TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG

TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG, tập bị chặn trên, tập bị chặn dưới; định nghĩa tính chất của cận trên, cận dưới; các tính chất của hàm số liên tục trên 1 đoạn, giái hạn của hàm số đơn điệu.

Tính chất giải tích số thực ứng dụng MỤC LỤC Trang Lời nói đầu I Tiên đề Dedekin II Định nghĩa tập bị chặn trên, tập bị chặn tập bị chặn III Định nghĩa, định lý tính chất cận trên, cận dưới, cận đúng, cận III.1 Định nghĩa III.2 Định lý tồn cận cận III.2.1 Định lý tồn SupA III.2.2 Định lý tồn InfA III.3 Các tính chất IV Các ngun lý số thực IV.1 Định lý hội tụ dãy đơn điệu IV.2 Dãy đoạn lồng thắt lại 10 IV.2.1 Bổ đề dãy đoạn lồng 10 IV.2.2 Ngun lý dãy đoạn lồng thắt lại (ngun lý Cantor) .11 IV.3 Ngun lý Compact địa phương (ngun lý Bolzano – Weierstrass) 12 IV.4 [a; b] tập compact 13 IV.5 A tập compact  A tập đóng bị chặn 13 V Các tính chất hàm số liên tục đoạn 14 V.1 Định nghĩa 14 V.2 Định lý bị chặn (định lý Weierstrass 1) 14 V.3 Định lý nhận max (định lý Weierstrass 2) 15 V.4 Định lý nhận giá trị trung gian (định lý Bolzano - Cauchy) 16 Hệ quả: Định lý khơng điểm 18 VI Giới hạn hàm số đơn điệu 18 VI.1 Định nghĩa 18 VI.2 Định lý: Giới hạn có 19 VI.3 Định lý giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số 19 VI.4 Định lý quan hệ tính đơn điệu liên tục 20 VI.5 Định lý tồn hàm ngược 22 Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng LỜI NĨI ĐẦU Những kiến thức học phần Giải Tích kiến thức tảng để xây dựng nội dung kiến thức học phần Nhằm cố lại kiến thức học học phần Giải Tích để giúp bạn sinh viên lần đầu tiếp cận với kiến thức Giải Tích khơng cảm thấy khơ khan khó tiếp thu, giúp bạn nắm vững đâu kiến thức trọng tâm học phần ứng dụng học phần học phần Mặt khác, nội dung Giải Tích ứng dụng nhiều chương trình dạy học phổ thơng Chính vậy, thơng qua tiểu luận này, tơi muốn tập hợp cố kiến thức trọng tâm Giải tích 1, tạo điều kiện thuận lợi để cố, tiếp thu nâng cao kiến thức Giải Tích Để hồn thành tốt tiểu luận này, tơi xin chân thành cảm ơn thạc sĩ LÊ THỊ KIỀU NGA, tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG  I Tiên đề Dedekin: Cho hai tập A, B  thỏa A  ; B  ; a  b; a  A; b  B c  cho a  c; a  A c  b; b  B II Định nghĩa tập bị chặn trên, tập bị chặn tập bị chặn  Định nghĩa tập bị chặn trên: Giả sử A  A bị chặn tồn số thực b cho x  b, x  A Khi ta nói b số chặn A hay nói A bị chặn b Tóm tắt: A bị chặn b  : x  b; x  A  Định nghĩa tập bị chặn dưới: Giả sử A  A bị chặn tồn số thực b cho b  x, x  A Khi ta nói b số chặn A hay nói A bị chặn b Tóm tắt: A bị chặn b  : b  x; x  A  Định nghĩa tập bị chặn: Giả sử A  A đồng thời bị chặn bị chặn ta nói tập A bị chặn Tóm tắt: A  , A bị chặn  M  : x  M; x  A III Định nghĩa, định lý tính chất cận trên, cận dưới, cận đúng, cận III.1 Định nghĩa:  Cận trên: A  , b , b cận A x  b, x  A  Cận dưới: A  , b , b cận A b  x, x  A  Cận (Suprêmum): Giả sử A   A bị chặn Số nhỏ cận A gọi cận A Ký hiệu: SupA  Cận (Infimum): Giả sử A   A bị chặn Số lớn cận A gọi cận A Ký hiệu: InfA III.2 Định lý tồn cận cận III.2.1 Định lý tồn SupA A   A   SupA  A bò chặn   Chứng minh: Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng Ta có: A  ; A  ; A bị chặn  b  : x  b, x  A  b cận A Đặt F tập hợp cận A  F   chứa b A, F  ; A, F  ; x  y; x  A; y  F theo tiên đề Dedekin  x  c; x  A  c cận A  c  cho  c  y;  y  F F tậ p cá c cậ n trê n củ a A      c cận nhỏ cận A hay c = supA III.2.2 Định lý tồn InfA A   A   InfA  A bò chặn   