BT Phep Bien hinh va Luong giac

Chú ý: Cách làm tƣơng tự giống các phép biến hình trên, chỉ khác là bán kính đƣờng tròn ảnh bằng. k lần bán kính đƣờng tròn ban đầu (tức là R '  k R.[r]

Họ tên học sinh:……… ……… Lớp:……… BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

A. CẦN NHỚ.

1. Công thức nghiệm đặc biệt

 sinu  0 u k  tanu  0 u k

 sin

2

u   u  k   tan

4 u   u  k

 sin

2

u     u  k   tan

4 u     u  k

 cos

2

u   u  k  cot

2 u   u  k  cosu  1 u k2

 cot

4 u   u  k  cosu    1 u  k2

 cot

4 u     u  k 2. Công thức nghiệm thông thƣờng

 sin sin

2 u v k

u v

u v k

              cos cos u v k

u v

u v k

           

 tanutanv  u v k  cotucotv  u v k

Chú ý: Giải cotu a (với a0) ta biến đổi thành tanu1/a dùng máy tính bấm shift tan (1/a)

suy góc  ,chuyển thành tanutanv Còn cotu 0 cosu  0 u / 2k

 Nếu bấm shift sin, shift cos, shift tan, mà giá trị “xấu” dùng arcsin, arcos, arctan

 Chuyển từ sin sang cos, cos sang sin, tan sang cot hay cot sang tan ta sử dụng công thức “PHỤ CHÉO”

 Làm dấu trừ:

 sin( ) sin[ ( )]   cos( ) cos[  ( )]  tan( ) tan[ ( )]   cot( ) cot[ ( )] 

 Điều kiện tan, cot:

tanu cotu

 cosu  0 u / 2k  sinu  0 u k

Nhớ: Cơ tang khác k/Cịn tan nghĩ cơng/90 cộng với nửa vòng…là xong hihi! B. BÀI TẬP

1 DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN

(dạng sinua;cosua;,tanua;cotua sinusin ;cos ucos ; tanutan ;cot ucot phương trình đưa dạng đó)

VÍ DỤ MINH HỌA

Giải phương trình sau: a 2sin 2 x300 1

Giải:  0

2sin 2x30  1 0  0

sin 30

x    sin 2 x300sin( 30 )

 0

0 0

2 30 30 360

2 30 180 ( 30 ) 360

x k x k            

 0

0 0

2 30 30 360

2 180 ( 30 ) 30 360

x k x k              0 360 240 360

x k x k        0 180 120 180 x k x k      

b cos 2 cos

3 

   

 

 x  x

Giải: cos 2 cos



   

 

 x  x 

2

cos cos



   

 

 x  x 

2

2 2

3

2 2

x x k

x x k

                

0 ( ô lý)

2

4

x k v

c tan(450 x) tan3x0(1) Giải: ĐK:

0 0 0

0 0

45 90 180 45 180

3 90 180 30 60

x k x k

x k x k

       

 

 

   

 

 

(1) tan(450x) tan3x  tan(450x) tan( )  x  450   x 3x k1800

 2x 450k1800  450 900

2 x  k

d cot 22 x3(2) Giải: ĐK: 2

2 k x k   x 

(2)cot 2x 

TH1: cot 2x  tan2

3

x  tan2xtan300

2x300k1800 x 150k900 TH2: cot 2x  3 tan2

3

x   tan2xtan( 30 )

2x 300k1800   x 150k900 e sin(2x30 ) sin(45 ) 00  0 x 

Giải:

0

sin(2x30 ) sin(45 ) 0  x  sin(2x30 )0  sin(45 )0 x sin(2 30 ) sin( 45 )x   0 x

   

f cos(2x30 ) cos(45 ) 00  0 x  Giải:

0

cos(2x30 ) cos(45 ) x  cos(2x30 ) cos 180 (45 )0   0 0 x

   cos(2 30 ) cos(135 )x  0 x

   

g sin2 cos

3

x  x

 

Giải: sin2 cos

3 x  x

  cos x sin2x 

 

 

 

   cos x cos 2x

 

   

  

   

   

   

h (1 2sin2 )(3 2cos ) 0 x  x 

Giải: (1 2sin2 )(3 2cos ) 0 x  x  2sin2

3 2cos x sx

  

   



1 2sin2 2cos

x sx

  

   



