Một số vấn đề về ánh xạ đa trị

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: MỢT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ÁNH XẠ ĐA TRI ̣ Sinh viên thực : VÕ THANH DŨ NG Giáo viên hướng dẫn : TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Lớp : 09ST Đà Nẵng 5/2013 i LỜ I CẢ M ƠN Em xin dành trang đầ u tiên này để bày tỏ lòng biế t ơn chân thành đế n quý thầ y, cô khoa Toán, trường Đa ̣i Ho ̣c Sư Pha ̣m – Đa ̣i Ho ̣c Đà Nẵng, những người đã hế t lòng da ̣y dỗ, truyề n đa ̣t những tri thức khoa ho ̣c và kinh nghiê ̣m quý báu để em có đươ ̣c ngày hôm Đă ̣c biê ̣t, em xin chân thành cảm ơn thầ y TS Nguyễn Duy Thái Sơn, người đã gơ ̣i ý và hướng dẫn đề tài khoá luâ ̣n “Mô ̣t số vấ n đề về ánh xạ đa tri”.̣ Thầ y đã nhiêṭ tình và hế t lòng giúp đỡ suố t thời gian qua để em có thể hoàn thành luâ ̣n văn này Cuố i cùng, cho phép em đươ ̣c cảm ơn thầ y chủ tich ̣ hô ̣i đồ ng, các thầ y cô phản biêṇ và các uỷ viên hô ̣i đồ ng đã giành thời gian quý báu để đo ̣c nhâ ̣n xét, đánh giá và tham gia hô ̣i đồ ng chấ m khoá luâ ̣n này Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Võ Thanh Dũng ii MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN Các kí hiệu Tính nửa liên tục 2.1 Định nghĩa 1.1: 2.2 Định nghĩa 1.2: 2.3 Định nghĩa 1.3: 12 Tính chấ t của ánh xa ̣ đa tri nư ̣ ̉ a liên tu ̣c 13 3.1 Mê ̣nh đề 1.1 19 Mô ̣t số tiêu chuẩ n khác của ánh xa ̣ đa tri nư ̣ ̉ a liên tu ̣c 20 4.1 Mê ̣nh đề 1.2 24 CHƯƠNG II: TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI 25 Tính nửa liên tu ̣c dưới 25 1.1 Định nghĩa 2.1 25 1.2 Định nghĩa 2.2 26 1.3 Định nghĩa 2.3 27 Tính chấ t của ánh xa ̣ đa tri nư ̣ ̉ a liên tu ̣c dưới 29 2.1 Mệnh đề 2.1 31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 iii LỜ I NÓ I ĐẦU Giải tích đa tri ̣là mô ̣t hướng nghiên cứu tương đố i mới Toán ho ̣c, mă ̣c dù từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán ho ̣c đã thấ y cầ n phải nghiên cứu ánh xa ̣ đa tri,̣ tức là ánh xa ̣ nhâ ̣n giá tri ̣là các tâ ̣p hơ ̣p của một tâ ̣p hơ ̣p nào đó Vai trò của giải tích đa tri ̣ Toán ho ̣c và các ứng du ̣ng toán ho ̣c đã đươ ̣c công nhâ ̣n rô ̣ng raĩ Giải tích đa tri ̣có nhiề u ứng du ̣ng lý thuyế t phương trình vi phân, phương trình đa ̣o hàm riêng, bấ t đẳ ng thức biế n phân và phương triǹ h suy rông, lý thuyế t tố t ưu, lý thuyế t điề u khiể n, tố i ưu đa mu ̣c tiêu, khoa ho ̣c quản lý, và toán kinh tế Mu ̣c đích của luâ ̣n văn là sinh viên muố n đề câ ̣p đế n khái niêm ̣ ánh xa ̣ đa tri,̣ tính nửa liên tu ̣c trên, dưới và các tính chấ t, tiêu chuẩ n liên quan Khoá luâ ̣n bao gồ m các nô ̣i dung chiń h sau: CHƯƠNG I: TÍ NH NỬ A LIÊN