TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG

TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG, tập bị chặn trên, tập bị chặn dưới; định nghĩa tính chất của cận trên, cận dưới; các tính chất của hàm số liên tục trên 1 đoạn, giái hạn của hàm số đơn điệu.

MỤC LỤC

Trang Lời nói đầu 2

I Tiên đề Dedekin 3

II Định nghĩa tập bị chặn trên, tập bị chặn dưới và tập bị chặn 3

III Định nghĩa, định lý và tính chất của cận trên, cận dưới, cận trên đúng, cận dưới đúng 3

III.1 Định nghĩa 3

III.2 Định lý về sự tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng 3

III.2.1 Định lý về sự tồn tại SupA 3

III.2.2 Định lý về sự tồn tại InfA 4

III.3 Các tính chất 4

IV Các nguyên lý của số thực 9

IV.1 Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu 9

IV.2 Dãy đoạn lồng nhau và thắt lại 10

IV.2.1 Bổ đề về dãy đoạn lồng nhau 10

IV.2.2 Nguyên lý về dãy đoạn lồng nhau và thắt lại (nguyên lý Cantor) 11

IV.3 Nguyên lý Compact địa phương của (nguyên lý Bolzano – Weierstrass) 12

IV.4 [a; b] là tập compact trong 13

IV.5 A là tập compact trong A là tập đóng và bị chặn 13

V Các tính chất của hàm số liên tục trên 1 đoạn 14

V.1 Định nghĩa 14

V.2 Định lý bị chặn (định lý Weierstrass 1) 14

V.3 Định lý nhận max và min (định lý Weierstrass 2) 15

V.4 Định lý nhận mọi giá trị trung gian (định lý Bolzano - Cauchy) 16

Hệ quả: Định lý không điểm 18

VI Giới hạn của hàm số đơn điệu 18

VI.1 Định nghĩa 18

VI.2 Định lý: Giới hạn nếu có là duy nhất 19

VI.3 Định lý giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số 19

VI.4 Định lý quan hệ giữa tính đơn điệu và liên tục 20

VI.5 Định lý về tồn tại hàm ngược 22

LỜI NÓI ĐẦU

Những kiến thức trong học phần Giải Tích 1 là những kiến thức nền tảng để xây dựng nội dung kiến thức mới ở các học phần tiếp theo Nhằm cũng cố lại những kiến thức đã được học trong học phần Giải Tích 1

và để giúp các bạn sinh viên lần đầu tiếp cận với các kiến thức của Giải Tích 1 không còn cảm thấy nó khô khan và khó tiếp thu, giúp các bạn nắm vững được đâu là kiến thức trọng tâm của học phần và những ứng dụng của học phần này trong các học phần tiếp theo Mặt khác, nội dung của Giải Tích 1 cũng được ứng dụng rất nhiều trong chương trình dạy học ở phổ thông Chính vì vậy, thông qua bài tiểu luận này, tôi muốn tập hợp và cũng cố những kiến thức trọng tâm nhất của Giải tích 1, tạo điều kiện thuận lợi để cũng cố, tiếp thu và nâng cao kiến thức Giải Tích

Để hoàn thành tốt bài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thạc

sĩ LÊ THỊ KIỀU NGA, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

CHỦ ĐỀ 1 TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG



I Tiên đề Dedekin:

Cho hai tập A, B thỏa A ; B ; a    b; a A;   b B

thì c  sao cho a    c; a A và c  b; b   B

II Định nghĩa tập bị chặn trên, tập bị chặn dưới và tập bị chặn

 Định nghĩa tập bị chặn trên: Giả sử A A bị chặn trên nếu tồn

tại số thực b sao cho xb, x A Khi đó ta nói b là số chặn trên của A

hay nói rằng A bị chặn trên bởi b

Tóm tắt: A bị chặn trên nếu  b : xb; x A

 Định nghĩa tập bị chặn dưới: Giả sử A A bị chặn dưới nếu

tồn tại số thực b sao cho bx,  x A Khi đó ta nói b là số chặn dưới của

A hay nói rằng A bị chặn dưới bởi b

 Cận trên: A , b , b là cận trên của A nếu x  b, x A

 Cận dưới: A , b , b là cận dưới của A nếu b  x, x A

 Cận trên đúng (Suprêmum): Giả sử A  và A bị chặn trên Số nhỏ

nhất trong các cận trên của A gọi là cận trên đúng của A Ký hiệu: SupA

 Cận dưới đúng (Infimum): Giả sử A  và A bị chặn trên Số lớn

nhất trong các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng của A Ký hiệu: InfA