Chứng minh : Ta có: A  R; A  ; A bị chặn  b '  : x  b ', x  A  b' cận A Đặt F tập hợp cận A  F   chứa b' A, F  ; A, F  ; y  x; x  A; y  F theo tiên đề Dedekin  y  c; y  F  F tập cận A  cho  c  x;  x  F  c mộ t cậ n dướ i củ a A    c cận lớn cận A hay c = infA  c  III.3 Các tính chất: III.3.1 Tính chất 1:  m  A m  max A   sup A  m Chứng minh: m  A  ) Ta có: m  max A   x  m, x  A  m cận A Ta chứng minh m cận nhỏ A Giả sử m’ cận A m’ < m m' cận A  x  m', x  A    m  m' (mâu thuẫn với m'  m) m  A (giả thiết) Vậy m cận nhỏ A hay m = sup A Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng m  A Vậy m  max A   sup A  m  ) Ta có: m  sup A  x  m, x  A m  A  m = max A  n  A n  A   inf A  n Chứng minh: n  A  ) Ta có: n  A   n  x, x  A  n cận A Ta chứng minh n cận lớn A Giả sử n’ cận A n’ > n n’ cận A  n '  x, x  A Trong n  A  n '  n (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy n cận lớn A hay n = inf A n  A Vậy n  A   inf A  n  ) Ta có: n  inf A  n  x, x  A n  A  n = A III.3.2 Tính chất 2:  a  l; a  A  l  sup A     0; a '  A : l    a '  l Chứng minh:  a  l; a  A  ) Chứng minh l  sup A     0; a   A : l    a '  l Ta có: l = SupA nên l cận cận nhỏ A (1) l cận A  a ≤ l , a  A l cận nhỏ A nên   0; l    l  l   khơng cận A  a '  A : l    a '  l (2)  a  l; a  A Từ (1) (2) ta có l  sup A     0; a   A : l    a '  l Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng a  l; a  A    l  sup A   0; a   A : l    a '  l  Ta có: a  l; a  A  l cận A (3)   0, a '  A : l    a '  l  l   khơng cận A (4) Từ (3) (4)  l cận nhỏ A Vậy l = Sup A  l  a; a  A  l  inf A     0; a   A : l  a '  l   Chứng minh:  l  a; a  A  ) Chứng minh l  inf A     0; a   A : l  a '  l   Ta có: l = inf A nên l cận cận lớn A (1) l cận A  l  a, a  A l cận lớn A nên   0; l  l    l   khơng cận A  a '  A : l  a '  l   (2)  l  a; a  A Từ (1) (2) l  inf A     0; a   A : l  a '  l    ) Chứng minh l  a; a  A    l  infA   0; a   A : l  a '  l    Ta có: l  a; a  A  l cận A (3)   0, a '  A : l  a '  l    l   khơng cận A (4) Từ (3) (4)  l cận lớn A Vậy l = inf A III.3.3 Tính chất l cận A  l  SupA   x l x n   A : lim n  n Chứng minh: l cận A  ) Chứng minh l  SupA   x l x n   A : lim n  n  a  l; a  A Ta có: l  sup A     0; a  A : l    a '  l  ) Chứng minh Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng a  l; a  A  l cận A   0, a '  A : l    a '  l Chọn     x1  A : l   x1  l 1 Chọn     x  A : l   x  l 2 ………………………………………… 1 Chọn     x n  A : l   x n  l n n  x n  A : l   x n  l, n  * n Ta có: lim l  l , lim(l  )  l n  n  n Theo ngun lý kẹp  lim x n  l với x n   A, n  * n  l cận A Vậy l  SupA   x l x n   A : lim n  n l cận A   ) Chứng minh   l  SupA x n   A : lim x n  l  n   Ta có: x n   A : lim x n  l nên   0, n1  : n  n1  x n  l   n   l    xn  l   Vì x n   A l cận A  l    x n  l, n  n1 Chọn n  n1   n1    0, x n2  A : l    x n2  l Vậy l cận nhỏ A Vậy l  sup A l cận A  l  infA   x l x n   A : lim n  n Chứng minh: l cận A  ) Chứng minh l  inf A   x l x n   A : lim n  n  l  a; a  A   0; a   A : l  a '  l   Ta có: l  inf A   l  a; a  A  l cận A Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng   0, a '  A : l  a '  l   Chọn     x1  A : l  x1  l  1 Chọn     x  A : l  x  l  2 ………………………………………… 1 Chọn     x n  A : l  x n  l  n n  x n  A : l  x n  l  , n  * n Ta có: lim l  l , lim(l  )  l n  n  n Theo ngun lý kẹp  lim x n  l với x n   A, n  * n  l cận A Vậy l  inf A   x l x n   A : lim n  n l cận A   ) Chứng minh   l  inf A x n   A : lim x n  l  n   Ta có: x n   A : lim x n  l