Phep bien hinh trong mat phang

- Phép đối xứng trục là một phép dời hình - Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên bảo toàn các tính chất thẳng hàng, đồng nên bảo toàn các tính chất thẳng hàng, đồng. quy, nội t[r]

(1)

Bài VẬN DỤNG PHÉP Bài VẬN DỤNG PHÉP

DỜI HÌNH PHẲNG VÀO DỜI HÌNH PHẲNG VÀO

VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI

TỐN HÌNH HỌC TỐN HÌNH HỌC

Học phần: Ứng dụng phép biến Học phần: Ứng dụng phép biến

hình giải tốn Hình học hình giải tốn Hình học

(2)

1 Ví dụ mở đầu:

VíVí dụdụ 1: 1: Cho đường trịn (O) hai Cho đường tròn (O) hai

điểm B, C cố định (O) Một điểm

A thay đổi đường trịn

Chứng minh quỹ tích trực

tâm H tam giác ABC A thay

đổi đường tròn

(3)

Lời giải 1:

Gọi D xuyên tâm đối C Khi Gọi D xuyên tâm đối C Khi

BD

BD  BC BC  BD//AH (cùng vng góc BD//AH (cùng vng góc với BC) Tương tự DA//BH Suy

với BC) Tương tự DA//BH Suy

ADBH hình bình hành

ADBH hình bình hành 

(do (O), B, C cố định nên D cố định

nên không đổi) Nên H = Đ(A) A

thuộc đường tròn (O) nên H thuộc

ảnh đường tròn (O) qua phép

tịnh tiến theo véc tơ

AH DB

(4)

Lời giải 2

 Gọi AI, BK đường cao tam giác Gọi AI, BK đường cao tam giác

ABC, H trực tâm BK, AI lần cắt ABC, H trực tâm BK, AI lần cắt

(O) D, E (O) D, E

 Ta có Ta có AIC ~ AIC ~ BKC BKC  nên = nên = IAC IAC

 Đồng thời Đồng thời IAC = (cùng chắn cung EC) IAC = (cùng chắn cung EC)

Do đó:

Do đó: KBC=KBC=EBC Từ suy ra: EBC Từ suy ra: BHE BHE cân B

cân B  IH = IE IH = IE H = ĐBC(E) H = ĐBC(E)

(5)

Nhận xét 1

Bài tốn giải Bài tốn giải

cần kiến thức hình học

THCS giải theo

phương pháp biến hình Đó

phương pháp vận dụng tính chất

của phép biến hình (phép dời hình,

phép đồng dạng, …) vào việc khảo

sát tính chất hình, dựng

hình, tìm quỹ tích,…

(6)

Nhận xét 2

Về nguyên tắc, tốn hình học Về ngun tắc, tốn hình học

thơng thường giải nhiều phương thơng thường giải nhiều phương pháp khác nhau, Ở số toán, phương pháp khác nhau, Ở số toán, phương

pháp biến hình cho ta lời giải đẹp, pháp biến hình cho ta lời giải đẹp,

rất gọn gàng, số toán khác, gọn gàng, số toán khác,

phương pháp dựng hình cho ta phương phương pháp dựng hình cho ta phương

án, phép thử làm công cụ kiểm tra án, phép thử làm công cụ kiểm tra đắn lời giải Vấn đề đặt làm đắn lời giải Vấn đề đặt làm

thế để nhận biết tốn có khả để nhận biết tốn có khả

(7)

Thơng thường, tốn giải

Thơng thường, toán giải

được phương pháp dựng hình

dữ kiện tính chất thường

xuất yếu tố có mối quan

hệ đáng ý đến phép biến hình

cụ thể Từ vận dụng

tính chất phép biến hình này, ta

tìm lời giải đáp số

Ví dụ

Ví dụ: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt nhau A Hãy dựng đường tròn tâm A cắt nhau A Hãy dựng đường tròn tâm A cắt

(O), (O’) hai điểm B, C cho A, B, C (O), (O’) hai điểm B, C cho A, B, C

(8)

