HÌNH HỌC PHÂN DẠNG là gì?

1 HÌNH HỌC PHÂN DẠNG gì? Tóm tắt: Trong này, chúng tơi muốn trình bày sơ lược với độc giả ngành hình học mới: Hình học Phân dạng Chúng tơi giới thiệu vài mẫu hình phân dạng qua hai cách thành lập: cách lặp lại cách sinh từ số phức Chúng tơi trình bày cách đơn giản số chiều không nguyên (non-integer dimension) hình phân dạng Lê Quang Ánh, Ph.D Hình học phân dạng (Fractal Geometry) ngành Toán học, đời độ chừng nửa kỷ Lâu người ta thường nghĩ Toán học gồm số, phương trình “khơ khan” hình vẽ cứng nhắc có nịng cốt hình phẳng hình khối Hình học Euclid Với Hình học phân dạng người ta có dịp thưởng thức hình ảnh đẹp tuyệt vời, có có thật thiên nhiên, mà có sản phẩm trí tuệ người máy tính, chẳng hạn vài hình sau đây: Hình phân dạng tạo Peter Raedschelders (Yale University) máy tính Hình phân dạng thiên nhiên (lá dương xỉ) 2 Hình học phân dạng gì? Có xuất xứ nào? Lewis Fry Richardson (1881 – 1953), nhà Tốn học, nhà Khí Tượng học, nhà vận động Hịa bình, người Anh Khi nghiên cứu ngun có chiến tranh hai nước, Lewis Richardson để ý đến mối liên hệ xác suất có chiến tranh độ dài biên giới chung hai nước Trong thu thập liệu, ông nhận có chênh lệch đáng kể số đo đạt độ dài biên giới nhiều nước Thí dụ biên giới Tây Ban Nha Bồ Đào Nha ghi nhận thay đổi từ 987 km đến 1214 km, biên giới Hà Lan Bỉ từ 380 km đến 499 km, tùy theo tài liệu Ông điều tra thấy độ dài biên giới thay đổi đơn vị dùng việc đo đạt thay đổi Ơng cơng bố liệu thống kê giả thuyết dựa liệu thu thập Những liệu giả thuyết Bent Mandelbrot trích dẫn báo tiếng công bố vào năm 1967 tờ Science: “How Long Is the Coast of Britain?”(Bờ biển nước Anh dài bao nhiêu?) Chính báo viên đá đặt móng cho ngành Hình học phân dạng, Mandelbrot người tiếp tục bước việc định hình phát triển ngành học 3 Bent Mandelbrot (1924 - 2010), nhà Tốn học Pháp-Mỹ, sinh quán Ba Lan, cha đẻ Hình học phân dạng Bent Mandelbrot sinh đẻ Ba Lan, theo gia đình qua Pháp năm 1936, lớn lên học hành Sau tốt nghiệp trường Đại học Bách Khoa Paris năm 1947, ông qua Mỹ học CIT (California Institute of technology = Viện kỹ thuật California) lấy Cao học Hàng không (Aeronautics) năm 1949 Ông trở Pháp lấy Tiến sĩ Tốn Đại học Paris năm 1952 Năm 1958, ơng lại qua Mỹ làm việc Viện nghiên cứu IBM ông làm việc suốt 35 năm Trong khoảng thời gian nghỉ thường niên, ông mời làm giáo sư thỉnh giảng Đại học Yale Phạm vi nghiên cứu ông rộng: nhiều vấn đề lý thuyết Toán mà áp dụng Toán vào Tin học, Kinh tế Cơ học lưu chất Khi cịn trẻ, ơng chịu ảnh hưởng nhiều người ruột, nhà Toán học Szolem Mandelbrojt1, nhà Toán học thời gần gủi với nhóm Bourbaki Một hình phân dạng hình “gai góc lởm chởm (rough)” hình có dạng hình học đó, chia thành nhiều mảnh nhỏ, mảnh nhỏ - dầu kích cỡ – đồng dạng (hoặc gần đồng dạng) với tồn thể hình Đây câu chữ B Mandelbrot, dùng làm định nghĩa cho từ hình phân dạng, tiếng Anh fractal xuất phát từ chữ La tinh fractus (nghĩa gãy vụn), gắn liền với tên Mandelbrot từ năm 1975 Tính chất đồng dạng định nghĩa gọi tính tự đồng dạng (self-similarity) Một hình phân dạng thường có tính chất sau đây: Có cấu trúc tinh tế kích cỡ Mỗi thành phần hình đồng dạng với tồn thể hình (tính chất tự đồng dạng) Lưu ý chữ j tên nhà Toán học theo kiểu người Ba Lan 4 Có hình dạng bất thường, phức tạp, mà hình học