nên   0, n1  : n  n1  x n  l   n   l    xn  l   Vì x n   A l cận A  l  x n  l  , n  n1 Chọn n  n1   n1    0, x n2  A : l  x n2  l   Vậy l cận lớn A Vậy l  infA III.3.4 Tính chất  A, B  , A + B = {a + b / a  A, b  B} Nếu  sup A = l,  sup B = l’  sup (A + B) = l + l’ Chứng minh: Ta có:  x  A + B  x = a + b, a  A, b  B a  A  a ≤ l (do l = sup A) b  B  b ≤ l’ (do l’ = sup B)  x = a + b ≤ l + l’,  x  A + B  l + l’ cận A + B    > l = sup A nên  a’  A: l   a'  l Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng l’ = sup B nên  b’  B: l'   b'  l'     a' b'  l  l'  l  l'   a' b'  l  l' 2 Vậy   0, a' b'  A  B : l  l'   a' b'  l  l' với a'  A, b'  B  l + l’ cận nhỏ cận A + B Vậy l + l’ = sup (A + B)  A, B  , A + B = {a + b / a  A, b  B} Nếu  inf A = l,  inf B = l’  inf (A + B) = l + l’ Chứng minh: Ta có:  x  A + B  x = a + b, a  A, b  B a  A  l ≤ a (do l = inf A) b  B  l’ ≤ b (do l’ = inf B)  x = l + l’ ≤ a + b,  x  A + B  l + l’ cận A + B    > l = inf A nên  a’  A: l  a'  l   l’ = inf B nên  b’  B: l'  b'  l'    l  l'  a' b'  l  l'   l  l'  a' b'  l  l'  2 Vậy   0, a' b'  A  B : l  l'  a' b'  l  l'  với a'  A, b'  B  l + l’ cận lớn cận A + B Vậy l + l’ = inf (A + B) IV Các ngun lý số thực: IV.1 Định lý hội tụ dãy đơn điệu: i/ Nếu {an} dãy tăng bị chặn hội tụ lim an  Supan  l  l' n  n * ii/ Nếu {an} dãy giảm bị chặn hội tụ lim a n  inf* a n n  n Chứng minh: i/ Chứng minh tồn Sup an n * Đặt A   an ,n  * {an} bị chặn  b  : an  b, n  *  A bò chặn b Trịnh Thị Kim Phượng Trang Tính chất giải tích số thực ứng dụng A  ,A     l  Sup an   SupA n * A bò chặn b n * Chứng minh lim an  l n  Do l  sup an nên   0,l    l  l   khơng cận A n *  n  *,an  A : l    an  l     l    an n  n , ta có an  an (do an  dãy tăng)  l cận A  an  l, an  A  l –  < an ≤ l  l –  < an < l +   an – l <  Vậy   > 0,  n0 tự nhiên:  n > n0  an – l <  hay lim an  l 0 n  Vậy {an} dãy tăng bị chặn hội tụ lim an  sup an n  n * ii/ Chứng minh tồn inf* a n n Đặt A = {an , n  N*} {an} bị chặn  b  : b  an , n  *  A bò chặn b A  ,A    a    inf* A  l  ninf  * n n A bò chặn b Chứng minh lim an  l n  Do l  inf* an nên   0,l  l    l   khơng cận A n  n  *,an  A : l  an  l       an  l   n  n , ta có an  an (do an  dãy giảm)  l cận A  l  an , an  A 0  l  an  l    l    an  l    a n  l   Vậy   > 0,  n0 tự nhiên:  n > n0  an – l <  hay lim an  l n  Vậy {an} dãy giảm bị chặn hội tụ lim an  inf* a n n  n IV.2 Dãy đoạn lồng thắt lại IV.2.1 Bổ đề dãy đoạn lồng Dãy đoạn lồng có phần tử chung tất đoạn (Nghĩa là: Giả sử  a n , b n n 1 dãy đoạn lồng  Trịnh Thị Kim Phượng Trang 10 Tính chất giải tích số thực ứng dụng  a , b   a , b   a , b    a , b 1 2  i 1 n n   a i , b i   a i ; bi    ) Chứng minh: Ta có a1;b1   a ;b2    a n ;bn    a1  a2  a3   an  (*) (dãy an  tăng)    b1  b2  b3   bn  (**) (dãy bn  giảm) b  bk (do (**)) k tự nhiên; cố định a n ;bn   a k ;bk ; n  k   n a n  bn  a n  b k , n  k Ta lại có: a1  a  a  a k  an  bk ; n  tập A  an ,n  * bị chặn b k A  , A    Sup A  l n *  l  b k ; k (1) a k A Sup A  l  a n  l, a n  A  a k  l (2) Từ (1) (2) ta có l  a k ;bk  , k   a k ;bk   l   k 1 Vậy  i 1  a i ; bi   l   IV.2.2 Ngun lý dãy đoạn lồng thắt lại (Ngun lý Cantor): * Định nghĩa: Dãy đoạn [an; bn] gọi lồng thắt lại a n+1 ;bn+1   a n ;bn , n  lim(bn  a n )  n  * Định lý: Mọi dãy đoạn lồng thắt lại (lồng độ dài đoạn dần n dần  ) có điểm chung Chứng minh: Dãy đoạn lồng có phần tử chung tất đoạn (theo bổ đề dãy đoạn lồng nhau) Ta chứng minh phần tử chung ? Chứng minh phản chứng: Giả sử có