BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT và TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG cho các lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG cho lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng Công nghiệp Ngô Thế Phong - ĐHXD LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Mục lục BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG cho lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng Công nghiệp .1 Ngô Thế Phong - ĐHXD .1 Mục lục 14 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………………… 42.3 Phần 1: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT Sơ lược tính chất biến dạng vật liệu: Mô hình vật thể từ biến đơn giản (mô hình lưu biến) : Mô hình vật thể chùng đơn giản : .4 Mô hình thông số: .4 a) Phương trình vi phân bản: b) Trường hợp (từ biến): c) Trường hợp (chùng ứng suất): d) Trường hợp tải trọng (theo thời gian): e) Trường hợp biến dạng (theo thời gian): Quy luật chung biến dạng tuyến tính: Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát: a) Nhắc lại số quan hệ lý thuyết đàn hồi: b) Quan hệ ứng suất-biến dạng lít thuyết đàn hồi - nhớt: Các phương pháp giải toán đàn hồi nhớt: 10 a)Phương pháp Voltere (phương pháp tương tự đàn hồi) – Nguyên lý Voltere- Các phương trình cân phương trình hình học giống lý thuyết đàn hồi 10 b)Phương pháp biến đổi Laplace: 10 c) Phương pháp tiệm cận I.Iliusin: 10 Lý thuyết nhiệt đàn hồi nhớt tuyến tính: 11 a) Nguyên lý tương tự nhiệt độ - thời gian: .11 b) Nhiệt mô hình thông số: 11 c) Các dạng toán nhiệt đàn hồi nhớt: 12 d) Xác định thông số thực nghiệm: .12 e) Phương pháp tải trọng nhiệt ảo cho trường hợp T thay đổi bậc thang (tải trọng không đổi): .13 Phần 2: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG .14 Những đặc điểm biến dạng vật liệu tác dụng tải trọng dài hạn: 14 Quan hệ ứng suất - biến dạng lý thuyết tuyến tính: .14 Các phương án biểu diễn từ biến: 15 a) Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến: 16 b) Lý thuyết di truyền đàn hồi: 16 c) Lý thuyết già: 16 Trạng thái ứng suất-biến dạng đồng chất điều kiện từ biến tuyến tính: 17 a) Dưới tác dụng ngoại lực: 17 b) Biến dạng cưỡng bức: 17 Bài toán tổng quát lý thuyết từ biến tuyến tính: 18 a) Quan hệ ứng suất- biến dạng: 18 b) Trường hợp trạng thái ứng suất tải trọng gây ra: 19 c) Trường hợp trạng thái ứng suất gây thay đổi biến dạng : 21 d) Ứng suất nhiệt có xét đến từ biến: 22 Quan hệ ứng suất-biến dạng theo lý thuyết già: 24 a) Cách 1: chia nhỏ tích phân .24 b) Cách 2: 25 Ứng suất-biến dạng bêtông cốt thép theo lý thuyết già không nứt: 26 a) Ứng suất gây nên M: 26 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(2)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP b) Ứng suất gây nên N đặt trọng tâm hình học tiết diện: 27 c) Ứng suất co ngót bêtông: 27 d) Ứng suất gây nên lực ép trước BTCT ƯLT: 28 Tính chuyển vị dầm tĩnh định: .28 a) Chuyển vị gây nên vởi yếu tố lực tác dụng dài hạn: .28 b) Chuyển vị co ngót bêtông 29 Tính dầm tĩnh định theo lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến: 30 10 Tính dầm bêtông cốt thép có vết nứt làm việc: 32 11 Tính hệ BTCT siêu tĩnh theo phương pháp lực 34 a) Khái niệm chung: 34 b) Phương trình tắc sở lý thuyết già cải tiến: .35 c) Trình tự tính toán: 37 d) Tính toán theo chuyển vị gối tựa co ngót: 38 e) Phương pháp dựa sở lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến: .38 f) Phương pháp lực sở lý thuyết già cải tiến phân nhỏ tích phân: .39 g) Phương pháp đơn giản để tính hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng bức: 41 h) Phương pháp chuyển vị để tính hệ thanh: 42 13 Xác định đặc trưng tính toán .42 14 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………………… 42 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(3)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Phần 1: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT