Đang tải... (xem toàn văn)
O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c.. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]
(1)Đề thi chon đội tuyển học sinh gii lp 8
Năm học: 2009-2010 Môn: Toán
(Thời gian làm bài:120 phút Vòng 1)
Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x4+6x3+11x2+6x
1/ Phân tích f(x) thành nhân tử
2/ Chứng minh với giá trị nguyên x f(x) +1 có giá trị số phơng
Bài 2 (3 điểm):
a)Cho x,y,z số nguyên khác vµ a=x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy Chøng
minh r»ng
ax+by+cz chia hết cho a+b+c
b)Tìm cặp số tự nhiên (x,y) thoả mÃn phơng trình (x+1) y = x2+4
Bài 3(1,5 điểm):
Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc B = x+y+z; Biết x; y; z số thực thoả mÃn điều kiện y2 + yz + z2 = -
2 3x2
Bài 4(3 điểm):
a)Cho tam giỏc ABC O l điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F, M, N, P lần lợt trung điểm AB, BC, CA, OA, OB, OC Chứng minh đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy
b)Cho tam giác ABC (AB<AC) Dựng phía tam giác ABC tam giác ABD cân B tam giác ACE cân C cho góc ABD = góc ACE Gọi M trung điểm BC HÃy so sánh MD ME
H v tờn thớ sinh: ; Số báo danh:……… Chú ý:Ngời coi thi không đợc gii thớch gỡ thờm
Đáp án, biểu điểm môn to¸n
Kú thi chän häc sinh giái líp vòng I Năm học 2009 2010
Bài Néi dung §iĨm
1.Lần lợt phân tích để có kết f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)
2.Từ kết câu ta cã:
1
(2)
1(2,5 ®) + f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + = (x
2 +3x)(x2 + 3x+2) + 1
+ Đặt x2 + 3x = t; ta cã A=t(t+2)=t2+2t+1=(t+1)2
+ xZ nên t=x2+3x Z ;do (t+1)2 Z (t+1)2 số phng.
+ KL :với giá trị nguyên x f(x) +1 số phơng
0,75 0,25
2(3®)
a,(1,5) ta cã: ax+by+cz = x3+y3+z3-3xyz.
Mµ :
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz =
= (x+y+z)( x2+y2+z2-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)=
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y+z)( x2+y2+z2-xy-yz-zx).
Mặt khác: a+b+c = (x2+y2+z2-xy-yz-zx).
T ta có : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm)
0,25
1® 0,25
b,(1,0®) Ta cã : (x+1)y= x2+4 (x+1)y-(x2-1)=5 (x+1)(y-x+1)=5
Do : x+1N ớc Suy x+1=1;5
Suy x=0,4 Thử trực tiếp ta đợc cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề (0;4); (4;4)
0,5 0,5 0,5
3(1,5®)
+Ta cã y2+yz+z2
=2-2 3x2
2y2+2yz+2z2=4-3x2 3x2+2y2+2yz+2z2=4 (1)
x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+x2-2xy+y2+x2-2xz+z2=4 (x+y+z)2+(x-y)2+(x-z)2=4
+Do (x-y)20; (x-z)20 nªn tõ (*) suy (x+y+z)24
Hay -2x+y+z2
+Dấu “ ”= xảy x-y=0 x-z=0 hay x=y=z Thay vào (1) ta đợc 9x2 = 4 x =
3
hc x=
-3
+KL: Víi
x=y=z=-3
th× B = -2 Víi x = y = z =
3
th× max B =
0,25
0,5
0,25
(3)4(3đ)
a.(1,5đ) Vẽ hình xác
Hc sinh chứng minh đợc MF//NE; MF=NE (Tính chất đờng trung bình) Suy MFEN hình bình hành nên EM, FN cắt trung điểm I chúng
Chứng minh tơng tự: MDEP hình bình hành nên ME, DP cắt trung điểm đờng
Từ suy DP, ME, NF đồng quy I
0,5®
0,5® 0,5®
b.(1,5®)
*Vẽ hình xác
Dựng hình bình hành ABFC
Học sinh chứng minh đợc BDF CFE(c.g.c) FDFE Trên cạnh CA lấy điểm A1, cạnh CE lấy điểm C1 cho
CA1=CC1 A1CC1 ABD(c.g.c) A1C1 BD.Dùng hình bình hành
AEGA1 tam giác ACE cân C nên góc CAE<900, suy góc AEG>900
do góc CAE= góc AEC< góc AEG suy A1C1<A1G hay DA<AE Xột
hai tam giác AFD AFE suy gãc AFD = gãc AFE XÐt tam giác MFD tam giác MFE suy MD<ME.(đpcm)
0,25 0,25 0,5
0,5
Chú ý : Học sinh làm cách khác hợp lý cho điểm tối đa theo thang điểm quy định.