hai phần tử phân biệt chung, tức a, b   a n , bn ; a  b n 1 Trịnh Thị Kim Phượng Trang 11 Tính chất giải tích số thực ứng dụng  a; b a n ; bn ; n    b  a  bn  a n ; n  Lấy giới hạn ta có: lim  lim b  a  lim(b n  a n ) n  n  n  Mặt khác lim(bn  an )  (do dãy đoạn lồng thắt lại) lim  n  n   lim b  a  b  a   b  a   b  a (mâu thuẫn với b  a ) n  Vậy phần tử chung dãy đoạn IV.3 Ngun lý Compact địa phương (ngun lý Bolzano – Weierstrass) Mọi dãy bị chặn có dãy hội tụ Chứng minh: Giả sử un n bò chặn  M  : un  M, n  *  M  un  M, n  * + Chia đoạn  M;M thành hai đoạn điểm chia trung điểm –MM Khi có đoạn chứa vơ số số hạng u n Đặt a1;b1  đoạn chứa vơ số số hạng u n b1  a1  M + Chia a1 ;b1  thành hai đoạn điểm chia trung điểm a1b1 Khi có đoạn chứa vơ số số hạng u n Đặt a ;b2  M đoạn chứa vơ số số hạng u n b  a  + Tiếp tục q trình ta dãy đoạn lồng a n ;bn , n  M b n  a n  n 1 M Mặt khác: lim n 1   lim(b n  a n )  n  n   a n ;bn , n  dãy đoạn lồng thắt lại nên theo ngun lý Cantor suy dãy a n ;bn , n  có điểm chung l Chọn u n1  a1 ;b1  u n2  a ;b2  cho n  n1 (do [a2; b2] chứa vơ số số hạng un) u n3  a ;b3  cho n  n  n1 (do [a2; b2] chứa vơ số số hạng un) …………………………………… Vậy ta chọn u nk dãy u n n   k Ta có u n k ,l  a n k ;b n k    u n k  l  b n k  a n k mà lim(bn k  a n k )  0; lim  n  n  Trịnh Thị Kim Phượng Trang 12 Tính chất giải tích số thực ứng dụng  lim u n k  l   lim(u n k  l)   lim u n k  l k    hội tụ Vậy dãy u n k k  k  k Vậy dãy bị chặn có dãy hội tụ IV.4 [a; b] tập compact  Định nghĩa tập Compact: Cho (X, d) khơng gian metric    Ta nói A tập compact dãy x n    ln tồn   dãy x n k hội tụ điểm x   [a; b] tập compact Chứng minh: x n   a, b chứng minh x n k   x n  : lim x n k  x o , x o  a, b  x n   a; b   a  x n  b , n  k  *  x n  bò chặn Theo ngun lý Bonzano – Weierstrass suy ra: x n k   x n  : lim x n k  x o , x o  a, b  k  Vậy a, b tập compact IV.5 A tập compact  A tập đóng bị chặn Chứng minh ) Cho A tập compact , ta chứng minh A tập đóng bị chặn + Chứng minh A đóng tức x n   A, lim x n  x cần chứng minh x  A n     x  : lim x Ta có xn   A, A tập compact   xn k Mà lim x n  x  lim x n k  x n  n k  nk  x', x'  A k  Do giới hạn nên x  x '  x  A Vậy A tập đóng + Chứng minh A bị chặn (chứng minh phản chứng) Giả sử A khơng bị chặn  M  0, x  A : x  M Chọn M = > 0, x1  A : x1  Chọn M = > 0, x2  A : x2  Chọn M = > 0, x3  A : x3  ………………………………… Chọn M = n > 0, x n  A : x n  n Trịnh Thị Kim Phượng Trang 13 Tính chất giải tích số thực ứng dụng Vậy x n   A : x n  n, n (*) x   A, A tập compact  x n Suy nk x  bị chặn nên M  : x nk   x  : lim x nk n k   x', x'  A nk  M (**) Xảy mâu thuẫn (*) (**) Vậy A bị chặn ) Chứng minh A tập compact tức x n   A chứng minh tồn   dãy x n k hội tụ phần tử x  A Ta có: A bị chặn  M  : x n  M, n  x n  bị chặn Theo ngun lý Bolzano – Weierstrass  x n k   x n  : lim x n k  x k  Mà A tập đóng nên x  A Vậy tồn dãy x n k   A : lim x n k  x, x  A k  Vậy A- compact V Các tính chất hàm số liên tục đoạn V.1 Định nghĩa  Định nghĩa hàm số liên tục điểm f : A  ; x  A ta nói f liên tục x  x nếu:   0;   : x  A; x  x    f (x)  f (x )    Định nghĩa hàm số liên tục khoảng (a; b) f : (a; b)  ta nói f liên tục (a; b)  f liên tục x ; x  (a; b)  Định nghĩa hàm số liên tục [a; b] f : (a; b)  , f liên tục [a; b]  f liên tục khoảng (a; b) f liên tục phải a, f liên tục trái b V.2 Định lí bị chặn (định lý Weierstrass 1) Hàm số f liên tục [a; b] f bị chặn [a; b] Tức là: M  : f  x   M, x  a;b  Chứng minh: (chứng minh phản chứng) Giả sử f