Một số vấn đề về hạng trong đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHAN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HẠNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHAN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HẠNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS Nguyễn Thị Thanh Tâm Phú Thọ, 2019 i LỜI CẢM ƠN Trong trình thực nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp, ngồi cố gắng thân, em nhận nhiều giúp đỡ thầy cô bạn Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo Nguyễn Thị Thanh Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ bảo em suốt q trình thực khóa luận Cơ người giúp đỡ em lĩnh hội nắm vững kiến thức chuyên môn rèn luyện khả nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giảng viên khoa Khoa học tự nhiên trường Đại học Hùng Vương, gia đình, bạn bè người ủng hộ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập q trình thực hồn chỉnh khóa luận Mặc dù cố gắng khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Phan Thị Hường ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Mục tiêu nghiên cứu Chương HẠNG CỦA HỆ VECTƠ 1.1 Một số khái niệm liên quan 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.1.3 Cơ sở không gian vectơ 1.1.4 Số chiều không gian vectơ hữu hạn sinh 1.2 Hệ độc lập tuyến tính tối đại 1.4 Hạng hệ hữu hạn vectơ 10 1.5 Tìm sở, số chiều khơng gian sinh hệ vectơ máy tính điện tử 11 1.6 Một số toán hạng hệ vectơ 14 CHƯƠNG HẠNG CỦA ĐỒNG CẤU VÀ MA TRẬN 21 2.1 Định nghĩa đồng cấu 21 2.2 Định nghĩa ma trận 22 2.3 Hạng ma trận 22 2.4 Cách tìm hạng ma trận 27 2.4.1 Tìm hạng ma trận phương pháp định thức 27 2.4.2 Tìm hạng ma trận phương pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp 29 2.5 Một số toán hạng đồng cấu ma trận 31 CHƯƠNG NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HẠNG 38 3.1 Hạng hệ phương trình tuyến tính 38 3.2 Hạng dạng toàn phương 47 iii 3.2.1.Các định nghĩa 47 3.2.2 Hạng hạch dạng toàn phương 50 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 iv CÁC KÍ HIỆU M mn   Tập hợp ma trận cấp m  n rank  A  Hạng ma trận A dimV Số chiều không gian V t Ma trận chuyển vị ma trận A A A  (a ij ) Ma trận A với i dòng j cột AB Tổng hai ma trận A B AB Tích hai ma trận A B f g tổng hai hàm f g f g Tích hai hàm f g Imf Ảnh không gian V hay ảnh ánh xạ tuyến tính f Kerf Hạt nhân ánh xạ tuyến tính f  Vectơ, phần tử không gian vectơ A Định thức ma trận A  m, n  Giá trị nhỏ m n E Ma trận đơn vị Dk Định thức cấp k khác không Aij Phần phụ đại số phần tử a ij Abs Ma trận bổ sung ma trận A Mat(n,  ) Tập hợp ma trận vuông cấp n với thành phần thuộc trường  f :V  W Ánh xạ tuyến tính từ khơng gian V đến không gian W WZ tổng trực tiếp W, Z W Z tổng trực tiếp trực giao W, Z v C1 Ma trận nghịch đảo ma trận C char  K  Đặc số trường K MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Đại số tuyến tính nội dung nghiên cứu khơng gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính phép biến đổi tuyến tính chúng Nó đưa vào giảng dạy hầu hết trường đại học cao đẳng môn học sở