Sơ lược tính chất biến dạng vật liệu: - Có tải trọng có biến dạng đàn hồi ban đầu - Giữ tải trọng biến dạng tăng - Dỡ tải có biến dạng dư - Các giá trị cụ thể phụ thuộc vào vật liệu cụ thể: thép ≠ chất dẻo ≠ gỗ ≠ bêtông - Có biến dạng có chùng ứng suất - Một phương pháp nghiên cứu biến dạng mô hình hóa vật liệu Mô hình vật thể từ biến đơn giản (mô hình lưu biến) : - Đàn hồi lý tưởng: σ dh = Eε - Nhớt lý tưởng: σ nh = Kε Mo hinh Kelvin 1868 - Vật thể từ biến: quan hệ ứng suất - biến dạng: ε = ε nh = ε dh σ = Eε  dh ⇒ σ = Eε + Kε gọi phương trình lưu biến   σ = K ε nh  σ = σ dh + σ nh σ0 - Giải phương trình với σ = const = σ t = ε = ta được: ε = E E   1 − e − k t      phương trình biểu diễn từ biến - Nếu ε = const → ε = → σ = Eε tuân theo định luật Hook - Mô hình khởi điểm: chùng ứng suất Mô hình vật thể chùng đơn giản : ε = ε nh + ε dh → ε = ε nh + ε dh σ = Eε → ε = σ E  dh dh dh ⇒ σ + nσ = Kε n = K E    σ = K ε → ε = σ K nh nh nh  σ = σ dh = σ nh E - Giải phương trình với t = ε = const ta có: σ = σ e − k t phương trình biểu diễn chùng ứng suất Mô hình thông số: a) Phương trình vi phân bản: Cả hai mô hình trước tính chất thực vật liệu  tăng thêm thông số: Mô hình :Maxwell ε nh = ε dh1 ε = ε + ε dh1 dh  σ = σ nh + σ dh1 = σ dh E2 K E E K ε + ε = σ + σ ⇒   E + E E + E E + E σ = K ε 2 nh  nh σ dh1 = E1ε dh1  σ dh = E ε dh = σ nHε + Eε = nσ + σ Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(4)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP đó: H = E2 - môđun đàn hồi tức thời; EE E = - môđun đàn hồi lâu dài; E1 + E2 K n= - thời gian chùng ứng suất; E1 + E2 Mô hình : σ nh = σ dh σ = σ + σ nh dh1  ε = ε nh + ε dh = ε dh1 K ( E1 + E ) K ε + E1ε = σ + σ hay nHε + Eε = nσ + σ ⇒   E E σ = K ε 2 nh nh  σ dh1 = E1ε dh1  σ dh = E2ε dh = σ với H = E1 + E2 ; E = E1; n = K E2 Mô hình : ε nh1 = ε dh1 σ = σ nh1 + ε dh1 = σ nh   KK K ε = ε nh1 + ε nh ⇒ ε + ( K1 + K ) ε = σ + σ  E1 E1 σ nh1 = Kε nh1 σ nh = Kε nh   σ dh1 = E1ε dh1 K1K K2 với A = E ; B = K1 + K ; n = E 1 hay Aε + Bε = nσ + σ Mô hình : ε nh1 = ε nh σ = σ + ε nh1 nh = σ dh1  ε = ε nh1 + ε dh1 KK K + K2 σ + σ Aε + Bε = nσ + σ ⇒ ε + K 2ε =  E E  σ = K ε 1 nh1  nh1 σ nh = Kε nh  σ dh1 = E1ε dh1 K1K K1 + K với A = E ; B = K ; n = E 1 Nhận xét: 1- Bậc phương trình vi phân số phần tử nhớt 2- Khi phần tử đàn hồi mắc song song biến dạng dài hạn tăng lên vô (mô hình ) 3- Khi có phần tử đàn hồi mắc song song với phần tử nhớt biến dạng dài hạn hữu hạn xác định môđun đàn hồi dài hạn 4- Khi ứng suất tăng nhanh phần tử nhớt tỏ cứng Khi hệ biến dạng theo môđun đàn hồi tức thời 5- Trong hệ  phần tử đàn hồi mắc nối tiếp, môđun đàn hồi tức thời lớn vô 6- Môđun đàn hồi tức thời luôn lớn môđun đàn hồi dài hạn 7- Trong hệ  không tồn biến dạng dư Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(5)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Hệ có nhiều thông số (phần tử) mô tả đường cong biến dạng xác tính toán phức tạp không dễ xác định thông số thực nghiệm Ta dừng lại mô hình thông số: nHε + Eε = nσ + σ - Khi trình biến dạng xảy chậm ε ≈ 0, σ ≈ ta có định luật Hooke với môđun đàn hồi dài hạn E - Khi trình xảy nhanh, bỏ qua ε , σ so với ε , σ Khi có định luật Hooke với môđun đàn hồi tức thời H - Vật liệu tuân theo phương trình gọi vật liệu đàn hồi nhớt - Điều kiện ban đầu lấy trạng thái tự nhiên, tức ứng với biến dạng nhớt ε nh = Khi biến dạng hệ là: ε = σ H b) Trường hợp σ = const (từ biến): - Từ phương trình: nHε + Eε = σ ⇒ ε + Et E σ − ε= ; nghiệm là: ε = Ce Hn + σ Hn Hn E ( σ nghiệm E riêng) Et − σ  1 σ 1   Hn → C = σ  −  ; suy ra: ε = + σ  −  e - Ở trạng thái ban đầu: ε = ε = H H E E H E  1 - Ta thấy  −  âm H > E H E - Rỡ tải thời điểm t = t ; ε = ε (chất tải σ trạng thái đầu ε = ): − Et0 e Hn Et Hn − E ( t −t0 ) Hn → C = ε0 → ε = ε 0e ε = Ce - Khi t → ∞ ε → vật thể quay trạng thái ban đầu c) Trường hợp ε = const = ε (chùng ứng suất): - Từ phương trình: σ + nσ = Eε ; với điều kiện σ t t =0 = σ ta có: σ = Eε + ( σ − Eε ) e − n 0 t - Ở thời điểm đầu: σ = ε H , phương trình viết thành: σ = Eε + ( H − E ) ε e − n 0 d) Trường hợp tải trọng (theo thời gian): σ = σ ( t ) - Biến dạng thời điểm t là: ε ( t ) = e − Et Hn - Ở thời điểm đầu ε = ε ta có: ε ( t ) = ε e − Eτ  t  Hn  [σ (τ ) + nσ (τ ) ] e dτ + C   Hn  ∫ E t Hn + Hn t ∫ [σ (τ ) + nσ (τ ) ] E (τ − t ) Hn e dτ - Tiến hành tích phân phần rút gọn lại ta được: ε ( t ) = − ( t −τ ) σ (t ) H − E Hn + σ ( τ ) e dτ H H 2n t ∫ E (a) E - Hàm số K ( t − τ ) = e − Hn ( t −τ ) hàm số ảnh hưởng lực thời điểm τ đến biến dạng thời điểm t, gọi hàm di truyền e) Trường hợp biến dạng (theo thời gian): ε = ε ( t ) - Ở thời điêm t = vật liệu trạng thái tự nhiên Giải phương trình vi phân: nHε + Eε = σ + nσ ta được: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(6)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP t − H −E σ ( t ) = Hε ( t ) − ε (τ ) e n ∫ - Hàm số R( t − τ ) = e − ( t −τ ) n t −τ n dτ (b) hàm số ảnh hưởng biến dạng thời điểm τ đến ứng suất thời điểm t - Biểu thức (b) coi lời giải phương trình tích phân (a) ngược lại Quy luật chung biến dạng tuyến tính: - Phương trình vi phân nHε + Eε = σ + nσ mô tả biến dạng vật liệu, gần với quan sát thực nghiệm, có khuyết điểm: ( H − E ) e− Hn ⇒ sau đặt tải: - Xét trường hợp σ = const , tốc độ biến dạng là: ε ( t ) = σ nH ( H − E) ε ( ) = σ nH hầu hết thí nghiệm vật liệu khác (gỗ, thép, bêtông…) cho đường cong tiệm cận với trục đứng - Dạng đường cong phù hợp với quy luật biến dạng tuyến tình, dù có nhiều số hạng Et ( n) ( m) phương trình vi phân: a0ε + a1ε + a2ε + + an ε = b0σ + b1σ + b2σ + + bm σ - Trường hợp σ = const nghiệm phương trình tổng hàm mũ mà đạo hàm có giá trị vô hạn t = σ (t) − K ( t − τ )σ (τ ) dτ - Vậy viết quy luật chung biến dạng sau: ε ( t ) = H t t ∫ t0 thời điểm bắt đầu lịch sử biến dạng, lấy − ∞ t0 = coi thời điểm hoàn thành chế tạo  t −t  - Khi σ = const = σ , ta có: ε ( t ) = σ  + ∫ K ( t − τ ) dτ   H  σ0 H tốc độ biến dạng: ε ( t ) = σ K ( t − t0 ) giả sử thời điểm đầu t thì: ε = giả sử thời điểm đầu t = : K ( t ) = K ( t ) (kéo nén mẫu) ε ( t ) Biểu thức cho phép rút đường cong thực nghiệm σ0 1 ∞  σ - Khi t → ∞ , ta có: ε ( ∞ ) = σ  + K (τ ) dτ  = ⇒  H  E ∫ ∞ 1 ∫ K (τ ) dτ = E − H ; đó: E – giá trị môđun dài hạn Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát: a) Nhắc lại số quan hệ lý thuyết đàn hồi: - Phương trình vật lý – quan hệ ứng suất-biến dạng: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(7)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP τ xy 2(1 + ν ) [ (1 + ν )σ xx − νσ kk ] ε xy = ε yx = τ xy = E E G τ 2(1 + ν ) ε yy = (1 + ν )σ yy − νσ kk ε xz = ε zx = τ xz = xz E E G τ 2(1 + ν ) yz ε zz = [ (1 + ν )σ zz − νσ kk ] ε yz = ε zy = τ yz = E E G σ xx τ xy τ xz - Ten-xơ ứng suất: Tσ = τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz ε xx = [ (σ kk = σ xx + σ yy + σ zz ) ] - Ten-xơ cầu ứng suất: Tσ σ0 0 = σ 0 với σ = σ kk - ưs pháp TB 0 σ0 σ xx − σ τ xy τ xz Dσ = τ yx σ yy − σ τ yz = Tσ − Tσ ; τ zx τ zy σ zz − σ Tσ = Tσ + Dσ δ ij = i = j - Gọi thành phần Dσ S ij , viết thành: Sij = σ ij − δ ijσ kk với δ ij = i ≠ j ε xx γ xy γ xz 1 γ yz (thừa số để biểu diễn quán sau này) 2 γ yx ε yy 1 γ zx γ zy ε zz 2 ε + ε yy + ε zz ε kk - Biến dạng trung bình: ε = xx = 3 ε0 0 - Ten-xơ cầu biến dạng: Tε = ε 0 đặc trưng cho thay đổi thể tích 0 ε0 - Ten-xơ biến dạng: Tε = ε xx − ε Dε = γ yx γ zx γ xy ε yy − ε γ zy γ xz γ yz = Tε − Tε ; Tε = Tε + D ε ε zz − ε δ ij = i = j - Gọi thành phần D ε eij , viết thành: eij = eij − δ ij ekk với δ ij = i ≠ j +ν Sij = Sij - Rút quan hệ: eij = E 2G 1 − 2ν σ kk = σ kk , với K = E - Từ phương trình vật lý rút ra: ε kk = K0 E − 2ν v = 0.5 thay đổi thể tích ε kk = Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(8)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP b) Quan hệ ứng