khơng bị chặn [a;b]  M  0;  x  a;b : f (x)  M Với M   0;  x1  a;b : f (x1 )  M   0;  x  a;b : f (x )  ………………………………… M  n  0;  x n  a;b : f (x n )  n (*) Trịnh Thị Kim Phượng Trang 14 Tính chất giải tích số thực ứng dụng Vậy x n n *  [a; b] thỏa (*) Ta có x n   [a;b]  a  x n  b, n  *  x n  bị chặn  x n  có dãy hội tụ x0 (theo ngun   lý Bolzano – Weierstrass) tức  x nk k  x n n : lim x nk  x k  Ta có a  x nk  b; k  N * qua giới hạn k   ta có a  x  b  f liên tục x (do x  [a; b])  lim x n  x   lim f(x nK )  f(x ) K k   k  x n  [a; b]  K Mặt khác từ (*)  f (x n k )  n k  k Khi k   suy lim f (x n k )   mâu thuẫn với lim f (x n k )  f (x ) (do k  k  giới hạn nhất) Vậy f phải bị chặn V.3 Định lí nhận max (định lý Weierstrass 2) Hàm số f liên tục [a; b] f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ [a; b] Chứng minh : f liên tục [a; b] nên theo định lý Weierstrass ta có f bị chặn [a; b] Đặt A  f (x); x [a;b]  A bị chặn  A bị chặn bị chặn  Chứng minh tồn max f (x) ? x[a; b] Ta có A  ; A  ; A bị chặn  SupA  m (*)  y n   A : lim y n  m n  yn  A  f (x), x [a;b]  x n [a;b]: yn  f  x n  , n  * Vậy x n   [a;b]  x n  bị chặn nên có dãy hội tụ x0 theo   ngun lý Bolzano - Weierstrass tức  x nk k  x n n : lim x nk  x k  Ta có a  x nk  b; k  * qua giới hạn k   ta có a  x  b  x0  [a; b]  f liên tục x (do x  [a;b])  lim x n  x   lim f(x nK )  f(x )  lim y nK  f(x ) K k  k   k  x n  [a; b]  K Trịnh Thị Kim Phượng Trang 15 Tính chất giải tích số thực ứng dụng   Ta có y n k k dãy dãy yn n mà lim yn  m  lim y nK  m n  n  Do giới hạn nên f (x )  m với x  [a; b]  m  A Từ (*) (**)  m  max f (x) (**) x[a; b]  Chứng minh tồn f (x) ? x[a; b] Ta có A  ; A  ; A bị chặn  infA  n  y n   A : lim y n  n (1) n  yn  A  f (x), x [a;b]  x n [a;b]: yn  f  x n  , n  * Vậy x n   [a;b]  x n  bị chặn nên có dãy hội tụ x0 theo   ngun lý Bolzano - Weierstrass tức  x nk k  x n n : lim x nk  x k  Ta có a  x nk  b; k  * qua giới hạn k   ta có a  x  b  x0  [a; b]  f liên tục x (do x  [a;b])  lim x n  x   lim f(x nK )  f(x )  lim y nK  f(x ) K k  k   k  x n  [a; b]  K Ta có y n k dãy dãy yn n mà lim yn  n  lim y nK  n   n  k n  Do giới hạn nên f (x )  n với x  [a; b]  n  A Từ (1) (2)  n  f (x) (2) x[a; b] V.4 Định lí nhận giá trị trung gian (định lý Bolzano – Cauchy) Hàm số f liên tục [a; b] f nhận giá trị trung gian giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, tức là: m  f(x),M  max f(x), y  m;M x [a;b]: y  f(x ) x[a;b] x[a;b] Chứng minh : Trường hợp 1: m  M  y  m hàm hằng, x  [a, b] Vậy thỏa định lý Trường hợp 2: m  M y : m  y  M ta chứng minh x  [a; b] : y  f (x ) f (c)  m  f (x), x a;b   Đặt  với c, d  [a; b] f (d)  M  max f (x)  x a;b   Trịnh Thị Kim Phượng Trang 16 Tính chất giải tích số thực ứng dụng y M=f(d) f(b) f(xo) y=f(xo) a x c xo O d b f(a) m=f(c) Nếu y = m = f (c) , c  [a; b], rõ ràng định lý thỏa Nếu y = M = f (d) , d  [a; b], rõ ràng định lý thỏa Nếu m < y < M Đặt A  x, x  a; b : f  x   y  A  [a; b]  A bò chặn    sup A  x A   (do f(c)  m  y,c  [a; b]  c  A)  Theo tính chất sup  x n   A : lim x n  x o  x o  a; b  n  Ta có c  A  a  c  x o (do sup A = xo ) f liên tục x (do f liên tục [a;b], x0  [a;b])    lim f(xn )  f(x ) lim xn  x0 ; x n  [a; b] n  n  Ta có: f (x n )  y (do x n   A ) qua giới hạn  f  x o   y (1) f d  M  y  d  A   x o  SupA  x  x , x  A   x o  d  b  x  b  d  [a;b]  Vậy n o : x o   b, n  n o n   xo   a; b  , n  *  n    1 1  lim  x o    x o  lim f  x o    f(x o )  n  n  n n    f liên tục x (do f liên tục [a;b] x  [a; b]   Trịnh