III.2 Định lý về sự tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng

III.2.1 Định lý về sự tồn tại SupA

Ta cĩ: A  ; A   ; Abị chặn trên  b : x   b, x A

 b là một cận trên của A

Đặt F là tập hợp các cận trên của A  F do chứa b

A, F ; A, F ; x  y; x A; y F theo tiên đề Dedekin c

   sao cho        x c; x Ac y; y F F là tập các cận trên của A c là một cận trên của A 

c là cận trên nhỏ nhất trong các cận trên của A hay c = supA

III.2.2 Định lý về sự tồn tại InfA

Đặt F là tập hợp các cận dưới của A  F do chứa b'

A, F ; A, F ; y x;  x A;  y F theo tiên đề Dedekin c



   



y c; y F F là tập các cận dưới của A

c x; x F c là một cận dưới của A

c là cận dưới lớn nhất trong các cận dưới của A hay c = infA

Ta đi chứng minh m là cận trên nhỏ nhất của A

Giả sử m’ là một cận trên của A và m’ < m

m' là cận trên của A x m', x A

m m' (mâu thuẫn với m' m)

Vậy m là cận trên nhỏ nhất của A hay m = sup A

Ta đi chứng minh n là cận dưới lớn nhất của A

Giả sử n’ là một cận dưới của A và n’ > n

n’ là cận dưới của An 'x,  x A Trong khi n  A n ' n(mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy n là cận dưới lớn nhất của A hay n = inf A

a l; a A   l là một cận trên của A

Vậy l + l’ = inf (A + B)

IV Các nguyên lý của số thực:

IV.1 Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu:

i/ Nếu {an} là dãy tăng và bị chặn trên thì nĩ hội tụ và

{an} bị chặn trên   b : an    b, n * A bị chặn trên bởi b

l sup a nên 0,l l l khơng là cận trên của A

{an} bị chặn dưới   b : b a , n n   * A bị chặn dưới bởi b

IV.2 Dãy đoạn lồng nhau và thắt lại

IV.2.1 Bổ đề về dãy đoạn lồng nhau

Dãy đoạn lồng nhau đều cĩ phần tử chung của tất cả các đoạn

(Nghĩa là: Giả sử  a , b   là dãy các đoạn lồng nhau

IV.2.2 Nguyên lý dãy đoạn lồng nhau và thắt lại (Nguyên lý Cantor):

* Định nghĩa: Dãy đoạn [an; bn] trong gọi là lồng nhau và thắt lại nếu an+1;bn+1  a ;b , n 1n n   và n n

nlim(b a ) 0

* Định lý: Mọi dãy đoạn lồng nhau và thắt lại (lồng nhau và độ dài các

đoạn dần về 0 khi n dần về ) đều có một điểm chung duy nhất

Chứng minh:

Dãy đoạn lồng nhau đều có phần tử chung của tất cả các đoạn (theo

bổ đề về dãy đoạn lồng nhau)

Ta chứng minh phần tử chung là duy nhất ?

Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử có hai phần tử phân biệt chung, tức là

 n n n na; b a ; b ; n 1 0 b a b a ; n 1

Vậy phần tử chung của dãy đoạn là duy nhất

IV.3 Nguyên lý Compact địa phương của (nguyên lý Bolzano – Weierstrass)

Mọi dãy bị chặn đều cĩ dãy con hội tụ

Chứng minh:

Giả sử  un n bị chặn  M 0 : un M, n  *  M un M, n  *+ Chia đoạn M; Mthành hai đoạn bằng nhau bởi điểm chia là trung điểm của –MM Khi đĩ cĩ một đoạn con chứa vơ số số hạng của un Đặt

a ;b là đoạn chứa vơ số số hạng của 1 1 un và b1 a1 M

+ Chia a ;b thành hai đoạn bằng nhau bởi điểm chia là trung điểm của 1 1

un2 a ;b2 2 sao cho n2 n1 (do [a2; b2] chứa vơ số số hạng của un)

un3a ; b3 3 sao cho n3  n2  n1(do [a2; b2] chứa vơ số số hạng của un) ………

Vậy dãy  un k khội tụ

Vậy mọi dãy bị chặn đều có dãy con hội tụ

IV.4 [a; b] là tập compact trong

 Định nghĩa tập Compact: Cho (X, d) là một không gian metric và

   Ta nói rằng A là tập compact nếu mọi dãy  xn   luôn tồn tại một dãy con  xn k hội tụ về một điểm x

 [a; b] là tập compact trong

Vậy  a, b là tập compact trong

IV.5 A là tập compact trong  A là tập đóng và bị chặn

M 0 : x M (**) Xảy ra mâu thuẫn giữa (*) và (**)

 Định nghĩa hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

f : (a; b) ta nói f liên tục trên (a; b)  f liên tục tại x ;0  x0 (a; b)

 Định nghĩa hàm số liên tục trên [a; b]

f : (a; b)  , f liên tục trên [a; b]f liên tục trên khoảng (a; b) và f liên

tục phải tại a, f liên tục trái tại b

Vậy  xn n * [a;b] thỏa (*)

V.3 Định lí nhận max và min (định lý Weierstrass 2)

