Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
1,05 MB
Nội dung
KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI CHUỖI KHOẢNG TRONG GIẢI TÍCH KHOẢNG Sinh viên thực : Nguyễn Thị Phƣơng Lớp : 12CTUD Giáo viên hƣớng dẫn : TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016 SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP LỜI CẢM ƠN Em xin dành trang để bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến quý thầy cô giáo khoa Toán, trƣờng Đại Học Sƣ Phạm – Đại Học Đà Nẵng, ngƣời hết lòng dạy dỗ, truyền đạt cho em kiến thức khoa học kinh nghiệm q báu để em có đƣợc ngày hơm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS.Phan Đức Tuấn, ngƣời gợi ý hƣớng dẫn đề tài khóa luận “Chuỗi khoảng giải tích khoảng” Thầy nhiệt tình hết lịng giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Cuối cùng, cho phép em đƣợc gởi lời cảm ơn thầy chủ tịch hội đồng, thầy cô phản biện ủy viên hội đồng giành thời gian quý báu để đọc, nhận xét, đánh giá tham gia hội đồng chấm khóa luận Đà Nẵng, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực Nguyễn Thị Phƣơng SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Khoảng tƣợng hồn tồn tốn học, xuất nhiều lần dƣới tên khác q trình lịch sử Tính tốn thực tế với khoảng không đƣợc phổ biến nhƣ kỹ thuật số khác, khơng bị lãng qn hồn tồn Sự đời khoảng đại đƣợc đánh dấu xuất sách Interval Phân tích theo Ramon E Moore vào năm 1966, năm sau ơng xuất viết máy tính khoảng Chuỗi có vai trị Giải tích tốn học có nhiều ứng dụng Do đó, với mong muốn tìm hiểu sâu sắc mối quan hệ để mở rộng cho khái niệm phép toán khoảng, tơi chọn đề tài: ”Chuỗi khoảng giải tích khoảng” Mục đích nghiên cứu: - Tìm hiểu tính chất phép tốn chuỗi khoảng - Tìm hiểu tiêu chuẩn so sánh chuỗi khoảng hội tụ hay phân kì - Tìm hiểu khơng gian Mêtric chuỗi khoảng số học Phƣơng pháp nghiên cứu: Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc kiến thức có liên quan để thực đề tài Nội dung nghiên cứu: Nội dung khố luận ngồi phần Mở đầu Kết luận gồm có chƣơng: Chƣơng 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian Mêtric số học chuỗi số Chƣơng 2: Không gian Mêtric khoảng chuỗi khoảng Chƣơng tơi trình bày khái niệm khoảng, chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dƣơng tiêu chuẩn so sánh xét hội tụ chuỗi khoảng SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN - ĐHSP Đóng góp đề tài: Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, hi vọng giúp cho ngƣời đọc hiểu rõ giải tích khoảng, phép tính tốn khoảng tiêu chuẩn hội tụ chuỗi khoảng SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Không gian Mêtric 1.1 Định nghĩa 1.1 Cho tập X ánh xạ d : X X ( x, y ) d ( x, y ) Mêtric thoả mãn điều kiện sau: + d ( x, y ) không âm với x, y X d ( x, y ) x y + d ( x, y ) d ( y, x) , với x, y X + d ( x, y ) d ( x, z) d ( z, y ) , với x, y, z X Khi X ,d đƣợc gọi không gian