1 sin2

2

cos (vô nghiệm)

2 x x 

  

 

 



0

1

sin2 sin2 sin( 30 )

2

x x

     

   

BÀI TƢƠNG TỰ

Bài 1: a. sin 2

6

x     

 

  ; b  

0

cos 45

x  ; c.cot 3 x450 5

c tan

2

x 

  

 

  ; b d  

0

cot x135   3;e 2sin 3

4

x 

   

 

  ; f  

0

3cos 2x30 2; g 3tan

5

x 

   

 

  ; h.5cos 2x 4 0; i  

0

3 tan 2x30 1; j cot 2 100 x   ; k cot 3 x 1 30; l tan 2xtan2 0; m tan 2 70o

o os2c x 3 0; p 4sin 3 x  2 0; q tan(2x 3)

Bài 2:a cos sin 3x x0; b cos tan3 x x0; c sin cotx x0; d tanx30 cos 20  x15000;

e 3 tanx 32sinx 1 0; f sin 3x1 sin  x0; h sin cos 2x  x0; i.sin3x1; j cos(2x30 ) 00   ; k tan 42 x1; l.cot(3x30 ) 00  ; m.sin 52 x1

Bài 3: a

cos 2xcos(120 2 )x 0; b cos 4xcos3x0; c sin 2xsin(4504 )x 0;

d sin 2xsin 4x0; e tan cot 5x x1; h sin(3x / 4) cos2 x0; i sin 3 x/ cos2 x0; j tanx / cot 2 x0; k.tanx / cot 2 x0; l cot 2 x / tan 3  x/ 41;

2 DẠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI, ĐƢA VỀ BẬC HAI

(Dạng: at2  bt c 0(a0) với tsin,cos,tan,cot) VÍ DỤ MINH HỌA

Giải phương trình sau:

a 2sin2x5sinx 3

Giải: Đặt tsin ( 1x   t 1), ta có 2t2  5 0t

1( )

3 ( ) t nhận t loại

   

  

 sin

2 t  x   x  k 

b sin2x4cosx 4

Giải: sin2x4cosx 4 1 cos 2x4cosx  4 cos2x4cosx 3  cos 1(nhaän)

cos 3(loại) x

x

 

 

 Ta có cosx  1 x k2

BÀI TƢƠNG TỰ

Bài a

3sin 3x5sin 3x2=0; b 2cos 22 x5cos 2x 3 0; c tan (2 ) 4tan( )

3

x  x   ; d cot2 x 1 cot x 0 ; e tan4x4 tan2x 3 0; f 4sin2x2( 1)sin + 3 x 0 Bài 2: (Chứasin ,cos ; cos ,sin2   ) : a sin 22 x4cos2x 4 0; b 2cos 22 x3sin2x 2 0;

c 3sin 22 x  4 4cos2x; d 2cos 32 x 3sin3x3; e sin2xcos +1=0x ; f 2

sin 2 cos

4 x x  ;

g

3cos 6x8cos3 sin 3x x 4 0; h

6cos x5sinx 2 0; i

2cos x3sin x Bài 3: (Chứa cos2,cos ; cos2,sin  ) : a cos2x4sinx 5;b 2cos2x 1 cosx;

c cos4 xcos2x; d cos4xcos2x 2 0; e 3cos2xsinx 4 0; f cos2 +9cos +5=0x x ; Bài 4: Chứa tan,cot ; 1/ cos ,tan ; 1/ sin ,cot    : a tanx2cotx 1 0;

b 32 tan

cos x  x ; c

5 9 cot

sin x   x; d tanx6cot +2 3x  0; e tan 2xcot 2x2

Bài 5: Chứa cos ,sin ,cos cos ,sin ,sin2  2 : a cos2xsin2x3cosx 4 0;b 2sin2xcos2x sinx3; Bài 6: Chứa cos2,cos ,sin , cos2,sin ,cos2   : a cos2xcos2x4sinx3;b cos2 sinx 2x  1 2cosx Bài 7: (phải hạ bậc làm tiếp): a 2sin2 3cos2

2

x x

   ; b 2cos2 sin2

x x

3 DẠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN COS

(Dạng: asinu b cosuc Điều kiện có nghiệm: a2b2c2 VÍ DỤ MINH HỌA

Giải phương trình 0

sin(2x10 ) cos(2x10 ) 1

 Chia hai vế cho a2b2 2 ta được:

