Phép biến đổi tích phân laplace trên thang thời gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM-ĐHĐN KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN THANG THỜI GIAN GVHD: PHAN ĐỨC TUẤN SVTH: HỒ MAI KIM DUYÊN LỚP : 15CTUDE Đà Nẵng, tháng năm 2019 LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn, bảo động viên em suốt thời gian học tập nghiên cứu hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy môn công tác khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng dạy dỗ dìu dắt em thời gian học tập nghiên cứu trường Do lần đầu nghiên cứu, điều kiện thời gian có hạn, kinh nghiệm lực thân cịn hạn chế nên đồ án không tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp từ phía thầy bạn để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Đà Nẵng, ngày tháng năm 2019 Sinh viên Hồ Mai Kim Duyên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Error! Bookmark not defined PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu đề tài Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Khái niệm thang thời gian 1.2 Giới hạn liên tục thang thời gian 26 1.3 Đạo hàm 29 1.4 Tích phân thang thời gian 32 Chƣơng 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN THANG THỜI GIAN 39 2.1 Định nghĩa 39 2.2 Tính chất phép biến đổi 42 2.3 Phép biến đổi ngƣợc 44 2.4 Tích chập 51 2.5 Ứng dụng 54 2.5.1 Nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng 54 2.5.2 Phƣơng trình đạo hàm riêng 58 2.5.3 Nghiệm phƣơng trình tích phân 62 2.5.4 Nghiệm toán giá trị biên 64 2.5.5 Nghiệm phƣơng trình sai phân vi sai phân 67 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biến đổi Laplace thang thời gian phép biến đổi tích phân quan trọng Ứng dụng lớn để giải phương trình vi phân toán liên quan (bài toán giá trị biên toán điều kiện đầu) Nguồn gốc ứng dụng chỗ biến đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh hàm qua biến đổi Laplace thang thời gian Các phép biến đổi cho phép chuyển gọi chung phép tính tốn tử (operational calculus) Giải tích thang thời gian thành lập vào năm 1988 Stefan Hilger Nó bao gồm đạo hàm cổ điển toán tử sai phân tiến trường hợp đặc biệt Nó bao gồm tích phân Riemann tổng hữu hạn dạng phép toán nghịch đảo Tuy nhiên, khơng bao gồm tốn tử sai phân Jackson tích phân Jackson q Ngồi ra, khơng bao gồm tốn tử sai phân tổng liên kết N ̈ rlund hay toán tử sai phân Hahn Bài viết mở rộng việc xác định thang thời gian theo cách cho toán tử sai phân trước tổng liên kết chúng bao gồm Ngồi ra, ví dụ minh họa đưa Phép biến đổi tích phân Laplace đặt theo tên nhà toán học thiên văn học tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1825) Laplace nghiên cứu vấn đề vào năm 1782, ông tiếp tục cơng trình Euler sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình vi phân Tuy nhiên tính hữu dụng phương pháp chưa công nhận Khoảng trăm năm sau, kỹ sư điện người Anh tên Oliver Heaviside (1850-1925) đưa loạt vấn đề liên quan đến phép tính tốn tử sử dụng phép biến đổi tích phân Laplace để giải phương trình vi - tích phân sinh từ toán vật lý Khi đó, kỹ thuật áp dụng phép biến đổi tích phân Laplace vào giải phương trình vi