TỤC TRÊN CỦ A Á NH XẠ ĐA TRI ̣ CHƯƠNG II: TÍ NH NỬ A LIÊN TỤC DƯỚ I CỦ A Á NH XẠ ĐA TRI ̣ KẾT LUẬN VỀ ĐỀ TÀ I NGHIÊN CỨU TÀ I LIỆU THAM KHẢ O Trong cả hai chương này, chủ yế u trình bày về khái niê ̣m ánh xa ̣ đa tri,̣ đồ thi ̣ của ánh xa ̣ đa tri,̣ đinh ̣ nghiã thế nào là ánh xa ̣ đa tri ̣ nửa liên tu ̣c (dưới), nửa liên tu ̣c (dưới) theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿, các tính chấ t, tiêu chuẩ n, và liên ̣ với tính nửa liên tu ̣c (dưới) của hàm đơn tri.̣ Những kế t quả của luâ ̣n văn là sự tổ ng kế t, chứng minh chi tiế t các vấ n đề về tính liên tu ̣c của ánh xa ̣ đa tri ̣ sách “MULTIVALUED DIFFERENTIAL EQUATIONS” của tác giả “Klaus Deimling” Mă ̣c dù đã rấ t cố gắ ng, viêc̣ nghiên cứu chắ c chắ n không tránh khỏi thiế u sót Rấ t mong nhâ ̣n đươ ̣c những ý kiế n đóng góp từ phía thầ y cô giáo và các ba ̣n để bài khoá luâ ̣n đươ ̣c hoàn thiê ̣n Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Võ Thanh Dũng CHƯƠNG I: TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN Các kí hiệu Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ Kí hiệu 2𝑋 họ tất tập hợp 𝑋 2𝑋 /∅ nghĩa 2𝑋 /{∅} Cho tập hợp 𝛺 ≠ ∅, 𝐹: 𝛺  2𝑋 gọi một ánh xạ đa trị từ 𝛺 vào 2𝑋 Với 𝜔 ∈ 𝛺, tập 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑋 gọi giá trị 𝐹 Không loại trừ khả năng, với một số phần tử 𝜔 ∈ 𝛺 mà 𝐹(𝜔) = ∅ Ta nói 𝐹 ánh xạ đơn trị 𝐹(𝜔) = {𝑓(𝜔)} với 𝜔 ∈ 𝛺, một số trường hợp ta bỏ dấu { } Cho 𝑓: 𝛺  𝑋 với 𝑓(𝜔) ∈ 𝐹(𝜔) với 𝜔 ∈ 𝛺 gọi một nhánh đơn trị ánh xạ đa trị 𝐹 Đồ thị, miền giá trị ánh xạ đa trị 𝐹 : 𝛺  2𝑋 xác đinh ̣ công thức sau: 𝐹(𝛺): = ⋃ 𝐹(𝜔) ; 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ (𝐹): = {(𝜔, 𝑥) ∈ 𝛺 × : 𝜔 ∈ 𝛺, 𝑥 ∈ 𝐹(𝜔)}, 𝜔∈𝛺 (1) 𝐹 −1 (𝐴) = {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ∩ 𝐴 ≠ ∅} với 𝐴 ⊂ 𝑋 gọi nghịch ảnh tập 𝐴 ⊂ 𝑋 Nếu 𝐴 = {𝑥}, viết 𝐹 −1 (𝑥), 𝐹 −1 (𝑥) = {𝜔 ∈ 𝛺; 𝑥 ∈ 𝐹(𝜔)} Từ trở sau, 𝑋 xem một không gian Banach thực – 𝑋 một không gian vectơ trường số thực ℝ với một chuẩn │.│: 𝑋  ℝ+ = {𝑟 ∈ ℝ: 𝑟 ≥ 0} cho dãy Cauchy hội tụ tức 𝑠𝑢𝑝|𝑥𝑛+𝑝 − 𝑥𝑛 |  |𝑥𝑛 − 𝑥|  (khi n  ∞) với 𝑥 ∈ 𝑋 nào đó Ta kí hiệu 𝑋 ∗ khơng gian đối ngẫu (khơng gian liên hợp) 𝑋 – 𝑥 ∗ : 𝑋  ℝ với một chuẩn |𝑥 ∗ | = sup{|𝑥 ∗ (𝑥)|: |𝑥| ≤ 1} mợt hàm tuyến tính liên tục không gian Banach Đây trường hợp đặc biệt 𝑌 = ℝ không gian 𝐿(𝑋, 𝑌), mợt hàm tuyến tính liên tục khơng gian Banach từ 𝑋 vào 𝑌 với chuẩn |𝑇| = sup{|𝑇𝑥|: |𝑥| ≤ 1}; Ta viết 𝐿(𝑋) thay cho 𝐿(𝑋, 𝑋) Cho 𝐴 ⊂ 𝑋 ta kí hiệu 𝐴̅, 𝐴̇ 𝜕𝐴 bao đóng, phần biên 𝐴 Ta có, khái niệm tương ứng sau: Hình cầu mở 𝐵𝑟 (𝑥0 ) = {𝑥 ∈ 𝑋: |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑟} Hình cầu đóng 𝐵𝑟 (𝑥0 ) = 𝐵𝑟 (𝑥0 ) = {𝑥 ∈ 𝑋: |𝑥 − 𝑥0 | ≤ 𝑟} Cho 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋 𝜆 ∈ ℝ Ta định nghĩa 𝐴 + 𝜆𝐵 = {𝑎 + 𝜆𝑏: 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} 𝑥 + 𝐵 = {𝑥} + 𝐵 Ví dụ, hình cầu mở 𝐵𝑟 (𝑥0 ) = 𝑥0 + 𝑟𝐵1 (0) 𝑟 𝑥0 𝐵𝑟 (𝑥0 ) Và 𝐴 + 𝐵𝑟 (0) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜌(𝑥, 𝐴) < 𝑟} với 𝜌(𝑥, 𝐴) = inf|𝑥 − 𝑎| 𝐴 𝑟 𝐴 𝐴 + 𝐵𝑟 (0) Với 𝐴, 𝐵 ∈ 2𝑋 \∅ Cho (2) 𝑑𝐻 (𝐴, 𝐵) = 𝑚𝑎𝑥{sup 𝜌(𝑥, 𝐵) , sup 𝜌(𝑥, 𝐴)} 𝐴 𝐵 𝐵 sup 𝜌(𝑥, 𝐴) 𝐵 sup 𝜌(𝑥, 𝐵) 𝐴 𝐴 sup 𝜌(𝑥, 𝐵) = 𝑑𝐻 (𝐴, 𝐵) 𝐴 Khoảng cách Hausdoff giữa hai tâ ̣p A và B = 𝑑 (𝐴, 𝐵) 𝐻 Hiển nhiên, ≤ 𝑑𝐻 (𝐴, 𝐵) = 𝑑𝐻 (𝐵, 𝐴) ≤ ∞ 𝑑𝐻 thoã mãn bất đẳng thức tam giác Do 𝑑𝐻 mợt khoảng cách tập đóng bị chặn 𝑋, 𝑑𝐻 cịn gọi khoảng cách Hausdorff Rõ ràng, 𝑑𝐻 (𝐴, 𝐵) < 𝜀 𝐴 ⊂ 𝐵 + 𝐵𝜀 (0) 𝐵 ⊂ 𝐴 + 𝐵𝜀 (0) Cuối cùng, bao lồi 𝐴 ⊂ 𝑋 tập lồi bé chứa 𝐴, 𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝐴 = {∑𝑚 𝑖=𝜆 𝜆𝑖 𝑥𝑖 : 𝑚 ∈ ℕ, 𝜆𝑖 ∈ [0,1], ∑𝑖=1 𝜆𝑖 = 1, 𝑥𝑖 ∈ 𝐴 𝑣ớ𝑖 𝑖 = … 𝑚} ta viết 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝐴 thay cho 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝐴 Những kí hiệu khác giới thiệu sau Tính nửa liên tục Cho 𝑋, 𝑌 không gian Banach ∅ ≠ 𝛺 ⊂ 𝑌 2.1 Định nghĩa 1.1: Cho 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ mợt ánh xạ đa trị Khi 𝐹 gọi nửa liên tục viết tắt nltt 𝐹 −1 (𝐴) đóng 𝛺 với 𝐴 ⊂ 𝑋 tập đóng Nhắc lại rằng: 𝛺0 ⊂ 𝛺 “đóng 𝛺” nghĩa 𝛺0 = 𝐴 ∩ 𝛺 với tập đóng 𝐴 ⊂ 𝑌 𝛺 𝛺0 𝐴 Bằng cách lấy phần bù Dễ dàng kiểm tra 𝐹 nltt tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑉} mở 𝛺 với tập 𝑉 mở 𝑋 Chú ý 𝛺\𝐹 −1 (𝐴) = {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑋\𝐴} với 𝐹 −1 (𝐴) định nghĩa (1) Chứng minh: Giả sử 𝐹 nltt, với tập đóng 𝐴 𝑋 ta có 𝑋\𝐴 mở 𝐹 −1 (𝐴) đóng hay 𝛺\𝐹 −1 (𝐴) mở Mà 𝛺\𝐹 −1 (𝐴) = {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹)𝜔) ⊂ 𝑋\𝐴} (∗) Đặt 𝑉 = 𝑋\𝐴 từ (∗) suy tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑉} mở 𝛺 với tập 𝑉 mở 𝑋 Đảo lại, giả sử tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑉} mở 𝛺 với tập 𝑉 mở 𝑋, với tập 𝐴 đóng 𝑋 𝑋\𝐴 mở, tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑋\𝐴} mở 𝛺, hay 𝛺\𝐹 −1 (𝐴) mở (do (∗) ), suy 𝐹 −1 (𝐴) đóng 𝛺 Vậy 𝐹 nltt Từ đó, ta thấy rằng, tính nửa liên tục khơng khác so với tính liên tục 𝐹 hàm đơn trị Điều kiện tính nửa liên tục trở nên rõ ràng ta chuyển sang dãy số Ta có định nghĩa sau: 2.2 Định nghĩa 1.2: Cho 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ một ánh xạ đa trị cho (𝜔𝑛 ) ⊂ 𝛺, tập 𝐴 ⊂ 𝑋 đóng Giả sử 𝜔𝑛  𝜔0 ∈ 𝛺 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝐴 ≠ ∅ với 𝑛 ≥ Khi 𝐹 nltt 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝐴 ≠ ∅ Ví dụ 1.1: Xét ánh xạ đa trị