cần thiết để tiếp thu môn học khác Ở hầu hết trường đại học Việt Nam giới, Đại số tuyến tính môn tảng bắt buộc học giai đoạn đại cương Đại số tuyến tính sử dụng nhiều Tốn học Đại số đại cương, Giải tích hàm, Hình học giải tích,… Nó mơn bản, mơn thi bắt buộc sinh viên đại học ngành Tốn Nhắc tới Đại số tuyến tính, không nhắc tới khái niệm hạng tập liên quan đến hạng Hạng nội dung quan trọng Đại số tuyến tính Hạng Đại số tuyến tính cơng cụ để giải toán Đại số tuyến tính nói chung tốn hệ vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính nói riêng Ngồi ra, nội dung khơng thể thiếu kỳ thi sinh viên giỏi, đặc biệt kỳ thi Olympic Toán Tuy nhiên, đa số sinh viên năm đầu Việt Nam cảm thấy bỡ ngỡ lần đầu tiếp xúc với hạng, nhiều lý khác chủ yếu lý thuyết lạ, tương đối dài mang tính trừu tượng cao Với mong muốn chia sẻ trở ngại với sinh viên năm thứ học Đại số tuyến tính, hiểu trở ngại bạn gặp phải, thêm vào niềm yêu thích Đại số tuyến tính, để giúp đỡ bạn đến gần u thích mơn học hơn, tơi chọn viết khóa luận tốt nghiệp: “Một số vấn đề hạng Đại số tuyến tính” với mong muốn tìm hiểu hạng Đại số tuyến tính, kiến thức liên quan vận dụng để giải số toán Đại số 2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Ý nghĩa khoa học: Khóa luận phân tích làm rõ khái niệm hạng Đại số tuyến tính, khai thác số tốn hạng hệ vectơ, ma trận vấn đề liên quan đến hạng Đại số tuyến tính - Ý nghĩa thực tiễn: Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán trường Đại học Hùng Vương, đặc biệt bạn đam mê thi Olympic Toán học Toán Cao cấp Với thân, qua việc nghiên cứu khóa luận tơi hệ thống ôn tập lại kiến thức học định nghĩa số tính chất hạng, phương pháp tính hạng, đặc biệt có nhìn tổng quan hạng, ứng dụng Mục tiêu nghiên cứu  Phân tích làm rõ khái niệm hạng Đại số tuyến tính  Khai thác số tốn hạng hệ vectơ, ma trận vấn đề liên quan đến hạng Đại số tuyến tính Chương HẠNG CỦA HỆ VECTƠ 1.1 Một số khái niệm liên quan 1.1.1 Không gian vectơ Cho V tập hợp mà phần tử ký hiệu là: , , , , K trường mà phần tử ký hiệu a, b, c, x, y, z, Trên V ta có hai phép tốn: • Phép cộng hai phần tử V : :VV  V (, )     • Phép nhân phần tử V với phần tử K : : K  V  V  x, a   x.a Giả sử , ,   V, x, y  K điều kiện sau thỏa mãn:               , Tồn vectơ  cho         , Với  có phần tử  ' cho         ,       , x       x.  x.,  x  y    x.  y.,  xy    x  y.  , 1.  , phần tử đơn vị trường K Khi ta nói V khơng gian vectơ trường K (hoặc V K −không gian vectơ) Ta nói V khơng gian tuyến tính trường K 1.1.2 Hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.1 Cho m vectơ 1 ,  , ,  m không gian vectơ V trường K, m  46 ax  y  z    x  by  z   x  y  cz   Bài toán 3.5.2 Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau theo  : x  y  z    x  y  z   x  y  z   Bài toán 3.6 3x1  x  x  2x   x  x  2x  4x     x1  x  2x  6x  9 12x1  2x  x  2x  10 Giải hệ phương trình: Lời giải Tìm hạng ma trận:   1 1   1  1   1 2     A , B  1 6   1 6      12 2 2  12 2 2 10  Ta thấy định thức: D 1  2  1 Tính định thức cấp ba A bao quanh D Chúng Do đó: rank  A   Làm tương