CÂU LẠC BỘ TOÁN 8
Câu : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2 - 14x + 11
b) x5 + x -
c) x(y3-z3) + y(z3-x3) + z(x3-y3)
d) x(y+z)2 + y(x+z)2 + z(x+y)2 - 4xyz
Câu : Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B: A=3xn-1y6-5xn+1y4
(4) Câu : Chứng minh với số nguyên n ta có a) n2(n2-1) chia hết cho 12
b) n5-n chia heát cho 30
Câu 4: Chứng minh (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2)
với x, y, z thuộc R
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm E thuộc đường chéo AC.Qua E kẻ đường thẳng thẳng song song với BD, cắt đường thẳng AD, CD M,N Vẽ hình chữ nhật DMKN.Chứng minh K, E, B thẳng hàng
ĐÁP ÁN Câu1:
a) =(x-1)(3x-11) b) =(x2-x+1)(x3+x2-1)
c) =(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) d) =(x+y)(y+z)(z+x)
Caâu2: n=4 Caâu3:
a) =n.n(n-1)(n+1) nên chia hết cho 12
b) n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1) nên chia hết cho 30 Câu 4:
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2
Caâu 5:
Gọi O, I giao điểm đường chéo hình chữ nhậtABCD DMKN Ta chứng minh KE//IO KB//IO.Suy K, E, B thẳng hàng
thi hc sinh gii cp huyn
năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120phút)
Câu (1,5 điểm):
a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992
b/ Ph©n tích đa thức thành nhân tử : +/ x2-7x+10.
+/ x2-2x-y2+1. Câu (2 điểm):
a/ Giải phơng trình:
3
x x x
(5)b/ So sánh A B biết: A= (1+1
2)(1+
2 )(1+
2 )(1+
2 )(1+ 16
2 )(1+ 32
2 ) vµ B=2
Câu (2 điểm): Cho T=
2
3 2
( 1) ( 4) :
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
.
a/ Rót gän T
b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn
Câu (2 điểm): Một ngời xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách 80km Một nửa sau ngời xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời xe máy 10 phút Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe ô tơ gấp 1,5 lần vận tốc xe máy
C©u 5: (2,5 điểm): Cho ABC vuông A; H nằm đoạn BC ( H không
trựng B hoc C) Gọi E, F lần lợt điểm đối xứng H qua AB, AC HE cắt AB P, HF cắt AC Q
a/ Tứ giác HPAQ hình gì? Tại sao? b/ Chøng minh: AC.BP=AB.AQ
c/ Chøng minh ba điểm: E, A, F thẳng hàng
@
-hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi cấp huyn
năm học: 2090-2010 Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120phút)
Câu (1,5 điểm):
a/TÝnh nhanh: 999.1001+992 = (1000-1)(1000+1)+(100-1)2 =10002-1+1002
-200+1= 1000000+10000-200=1009800 ( 0,5 ®iĨm)
b/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
+/ x2-7x+10 = (x2-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5) ( 0,5
®iĨm)
+/ x2-2x-y2+1= (x2-2x+1)-y2 = (x-1)2-y2 = (x-1+y)(x-1-y) ( 0,5
điểm)
Câu (2 điểm):
a/ Giải phơng trình:
3
x x x
4( 1) 6(3 4)
12 12 12
x x x
4(x-1)=6(3x-4)-3x 4x-4=18x-24-3x => x= 20
(6)b/ Ta cã 1
A= 1
(1+
2)(1+
2 )(1+
2 )(1+
2 )(1+ 16
2 )(1+ 32 ) = (1- 12
2 )(1+
2 )(1+
2 )(1+
2 )(1+ 16
2 )(1+ 32
2 ) = (1-
2 )(1+
2 )(1+
2 )(1+ 16 )(1+ 32
1 ) = (1- 18
2 )(1+
2 )(1+ 16
2 )(1+ 32
2 ) = (1- 16
2 )(1+ 16
2 )(1+ 32
2 ) = (1- 32
2 )(1+ 32
2 ) = (1-64
1 )
=> A = 2(1- 164
2 ) = - 63
2 Do 63
2 > => - 63
2 < VËy A<B ( ®iĨm)
Câu (2 điểm): Cho T=
2
3 2
( 1) ( 4) :
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
TX§ x1
a/ Rót gän T=
2
3 2
( 1) ( 4) :
2 ( 1) ( 2)
x x x x x x
x x x x x
=
2 2
( 1)
: 2 2
x x
x x x x x
=
2
( 1)
( 1)( 2)
x
x x x x
=
1
(x1) 1 ( điểm) b/ Để T đạt giá trị lớn (x 1)2 1
nhá nhÊt mà (x+1)2 +1>1
Vậy x=-1 T=1 lớn ( điểm)
Câu (2 điểm): Gọi vận tốc ngời xe máy x km/h (x > 0)
=> vËn tèc cña ngời xe ô tô 1,5x km/h (0,5 điểm )