sau: (i) 𝐹1 : ℝ  2ℝ \∅ xác định công thức 𝑛ế𝑢 𝑡 ≠ 𝐹1 (𝑡) ≔ { [−1,1] 𝑛ế𝑢 𝑡 = 𝐹1 (𝑡 ) 𝑡 −1 Ánh xạ 𝐹1 nửa liên tục trên ℝ Thật vậy, với tập mở 𝑉 = (𝛼; 𝛽)\{ 0} ⊂ ℝ tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑉} = ∅ một tập mở Do ánh xạ đa trị 𝐹1 nltt ℝ\{ 0} Cuối cùng, ta cần xét tính nltt 𝐹1 điểm 𝑡 = Với tập mở 𝑈 = (𝑎; 𝑏) chứa 𝐹1 (0) = [−1,1] Tồn lân cận mở 𝑉 = (𝛼; 𝛽) cho 𝐹1 (𝑡 ′ ) ⊂ 𝑈 với 𝑡 ′ ∈ 𝑉 Vì 𝐹1 (𝑡 ′ ) 𝑛ế𝑢 𝑡 ′ ∈ (𝛼; 𝛽)\{ 0} ≔{ [−1,1] 𝑛ế𝑢 𝑡 ′ ≠ Do ánh xạ đa trị 𝐹1 nltt 𝑡 = (ii) 𝐹2 : ℝ  2ℝ \∅ xác định công thức [−1,1] 𝑛ế𝑢 𝑡 ≠ 𝐹2 (𝑡) ≔ { 𝑛ế𝑢 𝑡 = 𝐹2 (𝑡) 𝑡 −1 Ánh xạ đa trị 𝐹2 không nltt khơng nltt ℝ Thâ ̣t vâ ̣y, Vì 𝐹 nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 nên ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀𝜔 ∈ 𝛺 ∩ 𝐵𝛿 (𝜔0 ): 𝐹(𝜔) ⊂ 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0) Cho (𝜔𝑛 ) ⊂ 𝛺(⊂ 𝑌) Giả sử 𝜔𝑛 → 𝜔0 ∈ 𝛺 Khi n đủ lớn 𝜔𝑛 ∈ 𝛺 ∩ 𝐵𝛿 (𝜔0 ) 𝜔𝑛 → 𝜔0 ∈ 𝛺, suy với mo ̣i 𝑥 ∈ 𝑋 cố đinh ̣ 𝐹(𝜔𝑛 ) ⊂ 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0) ⟹ {𝜌(𝑥, 𝑦)|𝑦 ∈ 𝐹(𝜔𝑛 )} ⊂ {𝜌(𝑥, 𝑦)|𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0)} ⟹ inf{𝜌(𝑥, 𝑦)|𝑦 ∈ 𝐹(𝜔𝑛 )} ≥ inf{𝜌(𝑥, 𝑦)|𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0)} = inf{𝜌(𝑥, 𝑦)|𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 )} − 𝜀 ⟹ 𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔𝑛 )) ≥ 𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔0 )) − 𝜀 Vâ ̣y 𝜌(𝑥, 𝐹( )) là 𝑛𝑙𝑡𝑑 với mo ̣i 𝑥 ∈ 𝑋 cố đinh ̣ Đảo la ̣i vẫn còn đúng nế u 𝐹(𝛺) là tâ ̣p compact Thâ ̣t vâ ̣y, Giả sử phản chứng, 𝐹 không nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿, tức là ∃𝜀 > 0, ∀𝛿 > 0, ∃𝜔𝑛 ∈ 𝛺 ∩ 𝐵𝛿 (𝜔0 ): 𝐹(𝜔𝑛 ) ⊄ 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0) Cho (𝑥𝑛 )∞ 𝑛=1 ⊂ 𝐹(𝜔𝑛 ), thì ∃𝜀0 > cho 𝜌(𝑥𝑛 , 𝐹(𝜔0 )) ≥ 𝜀0 , 𝑛 ∈ ℕ∗ Vì 𝐹(𝛺) là tâ ̣p compact nên KMTTQ có thể xem (𝑥𝑛 )∞ 𝑛=1 hô ̣i tu ̣ Go ̣i 𝑥0 = lim 𝑥𝑛 Do đó 𝜌(𝑥0 , 𝐹(𝜔0 )) ≥ 𝜀0 Để ý tính 𝑛𝑙𝑡𝑑 của 𝜌(𝑥, 𝐹( )) Ta có 𝜀0 ≤ 𝜌(𝑥0 , 𝐹(𝜔0 )) ≤ lim 𝜌(𝑥0 , 𝐹(𝜔𝑛 )) ≤ |𝑥𝑛 − 𝑥0 | 𝑛→∞ Mâu thuẫn Chứng tỏ 𝐹 nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 (ii) Tính nửa liên tu ̣c cũng có thể đươ ̣c kiể m tra thông qua tiń h chấ t của đồ thi ̣𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹), mô ̣t số trường hơ ̣p Ví du ̣, nế u 𝐹 nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 và 𝛺 đóng thì 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) đóng 𝑌 × 𝑋 Thâ ̣t vâ ̣y, 22 𝑛→∞ Cho (𝜔𝑛 , 𝑥𝑛 )∞ 𝑛=1 ⊂ 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) mà (𝜔𝑛 , 𝑥𝑛 ) → (𝜔0 , 𝑥0 ) ∈ 𝑌 × 𝑋 cầ n chứng minh rằ ng (𝜔0 , 𝑥0 ) ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) 𝜔 ∈ 𝛺 Ta có (𝜔𝑛 , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) ⟹ { 𝑛 𝑥𝑛 ∈ 𝐹(𝜔𝑛 ) 𝑛→∞ Vì 𝛺 đóng nên 𝜔𝑛 → 𝑛→∞ Và 𝐹(𝜔𝑛 ) ∋ 𝑥𝑛 → Ta có đươ ̣c 𝜔0 ∈ 𝛺 𝑥0 ∈ 𝐹(𝜔0 ) (∗) vì, nế u (∗) 𝑥0 ∉ 𝐹(𝜔0 ) suy ∃𝜀 > 0, 𝑥0 ∉ 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0) (do 𝐹 đóng) Mâu thuẫn với tính nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 của 𝐹 Vâ ̣y (𝜔0 , 𝑥0 ) ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) Đảo la ̣i, nế u 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) đóng và 𝐹(𝛺) là mô ̣t tâ ̣p compact thì 𝐹 là nltt Thâ ̣t vâ ̣y, Cho (𝜔𝑛 ) ⊂ 𝛺(⊂ 𝑌) cho 𝐴 ⊂ 𝑋 đóng Giả sử 𝜔𝑛 → 𝜔0 ∈ 𝛺 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝐴 ≠ ∅, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ Cầ n chứng minh 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝐴 ≠ ∅ Giả sử phản chứng 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝐴 = ∅ Vì 𝐹(𝛺) là tâ ̣p compact nên KMTTQ có thể xem (𝑥𝑛 )∞ 𝑛=1 hô ̣i tu ̣ Go ̣i 𝑥0 = lim 𝑥𝑛 , nữa vì 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) đóng nên 𝑛→∞ (𝜔𝑛 , 𝑥𝑛 ) → (𝜔0 , 𝑥0 ) ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹), suy 𝑥0 ∈ 𝐹(𝜔0 ) mà 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝐴 = ∅ nên 𝑥0 ∉ 𝐴, mâu thuẫn Vâ ̣y 𝐹 là nltt Từ các kế t quả ta có mê ̣nh đề sau: 23 4.1 Mêṇṇ h đề 1.2 Cho 𝛺 ≠ ∅ là mô ̣t tâ ̣p hơ ̣p của mô ̣t không gian Banach, 𝑋 là mô ̣t không gian Banach và 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ có giá tri ̣đóng Khi đó (a)Nế u 𝐹 nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 thì 𝜌(𝑥𝑛 , 𝐹( )) là nltd với mo ̣i 𝑥 ∈ 𝑋 Đảo la ̣i vẫn đúng nế u 𝐹(𝛺) là tâ ̣p compact (b) Nế u 𝐹 nltt theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 và 𝛺 đóng thì 𝐹 có đồ thi ̣ đóng Nế u 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ(𝐹) đóng và 𝐹(𝛺) là tâ ̣p compact thì 𝐹 là nltt 24 CHƯƠNG II: TÍ NH NỬ A LIÊN TỤC DƯỚ I Tính nửa liên tục dưới Cho 𝛺 ≠ ∅ một tập hợp không gian Banach 𝑌 𝑋 một không gian Banach 1.1 Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ đa trị 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ gọi nửa liên tục viết tắt nltd, 𝐹 −1 (𝑉) mở 𝛺 với tập 𝑉 ⊂ 𝑋 mở Bằng cách lấy phần bù Dễ dàng kiểm tra 𝐹 nltd tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝐴} đóng 𝛺 với tập 𝐴 đóng 𝑋 Chứng minh: Giả sử 𝐹 nltd, với tập mở 𝑉 𝑋 𝑋\𝑉 đóng 𝐹 −1 (𝑉) mở hay 𝛺\𝐹 −1 (𝑉) đóng Mà 𝛺\𝐹 −1 (𝑉) = {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑋\𝑉} (∗) Đặt 𝐴 = 𝑋\𝑉 từ (∗) suy tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝐴} đóng 𝛺 với tập 𝐴 đóng 𝑋 Đảo lại, giả sử tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝐴} đóng 𝛺 với tập 𝐴 