Phân tích:

Phân tích: Giả sử Giả sử tốn tốn

dựng xong Khi dựng xong Khi

dễ thấy B = dễ thấy B =

ĐA(C) nên B thuộc ĐA(C) nên B thuộc

đường tròn ảnh đường tròn ảnh

của (O’) qua phép (O’) qua phép

đối xứng tâm A, đối xứng tâm A,

đồng thời B thuộc đồng thời B thuộc (O) nên B giao (O) nên B giao

của (O) (O)

ĐA[(O’)] Đường ĐA[(O’)] Đường tròn cần dựng tròn cần dựng

(A, AB) (A, AB)

C

B

A

O'

(9)

Nhận xét

Nhận xét: Ở tốn trên, tính chất : Ở tốn trên, tính chất

đối xứng hai điểm B, C thể

hiện rõ yêu cầu toán

bởi hai điểm xuyên tâm đối

đường trịn đối xứng qua tâm

đường trịn

(10)

2.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc

khảo sát tính chất hình dựng

hình.

Tính chất: Cho phép tịnh tiến

- Phép tịnh tiến phép dời hình nên

bảo tồn tính chất thẳng hàng,

đồng quy, nội tiếp, khoảng cách, góc

của hai đường thẳng

- M’ = Khí

- Hai đường thẳng d d’ =

song song với

'

MM v

                            ( ) v

T M

( )

v

(11)

Ví dụ 3

Ví dụ 3 Chứng minh tồn tam Chứng minh tồn tam giác mà cạnh đường trung

giác mà cạnh đường trung

tuyến tam giác ABC cho trước có

diện tích ¾ diện tích tam giác ABC

( )

BN

(12)

Gọi , Gọi , MQ = BN Đồng thời, P, N, MQ = BN Đồng thời, P, N,

Q thẳng hàng N Q thẳng hàng N

trung điểm PQ Ta trung điểm PQ Ta chứng minh chứng minh

APCQ hbh nên AQ = CP APCQ hbh nên AQ = CP

Như tam giác AMQ có Như tam giác AMQ có

các cạnh các cạnh

trung tuyến tam giác trung tuyến tam giác

ABC ABC

( )

BN

Q T  M

S R Q P N M A B C

Gọi R trọng tâm tam giác ABC, S = AC x Gọi R trọng tâm tam giác ABC, S = AC x

MQ Phân hoạc tam giác AMQ thành tam MQ Phân hoạc tam giác AMQ thành tam giác AMS, ANQ QNS Khi dễ thấy giác AMS, ANQ QNS Khi dễ thấy

SQNS = SMCS; SANQ = SANP = SPMA SQNS = SMCS; SANQ = SANP = SPMA

Từ suy ra: SAMQ = SAMS + SANQ + SQNS = Từ suy ra: SAMQ = SAMS + SANQ + SQNS =

(13)

2 Ứng dụng phép đối xứng vào việc

hình.

Tính chất:

Tính chất: Cho phép đối xứng trục ĐCho phép đối xứng trục Đ Khi Khi đó:

đó:

- Phép đối xứng trục phép dời hình - Phép đối xứng trục phép dời hình nên bảo tồn tính chất thẳng hàng, đồng nên bảo tồn tính chất thẳng hàng, đồng

quy, nội tiếp, khoảng cách, góc hai đường quy, nội tiếp, khoảng cách, góc hai đường

thẳng thẳng

- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp - Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp

- M’ = Đ

- M’ = Đ(M) thì: (M) thì:  đường trung trực đường trung trực

đoạn thẳng MM’ đoạn thẳng MM’

- Đ

- Đ phép dời hình nghịch nên phép dời hình nghịch nên

A’B’C’ = Đ

(14)