suất-biến dạng lít thuyết đàn hồi - nhớt:  ∂ ∂m P = a + a + + a  m ∂t ∂t m toán tử vi phân Quan hệ vi phân: Qeij = PSij đó:  n Q = b + b ∂ + + b ∂ n  ∂t ∂t n Sij, eij thành phần tensơ ứng suất biến dạng giống 1 ∂ ∂ ; Q= - Mô hình Maxwell: P = + K E ∂t ∂t ∂ - Mô hình Kenvin: P = 1; Q = E + K ∂t t  Sij = R ( t ,τ ) deij (τ )  Quan hệ tích phân: năm 1874 Bolsman đề nghị:  ; với R( t ,τ ) R1 ( t , τ ) t σ = R ( t ,τ ) de (τ ) kk  kk  hàm xác định thực nghiệm, gọi hàm chùng ứng suất cắt hàm biến dạng thể tích - Đối với vật liệu già, môđun đàn hồi đặc trưng học khác không phụ thuộc thời điểm đặt lực Trạng thái ứng suất biến dạng vật thể phụ thuộc vào khoảng cách thời gian từ lúc đặt tải đến thời t t   Sij = R ( t − τ ) deij (τ ) eij = Π ( t − τ ) dSij (τ )   0 điểm tính toán ( t − τ ) Do vậy:  Ngược lại ta có:  ; t t σ = R ( t − τ ) de (τ ) ε = Π ( t − τ ) dσ (τ ) kk kk  kk  kk 0   với Π ( t ,τ ) Π1 ( t ,τ ) hàm từ biến cắt thay đổi thể tích ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t ∫ deij Sij = R0eij ( t ) + R′( t − τ ) eij (τ ) dτ ; R′( t ) = - Tích phân phần biểu thức S ij = R( t − τ ) t ∫ dτ ta được: dτ dR dt - Nếu đòi hỏi thời điểm đầu vật liệu tuân theo định luật Hooke ta có: R0 = 2G Đặt Γ ( t ) = − dR ta dt được: t t Sij = 2Geij ( t ) − Γ ( t − τ ) eij (τ ) dτ ; tương tự: σ kk = K 0ε kk ( t ) − Γ1 ( t − τ ) ε kk (τ ) dτ ; ∫ ∫ 0 dR với Γ ( t ) = − dt - Ngược lại: t eij = Sij ( t ) + K ( t − τ ) Sij (τ ) dτ 2G ∫ t ε kk = σ kk ( t ) − K1 ( t − τ )σ kk (τ ) dτ K0 ∫ dΠ dΠ1  ( ) ( ) K t = ; K t =  dt dt với  1 ; Π1 ( ) =  Π ( 0) =  2G K0 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(9)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Các phương pháp giải toán đàn hồi nhớt: a)Phương pháp Voltere (phương pháp tương tự đàn hồi) – Nguyên lý Voltere- Các phương trình cân phương trình hình học giống lý thuyết đàn hồi - Các phương trình vật lý: ~ t Sij = 2Geij t ~   ( ) Γ f t = Γ ( t − τ ) f ( τ ) dτ  ~ Sij = 2Geij ( t ) − Γ ( t − τ ) eij (τ ) dτ  σ = K ε  kk kk   0 viết lại:  ~ với   1~ t t σ = K ε ( t ) − Γ ( t − τ )ε (τ ) dτ G = G − Γ ~ kk kk  kk ~  Γ1 f ( t ) = Γ1 ( t − τ ) f (τ ) dτ ~   K = K − Γ1  - Như lời giải toán đàn hồi nhớt hình thức trùng với toán đàn hồi Khác chỗ thay ~ ~ cho số đàn hồi G, K ta đưa vào toán tử tương ứng G , K ~ ~ - Các toán tử G , K thực phép tính theo thời gian, lời giải đàn hồi có liên quan đến phép tính theo tọa độ Như phương pháp Voltere không giải cho toán vật thể không đồng chất ~ ~ toán tử G , K lại có chứa hàm phụ thuộc tọa độ ∫ ∫ ∫ ∫ b)Phương pháp biến đổi Laplace: - Có hàm f ( t ) , qua phép biến đổi toán tử Laplace ta có ảnh nó: ∞ − pt Phép biến đổi Laplace: f ( p ) = ∫ e f ( t ) dt ∞ − pt Phép biến đổi Laplace-Karson: f * ( p ) = p ∫ e f ( t ) dt ; p- thông số thực - Cho f ( p ) -ảnh tìm f ( t ) -gốc - Thực phép biến đổi Laplace phương trình điều kiện biên, ta có ảnh chúng Thí dụ phương trình vật lý ta có: Sij = ( 2G − Γ ) eij ; σ kk = ( K − Γ1 ) ε kk - Có thể viết: 2G ′ = 2G − Γ ; K ′ = K − Γ - Ta thấy phép biến đổi Laplace loại thời gian khỏi phương trình có đưa thêm vào thông số p Phương pháp giải: Xây dựng lời giải tương tự đàn hồi với môđun G′, K ′ ứng suất, biến dạng, chuyển vị… thay ảnh qua phép biến đổi Laplace Sau tìm lại gốc (tức hàm cần tìm vừa phụ thuộc thời gian vừa phụ thuộc tọa độ) qua phép biến đổi Laplace ngược Khó khăn lớn việc thực phương pháp việc tìm gốc ảnh Trong nhiều trường hợp không làm khó khăn toán học Về nguyên lý phương pháp áp dụng cho toán vật thể không đồng chất Vì phép biến đổi Laplace thực đổi thông số t p không tách thời gian khỏi tọa độ c) Phương pháp tiệm cận I.Iliusin : ∞ − pt - Phương pháp sử dụng phép biến độ Laplace-Karson: f * ( p ) = p ∫ e f ( t ) dt - Đặc điểm: + Nếu f ( t ) = const f ( p ) = f ( t ) + Nếu t hàm f ( t ) dương , nằm giới hạn Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD nằm khoảng không