0

1

sin(2 10 ) cos(2 10 ) x  x 2

0 0

cos 60 sin(2 10 ) sin 60 cos(2 10 )

x  x   sin 2 100 600

2

x  

  0

sin 2x70 sin 30 

0 0

0 0

2 70 30 360 70 180 30 360

x k

x k

    

   



 0

0

2 100 360 220 360

x k

x k

  



 



…… BÀI TƢƠNG TỰ

a.sinx cosx 2; b.3cos 2x sin 2x 3; c cosxsinx 2; d 2sin(3 ) cos(3 )

3

x   x  ;

e sin cos

4 x x

 

      

   

    ; f cos 4x sin 4x 2; g.cos 2x sin 2x2;

h 0

2 cos(30  x) sin(30  x) 0; i cos( ) 3sin( )

3

x   x  

4 DẠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

(Dạng:

sin sin cos cos

a u b u u c udhoặc asin2u b sin 2u c cosud)

VÍ DỤ MINH HỌA Giải phương trình sau:

a 5sin2x2sin2x3cos2x2

Giải: 5sin2 x2sin2x3cos2x 2 5sin2x4sin cosx x3cos2x2

TH1: cosx0:sin2x 1 cos2x  1 1 Thay vào pt ta có: 5.1 4.1.0 3.0 2   (vơ lý)

TH2: cosx0: Chia hai vế phương trình cho cos2x:

2

2 2

sin sin cos cos

5

cos cos cos cos

x x x x

x x  x  x 

2

5tan x4tanx 3 2(1 tan ) x 

2

5tan x4tanx  3 2tan x0 3tan2x4tanx 1 0

tan

1 tan

3 x x

 



 



4

1 arctan

3

x k

x k

 

 

 

  

 

   

  

 b 4sin 32 x6 3sin3 cos3x x2cos 32 x4

Giải:

TH1: cos3x0:ta có sin 32 x1 Thay vào được: 4=4 (đúng) Giải cos3

2

k

x  x  k   x   nghiệm

TH2: cos3x0: Chia vế cho cos 32 x ta

2

2 2

sin sin3 cos3 cos

4

cos cos cos cos

x x x x

x x  x  x 

2

4tan 3x6 tan3x 2 4(1 tan ) x

 tan3x  2 tan3x 6 tan3

6 3

x   tan3 tan

6

x 

3

6 18

k

x  k x  

     

BÀI TƢƠNG TỰ

a cos2x3sin cosx x2sin2x0; b.sin2x (1 3)sin cosx x cos2x0;

c 5sin2x2sin2x 2 3cos2x; d sin 22 sin 2cos2

x x x ;

e 3sin 32 x 3sin3 cos3 cos6 0x x x  ; f 2 2sin 2xsin cos 2x xcos 2x2

g 2sin 32 xsin cos3x x3cos 32 x0; h 4sin2x2sin 2x3cos2x1;

i 2

Họ tên học sinh:……… ……… Lớp:……… BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH

A CÔNG THỨC CẦN NHỚ.

 Tịnh tiến theo v kí hiệu Tv

' MM v

  '

'

M M v

M M v

x x x

y y y

         

 Đối xứng trục d Kí hiệuĐd (d trung trực MM’)

d Ox '

' M M M M x x y y       

d Oy '

' M M M M x x y y       

 Đối xứng tâm I kí hiệu ĐI

(I trung điểm MM’) I gốc O '

' M M M M x x y y        

I '

' 2

M I M

M I M

x x x

y y y

  

 

 



 Vị tự tâm I, tỉ số Kí hiệuV( ; )I k '

IM kIM

  '

'

( )

( )

M I M I

M I M I

x x k x x

y y k y x

           ' ' ( ) ( )

M M I I

M M I I

x k x x x

y k y x y

   



   



B BÀI TẬP.

