Tìm hiểu bài toán tối ưu hàm hạng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THÙY LINH TÌM HIỂU BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM HẠNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THÙY LINH TÌM HIỂU BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM HẠNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HẢI YẾN Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn TS Lê Hải Yến Em xin chân thành cảm ơn cô Lê Hải Yến tận tình giúp đỡ em trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo, cô giáo khoa tổ Toán ứng dụng – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm giúp đỡ suốt trình em học tập hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thùy Linh i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Bài toán tối ưu hàm hạng ứng dụng”, kết nghiên cứu thân Tất số liệu kết nghiên cứu khóa luận hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Tôi xin chịu trách nhiệm kết nghiên cứu Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thùy Linh ii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU iii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm hạng ma trận 1.2 Chuẩn vectơ chuẩn ma trận 1.2.1 Chuẩn vectơ 1.2.2 Chuẩn ma trận Khái niệm giá trị kì dị 15 1.3.1 Định lí 15 1.3.2 Một số tính chất 18 1.3 Hàm lồi bao lồi 2.1 2.2 27 Tập lồi 27 2.1.1 Tập lồi 27 2.1.2 Bao lồi 30 2.1.3 Nón lồi 31 2.1.4 Định lý Caratheo’dory 31 Hàm lồi bao lồi hàm 33 2.2.1 Hàm lồi 33 2.2.2 Bao lồi hàm 35 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Nguyễn Thùy Linh Đối ngẫu Fenchel 36 2.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel (Hàm liên hợp) 36 2.3.2 Tính chất hàm liên hợp 37 Bài toán tối ưu hàm hạng ứng dụng 3.1 3.2 42 Bài toán tối ưu hàm hạng 42 3.1.1 Bài toán tối ưu hàm hạng (RMP) 42 3.1.2 Ứng dụng 43 Bao lồi hàm hạng 45 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 51 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm hạng số hàm ma trận tính chất nghiên cứu giới thiệu hầu hết tài liệu Đại số tuyến tính Bài toán tối ưu hàm hạng thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Candès, Tao, Fazel, Bài toán có ứng dụng rộng rãi việc xử lí liệu, thống kê, điều khiển, kinh tế Tuy vậy, toán tối ưu hàm hạng lại chứng minh toán NP-khó Vào năm 2002, Fazel chứng minh bao lồi hàm hạng hình cầu ứng với chuẩn phổ chuẩn nguyên tử Nhờ đó, thay giải trực tiếp toán tối ưu hàm hạng, người ta giải toán tối ưu lồi với hàm mục tiêu chuẩn nguyên tử Với tầm quan trọng trên, đề tài luận văn lựa chọn để tìm hiểu nghiên cứu về: “Bài toán tối ưu hàm hạng ứng dụng” Mục tiêu nghiên cứu Luận văn giới thiệu toán tối ưu hàm hạng ứng dụng đồng thời giới thiệu kết bao lồi hàm hạng Đối tượng nghiên cứu • Hàm hạng toán tối ưu hàm hạng • Hàm lồi bao lồi • Bao lồi hàm hạng iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày lại khái niệm Đại số tuyến tính Chương 2: Hàm lồi bao lồi, trình bày khái niệm Giải tích lồi, định lý quan trọng chương định lý 2.6 Chương 3: Bài toán tối ưu hàm hạng ứng dụng, giới thiệu toán tối ưu hàm hạng tìm hiểu cách giải cho toán dựa vào xấp xỉ bao lồi iv Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày lại số khái niệm đại số tuyến tính hạng ma trận, chuẩn véc tơ, chuẩn ma trận, ma trận trực giao, khai triển thành giá trị kì dị số tính chất phục vụ cho chương Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2], [3] 1.1 Hàm hạng ma trận Ta kí hiệu Rm×n tập hợp ma trận thực cấp m × n Xét A ∈ Rm×n A = Định nghĩa 1.1 Hạng ma trận A số tự nhiên r, ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn điều kiện sau: Tồn định thức cấp r ma trận A khác Mọi định thức cấp lớn r (nếu có) ma trận A Ta kí hiệu hạng ma trận A rank(A) Qui ước: hạng ma trận không Định nghĩa 1.2 Coi cột (dòng) ma trận A vectơ ta Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh n vectơ (m vectơ) thuộc không gian vectơ Rn (Rm ) Ta gọi hạng hệ n vectơ (m vectơ) hạng ma trận A Kí hiệu: rank(A) Nhận xét 1.1 Hai định nghĩa tương đương với Các phương pháp tìm hạng ma trận nhắc lại sau đây: Phương pháp Từ định nghĩa [1.1], ta suy thuật toán sau để tìm hạng ma trận A cấp m × n (A = 0): Bước 1: Tìm định thức cấp k, Dk = Số k lớn tốt Bước 2: Xem tất định thức cấp k + A chứa định thức Dk Không có định thức cấp k + A Khả xảy k = min{m, n} Khi đó: rankA = k Tất định thức cấp k + A chứa định thức Dk Khi đó: rankA = k Tồn định thức cấp k + A Dk+1 chứa định thức Dk khác Khi lặp lại bước với Dk+1 thay cho Dk Tiếp tục xảy trường hợp thuật toán kết thúc Ví dụ 1.1 Ta tìm hạng ma trận A phương pháp định thức:    −1 A=  1  2 1 1 3 1    3   2  Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh • Nếu x∗ > Xét hàm g(x) = x∗ x − ex Ta có: g (x) = x∗ − ex ; g (x) = −ex g (x) = ⇔ x = ln x∗ g (ln x∗ ) = −x∗ < ⇒ x = ln x∗ điểm cực đại Vậy f ∗ (x∗ ) = x∗ ln x∗ − x∗ • Nếu x∗ < x∗ x − ex nhận giá trị lớn cách lấy x số âm có giá trị tuyết đối lớn Do đó, cận +∞ • Nếu x∗ = cận Tóm lại     x∗ ln x∗ − x∗    ∗ ∗ f (x ) =      +∞ 2.3.2 x∗ > x∗ = x∗ < Tính chất hàm liên hợp Mệnh đề 2.3 f ∗ hàm lồi đóng * yếu Chứng minh Với x cố định, hàm g(x∗ ) =< x∗ , x > −f (x) hàm tuyến tính X ∗ Do đó, g(x∗ ) lồi đóng * yếu Trên đồ thị f ∗ (x∗ ) giao đồ thị hàm g(x∗ ), tức giao tập lồi đóng * yếu.Vậy, epif ∗ lồi đóng * yếu Mệnh đề 2.4 Từ định nghĩa [2.11] suy ra: f ∗∗ (x) = (f ∗ )∗ (x) = sup{< x∗ , x > −f ∗ (x∗ )} x∗ Với hàm f bất kỳ, ta có:f ∗∗ ≥ f 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Chứng minh f ∗∗ = sup{< x∗ , x > −f ∗ (x∗ )} x∗ = sup{< x∗ , x > − sup{< x∗ , x > −f (x)}} x∗ x = sup{< x∗ , x > − inf {f (x)− < x∗ , x >}} x x∗ ≤ sup{< x∗ , x > +{f (x)− < x∗ , x >}} x∗ = f (x) Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.5 Giả sử cof hàm thường Khi đó, f ∗∗ = cof Chứng minh Ta có epif ∗∗ tập lồi đóng Do f ≥ f ∗∗ , nên: epif ∗∗ ⊃ epif Do đó, epif ⊂ co(epif ) ⊂ epif ∗∗ ⇒ f ≥ cof ≥ f ∗∗ (2.4) Chú ý là: f1 ≤ f2 f1∗ ≥ f2∗ Do đó, f ∗ ≤ (cof )∗ ⇒ f ∗∗ ≥ (cof )∗∗ = cof 38 (2.5) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Từ (2.4) (2.5) suy ra: f ∗∗ = cof Định lý 2.6 Giả sử f hàm thường Rn Khi đó, n+1 n+1 n αi f (xi ) : xi ∈ R , αi ≥ 0, (cof )(x) = inf{ i=1 n+1 αi = 1, i=1 αi xi = x} i=1 (2.6) Hơn nữa, f hàm đóng domf ∗∗ tập bị chặn, thì: f ∗∗ = cof Chứng minh a) Theo định lý Caratheo’dory: n+2 n+2 n αi f (xi ) : xi ∈ R , αi ≥ 0, (cof )(x) = inf{ i=1 n n+2 αi = 1, i=1 n αi xi = x} i=1 Ta cố định xi ∈ R (i = 1, , n + 2) x ∈ R Xét toán: (P1 ) :  n+2    αi f (xi ) → inf,   i=1 n+2 n+2    αi = 1, αi xi = x  αi ≥ 0, i=1 i=1 Nghiệm toán (P1 ) tồn tại, tập chấp nhận compact hàm mục tiêu tuyến tính Để chứng minh (2.6) ta cần chứng minh rằng: giá trị toán (P1 ) hữu hạn, số nghiệm (P1 ) ta tìm nghiệm (α1 , , αn+2 ) có thành phần Giả sử (α1 , , αn+2 ) nghiệm toán (P1 ) • Nếu tồn số αi 0, ta nhận điều phải chứng minh 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh • Nếu αi > ∀i = 1, , n + Theo định lý Caratheo’dory, ta tìm α1 ≥ 0, , αn+2 ≥ không n+1 số khác 0, cho: n+2 n+2 αi = 1, i=1 n+2 i=1 n+2 αi f (xi ) ≤ Nếu αi xi = x i=1 αi f (xi ), ta có (α1 , , αn+2 ) nghiệm i=1 toán (P1 ) suy điều phải chứng minh n+2 n+2 αi f (xi ) > Nếu i=1 αi f (xi ) i=1 n+2 Đặt βi = αi − αi Khi đó, n+2 βi = 0, i=1 βi xi = i=1 Hơn với λ > đủ nhỏ, ta có: n+2 αi + λβi ≥ ∀i = 1, , n + 2; (αi + λβi ) = i=1 n+2 (αi + λβi )xi = x; i=1 n+2 n+2 (αi + λβi )f (xi ) < i=1 (αi )f (xi ), i=1 mâu thuẫn với (α1 , , αn+2 ) nghiệm toán (P1 ) b) Giả sử f hàm đóng domf ∗∗ tập bị chặn Lấy x ∈ domf ∗∗ Từ định lý 2.5 suy tồn dãy {(α1m , , αn+1,m , x1m , , xn+1,m )} cho αim ≥ 0, αim = 1, xim ∈ domf và: n+1 αim f (xim ) → f ∗∗ (x)( m → ∞) i=1 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Vì dãy {αim } {xim } bị chặn nên ta xem như: αim → αi , xim → xi m → ∞(∀i) Khi đó, αi ≥ 0, αi = 1, αi xi = x Nếu f (xim ) → +∞ với số i đó, f bị chặn nên αi → αim f (xim ) → Nếu limf (xim ) < +∞: tính đóng f ta có: f (xi ) < +∞ Vì n+1 ∗∗ αi f (xi ) ≤ limαim f (xim ) = f ∗∗ f (x) ≤ (cof )(x) ≤ i=1 Định lý chứng minh 41 Chương Bài toán tối ưu hàm hạng ứng dụng Chương trình bày toán tối ưu hàm hạng cách giải toán dựa vào bao lồi hàm hạng Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4] 3.1 3.1.1 Bài toán tối ưu hàm hạng Bài toán tối ưu hàm hạng (RMP) Ta nghiên cứu toán tối ưu hóa hàm hạng ma trận (RMP) dạng tổng quát sau: (RM P ) : Min rankX (3.1) X ∈ C, X ∈ Rm×n biến tối ưu hóa C tập lồi biểu thị ràng buộc Chúng ta biết lời giải cho toán RMP số trường hợp 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh đặc biệt Ví dụ, xấp xỉ ma trận cho trước ma trận hạng thấp theo chuẩn phổ chuẩn Frobenius RMP giải khai triển giá trị kì dị Tuy nhiên, người ta chứng minh toán RMP tính toán trực tiếp Một số ví dụ toán RMP trình bày phần 3.1.2 Ứng dụng (i) Hạng ma trận hiệp phương sai Trong phương pháp nghiên cứu liệu thống kê bậc hai, người ta phải làm việc với ma trận hiệp phương sai xấp xỉ từ liệu có nhiễu Vì có nhiễu nên ma trận hiệp phương sai thu có hạng đầy đủ Bài toán tìm ma trận hiệp phương sai hạng thấp xuất cách tự nhiên phương pháp Chúng ta thường xét mô hình tương đối đơn giản tức có vài yếu tố chi phối ma trận hiệp phương sai hay tương đương với ma trận hiệp phương sai hạng thấp Ví dụ, Min rank(Σ) ||Σ − Σ||F < Σ ≥ 0, Σ ∈ C Σ ∈ Rn×n biến tối ưu, Σ ma trận hiệp phương sai đo được, C tập lồi biểu thị thông tin cho trước giả sử đặt lên Σ ||.