Tích nửa trực tiếp và ứng dụng

Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  ĐỀ TÀI: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : TS Nguyễn Ngọc Châu : Trần Hữu Thị Duy Anh : 08CTT2 [Type text] Page Đà Nẵng, 05/2012 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu MỞ ĐẦU Cho H K hai nhóm bất kỳ, cách xác định phép tốn hai ngơi tập tích Đề Các H  K , cho với phép toán tập H  K lập thành nhóm, nhóm gọi tích nửa trực tiếp hai nhóm H K Tích nửa trực tiếp hai nhóm mảng kiến thức lý thuyết nhóm, thường dùng để xây dựng nhóm Nhằm tìm hiểu tích nửa trực tiếp hai nhóm phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, tơi chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp “ Tích nửa trực tiếp ứng dụng ” Xin cám ơn Thầy, Cô giáo tận tình giảng dạy, Ban chủ nhiệm khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa luận SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu CHƯƠNG I: NHÓM VÀ p - NHÓM Chương nhắc lại sơ lược số kết cấu trúc nhóm, p - nhóm hữu hạn, để làm sở cho chương sau, chi tiết liên quan tìm thấy tài liệu lý thuyết nhóm 1.1 Một số kết cấu trúc nhóm: Định lý 1.1.1 [ ] Cho H nhóm nhóm G thỏa mãn điều kiện [ G : H ] = Khi H < G Định nghĩa 1.1.2 [ ] Nhóm G gọi nhóm cyclic tồn phần tử   G cho với b  G tồn số nguyên i để b =  i Phần tử  gọi phần tử sinh G Mệnh đề 1.1.3 [ ] Tập hợp gồm tất tự đẳng cấu nhóm nhóm G với phép tốn hợp thành hai ánh xạ nhóm Nhóm gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm G ký hiệu Aut(G) Mệnh đề 1.1.4 [ ] Ánh xạ đồng 1G từ nhóm G vào G, 1G(x) = x,  x  G , đẳng cấu, gọi tự đẳng cấu đồng Mệnh đề 1.1.5 [ ] Ánh xạ  : H  K từ nhóm H đến nhóm K xác định  (h)  1K ,  h  H đồng cấu, gọi đồng cấu tầm thường Định lý 1.1.6 [ ] Nếu p số nguyên tố Aut (Cp  Cp)  GL ( 2, Zp ), GL ( 2, Zp ) nhóm ma trận vng cấp hai khơng suy biến trường Zp Định lý 1.1.7 [ ] Nếu p số nguyên tố cấp nhóm GL(2, Zp) là: GL ( 2, Z p )  ( p 1) ( p  p) Định lý 1.1.8 [ ] Cho Cn nhóm cyclic cấp n sinh phần tử a Khi nhóm tự đẳng cấu Cn là: SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Aut(Cn) = {   : Cn  Cn đồng cấu (a)  ak , k , (k, n)  1} Mệnh đề 1.1.9 Cho G nhóm cyclic cấp p, p số nguyên tố Khi đó, Aut(G) nhóm cyclic cấp p – Chứng minh: Giả sử G  a , ord(a) = p Xét tự đồng cấu nhóm G, f : G  G a a ar r Ta có f  Aut ( G)  a phần tử sinh G  r p nguyên tố  r = 1, 2,…., p –  Aut ( G) nhóm có cấp p – Thí dụ: Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp 3, nhóm cyclic cấp Nếu C3  a Aut ( C3 )     1C3 định  ( a)  a2 với  tự đẳng cấu C3 xác Định nghĩa 1.1.10 [ ] Cho G nhóm a  G Tự đẳng cấu ta: G  G , xác định ta(x) = axa-1 gọi tự đẳng cấu (hay tự đẳng cấu liên hợp) G Định lý 1.1.11 [ ] Giả sử G nhóm abel hữu hạn p số nguyên tố Gọi A(p) tập hợp tất phần tử G có cấp lũy thừa p Khi A(p) p – nhóm SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý 1.1.12 [ ] Giả sử A nhóm abel hữu hạn với cấp A  p1t1 p2t2 pktk , p1, p2, …, pk số nguyên tố đôi khác Khi đó, A  A( p1 )  A( p2 )   A( pk ) , với A( pi )  piti , i  1,2, , k Định lý 