đóng 𝑋, với tập 𝑉 mở 𝑋 𝑋\𝑉 đóng, tập {𝜔 ∈ 𝛺: 𝐹(𝜔) ⊂ 𝑋\𝑉} đóng 𝛺, hay 𝛺\𝐹 −1 (𝐴) mở (∗), suy 𝐹 −1 (𝐴) đóng 𝛺 Vậy 𝐹 nltd Từ đó, ta thấy rằng, tính nửa liên tục khơng khác so với tính liên tục 𝐹 hàm đơn trị Điều kiện tính nửa liên tục trở nên rõ ràng ta chuyển sang dãy số Ta có định nghĩa sau: 25 1.2 Định nghĩa 2.2 Cho 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ một ánh xạ đa trị cho (𝜔𝑛 ) ⊂ 𝛺, tập 𝑉 ⊂ 𝑋 mở Giả sử 𝜔𝑛  𝜔0 ∈ 𝛺 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ Khi 𝐹 nltd 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ 𝑛 đủ lớn Ví dụ 2.1: Trở lại ánh xạ xét ví dụ 1.1 (i) 𝐹1 : ℝ  2ℝ \∅ xác định công thức 𝑛ế𝑢 𝑡 ≠ 𝐹1 (𝑡) ≔ { [−1,1] 𝑛ế𝑢 𝑡 = 𝐹1 (𝑡) 𝑡 −1 Ánh xạ 𝐹1 không nửa liên tục dưới ℝ Do 𝐹1 không nửa liên tục dưới ta ̣i Thật vậy, ∞ Với tâ ̣p mở 𝑉 = (0; 2) ⊂ ℝ Xét daỹ ( ) 𝑛 𝑛=1 ⊂ ℝ, 𝑛 → 𝑛 → ∞ Khi đó, 𝐹(0) ∩ 𝑉 = [−1,1] ∩ (0; 2) = (0; 1] ≠ ∅ 𝐹 ( ) ∩ 𝑉 = ∅, vì 𝑛 𝐹 ( ) = 0, ∀𝑛 ∈ ℕ∗ Do đó 𝐹1 không nửa liên tục dưới ta ̣i 𝑛 (i) 𝐹2 : ℝ  2ℝ \∅ xác định công thức [−1,1] 𝑛ế𝑢 𝑡 ≠ 𝐹2 (𝑡) ≔ { 𝑛ế𝑢 𝑡 = 26 𝐹2 (𝑡) 𝑡 −1 Ánh xạ đa trị 𝐹2 nltd Ví dụ 2.1 Cho 𝛺 ≠ ∅ một tập khơng gian Banach Khi ánh xạ đa trị tổng quát 𝐹: 𝛺  2ℝ \∅ có giá trị lồi compact cho công thức 𝐹(𝜔) = [𝜑(𝜔), 𝜓(𝜔)], 𝜑: 𝛺  ℝ nltt, 𝜓: 𝛺  ℝ nltd 𝜑(𝜔) < 𝜓(𝜔) ℝ là nltd 1.3 Định nghĩa 2.3 Cho ánh xạ đa trị 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ 𝐹 gọi nửa liên tục theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 với 𝜔0 ∈ 𝛺 𝜀 > tồn 𝛿 = 𝛿(𝜔0 , 𝜀) > cho 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐹(𝜔) + 𝐵𝜀 (0) 𝐵𝛿 (𝜔0 ) ∩ 𝛺 𝜀 𝛿 𝛺 𝐹 𝜔0 𝐹(𝜔0 ) 𝐹(𝜔0 ) + 𝐵𝜀 (0) ∀𝜔 ∈ 𝐵𝛿 (𝜔0 ) ∩ 𝛺, 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐹(𝜔) + 𝐵𝜀 (0) Ở đây, tính nltd khái niệm tổng quát Tức là, 𝐹 nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿, 𝐹 nltd Thật vậy, Chứng minh: 27 Cho (𝜔𝑛 ) ⊂ 𝛺(⊂ 𝑌) cho 𝑉 ⊂ 𝑋 mở Giả sử 𝜔𝑛 → 𝜔0 ∈ 𝛺 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ Cần chứng minh rằ ng 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ 𝑛 đủ lớn Giả sử phản chứng 𝐹(𝜔𝑛 ) ⊂ 𝐴 với 𝑛 ≥ 1, 𝐴 = 𝑋\𝑉 đóng, phần bù 𝑉 𝑋 Do 𝐹 nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 nên ∀𝜔0 ∈ 𝛺, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜔0 , 𝜀) > ∀𝜔 ∈ 𝐵𝛿 (𝜔0 ) ∩ 𝛺, 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐹(𝜔) + 𝐵𝜀 (0) (∗) Vì 𝜔𝑛 → 𝜔0 𝑛∞ nên ∃𝑛𝜀 , ∀𝑛 ≥ 𝑛𝜀 , 𝜔𝑛 ∈ 𝐵𝛿 (𝜔0 ) ∩ 𝛺 Từ (∗) suy ra, 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐹(𝜔𝑛 ) + 𝐵𝜀 (0) ⊂ 𝐴 + 𝐵𝜀 (0) với 𝑛 ≥ 𝑛𝜀 Vì 𝜀 chọn tuỳ ý nên cách cho 𝜀 ↓ ta thu 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐴 Do đó, 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝐴 ≠ ∅ hay 