đổi: f1 ≤ f ( t ) ≤ f ảnh -(10)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP        σ bτ z nτ z 1 + ϕ t z −1 +τ z  − nτ z +1 1 + ϕ t z +τ z +1  + σ bτ n nn 1 + ϕ tn −1 +τ n       τn, τn, τn,   z =0 2      ' - Thay giá trị σ aτ n σ aτ n vào phương trình cân thời điểm τ ,τ , τ n = t , giải σ aτ n = n −1 ∑ ( ) ' phương trình thời điểm ta giá trị σ bτ i , σ bτ i - Hệ phương trình để giải ( β 'σ b' τ + γ 'σ bτ + δ ' = n n có dạng:  ' ' ' ' m σ + m σ  bτ n bτ n + m3 = ) σ bτ i , σ b' τ i S  β ' = F + ( h0 − a ') µ ' Dτ n   ϕ τ z +τ z −1  τn,     S   Dτ z = 1 + n z γ ' = −  − ( h0 − a ') µ Dτ +   n F         n −1    n −1  ϕ δ ' = ( h0 − a ')  µ σ bτ z Dτ z − Dτ z −1 + µ ' σ b' τ z Dτ z − Dτ z +1     τ +τ τ n , z z +1     z =0  z =0  n z + với:  và:  Dτ z + z = 1 + I '   m1 = + ( h0 − a ') µ ' Dτ  n   F   S  ϕ τ n +τ n −1   '  I τn,   m2 = −  F − ( h0 − a ') F     D = +  nn   τn n −1     µ'  '  ' m = ( h − a ' ) ( h − a ' ) σ D − D +      0 b τ τ τ  z z z +1 F z =0 M  - Phải giải phương trình với n = 1, n = n = n ta có giá trị ứng suất σ b tương ứng thời điểm - Để giải hệ phương trình cần phải có giá trị đặc trưng từ biến ϕ t ,τ z tức phải có họ đường cong từ biến ϕ t ,τ Ở phần trước ta có biểu thức độ từ biến C t ,τ Quan hệ chúng là: ( ∑ ) ( ) ∑ ϕ t ,τ = Eτ C ( ∑ ( ) t ,τ - Trên hình vẽ họ đường cong đặc trưng từ biến ϕ công thức ϕ - Giá trị ϕ τ n lấy từ đường cong thứ Giá trị thứ Giá trị ϕ ) τ +τ 2 t, t ,τ τ1 t, cho phép xác định giá trị ϕ t ,τ cần thiết lấy từ đường cong nằm đường cong thứ lấy từ đường cong nằm đường cong thứ đường cong thứ - Độ cong cấu kiện chịu uốn xác định sở lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến có dạng: ' ε aτ n − ε aτ n = ρ h0 − a ' Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(31)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP n −1 - Biểu diễn qua từ đó: t BuM = σ bt , σ bt' n −1 ∑ (ητ z =0 z ∑ (σ τ b có: z =0 = ρ E ( h0 − a') − ητ' z )( D τz z ) ( )( ) ( ) − σ b' τ z Dτ z − Dτ z +1 + σ bτ z − σ b' τ z Dτ n E ( h0 − a ') − Dτ z +1 + ητ z − ητ' z )D τn , đó: ητ i = στi M - Chú ý thời gian đặt tải (lúc đầu) τ tính toán phải coi đường coi đường cong thứ đường cong gốc 10 Tính dầm bêtông cốt thép có vết nứt làm việc: - Cơ sở tính toán: Giả thiết tiết diện phẳng Lý thuyết già cải tiến Kể đến làm việc bêtông chịu kéo nằm khe nứt (V.I.Murasev) - Kểt tính toán phù hợp với kết thí nghiệm - Ở thời điểm đầu t = 0, ứng suất bêtông thớ trùng với trọng tâm cốt thép phía phía tính lý thuyết BTCT cổ điển - Xét cấu kiện chịu uốn tiết diện có trục đối xứng Chấp nhận biểu đồ tính ứng suất có dạng tam giác  M ( x − a ') σ b = I bq   ' M ( x − a ') σ a = −n I bq  M ( h0 − x )  σ a = n I bq  - Độ cong dầm: ε b0 − ε a0 = ρ h0 − a' với ε b , ε a - biến dạng trung bình thớ bêtông nằm trọng tâm cốt thép chịu nén biến dạng trung bình cốt thép chịu kéo t = σ b ψ bσ b  ε b = E = E b b  σ a ψ aσ a ε a = =  Ea Ea - Thay giá trị σ a , σ b vào biểu thức tính ε sau thay vào ta được: ρ n[ψ b ( x0 − a ') + ψ a ( h0 − x0 ) ] = M ρ E a I bq ( h0 − a') - Độ cứng uốn thời điểm t = là: BuM = E a I bq ( h0 − a ') n[ψ b ( x0 − a ') + ψ a ( h0 − x0 ) ] hệ số ψ a , ψ b xác định theo lý thuyết Мurasev theo tiêu chuẩn thiết kế Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(32)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Ở thời điểm t, PT cân hình chiếu trục nằm ngang mômen trục trung hòa là:  xt z  σ bt dF + σ at' Fa' − σ at Fa = xt − a ' 0  xt z2  ' ' σ  bt x − a ' dF + σ at Fa ( xt − a ') + σ at Fa ( h0 − xt ) − M = t 0 - Phương trình chập biến dạng: σ at' = n( k1σ b + k 2σ bt ) - Hai phương trình cân viết dạng: σ bt S n + ( xt − a ') σ at' Fa' − σ at Fa =  ' ' σ bt I n + σ at Fa ( xt − a ') + σ at Fa ( h0 − xt )( xt − a ') − M ( xt − a') = ∫ ∫ ( ) với I n , S n mômen quánh tính mômen tĩnh vùng chịu nén trục trung hòa - Viết hai phương trình cân theo σ bt , σ at , M :   Sn  σ bt  F + ( xt − a ') µ ' nk  − ( xt − a ') µ σ at + ( xt − a ') µ ' nk1η ' M =    I  σ bt n + ( xt − a ') µ ' nk  + ( h0 − xt )( xt − a') µ σ at − ( xt − a ') µ ' nk1η '−  ( xt − a') M =     F F   Fa Fa' ; ; µ'= F F - Trong hai phương trình có chứa ẩn số σ bt , σ at , xt - Phương trình thứ viết sở giả thiết tiết diện phẳng: σ x − a' k1σ b + k 2σ bt x − a' h − xt n bt = t = t ⇒ σ at = n( k1σ b + k 2σ bt ) n σ at h0 − xt σ at h0 − xt xt − a ' - Thay σ at vào hai phương trình cân cuối ta có phương trình chứa ẩn số σ bt , xt đó: F- diện tích có ích tiết diện; µ = Trường hợp tiết diện chữ nhật: S n = - Độ cong thời điểm t: bxt2 bx S x2 I x3 ; In = t ; n = t ; n = t F 2h0 F 3h0 ε bt − ε at = ρt h0 − a' k1σ b + k 2σ bt k1ψ bσ b + k 2ψ bt σ bt  σ b = η ' M ; σ bt = ηt' M = ε bt =  Eb Eb [ µ ' ( xt − a') − µ ( h0 − xt ) ] nk1η ' ' η = đó:  , với  t σ ψ σ ψ h − xt Sn ε at = at = at at = at  ( k1σ b + k 2σ bt ) + nk2 [ µ ' ( xt − a') − µ ( h0 − xt ) ]   Ea Ea E b xt − a ' F   h − xt  h − xt   + k 2η t' ψ bt + ψ at  k1η ' ψ b + ψ a xt − a '  xt − a '  - Từ ta có: (có thể lấy ψ b = ψ bt = 0.9 )   = M ρt E a ( h0 − a ') Eb ( h0 − a ') t BuM =  h − a '  với ψ at = ψ a + γ *ϕ t , γ * hệ số xác định thực - Vậy:  k1η '+ k 2η t' ψ b + ψ at xt − a '   nghiệm - Tuy nhiên, theo Uliski tính độ võng với t = ∞ lấy ψ at = điều chỉnh phần không xác không xét đến từ biến bêtông nằm hai khe nứt đến độ dãn dài cốt thép - Đối với tiết diện chữ nhật có cốt đơn: ( ) Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(33)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP σ a0 = M x   Fa  h0 −    ; σ at = M M M ; σ bt = x  x    0.5bx0  h0 −  0.5bxt  h0 − t   3   xt xt = = ξt , thay giá trị σ vào đặt h0 − xt h0 ; σ b0 = x   Fa  h0 − t  3  n( k1σ b + k 2σ bt ) sở giả thiết tiết diện phằng: σ at ta phương trình để xác định xt: a = 3k1nµ b = 0.5ξ − 1.5ξ − 4k nµ  aξ t + bξ t + cξ t + d = với  c = 3nµ [ k 2ξ ( ξ − 1) + 1] d = −k µ nξ ( ξ − 3) 11 Tính hệ BTCT siêu tĩnh theo phương pháp lực a) Khái niệm chung: - Việc xác định bậc siêu tĩnh, chọn hệ ý nghĩa hệ phương trình tắc hoàn toàn giống tính toán đàn hồi - Từ biến làm thay đổi theo thời gian ẩn số (tức “lực thừa”) - Tuy nhiên phân tích hệ gồm phần tử đồng chất, chịu tải trọng không đổi từ biến làm tăng biến dạng theo thời gian mà không làm thay đổi trạng thái nội lực Hệ phải gồm có tính chất biến dạng - Hệ bêtông cốt thép đồng chất tất có môđun đàn hồi, có độ từ biến hay đặc trưng từ biến, có hàm lượng cốt thép Khi hệ số phương trình tắc tăng lên số lần giống - Kết cấu BTCT nói chung có hàm lượng cốt thép khác nhau, làm cho hệ trở thành không đồng chất - Tiết diện khác gia tăng tính không đồng chất có ảnh hưởng nhân tố tỷ lệ - Tuy nhiên với hàm lượng cốt thép tiết diện thông thường ảnh hưởng tính không đồng chất nhỏ tác dụng tải trọng không đổi nội lực không đổi theo thời gian  Bt   Bt      m = : - Để đánh giá tính không đồng chất hệ, dùng tỷ số:  B     max  B  đó: B B t độ cứng thời điểm đầu thời điểm t Bt - Đối với cấu kiện hệ đạt giá trị max, cấu kiện khác đạt giá trị B - Hàng loạt tính toán khung dầm liên tục chứng tỏ m = yếu tố lực hệ thay đổi khoảng 20 % lớn so với thời điểm đầu - Người ta kiến nghị xét đến thay đổi yếu tố lực theo thời gian tác dụng tải trọng không đổi m > 1.5 - Thực tỷ số xảy có khác nhiều đặc trưng từ biến Thí dụ cấu kiện có tuổi khác kết cấu làm vật liệu khác - Việc xét thay đổi yếu tố lực luôn cần thiết tính toán kết cấu chịu thay đổi biến dạng (nhiệt, co ngót) hay ngoại lực thay đổi theo thời gian (như lực ép trước BTCT ƯLT) - Chuyển vị gối tựa gây nên xuất nội lực thời gian đầu nội lực thay đổi đáng kể theo thời gian Trong hệ đồng chất, độ cứng cấu kiện thay đổi theo thời gian giống nên hệ số ẩn số lực thừa (trong phương trình tắc) thay đổi giống Còn số hạng tự không đổi (khi chuyển vị gối tựa không đổi) thay đổi với thay đổi chuyển vị