tích phân bắt đầu phát triển tận ngày Cũng lẽ mà phép biến đổi tích phân Laplace cịn gọi phép tính Heaviside Việc tìm hiểu phép biến đổi tích phân Laplace thang thời gian áp dụng vào giải phương trình vi - tích phân cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Vì giúp đỡ hướng dẫn thầy TS Phan Đức Tuấn, định chọn đề tài ―PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE TRÊN THANG THỜI GIAN‖ làm đề tài nghiên cứu Mục tiêu đề tài Trình bày lý thuyết phép tính vi tích phân thơng qua khái niệm thang thời gian, giới hạn liên tục, đạo hàm, tích phân biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp tìm biến đổi Laplace thơng dụng thang thời gian Cũng phép biến đổi tích phân khác, mục tiêu phép biến đổi tích phân Laplace chuyển phép tính vi - tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh Laplace hàm Nhờ đó, phép biến đổi tích phân Laplace biến phương trình vi - tích phân thành phương trình đại số Sử dụng phương pháp giải phương trình đại số, kết hợp với phép biến đổi Laplace ngược ta tìm nghiệm phương trình vi - tích phân ban đầu Nhiều vấn đề khoa học công nghệ thường đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Chẳng hạn, tốn tính độ lệch đứng dầm vơ hạn dẫn đến giải phương trình vi phân thường Khi nghiên cứu dao động dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến giải phương trình đạo hàm riêng Trong học lượng tử, xung lượng hạt biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm Điều chứng tỏ, việc tìm lời giải cho phương trình vi – tích phân xuất song hành với phát triển khoa học công nghệ Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết mình, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Sử dụng kết Hàm biến phức, Biến đổi tích phân,… Bố cục luận văn CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Trong chương này, chúng tơi trình bày vấn đề khái niệm thang thời gian phép tính tốn, giới hạn liên tục, đạo hàm, tích phân thơng qua định nghĩa, tính chất bổ đề CHƢƠNG 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN THANG THỜI GIAN Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn biến đổi Laplace số phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm ảnh cho Ngoài ra, chúng tơi trình bày ứng dụng biến đổi Laplace vào việc giải phương trình • Phương trình vi phân thường, • Phương trình đạo hàm riêng, • Phương trình tích phân, • Nghiệm tốn giá trị biên • Phương trình sai phân phương trình vi sai phân Chƣơng 1: PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Khái niệm thang thời gian Có số nỗ lực để thống toán học liên tục rời rạc Một cách tiếp cận thiết đặt thang thời gian thành lập Stefan Hilger luận án Tiến sĩ ơng [1] Nó cung cấp công cụ hiệu để thống vấn đề liên tục rời rạc lý thuyết Kể từ đó, hàng trăm báo xuất lý thuyết ứng dụng phương trình động, chẳng hạn chuyên khảo thú vị Bohner Peterson [2, 3] Lúc đầu, thang thời gian xác định tập đóng tùy ý số thực , với cấu trúc liên kết chuẩn kế thừa Ví dụ thang thời gian bao gồm số thực , số tự nhiên , số nguyên , tập hợp Cantor liên kết hữu hạn khoảng đóng Tiếp theo, xem xét vài điều phép tính tốn thang thời gian Chúng