Euclid thơng thường khơng dễ dàng mơ tả Có thể tạo dựng phép truy hồi (recursive) hay phép lặp lại (iteration) từ hình đơn giản Có số chiều số nguyên (non-integer dimension, fractional dimension) Trong số tính chất hình phân dạng, ý đến hai tính chất quan trọng nhất, tính tự đồng dạng số chiều khơng phải số ngun mà ta tìm hiểu phần sau Có hai cách để tạo hình phân dạng: cách lặp lại (truy hồi) cách phát sinh từ số phức Julia-Mandelbrot Chúng ta giới thiệu hai cách qua số hình phân dạng quan trọng phần Tam giác Sierpinski Wacław Sierpiński (1882 – 1969), nhà Toán học người Ba Lan Tam giác Sierpinsli nhà Toán học Ba Lan Waclaw Sierpinski mô tả lần vào năm 1916, hình phân dạng thành lập theo lối lặp lại Khởi đầu tam giác 5 Chia tam giác thành bốn tam giác nhỏ (nhờ trung điểm cạnh), lấy tam giác Lặp lại bước cho tam giác nhỏ lại Cứ tiếp tục Ta tính chu vi diện tích tam giác màu đen để hình thành tam giác Sierpinski giai đoạn, từ suy chu vi diện tích tam giác Sierpinski Kết chi tiết bốn giai đoạn đầu ghi lại sau đây: Giai đoạn Số tam giác Tổng chu vi Tổng diện tích 1 27 27 81 16 27 64 Ta suy tổng chu vi diện tích giai đoạn thứ n: 𝑛 𝑛 Pn = 3(2) Sn = (4) Cho n → ∞, ta có chu vi diện tích tam giác Sierpinski P = lim 𝑃𝑛 = ∞ S = lim 𝑆𝑛 = 𝑛→∞ 𝑛→∞ Điều gây ngạc nhiên cho số diện tích tam giác Sierpinski 0, chu vi vơ cực Một vài hình phân dạng tương tự tam giác Sierpinski: Các bước hình thành Tam giác nhánh tam phân Sierpinski (Ternary tree Sierpinski triangle) 6 Các bước hình thành Tấm thảm Sierpinski (Sierpinski carpet) Một giai đoạn thành lập Tứ diện Sierpinski (3D Sierpinski tetrahedron) Bông tuyết Koch Von Koch (1870 – 1924), nhà Tốn học Thụy Điển Bơng tuyết Koch (Koch snowflake) hình phân dạng có phương pháp lập lại - cách thành lập tam giác Sierpinski - nhà Tốn học Thụy điển Von Koch mơ tả vào năm 1904 báo viết tiếng Pháp nhan đề “Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire” (Về đường cong liên tục khơng tiếp tuyến, có phép vẽ hình học đơn giản) Trước hết ta nói đường cong Koch  Đường cong Koch Cách thành lập sau: Khởi đầu đoạn thẳng Chia đoạn thẳng thành ba phần Thay đoạn hai đoạn (và đọan thay thế), tạo với góc 600 Lặp lại bước cho bốn đoạn thẳng phần Cứ tiếp tục Có thể tính độ dài đường gấp khúc bước thứ n (nếu đoạn thẳng khởi đầu dài 1): 𝑛 Ln = (3) Từ suy độ dài đường cong Koch 𝐿 = lim 𝐿𝑛 = ∞ 𝑛→∞  Bông tuyết Koch Ta bắt đầu tam giác Trên cạnh ta dựng đường đường gấp khúc để tạo nên đường cong Koch nói phần trên, ta hình gọi bơng tuyết Koch (Koch snowflake) Vì chiều dài đường cong Koch canh tam giác vô cực, chu vi hình bơng tuyết Koch vơ cực Bây ta thử tính diện tích phần bên bơng tuyết Koch Mục tiêu tìm biểu thức cho diện tích phần giới hạn đường gấp khúc giai đoạn tổng quát – giai đoạn thứ n Trước hết gọi A0 diện tích tam giác cho sẵn Ở giai đoạn thứ nhất, diện tích tương ứng tổng A0 với diện tích tam giác nhỏ Dễ thấy diện tích tam giác nhỏ 𝐴0 Như diện tích cần tính giai đoạn thứ 𝐴1 = 𝐴0 + 3∙ 𝐴0 Ở giai đoạn thứ hai, diện tích tương ứng tổng A1 với diện tích 12 tam giác nhỏ Diện tích tam giác nhỏ trường hợp 𝐴0 𝐴 = 920 Như diện tích cần tính giai đoạn thứ hai 𝐴 𝐴2 = 𝐴1 + 12∙ 920 Làm tiếp giai đoạn sau xếp lại kết ta được: Do diện tích hình bơng tuyết Koch tính 𝐴 = lim 𝐴𝑛 = 𝐴0 + 𝑛→∞ 3𝐴0 𝑖 lim ∑𝑛𝑖=1 (9) = 𝑛→∞ 8𝐴0 Đây thí dụ cho thấy đường cong kín dài vơ tận giới hạn diện tích hữu hạn  Một vài hình biến tấu từ bơng tuyết Koch 10 Hình phân dạng sinh từ số phức Có hai nhà Tốn học tiên phong lãnh vực nghiên cứu này: Gaston Julia Bent Mandelbrot Về nhà Tốn học Mandelbrot chúng tơi có nói phần đầu này, xin có vài nét nhà tốn học Gaston Julia Gaston Julia (1893 – 1978), hình tuổi 20 hình giáo sư nhiều trường ĐH Paris Một số sách giáo khoa Toán Gaston Julia (trước chiến thứ II) Gaston Julia sinh lớn lên Algérie, thuộc địa Pháp Bắc Phi Thuở nhỏ ông thích âm nhạc Tốn học Ơng đậu vào trường Cao đẳng Sư Phạm Paris danh tiếng Năm 21 tuổi, học năm cuối, chiến thứ bùng nổ, chàng tuổi trẻ phải “xếp bút nghiên theo việc đao cung”, chẳng may bị thương hoàn toàn mũi Bao nhiêu lần chữa trị tái tạo không thành công, Julia đành phải mang miếng da - tự chế - che khoảng trống suốt đời Trong thời gian 1916 – 1917, nằm bệnh viện, ông viết nghiên cứu mang tên “Étude sur les formes binaires non quadratiques indéterminées réelles 11 ou complexes, ou indéterminées conjuguées” gởi đến Hàn Lâm Viện Khoa học Paris để xin thẩm định Chủ tịch hội đồng nhà Toán học tiếng Emile Picard giám khảo nhà Toán học sáng lập lý thuyết độ đo Henri Lebesgue, tất đồng ý cấp cho Julia Tiến sĩ với lời khen ngợi Năm 25 tuổi, Julia công bố viết dài 199 trang mang tựa đề “Mémoire sur l'itération des fonctions rationelles”, ơng đưa ý tưởng lặp lại hàm phức, ý tưởng làm nguồn cảm hứng cho Mandelbrot xây dựng nên ngành hình học phân dạng sau Với nghiên cứu ấy, ông tặng thưởng giải thưởng lớn Hàn Lâm Viện Khoa học ( Grand Prix de l'Académie des Sciences) năm 1919 Trong thời gian dạy học, ông viết không 10 sách giáo khoa, làm hành trang cho nhiều hệ sinh viên Toán học khắp nơi giới2 Tập hợp Mandelbrot Tập hợp Mandelbrot tập hợp điểm z0 mặt phẳng phức cho phép lặp lại định hệ thức zn+1 = 𝑧𝑛2 + z0 bị chặn Thí dụ:  Với z0 = Ta có:  …………………… Dãy số (zn) khơng bị chặn Do z0 = khơng thuộc tập hợp Mandelbrot Với z0 = i Ta có: ………………… Dãy số (zn) bị chặn Do z0 = i thuộc tập hợp Mandelbrot Người viết nhớ nhiều lần xử dụng sách Julia thư viện trường ĐH Khoa học ĐH Sư phạm Saigon năm 1963-1967 Tất sách ông nhà Gauthier-Villars xuất (L.Q.A) 12 Tập hợp Mandelbrot Hình phóng lớn khu vực thung lũng cá ngưa (sea horse valley) tập hợp Mandelbrot Hình phóng lớn thung lũng voi (Elephant valley) tập hợp Mandelbrot Ta ý tính tự đồng dạng hình nơi cho dù cỡ (size) nhỏ 13 Tập hợp Julia Xem qui luật lặp lại định bởi: zn+1 = 𝑧𝑛2 + c c cố định (có giá trị cho sẵn) Tập hợp Julia tập hợp tất điểm z bị chặn mặt phẳng phức qua phép lặp lại định phương trình Ta lưu ý khác định nghĩa định nghĩa tập hợp Mandelbrot chỗ giá trị số c cho sẵn Như với giá trị c ta có tập hợp Julia tương ứng, có vơ số tập hợp Julia khác Dưới vài tập hợp Julia ứng với giá trị khác c (Nguồn: Internet) c= -0.52 + 0.57i c = – φ (trong φ số vàng) c = -1.037 + 0.17i c = -0.624 + 0.435i 14 Nếu thay đổi qui luật lặp lại, ta có số hình phân dạng khác Xem thí dụ sau với hàm qui định kèm: zn+1 = 𝑧𝑛4 + 0.484 zn+1 = 𝑧𝑛3 + 0.4 Số chiều hình phân dạng Trước nói tới số chiều hình phân dạng trở khái niệm thông thường (mà quen thuộc) hình học Euclid Trong hình học Euclid:  Số chiều điểm  Số chiều đường thẳng  Số chiều mặt phẳng  Số chiều không gian (ta