tự ta tìm được: rank  B  Vậy hệ có nghiệm Bài tốn 3.7 Giải hệ (gồm phương trình ứng với dịng định thức D ): 47 3x1  x  x  2x    x1  x  2x  4x  Lời giải Viết hệ dạng: 3x1  x  x  2x    x1  x  2x  4x  Cho x  c3 , x  c , ta có hệ Cramer: 3x1  x  c3  2c    x1  x  2c3  4c  Giải hệ ta được: x1  c3  2c4  5c3  10c4  14 , x2  2 Nghiệm tổng quát:  c3  2c4  5c3  10c4  14  , , c3 , c   2   Nếu cho, chẳng hạn, c3  0, c  nghiệm riêng (1;  2; 0; 1) 3.2 Hạng dạng toàn phương 3.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.2 Ta gọi ánh xạ f : V  W  K dạng song tuyến tính V  W, thỏa mãn điều kiện sau x, x ' V ; y, y' W K :  i  f (x  x ', y)  f  x, y   f ( x ', y) f (x, y)  f  x, y   ii  f (x, y  y')  f  x, y   f ( x, y') f ( x, y)  f  x, y  Nói cách khác cố định biến f dạng tuyến tính biến cịn lại Dạng song tuyến tính V  V cịn gọi dạng song tuyến tính V 48 Ví dụ 3.2 1.Nếu E khơng gian Ơclit tích vơ hướng dạng song tuyến tính E 2.Nếu g dạng tuyến tính V h dạng tuyến tính W, f  x, y   g  x .h  y  với x  V y  W dạng song tuyến tính V  W, chẳng hạn: Khi V  K W  K3 , thì: f  x, y    x1  x  ( y1  2y2  3y3 ) dạng song tuyến tính Định nghĩa 3.3 Hạng dạng song tuyến tính f V hạng ma trận biểu diễn kí hiệu rank  f  Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến rank  f   dim V, không suy biến rank  f   dimV Ví dụ 3.3 Dạng song tuyến tính f  x, y   x1 y1  3x y K2 không suy biến char  K   suy biến char  K   Khi đó: rank  f   Định nghĩa 3.4 Ánh xạ  : V  K ( K trường) gọi dạng toàn phương V tồn dạng song tuyến tính f V cho ( )  f (, ) với   V Khi đó:   V gọi dạng song tuyến tính sinh dạng tồn phương  Ví dụ 3.4 Dạng song tuyến tính: f ( , )  3x1 y  x y1 , 49 với vectơ    x1 ; x  ,    y1 ; y2   R , sinh dạng toàn phương ( )  2x1 x Nhận xét: (i) Có thể có nhiều dạng song tuyến tính sinh dạng toàn phương Chẳng hạn, f dạng song tuyến tính khơng đối xứng Đặt g(, )  f (, ), ,  V dạng song tuyến tính f g V sinh dạng toàn phương, f  g (ii) Ta chứng minh tồn tương ứng  dạng toàn phương V dạng song tuyến tính đối xứng V; nghĩa  dạng tồn phương V tồn dạng song tuyến tính đối xứng  sinh  Thật vậy, giả sử f dạng song tuyến tính sinh dạng toàn phương   ,   V, đặt (, )  {(   ) ()  ()} Có thể thấy  dạng song tuyến tính đối xứng V sinh  Giả sử  dạng song tuyến tính đối xứng V sinh  Khi đó:  ,   V ta có:        ,      ,     ,     ,           ,               ,    Vì dạng song tuyến tính đối xứng  hồn tồn xác định r qua cơng thức:   12              ,   ,   Dạng song tuyến tính đối xứng  sinh dạng toàn phương r gọi dạng cực  50 Từ định nghĩa suy V không gian vectơ n chiều với sở  1 ; 2 ; ; n  ánh xạ  : V  R dạng toàn phương V khi: n  ( )   i 1 n n j1 i 1  a ij xi y j với    x ii  V, a ij  i, j  1, 2, , n  dãy số thực xác định 3.2.2 Hạng hạch dạng toàn phương Cho H dạng tồn phương có ma trận A sở (E1 ; E ; ; E n ) – không gian vectơ V Nếu (u1 ; u ; ; u n ) sở khác V, C   c ij  ma trận đổi sở, n tức u j   c ij  j , j  1, 2, , n sở (u1 ; u ; ; u n ), H có ma trận: i 1 A'  CT AC Từ đó: rank  A'  rank  A    1 A 'C 1 nên rank  A   rank  