thời gian ngời xe máy là: 80
x (h) , thời gian ngời xe ô tô là:
80
1,5x ( h) (0,5điểm )
theo ta có pt: 80
x -
80 1,5x=
2
3 (ô tô trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = (h) giải pt đợc x= 40 (0,5điểm )
VËy vËn tèc cña ngời xe máy 40 km/h,
vận tốc ngời xe ô tô 60 km/h (0,5®iĨm )
(7)a/ Tø giác HPAQ hình chữ nhật có góc vu«ng
PAQ= 900;
HPA= 900; HQA= 900 (0,75
®iĨm )
b/ Do HP// AC =>PBH ABC=>PB PH
AB AC
AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ (0,75 ®iĨm )
c (0,75 ®iĨm )
đề thi Ơ-lim -pic huyện Mơn Tốn Lớp Năm học 2006-2007
(Thêi gian làm 120 phút)
Bài Phân tích thành nh©n tư. a) a3 2a2 13a 10
b) (a2 + 4b2 - 5)2 - 16(ab + 1)2
Bài Cho số tự nhiên a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3
+ b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho 6.
Bµi a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2
2
b) Cho 6a – 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2
Bài Đa thức bậc có hệ số bậc cao thoả mÃn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 TÝnh f(-1) + f(5)
Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh:
a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN
b)
AB NB AN
NC
A B
C H E P
(8)ỏp ỏn toỏn 8
Bài Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, câu điểm)
a)Ta nhËn thÊy a = 1, a = nghiệm đa thức nên: a3 2a2 13a 10
(a1)(a 2)(a5)
2 2 2 2
2
) ( 5) 16( 1) ( 4)( 4) ( ) ( ) ( 1)( 1)( 3)( 3)
b a b ab a b ab a b ab
a b a b a b a b a b a b
Bµi Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho (3 ®iĨm)
A = a + b + c =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c
= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho => C 6 => B 6
Bµi a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2
2
(*).(4 điểm, câu điểm)
Từ a b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vµo (*) ta cã: + 2b + 2b2
2
=> 4b2 + 4b +1 =>(2b + 1)2 BĐT Vậy a2 + b2
2 DÊu b»ng xÈy <=> (2b + 1)2 <=> b =-
2
vµ a = ; b) Cho 6a 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2
Đặt x = 2a; y = - 5b áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (3x + y)2
(x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2
10
Hay 4a2 + 25b2
10
DÊu b»ng xÈy <=> x3 y1 <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b <=>
20 a ; 50
1
b
(9)NhËn xÐt: g(x) = 2x2 + tho¶ m·n g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21.
Q(x) = f(x) - g(x) đa thức bËc cã nghiÖm x = 1, x = 2, x = VËy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta cã:
f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + = 29 + 24a.
f(5) = Q(5) + 2.52 + = 173 - 24a.
=> f(-1) + f(5) = 202
Bµi Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung ®iĨm cđa AC, trªn BM lÊy ®iĨm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh:
a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
b)
AB NB AN NC
.(4 điểm, câu điểm)
a)ANC vuông N (vì AM = MC = MN) CNM + MNA = 1v
BAN + NAC = 1v
Mµ MNA = NAC => CNM = BAN
Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN => BNE BAN
b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM = MN
Tứ giác ANCF hình chữ nhật (vì có đờng chéo cắt trung điểm đờng)
=> CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA =>
AB NB AN NC AB
NB AB AN NC AB
NB FN AN NC BA
BF AN FA
(Đpcm)
Cách khác: b) Ta có:ACN EAN => CN AC AN (1)
AN EA EN
BNE BAN =>AN BA (2) va BE NB (3)
NE BN BN AB Tõ (1) vµ (2) => BN = AE
Tõ CN AC CN AB AE EB EB EB 4
AN EA AN AE AE AE BN
Tõ (3) vµ (4) => CN NB
AN AB (§pcm) C
F M
N