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝑉 = ∅ Mâu thuẫn Mâu thuẫn chứng tỏ 𝐹 nltd Đảo lại 𝐹 có giá trị compact, nghĩa 𝐹 nltd, 𝐹 có giá trị compact 𝐹 nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 Thật vậy, Chứng minh: Giả sử phản chứng rằng: 𝐹 không nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿, tức là ∃𝜀0 > 0, ∀𝛿 = 𝛿(𝜔0 , 𝜀) > 0,∃𝜔 ∈ 𝐵𝛿 (𝜔0 ) ∩ 𝛺 𝐹(𝜔0 ) ⊄ 𝐹(𝜔𝑛 ) + 𝐵𝜀0 (0) (∗) Chọn 𝛿 = với 𝑛 ∈ ℕ∗ ,Từ (∗), suy ∃𝜔 ∈ 𝐵1 (𝜔0 ) ∩ 𝛺 cho 𝑛 𝑛 𝐹(𝜔0 ) ⊄ 𝐹(𝜔𝑛 ) + 𝐵𝜀0 (0) Vì 𝜔𝑛 → 𝜔0 𝑛∞ nên ∃𝑛𝛿 , ∀𝑛 ≥ 𝑛𝛿 , 𝜔𝑛 ∈ 𝐵1 (𝜔0 ) ∩ 𝛺 𝑛 Suy 𝐹(𝜔0 ) ⊄ 𝐹(𝜔𝑛 ) + 𝐵𝜀0 (0) với 𝑛 ≥ (∗∗) 28 Lấy (𝑥𝑛 ) ⊂ 𝐹(𝜔0 ), (∗∗) nên 𝑥𝑛 ∉ 𝐹(𝜔𝑛 ) + 𝐵𝜀0 (0)  𝜌(𝑥𝑛 , 𝐹(𝜔𝑛 )) ≥ 𝜀0 (1) Vì 𝐹(𝜔0 ) một tập compact nên dãy 𝐹(𝜔0 ) hội tụ một giá trị nằm 𝐹(𝜔0 ) KMTTQ, giả sử 𝑥𝑛 → 𝑥0 𝑛∞ 𝐹 nltd nên 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝐵𝜀0 (𝑥0 ) ≠ ∅ 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝐵𝜀0 (𝑥0 ) ≠ ∅ 2 Từ nhận xét trên, ta có 𝜌(𝑥𝑛 , 𝐹(𝜔𝑛 )) < 𝜀0 𝜀0 + |𝑥𝑛 − 𝑥0 | → 2 (2) Từ (1) (2), suy điều mẫu thuẫn Mâu thuẫn chứng tỏ 𝐹 nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 Cuối cùng, ta một ánh xạ đa trị cụ thể sau: 𝐹(𝜔) = {(𝑡, 𝜔𝑡): 𝑡 ∈ ℝ+ } với 𝜔 ∈ [0,1] 𝐹 [ ] Vì sup{𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔)): 𝑥 ∈ 𝐹(𝜔0 )} = ∞ với 𝜔 ≠ 𝜔0 , 𝐹 không nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿, 𝐹 hiển nhiên nltd Tính chấ t của ánh xa ̣ đa tri ̣nửa liên tục dưới Mơ tả tính nltd, nltd theo ngơn ngữ 𝜀 − 𝛿 hàm khoảng cách, ý 𝜓 = 𝜌(𝑥, 𝐹( )) nltt 𝐹 nltd với 𝑥 ∈ 𝑋 cố định Thật vậy, Chứng minh: 29 Giả sử 𝐹 nltd cần chứng minh 𝜓 = 𝜌(𝑥, 𝐹( )) nltt Cho (𝜔𝑛 ) ⊂ 𝛺, tập 𝑉 ⊂ 𝑋 mở Giả sử 𝜔𝑛  𝜔0 ∈ 𝛺 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ Vì 𝐹 nltd nên 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ với 𝑛 ≥ Với 𝛿 > ta lấy 𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) cho |𝑥 − 𝑦| ≤ 𝜓(𝜔0 ) + 𝛿 (∗) (1) Ta ln tìm 𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) thỗ mãn (1) Vì, 𝜓(𝜔0 ) = 𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔0 )) = 𝑖𝑛𝑓 |𝑥 − 𝐹(𝜔0 )| 𝐹(𝜔0 ) Tức là, với 𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 )và 𝛿 > 𝜓(𝜔0 ) < |𝑥 − 𝑦| 𝑣à |𝑥 − 𝑦| ≤ 𝜓(𝜔0 ) + 𝛿 𝐹(𝜔0 ) 𝜓(𝜔0 ) 𝛿 𝑦 𝑦 𝑛 𝑥 Trong (∗), chọn 𝑉 = 𝐵𝛿 (𝑦), 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝐵𝛿 (𝑦) ≠ ∅ Hay tồn 𝑦𝑛 ∈ 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝐵𝛿 (𝑦) với 𝑛 ≥ (2) Suy ra, |𝑥 − 𝑦𝑛 | = |𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑦𝑛 | ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑦𝑛 | ≤ 𝜓(𝜔0 ) + 𝛿 + 𝛿 (do (1) (2)) Hay |𝑥 − 𝑦𝑛 | ≤ 𝜓(𝜔0 ) + 2𝛿 với 𝑛 ≥ Vì 𝛿 chọn tuỳ ý nên cách cho 𝛿 ↓ ta được: lim 