A' Mặt khác: A  C t Vậy: rank  A   rank  A' Hạng A gọi hạng H (hay hạng dạng cực  H ) Khi dimV  rank  H  ta nói H (hay  ) không suy biến Khi dimV > rank  H  ta nói H (hay  ) suy biến  dạng song tuyến tính đối xứng –không gian vectơ hữu hạn chiều V a W khơng gian vectơ v  \ W  H \ W  dạng song tuyến tính đối xứng (dạng tồn phương) W (Có thể  không suy biến  \ W suy biến) b Hai vectơ  ,  gọi trực giao với (, )  51   Đặt W o    V \ (, )  0,  W Wo không gian vectơ V Thực rõ ràng Wo ổn định với phép toán cộng vectơ phép toán nhân vectơ với số Wo   (vì  W o ) c Nếu tổng trực tiếp W  Z hai không gian vectơ W, Z V có tính chất: (, )  0,   W,  Z ta viết W  Z thành W  Z gọi tổng trực tiếp trực giao W, Z   d Gọi Vo    V \ (, )  0,   V hạch  thì: rank    dim V  dim V o với bù tuyến tính W Vo V ta có  \ W khơng suy biến V  V o  W Chứng minh Cho V sở (1 ;  ; ;  n ) thì: n  n     x i i  Vo    x i i ,  j   0, j  1, 2, , n i 1  i1  n n i 1 i 1   (i ,  j )x i  0, j  1, 2, , n   a ij x i  0, j  1,2, ,n A   a ij  ma trận hệ n phương trình bậc n ẩn x1 ; x ; ; x n ma trận  sở (1 ;  ; ;  n ) Theo b), Vo không gian vectơ V nên   (x1 ; x ; ; x n )  V o (x1 ; x , ; x n ) nghiệm hệ phương trình: a x ij i  0, j  1,2, ,n Từ suy dim V o  n  rank  A  hay dim V o  n  rank    Vậy: 52 rank    dim V  dim V o V  Vo  W rõ ràng V  V o W   W  0   Nếu  \ W suy biến có   W  cho  ,   0,  W, từ   V o Điều vơ lí Vo Vậy  \ W khơng suy biến Bài tốn 3.8 Trong tìm hạng hạch dạng toàn phương sau: a) 2x1x  4x x  x 32 b) x12  5x 2 4x 32  2x1x  4x1x Lời giải 0 1   a) Ma trận dạng toàn phương H cho A   0  1 1   Hạch H gồm vectơ x   x1 ; x ; x  thỏa mãn:  0     x1 x x   0      x   3.1        0     x1 x x   0      x   3.2         0     x1 x x   0      x1  2x  x   3.3        x  2x  Kết hợp 1 , (2), (3) ta có:  x3  Từ suy hạch H có sở gồm vectơ    2;  1;  Suy ra: 53 rank  H   rank  A   b) Ma trận dạng toàn phương H cho là:  1 2  A     2 4    Hạch H gồm vectơ x   x1 ; x ; x  thỏa mãn:  1 2     x1 x x        x1  x  2x   2 4       1 2     x1 x x        x1  5x   2 4       1 2      2x  4x  0  x1 x x       2 4       x1    x1 2x   x2  5x  2x  4x 3.4   3.5  3.6      1 2    Hệ có det    4  nên có nghiệm x   0; 0; 0  2 4    Suy ra:  H  ; rank  H   Bài tốn 3.9 Đưa dạng tồn phương:   x1 ; x ; x   3x12  2x 2  x 32  4x1x  x x dạng tắc Lời giải Lập giải phương trình đặc trưng: 54 3 2 2   1  2,   1,   1  Để tìm tọa độ vectơ riêng ta giải hệ phương trình: (3  )x1  2x  0.x   2x1  (2  )x  2x  0x  2x  (1  )x    1  2,   1,   Giả sử 1  Hạng ma trận: 1    A  2E   2   1 hệ phương trình nhất:  x1  2x   2x1  2x  2x  x   (3.7) nên hệ nghiệm hệ (3.7) gồm nghiệm Từ (3.7) suy ra: x1  2, x  , x  2 Do vectơ riêng ứng với 1  là: u1 (2;  ;  2) sau chuẩn hóa ta thu được: 2 X  e1  e2  e3 3 e1 , e , e3 sở mà dạng tồn phương có ma trận A b) Giả sử   1 Hạng ma trận: 55 4 0 A  E  2 2    2  hệ phương trình nhất: 4x1  2x   2x1  3x  2x  2x  2x   (3.8) nên hệ nghiệm gồm nghiệm x1  , x  2, x  2 ,  Từ (3.8) suy ra: Do đó: vectơ riêng tương ứng với   1 là: u  ;  2; 2  sau chuẩn hóa ta thu được: 