ta bắt đầu với số định nghĩa giới thiệu ký hiệu thuật ngữ sử dụng phần định nghĩa bởi: Cho thang thời gian, toán tử nhảy tiến ( ) * định nghĩa bởi: toán tử nhảy lùi ( ) * Ở đây, ta đặt , ) xác định bởi: , + Ngoài ra, hàm bước tới, ( ) hàm bước lùi + ( ) ) xác định bởi: ( ) ( ) Các hàm chuyển tiếp gọi hàm hạt Ở đây, theo thuật ngữ Ahlbrandt, Bohner Ridenhour, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Một điểm với ( ) ( ) gọi dày đặc phải, rải rác phải, dày đặc trái, rải rác trái, ( ) bị cô lập dày đặc, tương ứng Hàm giá trị thực gọi điều hòa giới hạn phải tồn + giới hạn trái tồn tất tất điểm dày đặc phải * * + Nó gọi dày đặc phải liên tục ( điểm dày đặc trái ) gọi rd-liên tục điều hịa liên tục tất điểm dày đặc phải bất kỳ, tập định nghĩa * + đạo hàm delta sau định nghĩa số ( ) (với điều kiện tồn tại) với thuộc tính có giá trị , tồn lân cận U t cho : Chọn thang thời gian | ( ( )) ( ) ( )( ( ) ( ) tồn với )| | ( ) , ta nói | (1) -khả vi Có nhiều cách khác để định nghĩa phép lấy tích phân thang thời gian Ví dụ, sử dụng tích phân Cauchy, Riemann Lebesgue, số khái niệm khác Quan trọng tích phân Cauchy Đầu tiên, cho hàm , ta nói -nguyên hàm , ( ) ( ) với Hilger [5] hàm rd-liên tục có nguyên hàm Khi đó, ơng ta định nghĩa -tích phân ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) phép tính tốn thang thời gian cổ điển bao gồm ba trường hợp đặc biệt quan trọng:    , , * , + * + Người ta kiểm tra trường hợp ( ) ( ), tương ứng, ( ) ( ) ( ( ), ) ( ) ( ) toán tử sai phân ( ) nhảy tiến với bước nhảy ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) q-toán tử sai phân Trong phần tiếp theo, đưa kết thích hợp từ phép tính tỷ lệ thời gian cần chương sau Chúng bắt đầu cách phát triển hình học mặt phẳng phức Hilger Đối với loại ( ) , số phức Hilger, trục thực Hilger, trục xoay Hilger vòng tròn ảo Hilger (hoặc đơn giản vòng tròn Hilger) định nghĩa tương ứng { ( ) } { ( ) { ( ) { | với ( ) , định nghĩa , phần thực Hilger ( ) | } } } ( ) , cho cho | ( ) | ( ) Trong phần ảo định nghĩa ( ( ) ( ) đó, ( ) đối số Với ( ) ( ) ( ) Số ảo hoàn toàn Hilger ( ) đưa ) , định nghĩa định nghĩa với ( ) ( ) ( ) Hình 1.1 Hình 1.1: Mặt phẳng phức Hilger Điểm bên ngồi vịng trịn có phần thực Hilger dương, điểm bên có phần thực Hilger âm Các điểm vịng trịn có phần thực Hilger khơng, gọi số ảo hoàn toàn Hilger Với ( ) , định nghĩa Hình 1.1 Sự mơ tả Hilger mặt phẳng phức Tập cần cung cấp cho cấu trúc nhóm định nghĩa vòng tròn cộng với phép cộng ( ) Trong thực tế, ( ⨁ ) nhóm Abelian với ( ) Tiếp theo, chúng tơi xem xét vài điều phép tính thang thời ( ) để biểu thị ma trận hàm gian (ma trận) Ta sử dụng ký hiệu ̅( ) Lấy biến đổi Laplace ngược ta có ( ) 2.5.3 Nghiệm phƣơng trình tích phân Định nghĩa 2.5.3 Một phương trình mà hàm số chưa biết xuất bên dấu tích phân gọi phương trình tích phân (integral equation) Phương trình tích phân có dạng ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (72) Trong f hàm số chưa biết, ( ) ( ) giới hạn tích phân a, b biết, số, gọi phương trình tích phân tuyến tính loại hai phương trình tích phân Volterra Hàm số ( ) gọi hạt nhân ( ) phương