Lý thuyết đàn hồi ứng dụng

BÀI GIẢNG MÔN HỌC LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG MỞ ĐẦU  LTĐHƯD (PTƯS) môn khoa học thuộc ngành học vật rắn biến dạng nghiên cứu trạng thái ƯS – BD vật thể cân tác dụng tác động bên ngoài, mà vật liệu vật thể chưa vượt giới hạn đàn hồi  Đối tượng nghiên cứu: vật thể dạng thanh, dạng tấm, vỏ dạng khối, tức liên quan tới việc giải toán 1, chiều  LTĐHƯD sử dụng giả thiết ngun lý có liên quan tới tính chất vật thể giống môn SBVL CHKC  LTĐHƯD khơng giải tốn giải mơn SBVL CHKC mà cịn giải tốn mà mơn SBVL CHKC khơng giải như: Các tốn ứng suất cục bộ, toán ứng suất tập trung, toán tiếp xúc v.v  LTĐHƯD cho phép đánh giá độ xác giới hạn áp dụng nghiệm tốn giải theo phương trình mơn SBVL CHKC  Trong chương trình, LTĐHƯD bổ sung them nội dung PP phần tử hữu hạn để giải số toán thường gặp xây dựng cơng trình CHƯƠNG NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG 1.1 LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 1.1.1 Khái niệm ứng suất ký hiệu Một phân tố trạng thái ứng suất có thành phần ứng suất pháp thành phần ứng suất tiếp, là: σ x , σ y , σ z τ xy ,τ yx ;τ xz ,τ zx ;τ zy ,τ yz  Qui ước dấu ứng suất: o Nếu pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều dương trục tọa độ ứng suất mang dấu dương chúng hướng theo chiều dương trục tọa độ o Nếu pháp tuyến mặt cắt ngược với chiều dương trục tọa độ ứng suất mang dấu dương chúng ngược với chiều dương trục toạ độ  Các US thay đổi theo điểm vật (phụ thuộc tọa độ điểm) phụ thuộc vào phương mặt cắt qua điểm (góc nghiêng mặt cắt qua điểm đó) Kí hiệu ứng suất S: S(x, y, z, n) với n côsin phương m/cắt qua điểm 1.1.2 Phương trình vi phân cân Navier  Các phương trình cân tĩnh học: = ∑ x 0;= ∑ M x 0; = ∑ y 0;= ∑ M y 0; = ∑ z 0;= ∑ M z 0;  Từ phương trình cân hình chiếu ta suy ra:  ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx  ∂x + ∂y + ∂z + X =   ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy  ∂x + ∂y + ∂z + Y =   ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + = Z  ∂x ∂y ∂z  Viết dạng ma trận: CS + P = Trong đó: C ma trận toán tử vi phân: C=∂ ∂ ∂   ∂x ∂y ∂z   σ x τ yx τ zx    S ma trận ứng suất: S =  τ xy σ y τ zy  τ τ  σ z  xz yz P véc tơ lực thể tích: P = { X Y Z } T  Từ phương trình cân mơ men (1-1) ta có: τ xy = τ yx ;  τ yz = τ zy ; τ = τ xz  zx - Biểu thức (1-2), (1-3) phương trình cân hệ phương trình vi phân cân Navier - Biểu thức (1-4) biểu diễn luật đối ứng ứng suất tiếp 10 4.9 CÁCH XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN  Để giải hệ phương trình [K]{∆} = {F} → det [K] ≠ 0, muốn điều kiện biên phải thỏa mãn (kết cấu phải BBH)  Điều kiện biên: cho trước số chuyển vị nút giá trị xác định 145  Trường hợp nút phần tử có liên kết giữ cho chuyển vị nút 0:  Khơng mã hóa chuyển vị nút đó, ghi “0”  Khi lập [k]e { f }e , dòng cột tương ứng với số mã chuyển vị nút không ghi số y (0,0) (1,2,3) B A (1) (3) D (0,0) 146 (0,0) (2) C x  Trường hợp chuyển vị nút cho trước ∆m = a  Xử lý kiểu gán số Kmm: = 1; Kmj := 0; Kim := i,j ≠ m; Fm := a Ví dụ: ∆m = ∆2 = a 147 (đx)  K11   ∆1   F1    ∆   a      ⋅   =  ;  K 31 K 33   ∆   F3  K  ∆   F  K K 43 44     4  41  Trường hợp chuyển vị nút cho trước ∆m = a  Xử lý kiểu cộng số vô lớn Kmm = Kmm + A ; Fm = Kmm.a  K11 K  21  K 31 K  41 148 (đx) K 22 + A K 32 K 42 K 33 K 43 F1   ∆1     ∆  ( K + A)a   22   ⋅   =   F3   ∆3      K 44  ∆   F4 4.10 CÁCH ĐÁNH SỐ MÃ NÚT ĐỂ HẠN CHẾ BỀ RỘNG BĂNG CỦA MA TRẬN  Sau xếp [k]e vào [K], [K] thường có dạng băng, đối xứng qua đường chéo  