SKKN hay

Chúng giúp chúng ta thận tiện trong các phép biến đổi đơn giản hay rút gọn biểu thức đại số mà trong nhiều trường hợp các hằng đẳng thức có vai trò như “sứ giả” để giúp chúng ta tư duy t[r]

(1)

VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TỐN

Các đẳng thức đóng vai trị quan trọng hầu hết tất bài toán đại số Chúng giúp thận tiện phép biến đổi đơn giản hay rút gọn biểu thức đại số mà nhiều trường hợp đẳng thức có vai trị “sứ giả” để giúp tư tìm lời giải cho tốn một cách hiệu bất ngờ.

Các toán giúp bạn thấy rõ điều đó:

Bài Rút gọn biểu thức sau:

2

2 2

2

2010 2009

1

1 C c

128 18

12 2 B b

3 2

3

2

3 A

a

 

       

   

 

 

   

 

Giải:

a Chú ý rằng:





1 3

4   Do dó ta biến đổi:

3 2 2

3

2 2

3 A

 

 

 

 









3 2

1 3

2 2

1

3 2

 

 

 

 

















2

1 2

1

3 2

1

 

 

 

 













1

3 2

1

3 2

 

 

 

 















 



3

1

1 3

3

1

3 2

           

Vậy A

b B 62 3 2 12 16 2.4 22

 2

2 2 2

6    



2 2 2

6     

4 3 2

(2)





2

6     







6     



c Sử dụng đẳng thức: x y z2 x2 y2 z2 2xy yz zx

        Ta có: abc c b a c b a ca bc ab c b a c b a 2 2 2                          

Nếu abc0 thoả mãn abc0 ta có đẳng thức;

2 2 c b a c b a           

Từ suy được:  *

c b a c b a c b a 2

2    

         

(Với abc0 abc0) Áp dụng đẳng thức (*) ta có:













1 i 1 i i 1 i i 1 i i

1 2 2 2 2  

              

 Khi thay

2009 , , ,

i vào ta được:

                            2010 2009 1 1 1 C                    2010 2009 3 1 1 C

2008      1005 502 2008 2010 2008

C 

       

Bài Tính giá trị biểu thức M a3 b3 3a b 2010

   

 Với

3

3 3 2 2 3 2 2

a    b31712 317 12

Giải: Áp dụng đẳng thức: x y3 x3 y3 3xyx y

 

 

 ta có:





3

3 3 2 2 3 2 2

a    





a3 3

          



 



Tương tự: b3 34 3b



 Thay vào biểu thức cho ta được:

6 3a 34 3b 3a b 2010

M      

2050 2010

40

M   Vậy M2050

(3)











3 x 10 b

x x x x a

2

  

     

Giải:

a Điều kiện xác định:

5x

05

x

04

x



















Nhân vào hai vế phương trình cho với























x      



12 x x

x      

0 x x 13

x     



 











 (*)

Do























0

5

x

3

0

3

4

x























0

5

x3

0

3

4

x

(*)

5x

05

x

34

x





















Vậy phương trình có nghiệm x5

b Nhận xét: Ta nhận thấy quan hệ x3

 x32 có mặt hai vế của phương trình thơng qua đẳng thức: x3 x 1





   

 đó

x 1





    

 .

Chính ta giải sau:

Giải: Điều kiện xác định: x3 x

    

Khi phương trình cho tương đương với:

x 1













10 2

       

x 1 3





3 x x x

10 2

        

Đặt x1u x2  x1v,u;v0 Ta phương trình hai ẩn sau:







 

     

   

u v

v u v u v u uv 10 v u

(4)

 Với u3v, ta có:





9 x x x

x 2

       

  9x2  10x80 (vô nghiệm)

 Với v3u, ta có:

x 1 x 10x

1 x x x x

x2 2

            

33 x 33 x

33 x

    

  

  

  

 (do x1)

Vậy phương trình có nghiệm x5 33 Bài Giải phương trình sau:



















8

y

x

y

1

x

12

y

x

y

1

x

.a

2



















6

4

x

4

y

1

y

2

6

x

b

Giải:

a Điều kiện xác định: y0

Dễ thấy 2xy

y x y

x 2

2

        

 nên hệ cho viết được:





































































































)2(

8

y

x

y

1

x

)1(0

20

y

1

x

y

1

x

8

y

x

y

1

x

12

y

x

y

1

x

2

Giải phương trình (1) với ẩn      



y

x ta có:

   

 

 

  

4 y x

5 y x

(5)













































y13x

01y5

y13

y13x

5

y

1

x

13

y

x

5

y

1

x

2

(Vô nghiệm)

 Với x1y4, ta hệ:























































2

1

y

2x

y4x

01y4y4

y4x

4

y

1

x

4

y

x

4

y

1

x

2

Vậy phương trình có nghiệm         

2 ; y ; x

b Điều kiện xác định:



















1y

4x

11y

04x

Cộng vế phương trình hệ ta được:

4 x y y

x     x x y

(6)

 

















































2y

8x

011

y

02

4x

Thử x8;y2 vào hệ thoả mãn

Vậy hệ có nghiệm x;y8;2

Bài Cho x.y1 xy, x,yR Chứng minh rằng: 2 * y

x y x2

  

Giải: Do xy nên x y0 Suy ra:

 * x2 y2 2x y x2 y2 2x y  1

  

   

 

Theo giả thiết x.y1 nên:

 1





   

  

x y2 2x y

 

 

 

 





 (luôn đúng) Vậy bất đẳng thức chứng minh

Dấu đẳng thức xảy chi khi:































62

2

y

2

62

x

1xy

2y

x

Rất nhiều toán mà q trình tìm lời giải địi hỏi bạn phải có kỷ nhuần nhuyển sử dụng đẳng thức Các ví dụ đây phần giúp bạn hình dung lợi ích sử dụng đẳng thức.

(7)

1 1

2

2 1

2

 

   

 

b Rút gọn: A 62 5 2912 5; B 8 8 20 40 Bài Tính giá tri biểu thức:

    

  

     

  

   

y x y x

y y x

P với

4 21 y ;

21

x   

Bài Giải phương trình hệ phương trình sau:

2 x x x

a     

2

x x x x

3 x

b   

 



















2010 2009 2009 2009

2 2

3

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

.c

Bài Cho số thực x, y thoả mãn x2 8x y 2xy 2y2 13

    

 Tìm giá trị