2 x  e1  e2  e3 3 c) Giả sử 3  Tương tự trên, từ hệ phương trình: 0 2x1  2x  2x1  3x  2x   2x  4x   Ta có x1  2, x  2, x   vectơ riêng tương ứng có dạng: u  2; 2;   ,   sau chuẩn hóa ta có: 2 x  e1  e2  e3 3 Từ khai triển x1 , x , x suy chúng lập thành sở trực chuẩn không gian Ma trận phép biến đổi trực giao có dạng: 56   3  T     3    3 2 3  2 3  1  với công thức biến đổi tọa độ: 2 x1  x '1  x '2  x '3 3 2 x   x '1  x '2  x '3 3 2 x   x '1  x '2  x '3 3 Với phép biến đổi ta có:     2x '12  x '2  5x '32 Bài tốn 3.10 Chứng minh dạng tồn phương thực viết thành tích hai dạng tuyến tính thực có hạng khơng vượt 2, trường hợp đặc số Lời giải Nếu: f  x    a1x1   a n x n  b1x1   bn x n  , f có ma trận biểu diễn mà dịng thứ i có dạng: 1 a i  b1 , , bn   bi  a1 , ,a n  2 Như hạng không gian sinh dòng ma trận tối đa  a1 , ,a n   b1 , , bn  độc lập tuyến tính Nếu đặc số 0, ta giả thiết f  y12  y22 f   y12  y22 Khi đó: f nửa xác định dương nửa xác định âm 57 Tuy nhiên tích hai dạng tuyến tính độc lập tuyến tính khơng thể nửa xác định dương hay âm Vô lý Để chứng minh điều ngược lại ta việc xét dạng biểu diễn chuẩn tắc 58 KẾT LUẬN Khóa luận “Một số vấn đề hạng Đại số tuyến tính” thu số kết sau: Một là, khóa luận phân tích làm rõ khái niệm hạng hệ vectơ, hạng ma trận hạng đồng cấu Hai là, khóa luận tổng hợp khai thác số toán hạng đồng cấu ma trận Ba là, khóa luận tập trung tìm hiểu thêm vấn đề liên quan đến hạng, cụ thể hạng hệ phương trình tuyến tính, hạng dạng toàn phương khai thác số toán liên quan Việc phân dạng giúp sinh viên dễ tiếp thu thấy toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi vấn đề chọn số ví dụ điển hình nhằm giúp sinh viên hiểu cách làm, đặc điểm, hướng giải pháp phù hợp để gặp tốn tương tự sinh viên liên hệ được, làm toán tương tự nâng cao 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Thuận(Chủ biên), Phí Mạnh Ban, Nơng Quốc Chinh, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2006 [2] Văn Như Cương(Chủ biên), Hoàng Trọng Thái, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2004 [3] Jean-Marie Monie, Đại số (Tập 5), Nhà xuất giáo dục, 1996 [4] Nguyễn Duy Thuận, Bài tập Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2003 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Kiến thức trọng tâm Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 60 Ý kiến giảng viên hướng dẫn: Giảng viên hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Thanh Tâm ... liên quan đến hạng Hạng nội dung quan trọng Đại số tuyến tính Hạng Đại số tuyến tính cơng cụ để giải toán Đại số tuyến tính nói chung tốn hệ vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính nói riêng Ngồi... Đại số tuyến tính, hiểu trở ngại bạn gặp phải, thêm vào niềm yêu thích Đại số tuyến tính, để giúp đỡ bạn đến gần u thích mơn học hơn, tơi chọn viết khóa luận tốt nghiệp: ? ?Một số vấn đề hạng Đại. .. khoa học: Khóa luận phân tích làm rõ khái niệm hạng Đại số tuyến tính, khai thác số toán hạng hệ vectơ, ma trận vấn đề liên quan đến hạng Đại số tuyến tính - Ý nghĩa thực tiễn: Khóa luận tài liệu