||F biểu thị chuẩn Frobenius ma trận 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Ràng buộc ||Σ − Σ||F < nghĩa sai số khác Σ hiệp phương sai đo theo chuẩn Frobenius, phải giá trị Ràng buộc Σ ≥ thể ma trận hiệp phương sai nửa xác định dương Trong thống kê, rankΣ tương ứng với số nhân tố mà giải thích cho Σ (ii)Tính toán ma trận nhanh Xấp xỉ ma trận hạng thấp hay sử dụng để lưu trữ kết tính toán Một ví dụ đơn giản, giả sử ta muốn tính y = Ax, A ∈ Rm×n , từ giá trị khác x, giả sử m n lớn Để thực việc này, ta cần làm mn phép nhân Nếu rankA = r A phân tích dạng A = RLT , R ∈ Rm×r , L ∈ Rn×r Do đó, y = RLT x tính với (m + n)r phép nhân Nếu r nhỏ so với m n điều giúp tiết kiệm nhiều thời gian việc tính toán Bài toán xấp xỉ ma trận đơn giản là: Min rank A ||A − A|| ≤ đó, A biến tối ưu độ dung sai Bài toán giải thông qua sử dụng SVD Tuy nhiên, thông thường ma trận A có số cấu trúc đặc biệt mà ta yêu cầu ma trận A phải có Những ràng buộc thêm làm toán khó 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Nguyễn Thùy Linh Bao lồi hàm hạng Như nói phần 3.1, RMP toán NP-khó Người ta chứng minh toán RMP tính toán trực tiếp Do đó, không hy vọng tìm kiếm phương pháp tính toán hiệu (thời gian đa thức) giải tất toán RMP cách xác Điều mà ta tìm kiếm, thay vào đó, giải toán xấp xỉ hiệu Trong phần này, tìm hiểu cách giải cho toán RMP, dựa vào xấp xỉ lồi, Fazel đưa vào năm 2002 Phương pháp không yêu cầu điểm bắt đầu, hiệu giải số cung cấp cho cận giá trị tối ưu Định lý 3.1 (Định lý chuẩn Vết Von Neumann’s) Cho A, B ma trận thực cấp n × n Khi đó: |tr(AB)| ≤ (σ(A), σ(B)) đó, σ(A) = (σ1 , , σn ) vectơ theo dòng giá trị kì dị σ1 ≥ σ2 ≥ ≥ σn A (., ) tích vô hướng Euclide Chứng minh A, B có biểu diễn tắc: n n σi (A)ui viT , B A= i=1 σi (B)ui vi T = i=1 (ui ), (viT ), (ui ), (vi T ) họ trực chuẩn Rn Hơn nữa, với sở trực chuẩn χk : n tr(AB) = (ABχk , χk ) i=1 45 (3.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Vế trái (3.2) hàm lồi (σ(A), σ(B)) vế phải (3.2) tuyến tính Do đó, σ nằm bao lồi vectơ ek = (1, , 1, 0, , 0) với k thành phần 1, k = 0, , n Chúng ta cần chứng minh (3.2) cho trường hợp σ(A) = er , σ(B) = es , r, s = 0, , n Vì tr(AB) = tr(BA), điều đủ ta xét trường hợp r ≤ s Chọn χk = ui , ta được: n r s (vl T , ui )(χj , ul )(viT , χj ) |tr(AB)| = j=1 i=1 l=1 r s (vl T , ui )(viT , ul ) = i=1 l=1 r ||ui || ||viT || = r ≤ i=1 Và trường hợp (σ(A), σ(B)) = r Định lý chứng minh Định lý đưa bao lồi hàm hạng tập hợp ma trận với chuẩn bị chặn Định lý 3.2 Trên tập δ = {X × Rm×n | ||X||2 ≤ 1}, bao lồi hàm min{m,n} φ(X) = rankX φenv (X) = ||X||∗ = σi (X) i=1 Định lý 3.2 có ngầm ý giả sử tập hợp bị chặn M, ví dụ, với X ∈ C, có ||X||2 ≤ M Bao lồi rankX 1 {X × Rm×n | ||X||2 ≤ M } ||X||∗ , rankX ≥ ||X||∗ , với M M X ∈ C Chứng minh Ta sử dụng định lí 2.6 chương để chứng minh định lí 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh Phần 1: Tính φ∗ : Liên hợp hàm rankφ, tập ma trận với chuẩn nhỏ 1, là: φ∗ (Y ) = sup (T rY T X − φ(X)) (3.3) ||X||2 ≤1 < Y, X >= T rY T X tích Rm×n Cho p = min{m, n} Bằng định lý chuẩn Vết Von Neumann’s: p T T rY X ≤ σi (Y ).σi (X) (3.4) i=1 σi (X) giá trị kì dị lớn X Nếu ta cho trước Y đẳng thức (3.4) xảy UX VX chọn với UY VY , X = UX X VXT Y = UY Y VYT khai triển SVD X Y Do φ(X) = rankX phụ thuộc vào X, nên để tìm φ∗ (Y )chúng ta chọn UX = UY VX = VY để cực đại hóa số hạng đầu Khi đó: p ∗ φ (X) = sup ( σi (Y ).