mục tiêu tạo nhiều việc làm, cực tiểu Trường Đại học Thăng Long 120 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I nguồn lực sử dụng, v.v Cấp công ty với mục tiêu tối đa hóa thu nhập ròng với ràng buộc kinh tế quản lý cấp Cũng áp dụng tối ưu hai cấp phân bổ nguồn lực (Resource Allocation) hãng hay công ty có phân cấp quản lý Cấp giữ vai trò trung tâm cung cấp nguồn lực (vốn, vật tư, lao động) nhằm đạt cực đại lợi nhuận toàn công ty Cấp nhà máy sản xuất sản phẩm địa điểm khác nhau, định tỉ lệ, sản lượng sản xuất riêng nhằm tối đa hóa hiệu suất đơn vị Cuối cùng, tối ưu hai cấp áp dụng thiết kế mạng hệ thống vận tải (Transportation System Network Design) thị trường lượng (Energy Markets) Sau mô hình đơn giản toán tối ưu hai cấp thị trường điện Giả sử có n nhà máy tham gia vào thị trường sản xuất điện năng, có nhà máy (đánh số 1) có sản lượng lớn giữ vai trò chủ đạo (chủ cái), nhà máy lại đánh số 2, 3, , n Gọi xi sản lượng điện cần sản xuất nhà máy thứ i, i = 1, 2, , n fi(xi) chi phí sản xuất nhà máy i Giá bán điện p phụ thuộc vào tổng lượng điện nhà máy sản xuất Nhà máy công bố mức sản lượng trước nhà máy khác phản ứng lại số lượng Mỗi nhà máy mong muốn tối đa hóa lợi nhuận thu (số tiền bán điện sau trừ chi phí sản xuất) Khi đó, toán tối ưu hai cấp đặt n max {x1p( ∑ x i ) - f1(x1)} x1 i =1 với điều kiện n xi ∈ arg max {xip( ∑ x i ) - fi(xi)}, i = 2, , n xi i =1 Kết luận Trên trình bày ngắn gọn số kiến thức toán tối ưu hai cấp, lớp toán qui hoạch toán học thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước Phân tích nội dung, nguồn gốc toán tính chất cần biết toán, nhằm giúp việc tìm hiểu, học tập nghiên cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng Đáng ý nghiên cứu nhiều toán tối ưu hai cấp tuyến tính, hay nhiều hàm muc tiêu Tuy nhiên, khả ứng dụng tối ưu hai cấp bị hạn chế, thiếu thuật toán giải hiệu Hy vọng tương lai có nghiên cứu tổng quan sâu sắc toán quan trọng này, đặc biệt kỹ thuật xử lý toán ứng dụng cụ thể toán Tài liệu tham khảo [1] Ansari E., Zhiani Rezai H (2011), Solving Multi-objective Linear Bilevel Multifollower Programming Problem Int J Industrial Mathematics, Vol 3, No 4, 303 - 316 [2] Bard J F (1991), Some properties of the bilevel programming problem, Journal of Optimization: Theory and Applications 68, 371 - 378 [3] Colson B., Marcotte P and Savard G (2005), Bilevel Programming: A Servey A Quarterly Journal of Operations Research, 3, 87 - 107, Springer -Verlag Trường Đại học Thăng Long 121 Kỷ yếu công trình khoa học 2015 – Phần I [4] Eichfelder G (2008), Multiobjective Bilevel Optimization, Mathematical Programming, Vol 123, No.2, pp 419 - 449 [5] Fricke C., An Introduction to Bilevel Programming, Department of Mathe-matics and Statistics, University of Melbourne http://www.neevia.com [6] Pieume C O et al (2013), Generating Efficient Solutions in Bilevel Multi-Objective Programming Problems, American Journal of Operations Research 3, 289 - 298 THE BILEVEL PROGRAMMING PROBLEM AND APPLICATIONS Tran Vu Thieu Dept of Math, Thang Long University Abstract: In this report we address the bilevel programming problem of the form (BP) {F(x, y) | x ∈ X, G(x, y) ≤ 0, y ∈ argmin {f(x, y) | y ∈ Y, g(x, y) ≤ 0}}, where X ⊆ »n, Y ⊆ »m, F, G, f, g : »n+m → » This is a mathematical program involving two group of variables x ∈ »n, y ∈ »m that contains an optimization problem in its constraints: y solves the second optimization problem with x being parameters The bilevel problem attracts attention of many researchers because of its scientific meaning and abilities to apply into practice We present the formulation and the origins of the bilevel programs, some their interesting properties, in particular pay attention to a special case of the linear bilevel programming problem Finally we describe some applications in economics, resource allocation, transportation network design and to energy markets Keywords: Bilevel Programming, Bilevel Linear Programming Problem, Multiple Objective Problem, Mathematical Programming, Stackelberg Game Trường Đại học Thăng Long 122