Mêtric d đƣợc gọi khoảng cách x y Nhận xét 1.1 Cho X , d khơng gian Mêtric Khi d x, y d x, y d x, x d y , y , x, y , x , y X (1.1) Chứng minh Ta có d x, y d x, x d y, y d x, y d x, y d y, y Nên d x, y d x, x d x, y d y, y Do d x, y d x , y d x , x d y , y Tƣơng tự ta có d x, y d x, y d x, x d y, y suy đpcm Ví dụ 1.1 Cho d: ( x, y ) Chứng minh d Mêtric d ( x, y ) x y Thật vậy, ta có: d ( x, y ) x y 0, x, y d ( x, y ) x y x y, x, y SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP d ( x, y ) x y y x d ( y , x ), x, y d ( x, z ) x z x y y z x y y z d ( x, y ) d ( y, z ) Vậy d Mêtric 1.2 Sự hội tụ không gian Mêtric Định nghĩa 1.2 Cho X , d không gian Mêtric, dãy phần tử xn n X gọi hội tụ x không gian Mêtric X , d Nếu dãy số d x , x n n hội tụ xn x xn x Kí hiệu : lim n xn x lim d xn , x Nhƣ lim n n 0, N N : n N d xn , x Ví dụ 1.2 Cho X (1.2) với Mêtric thơng thƣờng d hội tụ theo Mêtric d hội tụ dãy số thơng thƣờng Thật vậy, d xn , x xn x xn x theo nghĩa dãy số thông thƣờng Mệnh đề 1.1 a Dãy hội tụ giới hạn b Nếu dãy xn n hội tụ x dãy hội tụ x Chứng minh a Giả sử dãy xn n hội tụ x, x x x Đặt d x, x 0, tồn d x , x n xn , x Do vậy, SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP d x, x d x, xn d xn , x 2 b Nếu phần tử xkn xn dãy số d xkn , x d xn , x Vậy theo kết dãy số ta có điều phải chứng minh 1.3 Khơng gian Mêtric đầy đủ Định nghĩa 1.3 Giả sử X , d không gian Mêtric, dãy xn n X dãy Cauchy (dãy bản) khi: 0, N N : n, m N d xm, xn (1.3) Hay 0, N N : n N d xn p, xn , p (1.4) Định lý 1.1 Giả sử X , d không gian Mêtric, dãy xn n X Khi i Nếu dãy xn n dãy hội tụ xn n dãy Cauchy ii Nếu xn n tụ x dãy Cauchy xkn xn n n dãy cho xkn n hội hội tụ x Chứng minh i Giả sử xn n dãy hội tụ x , xn x nên 0, N N : n N d xn , x Do m, n N d xm, xn d xm, x d x, xn / / ii Với cho trƣớc, Do xn n dãy Cauchy nên N1 : m, n N1 d xm , xn Do x kn n N : k N d x , x n kn hội tụ nên 2 SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Vậy N max N1, N : n N d xn , x d xn , xk d xk , x n n Định nghĩa 1.4 Không gian Mêtric X , d gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ với Mêtric thông thƣờng đầy đủ Ví dụ 1.3 Ta có II Chuỗi số Định nghĩa 2.1 Cho dãy số an Khi đó, a1 a2 an (1) đƣợc gọi chuỗi số an số hạng tổng quát chuỗi Kí hiệu a n 0 n a1 a2 an (1.5) n n Ví dụ 2.1 n 1 2 n 1 n 1 n Định nghĩa 2.2 Cho chuỗi số (1.5) Khi i Tổng hữu hạn Sn a1 a2 an tổng riêng thứ n chuỗi (1.5) Sn S chuỗi số cho gọi hội ii Nếu tồn hữu hạn giới hạn lim n tụ S đƣợc gọi tổng chuỗi Ta kí hiệu a n 1 n S Trong trƣờng hợp ngƣợc lại ta nói chuỗi số cho phân kì Ví dụ 2.2 a Xét chuỗi số n 1 Ta có 2 n 1 n 1 1 , , , n , lập thành cấp số nhân với công bội q nên 4 2 tổng riêng thứ n chuỗi số cho đƣợc xác định SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 1 1 2n Sn n 2 1 2n 1 Suy 1 lim Sn lim 1 n n n Vậy chuỗi số cho hội tụ 2 n 1 n 1 c Xét chuỗi số ln n 1 n 1 n 1 ln ln ln (1) n n Ta có tổng riêng thứ n chuỗi (1) cho xác định n 1 Sn ln ln ln n Sn ln 2.3 ( n 1) ln( n 1) 1.2 n Do đó, lim Sn limln(n 1) n n Vậy chuỗi số cho phân kì Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Định lý 2.1 Nếu a n 1 n an hội tụ lim n Chứng minh Gọi s tổng chuỗi số hội tụ a n 1 n Suy Sn S n SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Suy an Sn Sn1 S S n Hệ 2.1 Nếu an không dần đến n chuỗi số an n 1 phân kì + Nếu an dần đến n khơng suy chuỗi số a n 1 n cho hội tụ 2n n 1 n Ví dụ 2.3.Xét hội tụ chuỗi số an lim Ta có lim n n 2n 20 n 1 Theo điều kiện cần chuỗi số phân kì Định lý 2.2 Giả sử n 1 n 1 n 1 n 1 an A, bn B Khi đó, + an an A( const ) + n 1 n 1 n 1 an bn an bn A B Chứng minh a Giả sử Sn tổng riêng chuỗi : a n 1 n S n tổng riêng chuỗi: a n 1 n n S n a1 a2 an a1 a2 an Sn i 1 lim Sn lim Sn A n n b Gọi Sn tổng riêng thứ n chuỗi: SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng a n 1 n KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ví dụ 2.1 Chuỗi khoảng Vì xn 1 1 , chuỗi khoảng hội tụ n n 1 n 1 , xn khoảng hội tụ nên n n 1 1 , cho chuỗi khoảng n n 1 n hội tụ Định lý 2.2 Chuỗi khoảng (1) hội tụ với 0, n0 cho D Sn , Sm , với n n0 , n, m Điều kiện định lý đƣợc viết: snm sn xn1 xn2 xnm snm sn xn1 xn2 xnm Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử, chuỗi khoảng (1) hội tụ hay X n X đó, với tồn n0 cho D X n , X , n n0 Do đó, với số tự nhiên n, m n n0 m m0 khoảng cách : D( X n , X m ) D X n , X D X , X m hay D Sn , Sm Điều kiện đủ: Giả sử, với tồn n0 cho d Sn , Sm , với n n0 , n, m Ta cần chứng minh chuỗi khoảng (1) hội tụ Thật vậy, ta có d Sn , Sm với n n0 , n, m Tức d X n , X m max xn xm , xn xm xn xm xn xm Xn Xm x x x x n m m n SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 28 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Định lý 2.3 Giả sử X n hội tụ , Khi n 1 X n 1 X n 1 n hội tụ n X n , với const n 1 n Chứng minh Cho An X i tổng riêng thứ n i 1 X n 1 n Có hai trƣờng hợp: a Nếu k Sn sn , sn Sn sn , Sn sn b Nếu k Sn sn , sn Sn sn ,Sn sn Vì sn ,sn hội tụ nên S hội tụ nên theo mệnh đề 2.1 n S n X n hội tụ n 1 n 1 n 1 X n X n Định lý 2.4 Nếu chuỗi khoảng n 1 n 1 X n , Yn hội tụ Khi n 1 n 1 n 1 n 1 X n Yn hội tụ X n Yn X n Yn n n n i 1 i 1 i 1 X Y X Y Chứng minh Đặt Sn X i , Sn Yi Sn X i Yi tổng riêng thứ n X n , Yn n 1 n 1 X n 1 n Yn Ta có snX Y snX snY snX Y snX snY SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 29 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP X Vì dãy sn n , snX s ,s X Y n n , snY n , snY n X Y n n hội tụ, suy X n 1 n 1 n 1 n 1 n n hội tụ nên dãy Yn hội tụ X n Yn X n Yn X n 0,0 Định lý 2.5 Nếu chuỗi khoảng (1) hội tụ lim n Chứng minh sn1 sn xn1 Thật vậy, ta có s s x n1 n n1 lim s lim s n n 1 n n Vì chuỗi khoảng (1) cho hội tụ nên lim s lim s n n 1 n n 1 lim x n n 1 Khi từ ta có điều phải chứng minh lim x n