σi (X) − rankX) ||X||2 ≤1 i=1 Nếu X = 0, ta có: φ∗ (Y ) = với Y r ∗ Nếu rankX = r, ≤ r ≤ p φ (Y ) = σi (Y ) − r i=1 ∗ Do đó, φ (Y ) viết sau: p r ∗ φ (Y ) = max{0, σ1 (Y ) − 1, , σi (Y ) − r, , i=1 σi (Y ) − p} i=1 Số hạng lớn tập hợp tổng tất số hạng σi (Y ) − 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh dương Ta kết luận rằng: ∗ φ (Y ) =    0    ||Y ||2 ≤ r σi (Y ) − r σr (Y ) > σr+1 (Y ) ≤ i=1 p (σi (Y ) − 1)+ = i=1 a+ phần dương a, hay a+ = max{0, a} Phần Tính φ∗∗ : liên hợp φ∗ xác định bởi: φ∗∗ (Z) = sup(T rZ T Y − φ∗ (Y )), với Z ∈ Rm×n Y Như trên, ta chọn UY = UZ VY = VZ có: p ∗∗ σi (Z).σi (Y ) − φ∗ (Y )) φ (Z) = sup( Y i=1 Ta xét hai trường hợp ||Z||2 > ||Z||2 ≥ Trường hợp Nếu ||Z||2 > 1, ta chọn σ1 (Y ) đủ lớn cho φ∗∗ (Z) → ∞ Chú ý trong: p ∗∗ σi (Z).σi (Y ) − ( φ (Z) = sup( Y r i=1 σ(Y ) − r)), i=1 với σr (Y ) > σr+1 (Y ) ≤ Hệ số φ1 (Y ) (σ1 (Z) − 1) dương Trường hợp Nếu ||Z||2 ≤ Nếu ||Y ||2 ≤ 1, φ∗ (Y ) = cận 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh đạt cho φi (Y ) = 1, i = 1, , p: p ∗∗ σi (Z) = ||Z||∗ φ (Z) = i=1 Ta rằng, ||Y ||2 > 1, giá trị cận nhỏ giá trị cho p σi (Z) xếp lại số hạng, Bằng việc cộng trừ số hạng i=1 ta có: p r σi (Z).σi (Y ) − i=1 (σi (Y ) − 1) i=1 p σi (Y ).σi (Z) − = p r i=1 r (σi (Y ) − 1) − i=1 i=1 p < σi (Z) + i=1 σi (Z) i=1 p (σi (Y ) − 1)(σi (Z) − 1) + = p p (σi (Y ) − 1)σi (Z) + i=r+1 σi (Z) i=1 σi (Z) i=1 Bất đẳng thức hai tổng đầu dòng thứ có giá trị âm Do đó: φ∗∗ (Z) = ||Z||∗ tập {Z| ||Z||2 ≤ 1} Do đó, tập này, ||Z||∗ bao lồi hàm số rankZ 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thùy Linh KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu toán tối ưu hóa hàm hạng ma trận (RMP) Dựa sở kiến thức Đại số tuyến tính định lý quan trọng liên quan đến bao lồi hàm, tìm hiểu cách giải cho toán RMP dựa vào xấp xỉ lồi đến kết luận: Bao lồi rankX {X × Rm×n | ||X||2 ≤ M } cho 1 ||X||∗ rankX ≥ ||X||∗ , với X thuộc tập lồi C M M Dù cố gắng song bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thùy Linh 50 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu – Phan Huy Khải, (2000) Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Mỵ Vinh Quang, Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 [3] Nguyễn Thị Hoàng Khuyên, (2014) Luận án Thạc sĩ, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Hà Nội [4] Maryam Fazel, (2002) Matric rank minimization with applications, PhD Thesis, Stanford University 51 ... Fenchel (Hàm liên hợp) 36 2.3.2 Tính chất hàm liên hợp 37 Bài toán tối ưu hàm hạng ứng dụng 3.1 3.2 42 Bài toán tối ưu hàm hạng 42 3.1.1 Bài toán tối ưu hàm hạng (RMP)... Luận văn giới thiệu toán tối ưu hàm hạng ứng dụng đồng thời giới thiệu kết bao lồi hàm hạng Đối tượng nghiên cứu • Hàm hạng toán tối ưu hàm hạng • Hàm lồi bao lồi • Bao lồi hàm hạng iii Khóa luận... vậy, toán tối ưu hàm hạng lại chứng minh toán NP-khó Vào năm 2002, Fazel chứng minh bao lồi hàm hạng hình cầu ứng với chuẩn phổ chuẩn nguyên tử Nhờ đó, thay giải trực tiếp toán tối ưu hàm hạng,