Hàm số f liên tục trên [a; b] thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b]

f liên tục tại x (do x [a;b])

x [a;b]

Ta cĩ  yn k k là dãy con của dãy  yn n mà

f liên tục tại x (do x [a;b])

V.4 Định lí nhận mọi giá trị trung gian (định lý Bolzano – Cauchy)

Hàm số f liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá

x y

d

O

y=f(x o ) a

m=f(c) f(x o )

Nếu y = m =f (c), c  [a; b], rõ ràng định lý thỏa

Nếu y = M =f (d), d  [a; b], rõ ràng định lý thỏa

A (do f(c) m y,c [a;b] c A)

Theo tính chất của sup  n n o o  

Ta có:f (x )n  y (do  xn A) qua giới hạn f x o y (1)

 Hệ quả: Định lí khơng điểm

Hàm số f liên tục trên [a; b] và f(a), f(b) trái dấu thì  x0 (a; b): f (x )0 0

Ta cĩ f(a), f(b) trái dấu f (a).f (b)0

nên giả sử f (a)0, f (b)0

m f (a) 0 f (b) M

 y = 0 là giá trị trung gian của giá tri lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên [a; b]

Theo định lý Bolzano - Cauchy

1 2 3 4

x y

x oO

+ x0 , lân cận của x là khoảng (x0 0  ;x0  ), kí hiệu: V (x ). 0

+U ,U gọi là lân cận của x nếu tồn tại một lân cận của x nằm trong U 0  0

 Định nghĩa điểm tụ (điểm giới hạn)

0

A ,x R,x gọi là điểm tụ của A nếu một lân cận tùy ý của x chứa ít nhất một điểm của A và điểm đó khác x

 Định nghĩa giới hạn hàm số theo , 

A , hàm số f : A , xo là điểm tụ của A nếu cĩ một số thực b sao cho  0,  > 0: x A, 0 x xo    f x   b ,ta nĩi hàm số

f cĩ giới hạn là b khi x  xo

Vậy giới hạn của hàm số nếu cĩ là duy nhất

VI.3 Định lý giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số

Cho hàm số f xác định trên tập hợp A, xo là điểm giới hạn của A Hàm số f cĩ giới hạn là b khi x  xo, khi và chỉ khi mọi dãy

x x

0 ta có: lim f x b nên >0: x A,0 < x x f x b

nlim x x nên với số dương  sẽ

 

n tự nhiên: n n0   0  0 xn xo   do (*) f xn   bVậy  0, n tự nhiên : n n 0   0  f x n   b

Chứng minh  

o

xlim f xx b

  (chứng minh bằng phản chứng) Giả sử không có giới hạn  

VI.4 Định lý quan hệ giữa tính đơn điệu và liên tục

Cho f là hàm đơn điệu trên đoạn [a; b] f liên tục trên đoạn [a; b] khi và chỉ

khi f ([a; b]) là một đoạn có hai đầu mút là f a ,f b   

 Giả thiết f là hàm số tăng trên [a; b] và f  a;b  f a ,f b   

Chứng minh f liên tục trên [a; b] (chứng minh bằng phản chứng)

Giả sử f không liên tục [a; b]  xo [a; b] sao cho f gián đoạn tại xo

Giả sử xo(a; b)

+ Chứng minh  f (x )o

Đặt Bf (x), x [a; x ) o [a;b]

Ta có f tăng trên đoạn [a; b] suy ra f tăng trên [a; x ]o

 x a; xo ta có a  x xo  f (a)f (x)f (x )0 (do f tăng)

Ta có: [a; x )o a; xo  x [a; x )o ta có f (a)f (x)f (x )o

f (x)yo  x [a; b], mâu thuẫn với f nhận giá trị yo

Vậy f liên tục trên [a; b]

VI.5 Định lý về tồn tại hàm ngược

f tăng nghiêm ngặt trên [a; b], f : a; b  f a ;f b   , thì f có hàm ngược

+ Chứng minh tồn tại hàm ngược

Ta cĩ: f tăng trên [a; b]  f đơn điệu trên [a; b]

Mặt khác f  a;b  f a ;f b    nên theo định lý giữa tính đơn điệu và liên tục ta cĩ f liên tục trên [a; b]

Ta lại cĩ f tăng nghiêm ngặt trên [a; b]

nên  y f a ;f b , tồn tại duy nhất x    a;b sao cho y f(x) 

 tồn tại hàm ngược 1      

f : f a ;f b  a; b+ Chứng minh f1 tăng nghiêm ngặt trên f a ;f b   

f tăng nghiêm ngặt trên f a ;f b   

+ Chứng minh hàm ngược liên tục trên f a ;f b   

Ta cĩ: 1      1    1     

f f a ;f b  f f a ;f f b  a; b và f là hàm đơn điệu trên f a ;f b    nên theo định lý về quan hệ giữa tính đơn điệu

và liên tục ta cĩ 1

f liên tục trên f a ;f b   