1 PHÉP TỊNH TIẾN

Ở đây, làm ví dụ minh họa cho Phép tịnh tiến Các phép biến hình khác làm tương tự thay đổi công thức cho phù hợp (Xem thêm Chú ý Phép vị tự)

VÍ DỤ MINH HỌA

Cho A(3; 2); (5;4); ( 1;9) B C  ,( ): 2d x3y 7 0, ( ):(C x2) (2 y 5)2 25 a Tìm tọa độ ảnh A qua phép tịnh tiến theo v( 4;7)



b Viết phương trình ảnh d qua TAB

c Viết phương trình đường tròn ( ')C T2BC(( ))C

Giải:

a Gọi A T A' v( ) '

'

3 ( 4) ( 2)

A A v

A A v

x x x

y y y

        

       



 A'( 1;5)

b AB (5 3;4 ( 2)) (2;6)  



 Lấy M x y( , )M M d 2xM 3yM  7 (1)

 GọiM'T MAB( ) '

'

2

M M AB M

M M AB M

x x x x

y y y y

               ' ' (2) M M M M x x y y        

Thay (2) vào (1) ta được: 2(xM' 2) 3(yM'  6)  2xM'3yM'21 0

 Gọi d'T dAB( ) M'd'

Vậy d' : 2x3y21 0

c BC ( 6;5)



2BC (12;10)   

 ( ) coù tâm I(2; 5)

bán kính R=5

C  



 Gọi I'T2BC( )I '

2 12 14 10

I I BC

x x x

y y y

 ( ') có tâm I'(14;5)

bán kính R'=R=5

C 



Vậy ( '):(C x14) (2 y 5)2 25

BÀI TẬP

Bài 1: a.Cho A 2;3 ,v 1;5 , tìm A'T Av 

b.Cho B 3;6 ,v 0;8 , tìm ảnh B qua 2

v T

Bài 2: a.Cho( ) : 2d  x 3y 6 0; v   1; 1, tìm d'T dv 

b.Cho( ) : 2d x3y 4 0; v2; 1 , viết p.t ảnh d qua 5

v T c.Cho( ) :d x 5 0;v 2;6 , tìm '  

v

d T d

d.Cho( ) :d y5x4; A 2;3 ; (5;10)  B , viết '  

AB

d T d

e.Cho( ) :d y 6 0;A3; ; ( 4;9) B  , tìm ' 3 

AB

d T d

Bài 3: a.Cho     2 2  

: 144; 3;8

C x  y  v , tìm  C' Tv  C

b.Cho    2  

: 25; 2;

C x  y  v  , tìm  '  4  

v

C T C

c.Cho    2  

: 4  16; 3; ; ( 4;9)

C x y A B , viết '  2  

AB

C T C

d.Cho  C :x2 y24y0; v 2; , tìm  C' Tv  C

e.Cho   2  

:  16 144; A 2;3 ; (5;10)

C x y x B , viết pt  '  3  

AB

C T C

Bài 4: Cho A(2; 4); ( 7;6); ( 3;5) B  C  ,( ): 5d x2y15 0 , ( ):C x2 (y 7)2 169 a.Tìm tọa độ ảnh B qua phép tịnh tiến theo AC



b.Tìm ảnh d qua TAB

c.Tìm( ')C T4BC(( ))C

Bài 5: Cho A(3; 5); ( 8;2); ( 1;6) B  C  ,( ):3d x8 12 0y  , ( ):C x2y26x40 0 a.Tìm tọa độ ảnh C qua phép tịnh tiến theo vector 2AB



b.Tìm ảnh d qua TAC

c.Tìm( ')C T3CB(( ))C

2 PHÉP ĐỖI XỨNG TRỤC.

BÀI TẬP

Bài 1: a.Cho A 2;3 , tìmA'ĐOx( )A ;

b.Cho B 3; , tìm B' ĐOx B

Bài 2: a.Cho( ) : 2d  x 3y 6 0, tìm d' ĐOx d

b.Cho( ) : 2d x3y 4 0, tìm d' ĐOy d

c.Cho( ) :d x 5 0, tìm d' ĐOx d

d.Cho( ) :d y5x4, tìm d' ĐOy d

e.Cho( ) :d y 6 0, tìm d' ĐOx d

Bài 3: a.Cho     2 2

: 144

C x  y  , viết pt  C'  ĐOx  C

b.Cho  C :x2y52 25, tìm  C'  ĐOy  C

c.Cho   C : x42y2 16, viết pt  C'  ĐOx  C

d.Cho  C :x2 y24y0, tìm  C'  ĐOy  C

Bài 4: Cho A(2; 4) ,( ): 5d x2y15 0 , ( ):C x2 (y 7)2 169 a.Tìm tọa độ ảnh A qua phép đối xứng trục Ox

b.Tìm ảnh d qua ĐOy c.Tìm( ')C ĐOx(( ))C

Bài 5: Cho B( 8;2) ,( ):3d x8 12 0y  , ( ):C x2y26x40 0 a.Tìm tọa độ ảnh B qua ĐOy

b.Viết phương trình đường thẳng d'Đ dOx( )

c.Tìm( ')C đường trịn ( )C qua phép đối xứng trục Oy 3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.