Giải: Gọi I tâm đường tròn

Giải: Gọi I tâm đường tròn 

ta dễ thấy đưòng thẳng OI trục

đối xứng đường tròn có tâm O

đối xứng đường trịn có tâm O

và I Trong đó: O = Đ

và I Trong đó: O = ĐOIOI(O), C = (O), C = Đ

ĐOIOI(B), D = Đ(B), D = ĐOIOI(A) Vì O, A B (A) Vì O, A B

thẳng hàng theo tính chất phép

đối xứng trục ta có O, B, C thẳng

Ví dụ

Ví dụ Một đường trịn thứ ba ( Một đường tròn thứ ba () )

cắt hai đường tròn đồng tâm O

ở (

ở () điểm A, B, C, D ) điểm A, B, C, D

Chứng minh A, B, O thẳng

hàng C, D, O thẳng hàng

(15)

Ví dụ Cho điểm M chuyển

động đường kính AB đường

trịn (O) Dây cung CD qua M cắt AB

tròn (O) Dây cung CD qua M cắt AB

và hợp với góc 450 Chứng

ming đại lượng p = MC2 + MD2

không phụ thuộc vào vị trí điểm M

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

trên AB

Giải: Gọi C’, D’ ảnh C, D

qua ĐAB, Khi góc CMD’ 900

cung CD cung C’D’ 900

thế dây cung CD’ có độ dài không đổi M

thế dây cung CD’ có độ dài khơng đổi M

chạy AB Do

chạy AB Do ABC vuông M nên MC2 ABC vuông M nên MC2 + MD2 = MC2 + MD’2 = CD’2 (không đổi)

+ MD2 = MC2 + MD’2 = CD’2 (không đổi)

Khi M = O, ta có MC2 + MD2 = 2R2

(16)

2 Ứng dụng phép quay vào việc

hình.

Tính chất: Cho phép quay Q

Tính chất: Cho phép quay QOO Khi Khi

đó:

Phép quay phép dời hình.Phép quay phép dời hình Nếu M’ = QNếu M’ = Q

O

O(M) (M) MOM’ = MOM’ =  và

OM’ = OM

QQ O

O-- phép dời hình ngược Q phép dời hình ngược QOO

Tức là: Q

(17)

Ví dụ: Trong mặt phẳng, cho hai tam

giác ABC ADEcó góc đỉnh

chung A bù đồng thời AB

chung A bù đồng thời AB  AD, AD,

AB = AD, AC

AB = AD, AC  AE, AC = AE Và hai AE, AC = AE Và hai

tam giác khơng cịn đỉnh chung

khác ngồi đỉnh A CMR đường thẳng

khác đỉnh A CMR đường thẳng

chứa trung tyuến xuất phát từ đỉnh A

của tam giác chứa đường

cao hạ từ A tam giác

(18)

Giải: Ta thực phép quay biến E

thành D thành D’ B, A, D

thẳng hàng Trung tuyến AM trở

thành đường trung bình

thành đường trung bình BCD’ BCD’

nên song song với CD’ = (DE) Mà

theo tính chất phép quay CD’

theo tính chất phép quay CD’ 

DE Từ suy AM

(19)

1

1 Các bất biến phép dời Các bất biến phép dời hình.

hình.

 Một khái niệm, tính chất hay đại Một khái niệm, tính chất hay đại

lượng giữ nguyên qua phép dời hình

được gọi bất biến nhóm dời

hình (như độ dài đoạn thẳng, độ lớn

góc, hình hình học phẳng, ) Hình

học Euclide nghiên cứu bất biến

phép dời hình Nói cách khác tập hợp tất

cả bất biến phép dời hình

gọi hình học nhóm phép dời hình

(cịn gọi hình học Euclide)

(20)

1.Ứng dụng phép tịnh tiến vào 1.Ứng dụng phép tịnh tiến vào việc khảo sát tính chất hình việc khảo sát tính chất hình

và dựng hình. và dựng hình.

 VíVí dụdụ 1: 1: Cho đường trịn (O) hai Cho đường tròn (O) hai

điểm B, C cố định (O) Một điểm

A thay đổi đường trịn

Chứng minh quỹ tích trực

tâm H tam giác ABC A thay

đổi đường tròn