n 1 2.2 Chuỗi khoảng dƣơng Chuỗi khoảng dƣơng X n 1 n đƣợc gọi chuỗi khoảng dương X n 0, n xn 0, n Ví dụ 2.2 Chuỗi khoảng 1 , chuỗi khoảng dƣơng 1 n n 1 n 1 X n , 0, n n 1 n Nhận xét 2.1 Chuỗi khoảng dương X n 1 n hội tụ dãy tổng riêng thứ n cận Sn bị chặn Ví dụ 2.3 Xét hội tụ chuỗi khoảng dƣơng sau: SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 1 2 X n n 1 , n n 1 n n 1 30 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Vì X n 1 n chuỗi khoảng dƣơng nên ta cần chứng minh xn hay sn bị chặn sn Suy 1 1 1 2 2 2 n n n 1 n 1 sn bị chặn nên chuỗi n n 1 sn hội tụ 1 1 n n 1 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 3 n n 1 Nên chuỗi n n 1 hội tụ Theo mệnh đề 2.1 chuỗi khoảng n 1 1 X , hội tụ n n 1 n 1 n n 1 n 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 2.6.( Tiêu chuẩn so sánh 1) n 1 n 1 Cho chuỗi khoảng dương X n , Yn tồn n0 cho X n Yn , n n0 Khi Yn hội tụ chuỗi khoảng i Nếu chuỗi khoảng n 1 X n 1 ii Nếu chuỗi khoảng X n 1 hội tụ n n phân kì chuỗi khoảng Y n 1 n phân kì Chứng minh n n n n i 1 i 1 i 1 i 1 Đặt sn xi ,sn xi ,s1n yi ,s1n yi SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 31 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP i Nếu Y n 1 n hội tụ theo nhận xét 2.1, hai dãy s1n n , s1n n sn n , sn n chặn Điều có nghĩa dãy bị bị X chặn Vậy nên chuỗi khoảng n 1 n hội tụ ii Nếu chuỗi khoảng X n 1 sn n , sn n s1n n , s1n n n phân kì, theo nhận xét 2.1 hai dãy khơng bị chặn sn s1n , sn s1n có nghĩa dãy khơng bị chặn từ chuỗi khoảng Y n 1 n phân kì n , Ví dụ 2.4 Xét hội tụ chuỗi khoảng sau: X n n n n 1 Xét xn n 1 n 2n 1 , n n n 2n Vì Mà chuỗi n hội tụ nên chuỗi n 1 hội tụ n 2n n 1 2 xn n 1 Xét (1) n Vì chuỗi : n 2 n 7 Mà chuỗi hội tụ nên chuỗi n 1 n Từ (1) (2) ta suy X n n n 1 n SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng n 2 hội tụ n 1 (2) n 2 , hội tụ 32 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ví dụ 2.5 Xét hội tụ chuỗi khoảng sau: X n 1 n 1 , n n 1 Xét n 1 n xn 1 , n n n Vì Mà chuỗi n 1 phân kì nên chuỗi n n phân kì xn Xét (1) n 1 n 1 n 1 Vì chuỗi : 1 n n 1 Mà chuỗi n 1 phân kì nên chuỗi n Từ (1) (2) ta suy X n 1 n n 1 phân kì n 1 (2) 1 , phân kì n n 1 Định lý 2.7 ( Tiêu chuẩn so sánh 2) Cho chuỗi khoảng dương X X , Y , k lim Y k n n 1 n n n 1 n n X n xn xn , Khi đó, Yn yn yn i Nếu k 0, chuỗi khoảng cho hội tụ phân kì ii Nếu k chuỗi khoảng Yn hội tụ chuỗi khoảng n 1 iii Nếu k chuỗi khoảng X n 1 X n 1 n hội tụ n phân kì chuỗi khoảng Y n 1 n phân kì SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 33 KHOA TỐN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chứng minh Đặt k k , k nghĩa k k nghĩa k k X n xn xn , Yn yn yn Ta có i Từ lim n Xn k 0, 1 cho k 1 0, n1 Yn để xn y k 1 , n n1 n Vậy ta có k 1 yn xn k 1 yn (2.1) k 1 s1n sn k 1 s1n Tƣơng tự nhƣ suy luận để k s1n sn k s1n , n n1 với cho 0, k 0, n2 n max n1 , n2 , ta có bất đẳng thức 