Thị Kim Phượng Trang 17 Tính chất giải tích số thực ứng dụng 1 1   x o  SupA  x o   A  f  x o    y n n n  Qua giới hạn  f  x o   y (2) Từ (1) (2)  f  x o   y Vậy x  [a; b] : y  f (x ) Ta lại có: x o   Hệ quả: Định lí khơng điểm Hàm số f liên tục [a; b] f(a), f(b) trái dấu  x  (a; b) : f (x )  Chứng minh: f liên tục [a; b] nên theo định lý Weierstrass   f (x)  m,  max f (x)  M x[a;b] x[a;b] y f(a) Ta có f(a), f(b) trái dấu  f (a).f (b)  nên giả sử f (a)  0, f (b)  a xo O  m  f (a)   f (b)  M -1  y = giá trị trung gian giá tri lớn -2 f(b) giá trị nhỏ f [a; b] -3 Theo định lý Bolzano - Cauchy -4  xo a;b : f (x o )  Do f(a), f(b)   xo  a, b Vậy xo   a;b  : f (x o )  VI Giới hạn hàm số đơn điệu VI.1 Định nghĩa  Định nghĩa lân cận + x0  ,  lân cận x khoảng (x  ;x  ), kí hiệu: V (x ) x b + U  ,U gọi lân cận x0 tồn  lân cận x0 nằm U  Định nghĩa điểm tụ (điểm giới hạn) A  ,x  R,x gọi điểm tụ A lân cận tùy ý x chứa điểm A điểm khác x  Định nghĩa giới hạn hàm số theo ,  A  , hàm số f : A  , x o điểm tụ A có số thực b   cho   0,  > 0: x  A,  x  x o    f  x   b   ,ta nói hàm số f có giới hạn b x  x o Trịnh Thị Kim Phượng Trang 18 Tính chất giải tích số thực ứng dụng Kí hiệu: lim f (x)  b hay f(x)  b x  x o x xo VI.2 Định lý: Giới hạn có Giả thiết lim f (x)  b , ta chứng minh b ? x xo Giả sử có lim f (x)  b ' , chứng minh b = b’ x  xo   0, lim f(x)  b nên 1  : x  A,0  x  x  1  f(x)  b  x  xo  lim f(x)  b' nên 2  : x  A,0  x  x  2  f(x)  b'  x  xo Chọn 0  1 , 2    (*)   0  x  x  1  f(x)  b  x  A,0  x  x     (**) 0  x  x    f(x)  b    Ta lại có b  b'   b  f(x)    f(x)  b'   b  f(x)  f(x)  b'  Vậy  b  b'  ,    b  b'   b  b'     2 Vậy giới hạn hàm số có VI.3 Định lý giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số Cho hàm số f xác định tập hợp A, xo điểm giới hạn A Hàm số f có giới hạn b x  x o , dãy x n n  A \ xo  mà lim x n  x o dãy f  x n n hội tụ có n  giới hạn b Chứng minh  ) Giả thiết lim f  x   b ;  x n   A \ x  cho lim x n  x o x xo n  Chứng minh: lim f  x n   b n  (*)   ta có: lim f  x   b nên >0:x  A,0 < x  x o   f  x   b   x  xo lim x n  x o nên với số dương  n  (*) n tự nhiên: n  n   x n  x o    f  x n   b   Vậy   0, n tự nhiên : n  n  f  x n   b   Trịnh Thị Kim Phượng Trang 19 Tính chất giải tích số thực ứng dụng hay lim f  x n   b n   ) Giả thiết dãy x n   A \ x o  mà lim x n  x o dãy f  x n  n  hội tụ có giới hạn b (**) Chứng minh lim f  x   b (chứng minh phản chứng) x  xo Giả sử khơng có giới hạn lim f  x   b tức x  xo o  :   0, x  A \ x o ,0  x  x o   f  x   b  o Chọn    x1  A \ x o ,0  x1  x o  f  x1   b  o 1 Chọn    x  A \ x o  ,  x  x o  f  x   b  o 2 …………………………………………………………………… 1 Chọn   (n  *)  x n  A \ x o  ,  x n  x o  f  x n   b  o n n Vậy x n   A \ x o   x n  x o  , n n Mặt khác: lim  0, lim  n  n n  Theo ngun lý kẹp  lim x n  x o   lim  x n  x o    lim x n  x o n  n  n  (**)  lim f  x n   n  lim  f  x n   b    lim f  x n   b  n  n  n  Trong f  x n   b  o , n  qua giới hạn n      o (vơ lý) * Vậy lim f  x   b x  xo VI.4 Định lý quan hệ tính đơn điệu liên tục Cho f hàm đơn điệu đoạn [a; b] f liên tục đoạn [a; b] f ([a; b]) đoạn có hai đầu mút f  a  ,f  b Chứng minh  ) Giả sử f hàm số tăng đoạn [a; b] Vì f hàm số tăng nên f  a   f  x   f  b  , x : a  x  b  f a;b  f  a  ,f  b  (1) f  a   f  x  xa;b   f x f  b   xmax a;b Theo định lý Bolzano – Cauchy ta có: Trịnh Thị Kim Phượng Trang 20 Tính chất giải tích số thực ứng dụng y : f  a   y  f  b   x  a;b : y  f  x   f  a  ;f  b   f a;b  (2) Từ (1) (2)  f a;b  