sống) Lý mà đưa là: điểm đường thẳng (trục số) xác định số x; điểm mặt phẳng (mặt phẳng tọa độ) xác định số (x,y); điểm không gian xác định số (x,y,z) Chúng ta chấp nhận thoải mái khơng có hồi nghi Cũng tinh thần đó, nói đoạn thẳng hình có chiều, hình vng hình có chiều, hình lập phương hình có chiều, chấp nhận dễ dàng, nhờ trực giác Thật cần phải có lời giải thích trực giác lúc đáng tin cậy Ta thử đề nghị cách giải thích sau đây, từ cách giải thích hiểu định nghĩa số chiều cho hình phân dạng Hình khởi đầu gồm đoạn thẳng, hình vng, hình lập phương (khối vng) Ta chia đoạn thẳng thành 2, đoạn nhau; 15 hình vng thành 4, hình vng nhỏ nhau; khối vuông thành 8, 27 khối vuông nhỏ Trong sơ đồ trên, r yếu tố bị chia, N số hình nhỏ đồng dạng với hình cũ, D số chiều Ba đại lượng liên kết với qua hệ thức: N = rD (1) Thí dụ hình, hàng thứ ba, ta thấy công thức (1) kiểm chứng sau Yếu tố bị chia r = Đoạn thẳng bị chia thành N = đọan thẳng nhỏ, số chiều đoạn thẳng D = Cũng hàng này, hình vng bị chia thành N = hình vng nhỏ, số chiều hình vng D = 2, với khối vng N = 27 D = Phương trình (1) có dạng tương đương sau chuyển qua ln (logarithm tự nhiên, tức logarit số e): ln 𝑁 D = ln 𝑟 (2) Đối với hình phân dạng, cơng thức định số chiều (2) đó: N = số mảnh tự đồng dạng r = yếu tố bị chia  Bơng tuyết Koch: Vì r = N = Số chiều = D = ln ln ≈ 1.261 16  Tam giác Sierpinski: Số chiều = D =  ln ln ≈ 1.585 Tấm thảm Sierpinski: Vì r = N = Số chiều = D = ln ln ≈ 1.892 Nhận xét: Số chiều trường hợp số nguyên Số chiều gần tập hợp gần với đường (thẳng hay cong), số chiều gần 1.5 tập hợp gần với tam giác, số chiều gần tập hợp gần với hình vng Người ta cịn định nghĩa số chiều tập hợp cách khác, xác - thích ứng cho cho trường hợp hình phân dạng phức tạp – cơng thức sau ln 𝑁 D = limsup ( ln 𝑟 ) 𝑟 →0 (3) Số chiều tập hợp định cơng thức (3) có tên box dimension (chúng tơi chưa có từ Việt để chuyển) Ngồi cịn nhiều cơng thức khác để định số chiều tập hợp, tất phải trùng hình đơn giản diễn tả hình học Euclid Một số hình phân dạng tự nhiên Hai mẫu phân nhánh (dựa theo thiên nhiên) 17 Rừng trút mùa đông Một loại dương xỉ Bắp cải tím (cắt ngang) Bơng cải Romanesco Một loại sinh vật biển (sea-urchin) Thiên nhiên hùng vĩ có hình phân dạng 18 Bí mật thiên nhiên: Hình chụp cánh đồng lấy từ http://alexandraduchesne.blogspot.com/ Thư Mục Hiện tài liệu để học tập nghiên cứu Hình học phân dạng có nhiều Chúng tơi xin giới thiệu với bạn đọc có quan tâm vài tài liệu có tính cách giáo khoa đòi hỏi kiến thức ban đầu Falconer K., The geometry of fractal sets Cambridge University Press, Cambridge, 1985 Falconer K., Fractal geometry John Wiley & Sons, Chichester, 1990 Falconer K., Techniques in fractal geometry John Wiley & Sons, Chichester, 1997 Frame M., Mandelbrot B., Neger N., Fractal geometry Yale University, 2005 Hata M., Kigami J., Yamaguti M., Mathematics of Fractals Amer Math Soc., 1997 Leifsson P., Fractal sets and Dimensions www.divaportal.org/smash/get/diva2:22333/FULLTEXT01.pdf Tất sách có tính cách giáo khoa, viết có hệ thống, dễ học Falconer tác giả loạt sách giáo khoa hình phân dạng số chiều hình phân dạng Sách viết nghiêm túc, tài liệu giáo khoa cho nhiều trường Riêng cuối, Luận Án Partik Leifsson, sinh viên Cao học Thụy Điển, trình năm 2006 Sách biên soạn lại, dễ đọc