1.1.13 [ ] Giả sử A nhóm abel hữu hạn với cấp A  p1 p2 p k p1, p2, …, pk số nguyên tố đôi khác Khi A nhóm cyclic cấp p1.p2….pk A  Z / ( p1 p2 p k )  Z / p1  Z / p2   Z / pk Định lý 1.1.14 [ ] Mỗi p – nhóm abel hữu hạn đẳng cấu với tích p – nhóm cyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử Định nghĩa 1.1.15 [ ] (Nhóm thay phiên) Nhóm An (n  2) phép chẵn gọi nhóm thay phiên n phần tử Định nghĩa 1.1.16 [ ] (Nhóm dihedral) Nhóm dihedral Dn, cấp 2n nhóm sinh hai phần tử r cấp n (n  2) s cấp với quan hệ srs-1 = r-1 Nhóm có biểu diễn là: Dn  r, s r n  s2  e, srs1  r 1 1.2 Các định lý Sylow định lý p – nhóm Định nghĩa 1.2.1 [ ] Giả sử p số nguyên tố Nhóm H gọi p – nhóm Sylow nhóm hữu hạn G H p – nhóm G H  pn lũy thừa cao p chia hết G Định nghĩa 1.2.2 [ ] Cho G nhóm, A B hai tập khác rỗng G x, y  G (i) Phần tử y gọi liên hợp với x tồn z  G cho y = zxz-1 Tập hợp gồm tất phần tử liên hợp với x gọi lớp liên hợp x ký hiệu cl(x) SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu (ii) Tập B gọi liên hợp với tập A tồn z  G cho B = zAz-1 Định lý 1.2.3 [ ] (Định lý Sylow thứ nhất) Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết G Khi tồn p – nhóm Sylow G Định lý 1.2.4 [ ] (Định lý Sylow thứ hai) Giả sử G nhóm hữu hạn Khi đó, p – nhóm G chứa p – nhóm Sylow G Định lý 1.2.5 [ ] (Định lý Sylow thứ ba) (i) Mọi p – nhóm Sylow nhóm hữu hạn G liên hợp với (ii) Gọi sp số p – nhóm Sylow phân biệt nhóm hữu hạn G Khi sp  mod (p) hay sp = + kp, k  ¥ (iii) sp chia hết cấp G Mệnh đề 1.2.6 [ ] Nhóm tự đẳng cấu Aut ( C2  C2 ) , nhóm dihedral D3 Nếu C2  C2   1, b, c, bc Aut ( C2  C2 ) có phần tử xác định bảng sau: Aut (C2  C2 )  (b)  (c) 1 b c 2 b bc 3 c b 4 c bc 5 bc b 6 bc c SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu CHƯƠNG II: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm ứng dụng chúng để xây dựng số nhóm bậc thấp §1: TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 1.1 Tích trực tiếp Mệnh đề 1.1.1 [ ] Cho hai nhóm H K Tập hợp tích Đề Các H  K   h, k  h  H , k  K  , với phép nhân xác định  h, k  h ', k '   hk, h ' k ' ,  h, k  ,  h ', k '  H  K nhóm Định nghĩa 1.1.2 [ ] Nhóm H  K xác định mệnh đề 1.1.1 (chương II), gọi tích trực tiếp ngồi hai nhóm H K Định lý 1.1.3 [ ] Cho G = H  K tích trực tiếp ngồi hai nhóm H K µ{(h,1) h H phần tử đơn vị K} Đặt H , µ{(1, k ) k K , phần tử đơn vị H} K Khi đó: (i) µ H, K µ  K µ K µ nhóm G H H $ $ b $a $ $ H $ K µ a µ b b (ii) Nếu a µK µ H µ K µ= { } (iii) G = H G (iv) Mỗi phần tử g $b $ với  G có biểu diễn dạng g = a , $ H $ K µ b µ a µ < G K µ< G (v) H SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý 1.1.4 [ ] Cho G nhóm H, K hai nhóm G cho H  K = {1} , hk = kh với h  H, k  K HK = G Khi G HK Hệ 1.1.5 [ ] Cho G nhóm H, K hai nhóm chuẩn tắc G thỏa mãn điều kiệu HK = G H  K = {1} Khi G HK Định lý 1.1.6 [ ] Cho G nhóm hữu hạn H, K hai nhóm chuẩn tắc G cho H K  G H  K = {1} HK = G, G HK Định nghĩa 1.1.7 [ ] Cho G nhóm, với hai nhóm H K thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) hk = kh, với h  H k  K (ii) Mọi g  G, g có biểu diễn dạng g = hk, h  H, k  K Khi G gọi tích trực tiếp hai nhóm H K, kí hiệu G  H  K Định lý 1.1.8 [ ] Nếu G tích trực tiếp hai nhóm H K G HK Định lý 1.1.9 Cho n số nguyên dương, lẻ lớn Khi nhóm dihedral D2n đẳng cấu nhóm Dn  C2 Chứng minh: 2n 1 Ta có nhóm D2n  r, s r  s  1, srs  r Xét tập hợp H   r  s i j  i  0, 2, , n  1, j  0,1  D2 n SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp   Ta có r n GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu 2 1 = 1, s = sr s  (r ) Nên H đẳng cấu với Dn nhóm D2n Vì [ D2n : Dn ] = nên theo định lý 1.1.1 (chương I) Dn < D2n Xét Z = n {1, r n } Z < D2n , n lẻ nên r  H Vậy H  Z  { 1}, HZ  D2n H < D2n , Z < D2n nên theo hệ 1.1.5 (chương II), D2n  H  Z hay D2n  Dn  C2 Định lý 1.1.10 [ ] Cho G nhóm H, K hai nhóm G thỏa mãn điều kiện H  K = {1}, hk = kh,  h  H, k  K Khi HK nhóm G đẳng cấu với H  K 1.2 Tích nửa trực tiếp: Bổ đề 1.2.1 [ ] Cho H Q hai nhóm  : Q  Aut ( H ) đồng cấu nhóm Khi tập hợp  h, q  h  H , q  Q với phép toán xác định  h, q  h ', q '   h  q  h ', qq ' nhóm, ký hiệu H  Q Định nghĩa 1.2.2 Cho H Q hai nhóm  : Q  Aut ( H ) đồng cấu nhóm Nhóm H  Q gọi tích nửa trực tiếp ngồi hai nhóm H Q đồng cấu  Nhận xét 1.2.3 (i) Nếu  đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp H  Q tích trực tiếp H  Q (ii) Nếu H Q nhóm giao hốn  đồng cấu tầm thường H  Q nhóm giao hốn SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Định lý 1.2.4 [ ] Cho G  H  Q đó: (i) H nhóm chuẩn tắc G (ii) HQ = G (iii) H  Q = {1G} Định nghĩa 1.2.5 [ ] Cho G nhóm H, Q nhóm G Nhóm G gọi tích nửa trực tiếp H Q nếu: (i) H chuẩn tắc G (ii) HQ = G (iii) H  Q = {1G} Định lý 1.2.6 [ ] Cho G nhóm với hai nhóm H Q Giả sử G = HQ, H  Q = {1G} Khi g  G có biểu diễn dạng g = hq, h  H q  Q Định lý 1.2.7 [ ] Giả sử G tích nửa trực tiếp hai nhóm H Q Khi G  H  Q ,  : Q  Aut ( H ) , cho  (q)(h)  qhq1 , q  Q, h  H Nhận xét 1.2.8 (i) Từ Định lý 1.2.7 (chương II) , ta thấy G nhóm có hai nhóm H Q, H < G , HQ = G H  Q = {1} tồn đồng cấu  : Q  Aut ( H ) cho G  H  Q Như vậy, ta xác định nhóm G biết nhóm Q nhóm chuẩn tắc H G thỏa mãn H  G = {1} HQ = G SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu * Với  : H  Aut(C3 ) KKH H KH b a 1K , b  a a  a , 1H  Ta có:  (1K , b )  a ,1H   (1K. ( b)(a), b.1H )  (  ( a), b)  a , b    ( a2 , b )  1K , b   ( a  ( b)(1K ), b b)  ( a  (1K ), b2 )  a , b2  ( a ,1H )  (1K , b ). a ,1H .(1K , b)  ( a2 ,1H ) ab¶1  aả1 bà$ G cú biu din l G  a, b a3  b2  1, bab1  a1 - nhóm đẳng cấu với D3 * Với 1 : H  Aut ( C3 ) đồng cấu tầm thường theo nhận xét 1.2.3 (chương II)  K 1 H K  H  C3  C2  C6 Vậy có nhóm có cấp không đẳng cấu C6 D3 2.2 Mệnh đề 2: Chỉ có hai nhóm cấp 10 (không đẳng cấu nhau) C5  C2 D5 Chứng minh: Gọi G nhóm có cấp 10 Ta có G = 10 = 2.5 Theo định lý Sylow G có - nhóm Sylow H cấp - nhóm Sylow K cấp Vì [G : K] = nên theo định lý 1.1.1 (chương I) K < G Ta có H  G, H  , KH = G H  K    , theo định lý 1.2.7 (chương II) SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 13 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu nhận xét 1.2.8 (chương II), G  K  H , với  đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K) Ta có H  C2  b b    1, b K  C5  a a5    1, a, a2 , a3 , a4 Theo định lý 1.1.8 (chương I) ta có với C5 = < a > Aut(C5) có phần tử là: 1C5 : C5  C5 ; aa a 1 :C5  C5 ; 2 :C5  C5 ; 3 :C5  C5 aa a2 aa a3 aa a4  có đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut( C5 ) xác định sau: 1 ( b )  1C3 ; 2 ( b )  1 ; 3 ( b )  2 4 ( b )  3 Xét   Aut ( K ) xác định  (b)  b4 , a  K ,ta có: (2  )( b )( a )  2 ( b4 )( a )  ( 1.1.1.1 )( a )  a  1C3 ( a )  1( b )( a ) Do 1  2  , theo định lý 1.2.11 (chương II), ta có C5 1 C2  C5 2 C2 (3  )( b )( a )  3 ( b4 )( a )  ( 2.2.2.2 )( a )  a  1C3 ( a )  1( b )( a ) Do 1  3. , theo định lý 1.2.11 (chương II), ta có C5 1 C2  C5 3 C2 * Với 1 đồng cấu tầm thường, theo nhận xét 1.2.3 (chương II)  K  H K  H  C5  C2 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 14 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu * Với 4 : H  Aut ( C5 ) G  H 4 K hay G  C5 4 C2 b a 3 KKH H KH b a 1K , b  a a  a , 1H  Ta có (1K , b )  a ,1H   (1K.4 ( b)(a), b.1H )  ( 3 ( a), b)   a , b    ( a4 , b )  1K , b   ( a4 4 ( b)(1K ), b b)  ( a 3 (1K ), b2 )  a , b2  ( a ,1H )  (1K , b )  a ,1H .(1K , b)  ( a4 ,1H )  bà$ abả1 Ãa1 Nhúm ny cú biu din là: G  a, b a5  b2  1, bab1  a1  D5 Vậy có nhóm có cấp 10 khơng đẳng cấu C5  C2 D5 2.3 Mệnh đề 3: Chỉ có năm nhóm cấp 12 (khơng đẳng cấu nhau) C12 , C6  C2 , D6 , A4 , C3  C4  : C4  Aut ( C3 ) b a  : C3 C3 x a x2 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 15 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Chứng minh: Gọi G nhóm có cấp 12 Ta có G = 12 = 22 Theo định lý Sylow G có - nhóm Sylow H cấp - nhóm Sylow K cấp Gọi s2 s3 số - nhóm Sylow số - nhóm Sylow G theo định lý Sylow thứ ba: s2  mod    s2  s2  s3  mod    s3  s3  Nếu s3  G có 2.4 = phần tử cấp số phần tử có cấp khác G nên số - nhóm Sylow G s2  Vậy s3  s2  1, H < G K < G i) Trường hợp K < G G nhóm cấp 12, K < G , K  H  G , H  , H  K   1 , KH  G , theo định lý 1.2.7 (chương II) nhận xét 1.2.8 (chương II), G  K  H , với  đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K)  Ta có H  C4  b b4   1, b, b2 , b3  K  C3  a a3   1, a, a2   Theo định lý 1.1.8 (chương I) ta có Aut(C3) = { 1C3 , }, với  xác định  (x) = x2,  x  C3 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 16 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Trường hợp 1: Khi K  C3 sinh a H  C4 sinh b có đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K)  : H  Aut(C3 ) , a 1C , b a  , 1 : H  Aut ( C3 ) , với 1 ( b )  1C3 , b  H (  đồng cấu tầm thường) * Với  : H  Aut(C3 ) KKH H KH b a 1K , b  a a  a , 1H  Ta có (1K , b )  a ,1H   (1K. ( b)(a), b.1H )  (  ( a), b)   a , b      ( a2 , b ) 1K , b3  ( a  ( b)(1K ), b b3 )  ( a  (1K ), b4 )  a , b4  ( a ,1H )  (1K , b ). a ,1H .