Chuỗi khoảng trong không gian khoảng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- TRẦN VĂN HIẾU CHUỖI KHOẢNG TRONG KHÔNG GIAN KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN VĂN HIẾU CHUỖI KHOẢNG TRONG KHÔNG GIAN KHOẢNG Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng năm 2017 Tác giả Trần Văn Hiếu LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình tác giả thực đề tài Trong suốt trình tác giả nghiên cứu, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q báu thầy, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Từ đáy lịng mình, tác giả xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy cô Xin chân thành cảm ơn anh, chị em lớp cao học Toán giải tích khố 31 bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Tác giả Trần Văn Hiếu MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG CHUỖI SỐ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 1.3 CHUỖI ĐAN DẤU 15 CHƯƠNG KHÔNG GIAN KHOẢNG 17 2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 17 2.1.1 Tập khoảng 17 2.1.2 Khoảng suy biến 17 2.1.3 Giao, hợp khoảng đóng hai khoảng 17 2.1.4 Độ rộng, trị tuyệt đối giá trị trung bình khoảng 18 2.1.5 Quan hệ thứ tự I(R) 19 2.2 CÁC PHÉP TOÁN SỐ HỌC TRÊN I(R) 19 2.2.1 Phép cộng 19 2.2.2 Phép nhân 20 2.2.3 Phép chia 24 2.3 KHÔNG GIAN METRIC KHOẢNG 24 2.3.1 Metric tập khoảng I(R) 24 2.3.2 Sự hội tụ I(R) 25 2.3.3 Tính đầy đủ khơng gian metric khoảng 29 MỤC LỤC CHƯƠNG CHUỖI KHOẢNG 30 3.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 30 3.2 CHUỖI KHOẢNG DƯƠNG 36 3.3 CHUỖI KHOẢNG ĐAN DẤU 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N R [x, x] I(R) x, X d(x,y) lim lim Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Khoảng đóng R Tập tất khoảng đóng R Phần tử tập I(R) Metric I(R) Giới hạn R Giới hạn I(R) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Giải tích khoảng nhánh toán học, đời vào năm năm mươi kỷ 20 Những ý tưởng Giải tích khoảng đưa luận án tiến sĩ Moore R E đại học Stanford vào năm 1962, sau xuất thành sách với tiêu đề “Interval analysis” vào năm 1966 [6] Năm 1991, tạp chí quốc tế “Interval Computation” sáng lập mốc son đánh dấu phát triển lĩnh vực này, (từ năm 1995, tạp chí phát hành tên “Reliable Computation”) Năm 1993, hội nghị quốc tế Giải tích khoảng tổ chức Lafayette Năm 1995, hội thảo quốc tế ứng dụng Giải tích khoảng tổ chức EL Paso, Texas Kể từ đến giải tích khoảng khơng ngừng phát triển Các vấn đề hàm khoảng, phép tính vi phân, phép tính tích phân giải tích khoảng nhiều người quan tâm Trong kể đến Moor R E [6], Neumaier A [2], Sainz M A., Armengol J., Calm R., Herrero P., Jorba L and Vehi J [3] Với việc đời hiệu Hukuhara giúp nhà toán học xây dựng khái niệm đạo hàm Hukuhara đạo hàm Hukuhara tổng quát Trên sở nhà tốn học nghiên cứu phương trình vi phân khoảng mở rộng phương trình vi phân