BÀI TẬP

Bài 1: a.Cho A 2;3 , tìm A' ĐO A

b.Cho B   3;6 , I 0;8 , tìm B' ĐI B

c.Cho C 4; , tìm ảnh C qua phép đối xứng gốc O d.Cho D11; ,   I 4;3, tìm tọa độ điểm D' ĐI D

Bài 2: a.Cho( ) : 2d  x 3y 6 0, viết ptd' ĐO d

b.Cho( ) : 2d x3y 4 0, I 2;5 , viết pt d' ĐI d

c.Cho( ) :d x 5 0, tìm pt d' ĐO d

d.Cho( ) :d y5x4, I 4; 1, tìm d' ĐI d

e.Cho( ) :d y 6 0, I2; 7 , tìm pt d' ĐI d

Bài 3: a.Cho     2 2

: 144

C x  y  , tìm pt  C'  ĐO  C

b.Cho  C :x2y52 25, I 2;5 , viết pt C'  ĐI  C

c.Cho   C : x42y2 16, tìm  C'  ĐO  C

d.Cho  C :x2 y24y0, I 3; , tìm  C'  ĐI  C

e.Cho  C :x2y216x144, I5; 3 , viết pt  C'  ĐI  C

Bài 4: Cho A(2; 4); ( 7;6); ( 3;5) B  C  ,( ): 5d x2y15 0 , ( ):C x2 (y 7)2 169 a.Tìm ảnh B’của B qua phép đối xứng tâm O(0;0) tâm C

b.Viết phương trình ảnh d qua ĐA c.Tìm( ')C T4BC(( ))C

Bài 5: Cho A(3; 5); ( 8;2); ( 1;6) B  C  ,( ):3d x8 12 0y  , ( ):C x2y26x40 0 a.Tìm ảnh C qua phép ĐA

b.Tìm ảnh d qua ĐB c.Tìm( ')C Đ CO(( ))

4 PHÉP VỊ TỰ.

Chú ý: Cách làm tƣơng tự giống phép biến hình trên, khác bán kính đƣờng trịn ảnh

k lần bán kính đƣờng trịn ban đầu (tức R' k R )

BÀI TẬP

Bài 1: a Cho A 2;3 , ( 4;7)I  , tìm A'V( ;3)I ( )A

b Cho( ) : 2d x3y 4 0, C 2;5 , tìm d'V( ;5)C  d

c Cho( ) :d x 5 0, tìm ảnh d qua phép vị tự tâm O(0;0), tỉ số k=3 d Cho( ) :d y5x4, I 4; 1, viết d'V( : 3)I ( )d

e Cho( ) :d y 6 0, I2; 7 , viết pt ảnh d qua V( ; 4)I Bài 3: a.Cho     2 2

: 144

C x  y  , viết pt C' V( ; 3)O (( ))C b.Cho  C :x2y52 25, I 2;5 , tìm  C' V( ; 1/2)I (( ))C c.Cho   C : x42y2 16, viết pt ảnh của( )C qua

( ; 4)A

V  ,A(2; 5) d.Cho  C :x2 y24y0, B 3; , tìm pt  C' V( ;3/2)B (( ))C e.Cho  C :x2y216x144, D5; 3 , viết C' V( ; 3)D (( ))C

Bài 4: Cho A(2; 4); ( 7;6); ( 3;5) B C ,( ): 5d x2y15 0 , ( ):C x2 (y 7)2169 a.Tìm ảnh A qua phép vị tự tâm C, tỉ số k=5

b.Viết phương trình ảnh d qua V( ; 3)B c.Tìm( ')C V( ; 2)A (( ))C

Bài 5: Cho A(3; 5); ( 8;2) B  ,( ):3d x8 12 0y  , ( ):C x2y26x40 0 a.Tìm ảnh B qua V( ; 3)A

b.Viết phương trình đường thẳng ảnh d qua V( ;4)B c.Viết phương trình ( ')C V( ; 7)A (( ))C

HẾT!