2.1 ngụ ý sn n , sn n s1n n , s1n n đồng thời đƣợc chặn hay không Sử dụng nhận xét 2.1 ta suy điều phải chứng minh ii Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp i Từ lim n Xn k 0, 1 0, n2 Yn cho xn 1 yn , n n1 lim n xn 0, 0, n2 yn để xn yn , n n1 SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 34 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ta thấy, s1n n , s1n n bị chặn trên, sn n , sn n bị chặn nhận xét 2.1 nên từ đó, ta suy điều phải chứng minh iii Từ lim n xn Để yn xn , n1 yn xn yn , n n1 (2.2) lim n Ta thấy, xn , n2 yn s1n n , s1n n : xn yn , n n2 không bị chặn trên, sn n , sn n khơng bị chặn nhận xét 2.1 , định lý 2.6 nên từ đó, ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 2.7 Xét hội tụ chuỗi khoảng sau: 4 1 ln 1 , n , n , n n 1 n 1 n Ta có 1 ln 1 n 1 k1 lim n n Mà n : chuỗi phân kì nên chuỗi ln n1 1 phân kì n 1 n 1 Lại có : n4 lim n n 1 n n n 1 k2 lim SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 35 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Mà chuỗi phân kì nên chuỗi n phân kì n 1 n 1 n 4 ln n 1 , n n 1 phân kì , n3 n 1 n Định lý 2.8 Tiêu chuẩn Dalembert giải tích khoảng X Cho chuỗi khoảng n 1 n D lim Đặt n i X n 1 Xn Nếu D : chuỗi khoảng cho hội tụ ii Nếu D : chuỗi khoảng cho phân kì iii Nếu D :chưa kết luận chuỗi khoảng cho hội tụ hay phân kì Chứng minh i Cho L l , l Ta chứng minh dãy sn n bị chặn Ta có lim n X n 1 xn 1 xn 1 xn1 , l 1, 0, l 1, n0 lim n x X n xn xn n Nên n n0 bất đẳng thức sau thoả mãn xn 1 l xn Suy xn1 l xn l x1 n Nhƣ i sn x1 l x1 l n i 1 q l 1 , n 1 Vì dãy sn n bị chặn SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 36 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ii Vì lim n sn n xn 1 l sử dụng phƣơng pháp ta chứng minh dãy xn không bị chặn Khi đó, chuỗi khoảng (1) cho phân kì Trong trƣờng hợp l ta kết luận chuỗi khoảng cho hội tụ hay phân kì 1 X , n n 1 n 1 n 1 ! 2n ! Ví dụ 2.8 Xét hội tụ chuỗi khoảng: Ta có : 1 , xn 1 , xn (n 1)! (n 2)! n 1 n 1 ! sn 1 , xn , xn 1 2n ! 2(n 1)! n 1 2n ! sn xn1 2n ! lim lim 1 n x n n ! n n 1 n n lim Sn chuỗi khoảng hội tụ (1) n 1! xn1 lim n x n n 1 ! n lim Sn chuỗi khoảng hội tụ (2) 1 , chuỗi khoảng hội tụ n 1 n 1 ! 2n ! Từ (1) (2) ta có X n n 1 X n n L Khi Định lý 2.9 Giả sử lim n i Nếu L chuỗi khoảng cho hội tụ ii Nếu L chuỗi khoảng cho phân kì Chứng minh n X n L, 0, L 1, n0 i Với lim n SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng n nhƣ X n L 37 KHOA TỐN - ĐHSP KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Khi đó, ta có X n L nghĩa xn l n n sn xi l Ta có sn n n n i 1 i 1 i l 1 l bị chặn nên ta kết luận chuỗi khoảng cho hội tụ ii Ta chứng minh cách sử dụng cách nhƣ câu a 2n n Ví dụ 2.9 Xét hội tụ chuỗi khoảng: X n , n n ln n n 1 n 1 n Ta đặt l lim n 1 lim 01 ln n n n ln n n Nên chuỗi cho hội tụ (1) 2n 1 Ta đặt l lim n 3n n Nên chuỗi cho hội tụ (2) 2n n Từ (1) (2) chuỗi