mờ Tuy nhiên, nghiên cứu chuyên sâu chuỗi khoảng không gian khoảng chưa đề cập Dựa vào phép toán định nghĩa không gian khoảng ta đưa định nghĩa chuỗi khoảng không gian khoảng Với việc trang bị metric không gian khoảng ta định nghĩa hội tụ chuỗi khoảng Với mục đích tìm hiểu chuỗi khoảng tơi chọn đề tài “Chuỗi khoảng không gian khoảng” Mục tiêu nghiên cứu Luận văn nghiên cứu xây dựng khái niệm chuỗi không gian khoảng chứng minh số kết tương tự chuỗi số cho chuỗi khoảng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn lý thuyết chuỗi số, giải tích khoảng lý thuyết chuỗi khoảng Phạm vi nghiên cứu luận văn phép toán số học, metric tập khoảng, chuỗi khoảng dương, chuỗi khoảng đan dấu số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi khoảng Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp tài liệu liên quan đến chuỗi số, giải tích khoảng, metric tập khoảng, nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ xếp trình tự cách có hệ thống khai thác ứng dụng theo đề tài chọn Hỏi ý kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết, dùng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên, học viên cao học ngành Tốn Luận văn góp phần làm phong phú thêm kết giải tích khoảng Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia làm ba chương Chương 1, trình bày lại số kết liên quan đến chuỗi số Chứng minh chi tiết kết nêu đưa ví dụ để làm rõ kết Chương 2, trình bày số khái niệm tập khoảng Trang bị phép toán số học cho tập khoảng Phần cuối trang bị metric tập khoảng để từ tập khoảng với metric khơng gian metric đầy đủ Chương 3, trình bày khái niệm chung cho chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dương chuỗi khoảng đan dấu Đưa chứng minh số tiêu chuẩn hội tụ cho hai loại chuỗi khoảng kể Bên cạnh ví dụ minh họa nhằm làm rõ thêm kết nêu CHƯƠNG CHUỖI SỐ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cho dãy số u1 , u2 , u3 , , ta gọi tổng vô hạn ∞ ∑ un = u1 + u2 + · · · + un + , (1.1) n=1 chuỗi số Số un gọi số hạng tổng quát hay số hạng thứ n chuỗi số (1.1) Tổng n số hạng n Sn = ∑ uk , k=1 gọi tổng riêng thứ n chuỗi số (1.1) Định nghĩa 1.1.1 (xem [1, 2]) Nếu tồn hữu hạn giới hạn S = lim Sn , n→∞ chuỗi số (1.1) gọi hội tụ S gọi tổng chuỗi số (1.1) Khi ta ký hiệu ∞ S= ∑ un n=1 Trong trường hợp ngược lại chuỗi số (1.1) gọi phân kỳ Ví dụ 1.1.2 Cho chuỗi số ∞ ∑ 2n n=1 (1.2) 35 Đặt T = [S − Sm , S − Sm ] Khi T ∈ I(R) theo Định lý 2.3.2, ta thu I(R) Tn −−→ T ∞ Vậy chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=m+1 ∞ Ngược lại, chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=m+1 lim Tk = T ⇔ k→∞ lim T k = T k→∞ lim T k = T k→∞ Theo (3.10), ta có lim Sn = lim (T n−m + Sm ) = lim (T + Sm ) = T + Sm n→∞ n→∞ n→∞ lim Sn = lim T n−m + Sm = lim T + Sm = T + Sm n→∞ n→∞ n→∞ Mặt khác, Sn ≤ Sn nên T + Sm ≤ T + Sm Đặt A = [T + Sm , T + Sm ] Ta có A ∈ I(R) lim Sn = A n→∞ ∞ Vậy chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 ∞ Định lý 3.1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 ∀ε > tồn n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 ⇒ d(an+1 + an+2 + + an+p , 0) < ε, ∀p ∈ N ∞ Chứng minh Giả sử chuỗi khoảng ∑ an hội tụ Gọi Sn tổng riêng chuỗi n=1 ∞ khoảng ∑ an n=1 ∞ Do chuỗi khoảng ∑ an hội tụ nên dãy khoảng {Sn } hội tụ Mà dãy hội tụ n=1 dãy Cauchy nên {Sn } dãy Cauchy I(R) Từ suy với ε > tồn số n0 ∈ N cho với n ≥ n0 , ta có d(Sn+p , Sn ) < ε, ∀p ∈ N, nghĩa max |Sn+p − Sn |, |Sn+p − Sn | < ε, Mệnh đề 3.2.1 36 suy max an+1 + an+2 + + an+p , |an+1 + an+2 + + an+p | < ε, hay d(an+1 + an+2 + + an+p , 0) < ε Ngược lại, giả sử d(an+1 + an+2 + + an+p , 0) < ε, tương tự trên, suy dãy khoảng {Sn } dãy Cauchy I(R) mà (I(R), d) đầy đủ nên dãy khoảng {Sn } hội tụ ∞ Vậy chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 Ví dụ 3.1.8 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ ∑ an = ∑ n=1 Với n > 1, ta có   a + + a n=1 1 , 2n n 1 1 1 + + > + + = n = 2(n + 1) 4n 4n 4n 4n 1 1 1   |an+1 + + a2n | = + + > + + = n = n+1 2n 2n 2n 2n suy d(an+1 + an+2 + · · · + a2n , 0) > n+1 2n = ∞ Do đó, nên theo Định lý 3.1.5, chuỗi khoảng ∑ an phân kỳ n=1 3.2 CHUỖI KHOẢNG DƯƠNG Định nghĩa 3.2.1 Chuỗi khoảng ∞ ∑ an = a1 + a2 + + an + (3.11) n=1 gọi chuỗi khoảng dương an > với n ∈ N Ở an > 0, nghĩa an > Ví dụ 3.2.2 Chuỗi khoảng ∞ ∑ an = n=1 ∞ ∑ n=1 1 , 2n n 37 có an = > với n ∈ N nên chuỗi khoảng dương 2n ∞ ∞ n=1 n=1 Cho hai chuỗi khoảng dương ∑ an , ∑ bn tồn n1 ∈ N cho an ≤ bn ∀n ≥ n1 an ≤ bn (3.12) ∞ ∞ Khi đó, chuỗi khoảng ∑ bn hội tụ chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 n=1 ∞ Chứng minh Giả sử chuỗi khoảng dương ∑ bn hội tụ theo Định lý 3.1.5 n=1 suy ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n, p ∈ N, n ≥ n0 Ta có d(bn+1 + bn+2 + + bn+p , 0) < ε Theo giả thiết, ta thu an+1 + an+2 + + an+p ≤ bn+1 + bn+2 + + bn+p < ε |an+1 + an+2 + + an+p | ≤ bn+1 + bn+2 + + bn+p < ε suy max{ an+1 + an+2 + + an+p , |an+1 + an+2 + + an+p | } < ε, hay d(an+1 + an+2 + + an+p , 0) < ε ∞ Áp dụng Định lý 3.1.5, ta suy chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 Ta trang bị cho I(R) quan hệ bắc cầu a < b ⇔ a < b Do đó, a < b điều kiện (3.12) thỏa mãn nên từ Mệnh đề 3.2.1 ta suy tiêu chuẩn tương tự tiêu chuẩn so sánh chuỗi số dương cho chuỗi khoảng dương sau: Định lý 3.2.2 (Tiêu chuẩn so sánh 1) Giả sử < an < bn , ∀n ≥ n1 Khi ∞ ∞ chuỗi khoảng dương ∑ bn hội tụ chuỗi khoảng dương ∑ an hội tụ n=1 n=1 Ví dụ 3.2.3 Cho hai chuỗi khoảng ∞ ∞ cos2 n 1 ∑ n2(n + 2) , n2(n + 1) , ∑ n3 , n2 n=1 n=1 Ta có 1 0< < , ∀n ≥ n (n + 1) n 38 ∞ Từ Ví dụ 3.1.5, ta có chuỗi khoảng ∑ ∞ sánh suy chuỗi khoảng ∑ n=1 1 n3 , n2 n=1 cos n n2 (n+2) , n2 (n+1) hội tụ nên theo Tiêu chuẩn so hội tụ Định lý 3.2.3 (Tiêu chuẩn so sánh 2) Giả sử an > 0, bn > 0, ∀n ≥ n1 an lim = k (3.13) n→∞ bn Khi ∞ ∞ i Nếu < k < +∞ chuỗi khoảng ∑ an ∑ bn hội tụ n=1 n=1 phân kỳ ∞ ∞ ii Nếu k = chuỗi khoảng ∑ bn hội tụ chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 n=1 ∞ ∞ iii Nếu k = +∞ chuỗi khoảng ∑ bn phân kỳ chuỗi khoảng ∑ an phân n=1 n=1 kỳ Chứng minh i Đặt an an an an , , , bn bn bn bn Do an > 0, bn > 0, ∀n ≥ n1 , nên với n ≥ n1 , ta có a an an = [min S, max S] = n , bn bn bn Kết hợp với (3.13), với ε = tồn n0 ∈ N cho an d , k < 1, ∀n ≥ max {n0 , n1 } , bn suy an − k < ⇒ a n < b n + k ⇒ a n < bn + k bn S= ∞ ∞ Do đó, chuỗi khoảng ∑ bn hội tụ chuỗi khoảng ∑ + k bn hội n=1 n=1 ∞ tụ Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 ∞ Ngược lại, chuỗi khoảng ∑ an hội tụ từ Mệnh đề 2.3.4 (3.13), n=1 ta có bn = , n→∞ an k lim 39 ∞ nên tương tự chứng minh ta suy chuỗi khoảng ∑ bn hội tụ n=1 ii Khi k = Với ε = 1, ∃n0 : ∀n ≥ max {n0 , n1 }, ta có an an d < ⇒ an < bn ⇒ an < bn ,0 < ⇒ bn bn ∞ Nếu chuỗi khoảng ∑ bn hội tụ theo Tiêu chuẩn so sánh suy chuỗi n=1 ∞ khoảng ∑ an hội tụ n=1 iii Khi k = +∞ ta có bn = = 0, n→∞ an k nên (iii) chứng minh tương tự (ii) lim Định lý chứng minh Ví dụ 3.2.4 Cho chuỗi khoảng dương ∞ ∞ n+1 2n + ∑ an = ∑ n2√n + n + , n2√n + n + n=1 n=1 Khi đó, với chuỗi khoảng dương ∞ ∞ ∑ bn = ∑ n√n , n√n , n=1 n=1 ta có  n+1   √ √   (n + 1) n n an n2 n + n +   √  = lim = lim = lim   n→∞ n→∞ 5(n2 n + n + 2) n→∞ bn   √ n n 2n +1   √ √   n+n+2 a (2n + 1) n n  n n  √ lim = lim = lim =   n→∞ bn n→∞ n→∞ 3(n  n + n + 2)  √  n n suy an lim = , = k n→∞ bn (3.14) (3.15) Mặt khác, theo Định lý 3.1.1 Ví dụ 1.2.2 ta có chuỗi (3.15) hội tụ Do vậy, theo Tiêu chuẩn so sánh suy chuỗi (3.14) hội tụ ∞ Định lý 3.2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy) Giả sử ∑ an chuỗi khoảng dương n=1 √ với lim n an = C Khi : n→∞ 40 ∞ i Nếu C < chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 ∞ ii Nếu C > chuỗi khoảng ∑ an phân kỳ n=1 Chứng minh Vì chuỗi khoảng dương nên C ≥ Do đó, √ i Khi C < 1, từ lim n an = C Mệnh đề 2.2.3, ta suy n→∞ √ lim n an = C < n→∞ √ lim n an = C < n→∞ ∞ ∞ nên theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi số, ta suy hai chuỗi số ∑ an , ∑ an n=1 n=1 ∞ ∞ hội tụ ∞ Vậy theo Định lý 3.1.1, ta suy chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 ii Khi C > 1, tương tự (i) ta có √ lim n an = C > n→∞ √ lim n an = C > n→∞ nên theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi số, ta suy hai chuỗi số ∑ an , ∑ an n=1 n=1 phân kỳ ∞ Vậy theo Định lý 3.1.1, ta suy chuỗi khoảng ∑ an phân kỳ n=1 Định lý chứng minh Ví dụ 3.2.5 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ ∑ an = ∑ n=1 Ta có: n=1 n 3n + n 2n , 3n + n  n  n a = lim  lim √ = n n→∞ n→∞ 3n + √ 2n   lim n an = lim = n→∞ n→∞ 3n + √ suy lim n an = , < n→∞ 3 Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy suy chuỗi khoảng (3.16) hội tụ (3.16) 41 Ví dụ 3.2.6 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ 3n n+1 ∑ an = ∑ n=1 n=1 n 5n , n+1 n (3.17) Ta có:  3n  n a = lim  lim √ =3 n n→∞ n→∞ n + √ 5n   lim n an = lim =5 n→∞ n→∞ n + √ suy lim n an = [3, 5] > n→∞ Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy suy chuỗi khoảng (3.17) phân kỳ ∞ Định lý 3.2.5 (Dấu hiệu D’Alembert) Giả sử ∑ an chuỗi khoảng dương n=1 an+1 = D Khi với lim n→∞ an ∞ i Nếu D < chuỗi khoảng ∑ an hội tụ n=1 ∞ ii Nếu D > chuỗi khoảng ∑ an phân kỳ n=1 Chứng minh Rõ ràng D ≥ i Khi D < 1, ta chọn số ε > đủ bé cho D + ε = q < Do an > nên ta có a an+1 an+1 = [min S, max S] = n+1 , , an an an an+1 an+1 an+1 an+1 S= , , , an an an an an+1 Do đó, từ lim = D suy n→∞ an  an+1  = D < 1,  lim n→∞ an an+1  = D <  lim n→∞ an Do vậy, tồn n0 ∈ N :  ∀n ≥ n0 , ta có an+1  < D+ε = q <  an an+1  < D+ε = q <  an 42 suy an+1 < qan ⇒ an+1 < qan an+1 ≤ an+1 < qan an+1 < qan < qan  a n+1  < q,  an ⇒ a   n+1 < q an Qua giới hạn n → ∞, ta có a n+1  ≤ q < 1,  lim n→∞ an a   lim n+1 ≤ q < n→∞ an Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi số, ta suy hai chuỗi số ∞ ∞ ∞ ∑ an , ∑ an hội tụ Do đó, nên theo Định lý 3.1.1 chuỗi khoảng ∑ an n=1 n=1 n=1 hội tụ ii Khi D > 1, tương tự  a(i) với n ≥ n0 ta có n+1  >1  a >a an ⇒ an+1 > an a n+1  n+1 n  >1 an ∞ ∞ Theo điều kiện cần chuỗi số, ta suy hai chuỗi số ∑ an , ∑ an phân n=1 n=1 ∞ kỳ Nên theo Định lý 3.1.1 chuỗi khoảng ∑ an phân kỳ n=1 Định lý chứng minh Ví dụ 3.2.7 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ ∑ an = ∑ n=1 n=1 n2 n2 + , n! n! (3.18) Ta  có  (n + 1)2     an+1 n+1 (n + 1)2 n! (n + 1)!    lim = lim = lim = lim =0   n→∞ an n→∞ n + n→∞ (n + 1)! n + n→∞ n +   n!  (n + 1) +     an+1 (n + 1)2 + n! n2 + 2n + (n + 1)!   lim = lim = lim = lim =0   n→∞ an n→∞ n→∞ (n + 1)! n→∞ n3 + n2  n n2   n! suy an+1 lim = < n→∞ an 43 Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi khoảng chuỗi khoảng (3.18) hội tụ Ví dụ 3.2.8 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ ∑ an = n=1 ∑ n=1 n 5n , 3n 3n (3.19) Ta có:  n+1    n+1 an+1 n+1 n + 3n   lim = lim = lim = = lim   n→∞ 5n n→∞ 15n n→∞ 3.3n 5n  15  n→∞ an n 5(n + 1)    n  an+1  3n+1 = lim 5(n + 1) = lim 5(n + 1) =  lim = lim  n  n→∞ n→∞ 3.3n n n→∞ 3n  n→∞ an n suy an+1 = , lim n→∞ an 15 Theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi khoảng ta chưa có kết luận chuỗi khoảng (3.19) Tuy nhiên, ta dùng Định lý 3.1.1 tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi số để khảo sát chuỗi khoảng (3.19) sau: +) Xét chuỗi số ∞ n ∑ 3n (3.20) n=1 Ta có an+1 n→∞ an lim n+1 n+1 n + 3n n+1 = lim n = lim = lim = < n→∞ n→∞ 3.3n n n→∞ 3n 3n +) Xét chuỗi số ∞ 5n ∑ 3n (3.21) n=1 Ta có 5(n + 1) n 3n+1 = lim 5(n + 1) = lim (n + 1) = < 5n n→∞ 3.3n 5n n→∞ 