𝜓(𝜔𝑛 ) ≤ 𝜓(𝜔0 ) 𝑛→∞ Vậy 𝜓 = 𝜌(𝑥, 𝐹( )) nltt 30 Đảo lại, 𝜓 = 𝜌(𝑥, 𝐹( )) nltt cần chứng minh 𝐹 nltd Giả sử phản chứng rằng: 𝐹 không nltd, tức 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝑉 ≠ ∅ 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝑉 = ∅ với 𝑛 ≥ Từ suy ra, tồn 𝑥 ∈ 𝐹(𝜔0 ) ∩ 𝑉, cách chọn 𝑉 = 𝐵𝛿 (𝑥) với 𝛿 > ta có điều = 𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔0 )) ≥ lim 𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔𝑛 )) 𝑑𝑜 𝜓 𝑛𝑙𝑡𝑡 𝑛→∞ Mặt khác, 𝐹(𝜔𝑛 ) ∩ 𝐵𝛿 (𝑥) = ∅ nên lim 𝜌(𝑥, 𝐹(𝜔𝑛 )) ≥ 𝛿 > 0.Vô lý 𝑛→∞ Điều chứng tỏ 𝐹 nltd Từ các kế t quả ta có mê ̣nh đề sau: 2.1 Mệnh đề 2.1 Cho 𝛺 ≠ ∅ một tập hợp một không gian Banach, 𝑋 một không gian Banach, ánh xạ đa trị 𝐹: 𝛺  2𝑋 \∅ Khi (a).𝐹 nltd theo ngơn ngữ 𝜀 − 𝛿 𝐹 nltd Đảo lại, 𝐹 nltd có giá trị compact 𝐹 nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 (b).𝐹 nltd 𝜌(𝑥, 𝐹( )) nltt với 𝑥 ∈ 𝑋 (c).Cho ánh xạ đa trị 𝐹1 , 𝐹2 : 𝛺  2𝑋 \∅ nltd theo ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 với ̇ ≠ ∅ 𝛺 giá trị lồi đóng cho 𝐹 = 𝐹1 ∩ 𝐹2 có giá trị bị chặn với 𝐹(𝜔) Khi 𝐹 nltd theo ngơn ngữ 𝜀 − 𝛿 Chứng minh: ̇ ≠ ∅ nên Cho 𝜔0 ∈ 𝛺, 𝑐 = ‖𝐹(𝜔0 )‖ = sup{|𝑥|: 𝑥 ∈ 𝐹(𝜔0 )}, 𝐹(𝜔) tồn 𝐵𝑟 (𝑦0 ) cho 𝐵𝑟 (𝑦0 ) ⊂ 𝐹(𝜔0 ) and < 𝜆 < 𝑐 𝜆 𝜆 Đặt 𝐴 = 𝑦0 + (1 − ) 𝐹(𝜔0 ) (tổ hợp lồi 𝑦0 𝐹(𝜔0 ))và 𝜀 = 𝑐 𝑐 𝜆𝑟 𝑐 31 𝐹(𝜔0 ) 𝑦 𝑟 𝐴 𝐴 + 𝐵𝜀 (0) |𝑥| Khi đó, 𝐴 + 𝐵𝜀 (0) ⊂ 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐴 + 𝐵2𝜆 (0) Thật vậy, Ta chứng minh bao hàm thức (i) 𝜆 𝜆 ∀𝑧 ∈ 𝐴 + 𝐵𝜀 (0), 𝑧 = 𝑦0 + (1 − ) 𝑦 + 𝑥, với 𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) 𝑥 ∈ 𝐵𝜀 (0) 𝑐 𝑐 𝜆 Đặt 𝑥 = 𝑥 ′ , 𝑥 ∈ 𝐵𝜀 (0) nên |𝑥 ′ | < 𝑟 Khi 𝑐 𝜆 𝜆 𝑧 = 𝑦0 + (1 − ) 𝑦 + 𝑥 𝑐 𝑐 𝜆 𝜆 𝜆 = 𝑦0 + (1 − ) 𝑦 + 𝑥 ′ 𝑐 𝑐 𝑐 𝜆 𝜆 = (𝑦0 + 𝑥 ′ ) + (1 − ) 𝑦 𝑐 𝑐 Vì |𝑥 ′ | < 𝑟 nên (𝑦0 + 𝑥 ′ ) ∈ 𝐵𝑟 (𝑦0 ) ⊂ 𝐹(𝜔0 ) Hơn nữa, 𝐹 có giá trị 𝜆 𝜆 lồi nên (𝑦0 + 𝑥 ′ ) + (1 − ) 𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) Hay 𝑧 ∈ 𝐹(𝜔0 ) 𝑐 𝑐 Vậy 𝐴 + 𝐵𝜀 (0) ⊂ 𝐹(𝜔0 )(đpcm) (ii) Ta chứng minh bao hàm thức lại 𝜆 𝜆 ∀𝑦 ′ ∈ 𝐴, 𝑦 ′ = 𝑦0 + (1 − ) 𝑦, 𝑦 ∈ 𝐹(𝜔0 ) 𝑐 𝑐 Ta có, 32 𝜆 𝜆 𝑦 ′ = 𝑦0 + (1 − ) 𝑦 𝑐 𝑐 𝜆 ⟹ |𝑦 ′ − 𝑦| = |𝑦 − 𝑦0 | 𝑐 Do 𝑐 = ‖𝐹(𝜔0 )‖ = sup{|𝑥|: 𝑥 ∈ 𝐹(𝜔0 )} nên |𝑦 − 𝑦0 | < 2𝑐 Suy |𝑦 ′ − 𝑦| < 𝜆, hay 𝑦 = 𝑦 ′ + 𝑥, với |𝑥| < 2𝜆 Tóm lại ta chứng minh 𝑦 ∈ 𝐴 + 𝐵2𝜆 (0) Vậy 𝐹(𝜔0 ) ⊂ 𝐴 + 𝐵2𝜆 (0) Tiếp tục, 𝐹𝑖 nltd theo ngơn ngữ 𝜀 − 𝛿 nên tồn 𝛿 > cho 𝐹𝑖 (𝜔0 ) ⊂ 𝐹(𝜔) + 𝐵𝜀 (0) với 𝜔 ∈ 𝐵𝜀 (𝜔0 ) ∩ 𝛺 với 𝑖 = 1,2 Vì vậy, 𝐴 + 𝐵𝜀 (0) ⊂ 𝐹𝑖 (𝜔) + 𝐵𝜀 (0) với 𝜔 ∈ 𝐵𝜀 (𝜔0 ) ∩ 𝛺, 𝐴 ⊂ 𝐹𝑖 (𝜔); ý rằng, 𝐴 ⊄ 𝐹𝑖 (𝜔) tức tồn 𝑎 ∈ 𝐹𝑖 (𝜔)\𝐴, mà 𝐹𝑖 (𝜔) 𝐴 tập lồi nên theo định lí tách 𝑥 ∗ (𝑎) > 𝛼 ≥ 𝑥 ∗ (𝑦) với 𝑦 ∈ 𝐹𝑖 (𝜔), với 𝑥 ∗ tḥc 𝑋 ∗ , sup{𝑥 ∗ (𝑎 + 𝑧): 𝑎 ∈ 𝐴 |𝑧| < 𝜀} > 𝛼 + sup 𝑥 ∗ (𝑧) |𝑧|