f  a  ;f  b  Trường hợp f hàm số giảm [a; b] chứng minh tương tự  ) Giả thiết f hàm số tăng [a; b] f a;b  f  a  ,f  b  Chứng minh f liên tục [a; b] (chứng minh phản chứng) Giả sử f khơng liên tục [a; b]  x o  [a; b] cho f gián đoạn x o Giả sử x o  (a; b) + Chứng minh   f (x o ) Đặt B f (x), x [a;x o )  [a;b] Ta có f tăng đoạn [a; b] suy f tăng [a; x o ] x  a; x o  ta có a  x  x o  f (a)  f (x)  f (x ) (do f tăng) Ta có: [a;x o )  a;x o   x [a;x o ) ta có f (a)  f (x)  f (x o )  B bị chặn f (x o ) B   (do chứa f (a) )  sup B    sup f  x    x[a;x o ) Ta có f (x)  f (x o ), x  [a; x o ) sau lấy sup ta   f (x o ) + Chứng minh f (x o )   Đặt B' f (x), x  (x o ;b]  [a;b] Ta có f tăng đoạn [a; b] suy f tăng [x ; b] x   x o ;b ta có x o  x  b  f (x o )  f (x)  f (b) (do f tăng) Ta có: (xo ;b]   xo ;b  x  (xo ;b] ta có f (x o )  f (x)  f (b)  B' bị chặn f (x ) B'   (do chứa f (b) )  inf B    inf f  x    x(x o ;b] Ta có f (x o )  f (x), x  (x o ; b] sau lấy sup ta f (x o )   + Chứng minh lim f  x    x x o Ta có sup f  x    x[a;x o )   0, f  x '  B :     f  x '  , f  x '  B  x '  [a; x o )    : x '  x o        f  xo     Do f tăng [a; x o ) sup f  x    x[a;x o ) Trịnh Thị Kim Phượng Trang 21 Tính chất giải tích số thực ứng dụng  x  a;b  : x o    x  x o     f  x o     f  x       ,      f x      f x     Vậy   0,   : x  a;b, x o    x  x o  f (x)     hay lim   x x o + Chứng minh lim   x  xo Ta có inf f  x    x( x o ;b]   0, f  x ''  B' :   f  x ''     , f  x ''  B'  x ''  (x o ;b]   '  : x ''  x o   '    f  x o   '     Do f tăng ( x o ; b] inf f  x    x(x o ;b]  x  a;b  : x o  x  x o +'       f  x   f  x o   '     ,      f x      f x     Vậy   0,  '  : x  a;b, x o  x  x o   '  f (x)     hay lim   x x o   f (x o ) + Do f gián đoạn x nên    f (x o ) Ta lại có   f  xo    Giả sử   f (xo )    f  x o  theo tính chất trù mật  yo  :   yo  f  x o  Rõ ràng f (a)   f (x o )    f (b) Vậy yo f(a) f(b) Ta có: x  [a; x o )  f (x)   (do   sup f (x)) x[a;x o ) x  (x o ; b]    f (x) (do   inf f (x)) x(x o ; ]  f (x)  y o x  [a; b], mâu thuẫn với f nhận giá trị yo Vậy f liên tục [a; b] VI.5 Định lý tồn hàm ngược f tăng nghiêm ngặt [a; b], f : a;b  f  a  ;f  b  , f có hàm ngược f 1 : f  a  ;f  b   a;b, f 1 tăng nghiêm ngặt, f 1 liên tục đoạn f  a  ;f  b  Chứng minh: Trịnh Thị Kim Phượng Trang 22 Tính chất giải tích số thực ứng dụng + Chứng minh tồn hàm ngược Ta có: f tăng [a; b]  f đơn điệu [a; b] Mặt khác f a;b  f  a  ;f  b  nên theo định lý tính đơn điệu liên tục ta có f liên tục [a; b] Ta lại có f tăng nghiêm ngặt [a; b] nên y   f  a  ; f  b   , tồn x  a; b  cho y  f(x)  tồn hàm ngược f 1 : f  a  ;f  b   a;b + Chứng minh f 1 tăng nghiêm ngặt f  a  ;f  b  y, y '  f  a  ;f  b  giả sử y  y ' x, x ' a;b : y  f  x  , y'  f  x '  y  f (x)  x  f 1 (y) y'  f (x ')  x '  f 1 (y') Ta có: y  y '  f (x)  f (x ') Vì f tăng nghiêm ngặt  x  x '  f 1 (y)  f 1 (y') Vậy f 1 tăng nghiêm ngặt f  a  ;f  b  + Chứng minh hàm ngược liên tục f  a  ;f  b  Ta có: f 1 f  a  ;f  b    f 1  f  a   ;f 1  f  b     a; b  f hàm   đơn điệu f  a  ;f  b  nên theo định lý quan hệ tính đơn điệu liên tục ta có f 1 liên tục f  a  ;f  b  Trịnh Thị Kim Phượng Trang 23 [...]