3n 3n Theo Định lý 1.2.6 suy hai chuỗi số (3.20) (3.21) hội tụ Vì theo Định an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ lý 3.1.1 suy chuỗi khoảng (3.19) hội tụ 44 3.3 CHUỖI KHOẢNG ĐAN DẤU Định nghĩa 3.3.1 Chuỗi khoảng có dạng ∞ ± ∑ (−1)n+1 an = ±(a1 − a2 + a3 − a4 + + (−1)n+1 an + ) (3.22) n=1 an = [an , an ] > với n gọi chuỗi khoảng đan dấu Để đơn giản ta xét chuỗi khoảng đan dấu có dạng ∞ ∑ (−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + + (−1)n+1an + (3.23) n=1 Khi đó, tổng riêng thứ n chuỗi khoảng (3.23) Sn = a1 − a2 + a3 − a4 + + (−1)n+1 an suy Sn = a1 − a2 + a3 − a4 + Sn = a1 − a2 + a3 − a4 + (3.24) Định lý 3.3.1 (Dấu hiệu Leibniz) Nếu {an } dãy khoảng giảm lim an = n→∞ chuỗi khoảng đan dấu (3.23) hội tụ Chứng minh Gọi {Sn } tổng riêng chuỗi khoảng (3.23) Để chứng tỏ dãy tổng riêng {Sn } hội tụ ta chứng minh hai dãy số {Sn } {Sn } hội tụ Để chứng minh dãy số {Sn } hội tụ ta chứng minh hai dãy {S2m } {S2m+1 } hội tụ giới hạn Do {an } dãy giảm nên ta có an+1 < an ⇒ an+1 ≤ an+1 < an ≤ an (3.25) Từ (3.24) (3.25) ta suy S2m+2 − S2m = a2m+1 − a2m+2 > Ngoài với ∀m ∈ N, ta có S2m = a1 + [(a3 − a2 ) + (a5 − a4 ) + + (a2m+1 − a2m )] − a2m ≤ a1 Suy {S2m } dãy tăng bị chặn nên hội tụ Giả sử dãy {S2m } hội tụ S Ta chứng minh dãy S2m+1 hội tụ S Thật R I(R) an − →0 an −−→ ⇒ R an − →0 45 S2m+1 = S2m + a2m+1 , lim S n→∞ 2m+1 = lim S2m + lim a2m+1 = S + = S n→∞ n→∞ Vậy R → S Sn − (3.26) Tương tự ta chứng minh dãy R Sn − → S (3.27) Từ (3.24) ta có Sn ≥ Sn nên suy S ≤ S Do ta đặt S = [S, S] ∈ I(R) I(R) Như vậy, từ (3.26) (3.27) suy Sn −−→ S Định lý chứng minh Nhận xét 3.3.2 Nếu chuỗi khoảng đan dấu (3.23) có lim an = a = n→∞ khơng thể sử dụng tiêu chuẩn Leibniz để khảo sát chuỗi (3.23) Tuy nhiên, ta sử dụng điều kiện cần để khảo sát Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 3.3.2 I(R) R i Nếu an −−→ |an | = max {|an | , |an |} − → ii Nếu an > 0, ∀n ∈ N (−1)n+1 an = |an | Chứng minh I(R) i Từ an −−→ 0, suy R an − →0 ⇒ R an − →0 nên theo Bổ đề 2.3.3, ta có R |an | − →0 R |an | − →0 R |an | = max {|an | , |an |} − → 46 ii Với m ∈ N, ta có (−1)2m+1 a2m = [−a2m , −a2m ] , (−1)2m+2 a2m+1 = [a2m+1 , a2m+1 ] , suyra  (−1)2m+1 a2m = max {|−a2m | , |−a2m |} = a2m = |a2m |  (−1)2m+2 a2m+1 = max a2m+1 , |a2m+1 | = a2m+1 = |a2m+1 | Bổ đề chứng minh Khi chuỗi khoảng đan dấu (3.23) có lim an = a = n→∞ Do an > nên a = theo Bổ đề 3.3.2, ta có (−1)n+1 an = |an | = an − →a=0 R suy I(R) (−1)n+1 an −−→ nên theo điều kiện cần suy chuỗi khoảng (3.23) phân kỳ Ví dụ 3.3.3 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ n+1 ∑ (−1) an = n=1 ∑ (−1)n+1 n=1 n2 + , n2 (3.28) Với n ∈ N, ta có 1 < = an (n + 1)2 n2 + suy dãy khoảng {an } dãy giảm 1 lim an = lim , = n→∞ n→∞ n + n Vậy theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi khoảng (3.28) hội tụ an+1 = Ví