trình Như phương trình xem hay khơng dựa vào ( ) ( ) Nếu hạt nhân phương trình có dạng ( ) ( ), ta nhận phương trình tích phân chập ( ) Để giải phương trình tích phân chập có dạng ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (73) Lấy biến đổi Laplace phương trình (73) ta (̅ ) ̅( ) ) ( ) 8∫ ( Theo định lý tích chập ta có (̅ ) ̅( ) (̅ ) ̅ ( ) Hay ̅( ) (̅ ) ̅( ) ( ) Lấy biến đổi Laplace ngược ta nhận nghiệm ( ) ̅( ) ̅( ) (75) Trong nhiều trường hợp, vế bên phải lấy hàm ngược cách sử dụng khai triển phân thức dùng chu tuyến Do đó, nghiệm dễ dàng tìm thấy Ví dụ 5: Giải phương trình tích phân ( ) ( ) ∫ (76) Lấy biến đổi Laplace phương trình (76) ta * ( )+ * + ( ) ∫ ̅( ) (̅ ) (̅ ) Lấy biến đổi Laplace ngược ta nhận nghiệm ( ) ( ) Ví dụ 6: Giải phương trình vi tích phân ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (77) Lấy biến đổi Laplace hai vế (77) ta * ( )+ * + (̅ ) ∫ * ( )+ * ( ) ( ) + Hay (̅ ) Do ( ) * ̅( ) ( )+ nên ta có (̅ ) (̅ ) ) (̅ ) ( ( (̅ ) ) (̅ ) (̅ ) ( ) Lấy biến đổi Laplace ngược ta ( ) ( ) Ví dụ 7: Giải phương trình tích phân ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (78) Lấy biến đổi Laplace hai vế (78) ta * ( )+ * + * + (̅ ) ( ) ∫ (̅ ) (̅ ) (̅ ) / Do đó, (̅ ) /0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 / / / Lấy biến đổi Laplace ngược ta nhận nghiệm ( ) ( ( ) ) 2.5.4 Nghiệm toán giá trị biên / Phương pháp biến đổi Laplace hữu ích việc tìm nghiệm toán biên thường xuất nhiều lý thuyết chuyển vị dầm chịu uốn Biến dạng chịu uốn (dầm) thay đổi độ cong trục Khi đường cong chịu uốn đường đàn hồi Ví dụ Cho dầm có khối lượng M, chiều dài bị ngàm (clamped) hai đầu mút chịu tải trọng tập trung có độ lớn Q điểm trục dầm Hãy xác định độ võng dầm? Hình 2.5.4 Phương trình vi phân cho độ võng dầm có dạng ( ) Do dầm có tải trọng tập trung điểm Khi nên lực tập trung điểm ( ) biểu diễn sau ( ) / (79) Hơn dầm bị ngàm hai đầu mút nên độ võng góc xoay điểm Khi ta viết lại phương trình vi phân cho độ võng dầm sau / (80) với điều kiện biên ( ) ( ) đó, Q số () () / hàm Dirac Delta tính (81) / { (82) Để giải toán này, sử dụng biến đổi Laplace ̅ ( ) định nghĩa ̅( ) Lấy biến đổi vế ( , đó, ̅( ) ( ) ∫ (83) ) ta ( ) ( ) ( ) ( )- (84) /3 Theo điều kiện ( ) , ( ) ̅( ) nên từ ( ( ) ̅( ) ) ta có ( )- ( ) ( ) Suy ( ) ̅( ) Lấy biến đổi Laplace ngược ( ( ) ( ) ( ) (85) ) ta ( ) / / (86) / / (87) Suy ( ) ( ) ( ) Từ điều kiện ( ) { ( ) ( ) () ( ) ( ) nên từ ( )( ) ta có hệ sau: / / / / Tương đương, { ( ) ( ) ( ) ( ) Giải hệ ta được: ( ) ( Thay vào ( ) ( ) ( ) ) ta ( ) ( / ) ( ) 2.5.5 Nghiệm phƣơng trình sai phân vi sai phân Giả sử * định nghĩa + dãy số cho Khi đó, tốn tử sai phân (88) ( ) ( ) ( ) ( (89) ) (90) Tổng quát: ( ) ∑ ( ) / (91) Các biểu thức gọi sai phân cấp 1, cấp 2, cấp cấp tương ứng Bất kì phương trình biểu diễn mối liên hệ sai phân hữu hạn gọi phương trình sai phân (difference equation) Cấp cao sai phân phương trình bậc phương trình Một phương trình sai phân có chứa đạo hàm hàm số chưa biết phương trình gọi phương trình vi sai phân (differential – difference equation) Do đó, phương trình vi sai phân gồm có hai bậc phân biệt – bậc