(1K , b) ( a2 ,1H ) abả1 aả1 bà$  G có biểu diễn là: G  a, b a3  b4  1, bab1  a1  C3  C4 * Với 1 : H  Aut ( C3 ) đồng cấu tầm thường theo nhận xét 1.2.3 (chương II)  K  H K  H  C3  C4  C12 Trường hợp 2: Khi K  C3 sinh a H  C2  C2 sinh b c có đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K) SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 17 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu 2 : H  Aut (C3 ) 3 : H  Aut (C3 ) 4 : H  Aut (C3 ) 5 : H  Aut (C3 ) ba  b a 1C b a 1C ba  ; ; ; c a 1C ca  ca  c a 1C 3 3 * Với 5 : H  Aut ( C3 ) đồng cấu tầm thường, theo nhận xét 1.2.3 (chương II)  K 5 H K  H  C3  C2  C2  C6  C2 Theo mệnh đề 1.2.9 (chương I) Aut (C2  C2 ) có phần tử xác định bảng sau: Aut (C2  C2 )  (b)  (c) 1 b c 2 b bc 3 c b 4 c bc 5 bc b 6 bc c Ta có 2 3 (b)  2 (c)  1C3  3 (b) 2 3 (c)  2 (b)    3 (c)  3  2 3 2 2 (b)  2 (b)    4 (b) 2 2 (c)  2 (bc)  1C  4 (c)  4  2 2 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 18 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Theo định lý 1.2.11 (chương II), nhóm C3  (C2  C2 ) với    3 , 4 ,5  đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm G  C3  (C2  C2 ) với  (b)    (c)  1C Ta có H  C2 C2  b, c b2  c2  , bc  cb  K  C3  a a3   1, a, a2  Theo định lý 1.2.7 (chương II) G  K  H , 1  : H  Aut ( K ) cho  ( h )( k )  hk h , h  H , k  K   ( c )( a )  1C3 ( a )  a  c ac1 ;  ( b )( a )   ( a )  a2  bab1  Nhóm có biểu diễn là: G  a, b , c a3  b2  c2  1, bc  cb, cac1  a, bab1  a2 Lấy a , b  G nhóm G xác định a, b a3  b2  1, bab1  a1 Ta có C2  c  D3 nhóm G, bc = cb ca = ac nên x y  y x ,  x  C2 ,  y  D3 C2  D3   1 , D3 C2  G theo định lý 1.1.4 (chương II) G  D3  C2  D6 ( theo định lý 1.1.9 (chương II )) ii) Trường hợp H < G G nhóm cấp 12, H < G , H  K  G , K  , H  K   1 , HK  G , theo định lý 1.2.7 (chương II) nhận xét 1.2.8 (chương SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 19 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu II), G  H  K , với  đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(H) Trường hợp 1: Khi H  C4 Aut ( C4 )  C2 K  C3 nên  đồng cấu tầm thường (vô lý)  khơng có nhóm cấp 12 khơng giao hốn chứa nhóm chuẩn tắc C4 Trường hợp 2: Khi H  C2  C2 sinh a, b K  C3  c có đồng cấu  6 : K  Aut ( H ) 7 : K  Aut ( H ) c a 4 c a 5 Với 6 G  (C2  C2 ) 6 C3 Ta có: H  C2  C2  a, b a2  b2  , ab  ba  K  C3  c c3   1, c, c2  Theo định lý 1.2.7 (chương II) G  H  K ,  : K  Aut ( H ) 1 cho  ( k )( h )  k hk , h  H , k  K  6 ( c )( a )  4 ( a )  b  cac1 ; 6 ( c )( b )  4 (b)  ab  cbc1  Nhóm có biểu diễn là: G  a, b , c a2  b2  c3  1, ab  ba, cac1  b, cac1  ab Ta có: 2 5 21 ( b )  2 5 ( b )  2 ( bc )  c  4 ( b ) 2 5 21 ( c )  2 5 ( bc )  2 ( c )  bc  4 ( c ) SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 20 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu  4  2 5 21  4 , 5 liên hợp nhau, theo định lý 1.2.12 (chương II) nhóm (C2  C2 )  C3 với    6 , 7  đẳng cấu với  có nhóm khơng giao hốn cấp 12 chứa nhóm chuẩn tắc cấp Nhóm đẳng cấu với nhóm thay phiên A4 Vậy có nhóm có cấp 12 C12 , C6  C2 , D6 , A4 , C3  C4  : C4  Aut ( C3 ) b a  : C3 C3 x a x2 2.4 Mệnh đề 4: Chỉ có hai nhóm cấp 14 (khơng đẳng cấu nhau) C7  C2 D7 Chứng minh: Gọi G nhóm có cấp14 Ta có G = 14 = 2.7 Theo định lý Sylow G có - nhóm Sylow H cấp - nhóm Sylow K cấp Vì [G : K] = nên theo định lý 1.1.1 (chương I) K < G Ta có H  G, H  , KH = G H  K   1 , theo định lý 1.2.7 (chương II) nhận xét 1.2.8 (chương II), G  K  H , với  đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K) Ta có H  C2  b b    1, b K  C7  a a7    1, a, a2 , a3 , a4 , a5 , a6  SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 21 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Theo định lý 1.1.8 (chương I) ta có với C7 = Aut(C7) có phần tử là: 1C7 : C7  C7 ; 1 :C7  C7 ; 2 :C7  C7 ; 3 :C7  C7 ; 4 :C7  C7 ; 5 :C7  C7 a a a a a a2 a a a3 a a a4 a a a6 a a a5  có đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K) xác định bởi: 1 (b)  1C7 ; 2 (b)  1 ; 3 (b)  2 ; 4 (b)  3 ; 5 (b)  4 ; 6 (b)  5 Xét   Aut ( K ) xác định  (b)  b , a  K ,ta có: (2  )( b )( a )  2 ( b6 )( a )  ( 1.1.1.1.1.1 )( a )  a  1 ( a )  1 ( b )( a ) (3  )( b )( a )  3 ( b6 )( a )  (2.2.2.2.2.2 )( a )  a  1 ( a )  1 ( b )( a ) (4  )( b )( a ) 4 ( b6 )( a )  ( 3.3.3.3.3.3 )( a )  a  1 (a )  1 ( b )( a ) (5  )( b )( a )  5 ( b6 ) ( a )  (4.4.4.4.4.4 )( a )  a  1 ( a )  1 ( b )( a ) Do 1  2   3.  4   5. , theo định lý 1.2.11 (chương II), ta có nhóm C7  C2 với  1, 2 , 3 , 4 , 5 đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm G = C7 1 C2 với 1 đồng cấu tầm thường Theo nhận xét 1.2.3 (chương II)  K  H K  H  C7  C2 * Với 6 : H  Aut (K ) G  H 6 K hay G  C7 6 C2 b a 5 H KH b a 1K , b  KKH a a SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh  a , 1H  22 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu  Ta có (1K , b )  a ,1H   (1K.6 ( b)(a), b.1H )  ( 5 ( a), b)  a , b    ( a6 , b )  1K , b   ( a6 6 ( b)(1K ), b b)  ( a6 5 (1K ), b2 )  a6 , b2  ( a6 ,1H )  (1K , b ). a ,1H .(1K , b)  ( a6 ,1H ) abả1 aả1 bà$ Nhóm có biểu diễn là: G  a, b a7  b2  1, bab1  a1  D7 Vậy có nhóm có cấp 10 khơng đẳng cấu C7  C2 D7 2.5 Mệnh đề 5: Chỉ có nhóm cấp 15 C15 Chứng minh: Gọi G nhóm có cấp15 Ta có G = 15 = 3.5 Theo định lý Sylow G có - nhóm Sylow H cấp - nhóm Sylow K cấp Vì H  nên H  C3 K  nên K  C5 Gọi s5 số – nhóm Sylow G, theo định lý 1.2.6 (chương I) ta có s5 , s5 = + 5k, k  ¥ nên s5 =  K < G , theo định lý 1.2.7 (chương II) nhận xét 1.2.8 (chương II), G  K  H , với  đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K)  Ta có H  C3  b b   1, b, b  K  C5  a a5    1, a, a2 , a3 , a4 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 23 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu Theo định lý 1.1.8 (chương I) ta có với C5 = < a > Aut(C5) có phần tử là: 1C5 : C5  C5 a a a ; 1 : C5  C5 a a a2 ;  : C5  C5 a a a3 ; 3 : C5  C5 a a a4  có đồng cấu từ nhóm H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(K) xác định bởi: 1 (b)  1C5 ; 2 (b)  1 ; 3 (b)  2 ; 4 (b)  3 Xét   Aut ( K ) xác định  (a)  a4 , a  K ,ta có: (2  )( b )( a )  2 ( b4 )( a )  ( 1.1.1.1)( a )  a  1C5 ( a )  1 ( b )( a ) (3  )( b )( a )  3 ( b4 )( a )  ( 2.2.2.2 )( a )  a  1C5 ( a )  1 ( b )( a ) (4  )( b )( a ) 4 ( b4 )( a )  ( 3.3.3.3 )( a )  a  1C5 (a )  1 ( b )( a ) Do 1  2   3.  