dụ 3.3.4 Cho chuỗi khoảng ∞ ∞ n+1 ∑ (−1) n=1 Ta có an = n+1 ∑ (−1) n=1 2n2 + 3n2 + , n2 + 2n n2 + 2n  2n2 +   lim an = lim =2=0 n→∞ n→∞ n2 + 2n   lim an = lim 3n + = = n→∞ n→∞ n2 + 2n (3.29) 47 suy lim an = [2, 3] = n→∞ nên theo Nhận xét 3.3.2, suy chuỗi khoảng (3.29) phân kỳ 48 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau: - Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu Chứng minh chi tiết kết trình bày - Giới thiệu tập khoảng I(R) với phép toán số học Luận văn trang bị metric d cho tập I(R) chứng minh (I(R), d) không gian metric đầy đủ - Các kết luận văn xây dựng khái niệm, tính chất chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dương chuỗi khoảng đan dấu Đưa số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi khoảng nêu Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, không đủ điều kiện để nghiên cứu hết tính chất phép tốn I(R) Ví dụ tính chất phân phối phép nhân phép cộng có cịn I(R) hay không? Nghĩa x.(y + z) = x.y + x.z Các kết chuỗi khoảng trình bày luận văn dừng lại số tính chất, tiêu chuẩn quen thuộc có chuỗi số như: điều kiện cần, tiêu chuẩn so sánh 1,2, tiêu chuẩn Cauchy, D’Alembert, Leibniz Cịn số tính chất, tiêu chuẩn có chuỗi số mà luận văn chưa có điều kiện trình bày Đây hướng phát triển luận văn Hy vọng tương lai gần tơi hồn thành kết qủa Trong q trình làm luận văn dù cố gắng nhiều khơng tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xn Liêm (2010), Giải tích (Giáo trình Lý thuyết Bài tập có hướng dẫn), Tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Vũ Tuấn (2011), Giáo trình Giải tích Toán học, Tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [3] Neumaier A (1990), Interval methods for systems of equations, Cambridge University Press [4] Sainz M A., Armengol J., Calm R., Herrero P., Jorba L and Vehi J (2014), Modal interval analysis, Springer International Publishing Switzerland [5] Aubin J P and Frankowska H (1990), Set-Valued Analysis, BirKhauser Boston [6] Moore R E., Kearfott R B and Cloud M J (2009), Introduction to interval analysis, SIAM [7] Ning S and Kearfoot R B (1997), “A Comparison of some Methods for Solving Linear Interval Equations”, Journal on numerical analysis, No 34(4), pp 1289-1305 ... chuỗi khoảng không gian khoảng Với việc trang bị metric không gian khoảng ta định nghĩa hội tụ chuỗi khoảng Với mục đích tìm hiểu chuỗi khoảng tơi chọn đề tài ? ?Chuỗi khoảng không gian khoảng? ?? Mục... phân khoảng mở rộng phương trình vi phân mờ Tuy nhiên, nghiên cứu chuyên sâu chuỗi khoảng không gian khoảng chưa đề cập Dựa vào phép toán định nghĩa không gian khoảng ta đưa định nghĩa chuỗi khoảng. .. niệm chuỗi không gian khoảng chứng minh số kết tương tự chuỗi số cho chuỗi khoảng 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn lý thuyết chuỗi số, giải tích khoảng lý thuyết chuỗi