thứ cấp cao sai phân bậc thứ hai cấp cao đạo hàm Phương trình (92) (93) tương ứng phương trình sai phân bậc bậc hai Dạng tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp n ( ) (94) , , , ( ) số hàm đối số nguyên không âm n Tương tự phương trình vi phân, phương trình (94) gọi hay khơng dựa vào hàm ( ) hay khác Các phương trình sau ( ) ( ( ) ) ( (95) ) ( ) (96) phương trình vi sai phân, ( ) hàm số cho Để nghiên cứu phương trình ta đặt hàm ( ) sau ( ) ( ) * ( )+ * ( ∫ ) ( ∫ ̅( ) ( ) (97) ( ) hàm bước nhảy đơn vị Heaviside Lấy biến n số nguyên không âm đổi Laplace ( ) ta ̅ ( ) ( ( )+ ) (98) ) (99) đó, ̅( ) ( ) Tiếp theo định nghĩa hàm ( ) chuỗi ( ) ( ) ∑ (100) đó, * + dãy số cho Theo đó, ( ) biểu diễn hàm bậc thang Hơn nữa, ( ∑ ) ∑ ( ) ( ∑ ) ∑ ( ) khoảng , ( ) ( )(101) Tương tự ta có ( ) ∑ ( ) (102) ( ) ∑ ( ) (103) Tổng quát Biến đổi Laplace hàm ( ) cho ̅( ) * ( )+ ∑ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )∑ ( ) Do đó, ̅( ) ( ) ( ) (104) Trong đó, ( ) biểu diễn cho hàm Dirichlet định nghĩa ( ) ( ∑ ) Do đó, suy * ̅ ( )+ ( ) (105) Đặc biệt  Nếu dãy hình học ( ) Do đó, từ ( ( ∑ ) (106) ) ta nhận * + ̅( ) ( ) ̅( ) (107) cho ̅( )  Nếu ∑ ( Ta có )( (108) ) ( ) (109) *( ) ̅ ( )( + ̅ ( ) ) ( (110) ) Do đó, ̅ ( ) 2( Từ ( ) ta thay ) ( ) , ta ∑ ( (111) ) Do * ̅( ) + ( (112) ) cho * ̅ ( ) + ( (113) ) Định lý 2.5.5: Nếu ̅( ) * ( )+ * ( Chứng minh: * ( ̅( ) )+ )+ ̅ ( )- , ̅( ) ( ∫ ( ) ∫ ) ( ) ∫ ̅( ) , ̅( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ̅ ( )- Tương tự ta có * ( )+ , * ( ( ) ̅ ( )- , ̅( ) , ̅( ) )+ ( ) ̅ ( )̅( ) ̅ ( )- ( ) (114) * ( )+ , ̅( ) ) ̅ ( )- ( ( ) (115) Tổng quát hơn, k số nguyên * ( )+ ̅ ( )∑ , ̅( ) - (116) Ví dụ 9: Giải phương trình sai phân sau: (117) với điều kiện ban đầu Phương trình ( ) tương đương với (118) Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ( * + * ) ta + Theo định lý 2.5.5 ta có ( , ̅( ) ̅ ( )- ̅( ) , ̅( ) ̅ ( )- ̅( ) ) ̅( ) ̅( ) ̅( ) ̅( ) ) Do ( Lấy biến đổi Laplace ngược kết hợp với ( ) ta suy nghiệm Ví dụ 10: Giải phương trình sai phân (119) với điều kiện ban đầu Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ( , ̅( ) ( ) ̅ ( )- , ̅( ) ) ta ̅( ) ̅ ( )- , ̅( ) ( ̅ ( )- ̅( ) ̅( ) ̅( ) ) ̅( ) Suy ̅( ) ̅( ) ) ( Lấy biến đổi Laplace ngược, ta nhận nghiệm Ví dụ 11: Giải phương trình vi sai phân sau ( ) ( ) ( ) (120) Lấy biến đổi Laplace hai vế (119) ta ̅( ) ( ) ̅( ) ̅ ( )- , ̅( ) ̅ ( )( ( ) ̅ ( )- , ̅( ) ) ( ) Suy ̅( ) { ( ) ( } ( ) * Do ( ) ( ) ( ) đó, ( ) hàm Gamma định nghĩa tích phân (121) ( ) ∫ * ( ) + ( ) Do ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ 12: Giải phương trình vi sai phân sau ( ) ( ) ( ) (122) Lấy biến đổi Laplace hai vế (122) ta ̅( ) ( ) ( ) ̅ ( )- , ̅( ) ̅( ) ̅( ) ( ) ̅( ) Suy ̅( ) ( ) / Theo công thức (121) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KẾT LUẬN Để nhấn mạnh vai trò biến đổi Laplace, ta nhắc đến ưu điểm giải phương trình vi phân Trước hết cho phép giải phương trình vi phân tuyến tính khơng với vế phải hàm gián đoạn hay hàm suy rộng Một lợi dùng biến đổi Laplace ta giải trực tiếp phương trình khơng mà khơng qua việc giải phương trình tìm