... Trang 20 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng y : f  a   y  f  b   x  a;b : y  f  x   f  a  ;f  b   f a;b  (2) Từ (1) và (2)  f a;b  f  a  ;f  b  Trường hợp f là hàm số giảm trên [a; b] chứng minh tương tự  ) Giả thiết f là hàm số tăng trên [a; b] và f a;b  f  a  ,f  b  Chứng minh f liên tục trên [a; b] (chứng minh bằng phản chứng) Giả... điểm của –MM Khi đó có một đoạn con chứa vơ số số hạng của u n Đặt a1;b1  là đoạn chứa vơ số số hạng của u n và b1  a1  M + Chia a1 ;b1  thành hai đoạn bằng nhau bởi điểm chia là trung điểm của a1b1 Khi đó có một đoạn con chứa vơ số số hạng của u n Đặt a 2 ;b2  là M đoạn chứa vơ số số hạng của u n và b 2  a 2  2 + Tiếp tục q trình này ta được một dãy đoạn lồng nhau a n ;bn , n  1 M và. .. [a;b] và x 0  [a; b]   Trịnh Thị Kim Phượng Trang 17 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng 1 1 1   x o  SupA  x o   A  f  x o    y n n n  Qua giới hạn  f  x o   y (2) Từ (1) và (2)  f  x o   y Vậy x 0  [a; b] : y  f (x 0 ) Ta lại có: x o   Hệ quả: Định lí khơng điểm Hàm số f liên tục trên [a; b] và f(a), f(b) trái dấu thì  x 0  (a; b) : f (x 0 )  0 Chứng minh:... về  ) đều có một điểm chung duy nhất Chứng minh: Dãy đoạn lồng nhau đều có phần tử chung của tất cả các đoạn (theo bổ đề về dãy đoạn lồng nhau) Ta chứng minh phần tử chung là duy nhất ? Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử có hai phần tử phân biệt chung, tức là a, b   a n , bn ; a  b n 1 Trịnh Thị Kim Phượng Trang 11 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng  a; b a n ; bn ; n  1  0  b...  a;b, f 1 tăng nghiêm ngặt, f 1 liên tục trên đoạn f  a  ;f  b  Chứng minh: Trịnh Thị Kim Phượng Trang 22 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng + Chứng minh tồn tại hàm ngược Ta có: f tăng trên [a; b]  f đơn điệu trên [a; b] Mặt khác f a;b  f  a  ;f  b  nên theo định lý giữa tính đơn điệu và liên tục ta có f liên tục trên [a; b] Ta lại có f tăng nghiêm ngặt trên [a;... nK  f(x 0 ) K k  k   k  x n  [a; b]  K Trịnh Thị Kim Phượng Trang 15 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng   Ta có y n k k là dãy con của dãy yn n mà lim yn  m  lim y nK  m n  n  Do giới hạn là duy nhất nên f (x 0 )  m với x 0  [a; b]  m  A Từ (*) và (**)  m  max f (x) (**) x[a; b]  Chứng minh sự tồn tại min f (x) ? x[a; b] Ta có A  ; A  ; A bị chặn dưới  infA... n  A : x n  n Trịnh Thị Kim Phượng Trang 13 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng Vậy x n   A : x n  n, n (*) x   A, A là tập compact  x n Suy ra nk x  bị chặn nên M  0 : x nk   x  : lim x nk n k   x', x'  A nk  M (**) Xảy ra mâu thuẫn giữa (*) và (**) Vậy A bị chặn ) Chứng minh A là tập compact tức là x n   A đi chứng minh tồn tại   một dãy con x n k hội tụ... n  x o x xo n  Chứng minh: lim f  x n   b n  (*)   0 ta có: lim f  x   b nên >0:x  A,0 < x  x o   f  x   b   x  xo lim x n  x o nên với số dương  sẽ n  do (*) n 0 tự nhiên: n  n 0  0  x n  x o    f  x n   b   Vậy   0, n 0 tự nhiên : n  n 0  f  x n   b   Trịnh Thị Kim Phượng Trang 19 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng hay lim f  x n... [a;b]: y  f(x 0 ) x[a;b] x[a;b] Chứng minh : Trường hợp 1: m  M  y  m là hàm hằng, x  [a, b] Vậy thỏa định lý Trường hợp 2: m  M y : m  y  M ta đi chứng minh x 0  [a; b] : y  f (x 0 ) f (c)  m  min f (x), x a;b   Đặt  với c, d  [a; b] f (d)  M  max f (x)  x a;b   Trịnh Thị Kim Phượng Trang 16 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng y M=f(d) f(b) f(xo) y=f(xo) a x... sau khi lấy sup ta được f (x o )   + Chứng minh lim f  x    x x o Ta có sup f  x    x[a;x o )   0, f  x '  B :     f  x '  , f  x '  B  x '  [a; x o )    0 : x '  x o        f  xo     Do f tăng trên [a; x o ) và sup f  x    x[a;x o ) Trịnh Thị Kim Phượng Trang 21 Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng  x  a;b  : x o    x  x o thì