Khi giải hệ pt [K]{∆} = {F} nhớ máy tính cần lưu giữ trị thành phần nằm băng nửa băng → bề rộng băng B định trực tiếp tới số lượng ô nhớ máy tính cần sử dụng thời gian chạy máy để 149giải hệ pt  Khi điểm nút có số chuyển vị nút B = 2(d+1)m -1 m – số chuyển vị nút nút d – số lớn hiệu số số mã nút lớn nhỏ phần tử B = 2(5 + 1)2 -1 = 23 B = 2(7 + 1)2 -1 = 31  Nếu đánh số mã nút theo cạnh ngắn bề rộng băng nhỏ → đánh số mã nút cần đánh cho 150 trị d nhận nhỏ 4.11 XÁC ĐỊNH NỘI LỰC CỦA PHẦN TỬ THANH {N } = [k ] {δ }   {δ= } [ L] ⋅ {δ }  e e e e e { } = N [k ]e [ L ]e ⋅ {δ }e e e tổng quát {N} e { } = [ S ]e ⋅ {δ }e + N q e [ S ]e = [k ]e [ L ]e {N } q 151 e { }= {R } = − Pq e q e  Phần tử hai đầu liên kết ngàm [ S ]e 152 EF  EF c s     EJ  − 12 EJ s 12 EJ c  3 3 2  EJ EJ EJ − s c    =  EF EF − − c s      12 EJ s − 12 EJ c − EJ  3 3 2  EJ EJ  − EJ s c 2    N6 = M j y N = M ij N = X ij i θ N = Y ij ji N4 = X N5 =Y x EF EF  − c s     12 EJ 12 EJ EJ  s − c   2  EJ EJ EJ   − c s      EF EF c s     12 EJ 12 EJ EJ  − s c −      EJ EJ EJ  − s c 2 2   − x ji ji  Phần tử đầu i liên kết ngàm, đầu j liên kết khớp y N3 j i θ x N4 N5 x N1 N2 153 EF  EF s   c   3EJ 3EJ 3EJ − s c  2   [S ]e = − 3EJ2 s 3EJ2 c 3EJ     EF EF c − s −     3EJ s − 3EJ c − 3EJ   3 2 EF EF  − c − s   3EJ 3EJ  s − c    3EJ 3EJ  s − c    EF EF  c s     3EJ 3EJ  − s c     Phần tử đầu i liên kết khớp, đầu j liên kết ngàm y j i θ N4 N3 x N5 x N1 N2 [ S ]e 154 EF EF EF  EF  − − c s c s         3EJ 3EJ 3EJ   − 3EJ s 3EJ c − s c  3 3 3 3 2   EF  EF EF EF = − c − s c s         3EJ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ  c −   s − c − s        3EJ 3EJ 3EJ   − 3EJ s 3EJ c s − c 2         Phần tử đầu khớp y N1 j i θ N4 = x N2 = [ S ]e 155  cosθ  =  − cosθ   sin θ − sin θ x N3 − cosθ cosθ − sin θ   EF  sin θ      Với hệ dàn phẳng, phần tử thanh thẳng hai đầu khớp, tải trọng tác dụng sơ đồ tính hệ lực tập trung đặt mắt dàn, nội lực lực dọc không đổi {N } q e = 0; EF cosθ (u j − ui ) + sin θ (v j − vi )  N ij = −  156 Áp dụng cho toàn hệ hệ tọa độ tổng thể: [K] {∆} = {F} Rời rạc hóa kết cấu thành phần tử Chọn hàm xấp xỉ Tính 𝑘𝑘� 𝑒𝑒 , 𝑓𝑓 ̅ 𝑒𝑒 Thiết lập [K], {F} toàn hệ [K] {∆} = {F} Xử lý điều kiện biên Tìm ∆ Tìm nội lực, ứng suất, biến dạng 157 TRÌNH TỰ TÍNH TỐN MỘT KẾT CẤU ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH THEO PP PTHH TƯƠNG ỨNG VỚI MƠ HÌNH CHUYỂN VỊ Chọn loại dạng hình học PTHH Rời rạc hóa kết cấu thành lưới PTHH Lập {∆} Giả thiết hàm chuyển vị cho phần tử chọn để tính tốn Lập ma trận độ cứng phần tử [k ]e Tập hợp [k ]e thành [K] 158 { } {P} + {P } f Lập véc tơ tải trọng nút = e sau tập hợp thành {F} q e e Dùng điều kiện biên kết cấu để khử tính suy biến ma trận độ cứng kết cấu lập bước Giải hệ phương trình [K].{∆} = {F} để tìm {∆} Xác định nội lực (ứng suất) phần tử {N} e { } = [ S ]e ⋅ {δ }e + N q 10 Vẽ biểu đồ biểu diễn kết 159 e ... CƠ BẢN CỦA BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG 1.1 LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 1.1.1 Khái niệm ứng suất ký hiệu Một phân tố trạng thái ứng suất có thành phần ứng suất pháp thành phần ứng suất tiếp, là:...  Trạng thái ứng suất điểm: tập hợp tất ứng suất mặt phân tố bao quanh điểm  Mặt ứng suất: mặt cắt mà khơng có ứng suất tiếp  Phương chính: pháp tuyến ngồi mặt  Ứng suất chính: ứng suất pháp... )   1.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI  Mục đích: xác định trường ứng suất, trường biến dạng trường chuyển vị vật thể đàn hồi cân tác dụng ngoại lực 29  Các đại lượng học có quan