khoảng X n hội tụ , n n ln n n 1 n 1 SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 38 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN - ĐHSP TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.Baker Kearfott Michael J.Clo – Roman E.Moore – Nhà xuất năm 1979 [2] Methods and Application of Interval Analysis - Roman E.Moore – Nhà xuất năm 1979 [3] Tôpô đại cương - Đo độ Tích phân – Nguyễn Xuân Liêm – Nhà xuất Giáo dục [4] Matloka, Fuzzy Mappings – Sequences and Series, Institute of Eco – nomical Cybernrtics, Department of Mathematics SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 39 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP PHẦN KẾT LUẬN Khóa luận chủ yếu đọc hiểu làm rõ số nội dung sau: Nhắc lại kiến thức không gian Mêtric chuỗi số trƣờng số thực Trình bày khái niệm, định nghĩa, định lý quan hệ nhƣ phép toán khoảng Sự hội tụ dãy khoảng, khái niệm Mêtric khoảng, trình bày khái niệm chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dƣơng tiêu chuẩn so sánh hội tụ chuỗi khoảng dƣơng Trong trình làm khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vậy kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để khóa luận đƣợc hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng 40 KHOA TOÁN - ĐHSP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU1 Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu: Phƣơng pháp nghiên cứu: Nội dung nghiên cứu: Đóng góp đề tài: CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Không gian Mêtric 1.1 Định nghĩa 1.1 1.2 Sự hội tụ không gian Mêtric 1.3 Không gian Mêtric đầy đủ II Chuỗi số Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Chuỗi số dƣơng Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dƣơng 10 CHƢƠNG II: KHÔNG GIAN MÊTRIC KHOẢNG 14 VÀ CHUỖI KHOẢNG 14 I Không gian Mêtric khoảng: 14 1.1 Các khái niệm : 14 1.2 Hợp, giao hai khoảng: 14 1.4 Quan hệ thứ tự khoảng 16 1.5 Các phép toán khoảng số học 16 1.5.1 Định nghĩa phép toán số học khoảng 17 Sự hội tụ dãy khoảng 22 Khái niệm Mêtric khoảng 21 3.1 Khoảng cách giải tích khoảng 21 3.2 Khái niệm Mêtric giải tích khoảng 21 II Chuỗi khoảng 25 SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN - ĐHSP 2.1 Khái niệm chuỗi khoảng 25 2.2 Chuỗi khoảng dƣơng 30 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN KẾT LUẬN 40 SVTH: Nguyễn Thị Phƣơng ... số học khoảng 17 Sự hội tụ dãy khoảng 22 Khái niệm Mêtric khoảng 21 3.1 Khoảng cách giải tích khoảng 21 3.2 Khái niệm Mêtric giải tích khoảng 21 II Chuỗi khoảng. .. bị Trong chƣơng tơi trình bày khái niệm tính chất không gian Mêtric số học chuỗi số Chƣơng 2: Không gian Mêtric khoảng chuỗi khoảng Chƣơng tơi trình bày khái niệm khoảng, chuỗi khoảng, chuỗi khoảng. .. lim x n n 1 2.2 Chuỗi khoảng dƣơng Chuỗi khoảng dƣơng X n 1 n đƣợc gọi chuỗi khoảng dương X n 0, n xn 0, n Ví dụ 2.2 Chuỗi khoảng 1 , chuỗi khoảng dƣơng 1 n n 1