nghiệm riêng phương trình khơng nhiều phương pháp khác Cũng vậy, toán điều kiện đầu giải trực tiếp, khơng qua bước tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân xác định số để nghiệm riêng Đặc biệt, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình sai phân vi sai phân giải biến đổi Laplace Bên cạnh đó, luận văn chúng tơi có giới thiệu đến tốn giá trị biên xuất lý thuyết chuyển vị dầm Cuối cùng,việc trình bày lý thuyết biến đổi Laplace thang thời gian định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp tìm biến đổi Laplace thơng dụng giúp chúng tơi ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình sai phân vi sai phân,…và toán liên quan thường xuất vật lí khoa học kĩ thuật TÀI LIỆU THAM KHO [1] S Hilger, Ein Maòkettenkalkul mit Anwendung Zentrumsmannigfaltigkeiten, ă Universitat Wă urzburg, 1988 auf [2] M Bohner and A Peterson, Dynamic Equations on Time Scales: An introduction with Applications, Birkhauser, Basel,2001 ă [3] M Bohner and A Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, Basel, 2003 ă [4] C D Ahlbrandt, M Bohner and J Ridenhour, Hamiltonian systems on time scales, J Math Anal Appl., 250(2000) 561–578 [5] S Hilger, Analysis on measure chains – a unified approach to continuous and discrete calculus, Results Math., 18(1990) 18–56 [6] A Matsuo, Jackson integrals of Jordan–Pochhammer type and quantum Knizhnik–Zamolodchikov equations, Comm Math Phys., 151(1993)263–273 [7] R D Carmichael, Summation of functions of a complex variable, Annals Math., 2nd Ser., 34(1933) 349378 [8] W Hahn, Uber Orthogonalpolynome, die ă q-Differenzengleichungen genugen, ă Math Nachr., 2(1949) 434 [9] K A Aldwoah, Generalized Time Scales and Associated Difference Equations, PhD thesis, Cairo University, 2009 [10] G Guseinov, Integration on time scales, J Math Anal Appl 285 (2003) 107– 127 TRANG 50 [11]Advances in Dynamical Systems and Applications ISSN 0973-5321, Volume 6, Number 2, pp 129–158 (2011) http://campus.mst.edu/adsa [12] M Bohner, A Peterson, Laplace transform and Z-transform: Unification and extension, Methods Appl Anal (1) (2002) 155–162 [13] O Heaviside Electrical Papers The Macmillan Company, New York, 1892 [14] O Heaviside Electromagnetic Theory Reprinted, Benn Brothers, London, 1922 [15] O Heaviside On Operators in Physical Mathematics Proceedings of the Royal Society of London, 52:505–529, 1893, 54:105–143, 1893 [16] S Hilger Analysis on measure chains—a unified approach to continuous and discrete calculus Results Math., 18:18–56, 1990 ... dụng thang thời gian Cũng phép biến đổi tích phân khác, mục tiêu phép biến đổi tích phân Laplace chuyển phép tính vi - tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh Laplace hàm Nhờ đó, phép biến đổi tích. .. phương trình vi tích phân bắt đầu phát triển tận ngày Cũng lẽ mà phép biến đổi tích phân Laplace cịn gọi phép tính Heaviside Việc tìm hiểu phép biến đổi tích phân Laplace thang thời gian áp dụng... 1: PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Khái niệm thang thời gian 1.2 Giới hạn liên tục thang thời gian 26 1.3 Đạo hàm 29 1.4 Tích phân thang thời gian