4  , theo định lý 1.2.11 (chương II), ta có nhóm C5  C3 với    1 , 2 , 3 , 4  đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm G = C5 1 C3 với 1 đồng cấu tầm thường theo nhận xét 1.2.3 (chương II) C5 1 C3  C5  C3  C15 Vậy có nhóm cấp 15 C15 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 24 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu KẾT LUẬN Đề tài tìm hiểu “ Tích nửa trực tiếp hai nhóm”, mảng kiến thức lý thuyết nhóm, thường dùng để xây dựng nhóm Trên sở tích nửa trực tiếp hai nhóm, đề tài xây dựng phân loại đẳng cấu nhóm có cấp 6, 10, 12, 14 15 Do trình độ cịn hạn chế người thực đề tài, hạn hẹp thời gian, nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Hy vọng thời gian tới, đề tài tiếp tục mở rộng hoàn thiện SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 25 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Nguyễn Văn Bảy, (2009) Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp n, n  20 (Luận văn thạc sỹ khoa học - Đại học Đà Nẵng) [ ] Trần Văn Hạo, Hồng Kì ( 1980 ), Bài tập đại số, NXB Đại Học Và Trung Học Chuyên Nghiệp [ ] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan ( 1985 ), Đại số Số học, tập I, II, NXB Giáo Dục [ ] Bùi Huy Hiền ( 1997 ), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo Dục [ ] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [ ] Benjamin Baumslag, Bruce chandler (1968), Theory and problems of Group theory, Mcgraw – Hill book company [ ] Milne J S (2008), Group Theory (2008) at http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf [ ] Marcel Wild, The groups of order sixteen made easy, Amer Math Monthly 112 (2005), no 1, 20 – 31 MR MR 2110109 [ ] David Jao (2002), Semidirect Product Of Groups, at http://planetmath.org/encyclopedia/SemidirectProductOfGroups.html SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 26 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: NHÓM VÀ p - NHÓM 1.1 Một số kết cấu trúc nhóm: 1.2 Các định lý Sylow định lý p – nhóm CHƯƠNG II: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG §1: TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 1.1 Tích trực tiếp 1.2 Tích nửa trực tiếp: §2: ỨNG DỤNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ NHÓM BẬC THẤP 12 2.1 Mệnh đề 1: 12 2.2 Mệnh đề 2: 13 2.3 Mệnh đề 3: 15 2.4 Mệnh đề 4: 21 2.5 Mệnh đề 5: 23 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 SVTH: Trần Hữu Thị Duy Anh 27 ... II: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm ứng dụng chúng để xây dựng số nhóm bậc thấp §1: TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 1.1 Tích trực. .. NHÓM VÀ p - NHÓM 1.1 Một số kết cấu trúc nhóm: 1.2 Các định lý Sylow định lý p – nhóm CHƯƠNG II: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG §1: TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP... §1: TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 1.1 Tích trực tiếp 1.2 Tích nửa trực tiếp: §2: ỨNG DỤNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ NHÓM BẬC THẤP 12 2.1