cưỡng Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(34)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Tuy nhiên hoàn cảnh người ta thấy hệ đồng chất gần đồng chất, có chuyển vị gối tựa không đổi theo thời gian yếu tố lực cấu kiện thay đổi giống theo thời gian với hệ số chung dược gọi hệ số tắt dần b) Phương trình tắc sở lý thuyết già cải tiến: - Phương trình tổng quát không phụ thuộc vào lý thuyết từ biến có dạng: t t t t τ τ τ          X δ t + dX δ tτ dτ  +  X δ t + dX δ tτ dτ  + +  X δ t + dX m δ tτ dτ  +  P∆t + dP ∆tτ dτ  = i1 i1 i2 i2 m im im iP iP         dτ dτ dτ dτ 0 0         đó: X , X , , X m - giá trị ban đầu ẩn số xác định thời điểm t = 0; t δ it1 , δ it2 , , δ im - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t X = 1, X = 1, , X m = đặt ∫ ∫ ∫ ∫ thời đểm đầu gây ra; tτ δ it1τ , δ it2τ , , δ im - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t X = 1, X = 1, , X m = đặt thời đểm τ gây ra; P- ngoại lực thời điểm đầu; ∆tiP - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t P = đặt thời đểm đầu gây ra; τ ∆tiP - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t P = đặt thời đểm τ gây ra; X k δ ikt - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t ẩn số k thời đểm đầu gây ra; t ∫ dX kτ tτ δ ik dτ - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t gia số biến số k khoảng dτ thời gian từ đến t gây ra; P∆tiP - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t tải trọng đặt thời đểm đầu gây ra; t dP ∫ dτ ∆ tτ iP dτ - chuyển vị thời điểm t gia số tải trọng khoảng thời gian từ đến t gây - Nghiên cứu họ đường cong δ iktτ người ta thấy tính chất chúng giống tính chất họ đường cong ϕ tε Lý thuyết già thừa nhận tính chất song song họ đường cong δ iktτ t ∫ t [ )] dX kτ tτ dX kτ t δ ik dτ = δ ik − δ ikτ + δ ikτ ,τ − α δ ikτ − δ ikτ ,τ dτ dτ dτ ∫ Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD ( -(35)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP τ ,τ - Ở thời điểm τ chuyển vị đàn hồi δ ik tỷ lệ nghịch với môđun đàn hồi Eτ E δ ikτ ,τ = δ ik = δ ik (1 − k 0ϕτ ) Eτ - Do đó: t ∫ t ∫ t - Với ý rằng: ∫ t ∫ t t τ dX kτ tτ dX kτ t dX kτ (1 − α )δ ikτ dτ + dX k δ ik (1 − α )(1 − k 0ϕτ ) dτ δ ik dτ = δ ik dτ − dτ dτ dτ dτ 0 ∫ ∫ dX kτ dτ = X kt − X k ta nhận được: dτ ( ) )[ t ] t dX kτ tτ dX kτ dX kτ τ δ ik dτ = X kt − X k δ ikt + δ ik (1 − α ) − (1 − α ) k δ ik ϕτ dτ − (1 − α ) δ ik dτ dτ d τ d τ 0 ( t - Cần phải tính tích phân: ∫ dX kτ δ ϕτ dτ dτ ik X kτ X kτ ↔ ϕτ ↔ phải giả thiết quan hệ toán chứng tỏ dùng quan hệ parabol:  y = X k − X kτ  t 4f f = Xk − Xk y = x( l − x ) với  t l l = δ ik − δ ik x = δ τ − δ ik ik  ( ( ) ∫ t ∫ τ δ ik dX kτ τ δ ik dτ dτ Nhiều tính ) - Thay giá trị tương ứng đường cong parabol ta có: X k − X kt X k − X kτ = δ ikτ − δ ik 2δ ikt − δ ikτ − δ ik t δ ik − δ ik ( ( ) ( X k  δ ikt − δ ik  τ rút X k = )( ) − (δ τ ik ) )( ) (δ ( ) [( )( − δ ik 2δ ikt − δ ikτ − δ ik  + X kt δ ikτ − δ ik 2δ ikt − δ ikτ − δ ik  t ik − δ ik dX kτ δ ikt − δ ikτ dδ ikτ t = X − X - Đạo hàm: k k dτ dτ δ ikt − δ ik ( ∫ ) τ - Cũng dùng quan hệ parabol cho X kτ ↔ ϕτ ta có: X k = ) )] [ ] X k ϕ t2 − ϕτ ( 2ϕ t − ϕτ ) + X kt [ϕτ ( 2ϕ t − ϕτ ) ] ϕ t2 dX kτ ϕ − ϕ dϕτ = X kt − X k t τ - Đạo hàm: dτ dτ ϕt - Thay kết vào tích phân ta được: ( t ∫ ) dX kτ tτ ( + α )δ ikt + (1 − α )(1 − k 0ϕt )δ ik δ ik dτ = X kt − X k dτ ( ) Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(36)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Phương trình thứ i hệ phương trình tắc có dạng sau: m ∑ X kt ( + α )δ ikt + (1 − α )(1 − k 0ϕ t )δ ik (1 − α )(1 − k 0ϕ t ) + k =1 m ∑X k δ ik (1 − α ) + k =1 m ∑ t X k δ ikt + P∆kiP + k =1 dP ∫ dτ ∆ tτ iP dτ m - Nhưng ta có quan hệ đàn hồi: X k δ ik = − P∆ iP ∑ k =1 m - Vậy viết gọn lại phương trình thứ i: X kt δikt + ∆tiP = ∑ k =1 - Khi tất phần tử có chung ϕ t α : δikt ∆tiP = = ( + α )δ ikt + (1 − α )(1 − k 0ϕ t )δ ik P∆tiP + (1 − α )(1 − k 0ϕ t ) dP t ,τ (1 − α ) + ∆ iP dτ + dτ t P∆ iP ∫ m ∑X t k δ ik k =1 - Khi tải trọng không đổi, đặt thời điểm đầu phương trình tắc có dạng: t t t τ τ τ        X δ t + dX δ tτ dτ  +  X δ t + dX δ tτ dτ  + +  X δ t + dX m δ tτ dτ  + ∆t = i1 i2 im iP  i1   i2   m im  dτ dτ dτ 0       ∆tiP - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm t P (không đổi) đặt thời đểm đầu gây (so sánh với định nghĩa lúc đầu); - Sử dụng kết tính toán ta được: m (1 − α )(1 − k 0ϕ t ) m (1 − α ) m X δ t + ∆t = ∑ X kt δikt − ∑ X k δ ik + ∑ k ik iP ∫ ∫ k =1 ∫ k =1 k =1 - Đối với kết cấu mà tất có α , ϕ t giống nhau, ta viết gọn: m X kt δikt + ∆tiP = ∑ k =1 với: ∆tiP = ∆tiP + (giống trên) (1 − α )(1 − k 0ϕ t ) ∆ iP (1 − α ) + (so sánh với công thức trên, công thức tính cho m ∑X k =1 ∆ iP , ∆tiP t k δ ik lực P gây (chứ lực đơn vị), P không đổi) - Nếu cần tính X kτ - ẩn số thời điểm τ sử dụng quan hệ xác lập (xem trang trước) ta có: ϕτ X kτ = X k [1 − η ( − η ) ] + X kt η ( − η ) , với η = ϕt c) Trình tự tính toán: Sau xác định số ẩn số, chọn hệ đến bước sau: t t t = BdM  Tính độ cứng tiết diện: BuM , BdN , BuM , B0 ( BuN = BdM BuN đa số trường hợp Ni M k M i Nk dx dx ) không cần tính tính chuyển vị bỏ qua tích phân t t BuN BdM ∫ ∫  Sau tính độ cứng, phải tính δ ik , δ ikt , ∆ ik , ∆tik Các hệ thường có hàm lượng thép khác nên độ cứng khác cho cho đoạn Đối với lấy độ cứng trung bình, coi không đổi suốt chiều dài để tính: B a + B2 a + + Bn a n BTB = 1 l a1 , a , a n - chiều dài đoạn có độ cứng không đổi B1 , B2 , Bn ; với: l- chiều dài thanh; Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(37)- =0 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP t - Khi tính δ ik , δ ikt đa số trường hợp lấy số hạng biểu thức δ ik = ∫ MiMk t BuM dx (xem công thức phần 8a) - Khi tính ∆ ik , ∆tik đa số trường hợp lấy số hạng, trừ trường hợp tính chuyển vị lực ép trước cốt thép ƯLT  Tính X , X , X m thời điểm t = theo hệ phương trình: X 1δ i1 + X 2δ i + + X mδ im + ∆ iP =  Tính δikt , ∆tiP : t t t  Tính X , X , X m theo hệ phương trình: X 1t δ i1 + X 2t δ i + + X mt δ im + ∆tip =  Vẽ biểu đồ M, N, Q (t = 0) M t, N t, Q t thời điểm t d) Tính toán theo chuyển vị gối tựa co ngót: - Giả sử số liên kết chịu chuyển vị cưỡng ∆i thời điểm t = 0, chuyển vị không đổi theo thời gian hệ phương trình tắc có dạng: t t t τ τ τ        X δ t + dX δ tτ dτ  +  X δ t + dX δ tτ dτ  + +  X δ t + dX m δ tτ dτ  + ∆ = i1 i2 im i  i1   i2   m im  dτ dτ dτ 0       - Dựa lý thuyết già cải tiến mối quan hệ parabol ẩn số chuyển vị đơn vị, ẩn số ϕτ ta được: m (1 − α )(1 − k 0ϕt ) (1 − α ) m X δ t + ∆ = t t X δ + ∆ + i ∑ k ik ∑ k ik i ∫ ∫ k =1 ∫ k =1 (1 − α )  (1 − α )(1 − k 0ϕ t )  ∆i + - Ký hiệu: ∆ i = 1 +  3   m X k δ ikt , phương trình có dạng: ∑ k =1 m X kt δikt + ∆ i = ∑ k =1 - Khi tính ứng suất co ngót, giá trị ban đầu ẩn số Trường hợp phương trình có dạng: t ∫ t t dX mτ tτ dX 1τ tτ dX 2τ tτ δ i1 dτ + δ i dτ + + δ im dτ + ∆ti.co = dτ dτ dτ 0 ∆ti.co = ∫ M i dx ∫B t u co + ∫ N i dx ∫B t d co - chuyển vị tương đối theo phương i co ngót hệ bản; e) Phương pháp dựa sở lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến: - Cách tính xác, làm tiêu chuẩn để so sánh cách tính khác - Phương trình tắc thời điểm τn (thời điểm t = thời điểm đặt tải): τn τn τn τ τ τ        X δ τ n + dX δ τ nτ dτ  +  X δ τ n + dX δ τ nτ dτ  + +  X δ τ n + dX m δ τ nτ dτ  + ∆τ n = im iP i1 i2  i1   i2   m im  dτ dτ dτ 0       đó: t δ it1 , δ it2 , , δ im - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm τn X = 1, X = 1, , X m = đặt thời đểm đầu gây ra; tτ δ it1τ , δ it2τ , , δ im - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm τn X = 1, X = 1, , X m = ∫ ∫ ∫ đặt thời đểm τ gây ra; ∆tiP - chuyển vị theo phương ẩn số i thời điểm τn P gây ra; - Dùng cách chia nhỏ tích phân: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(38)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP τ1 τ1 τ1 τ τ τ        X δ τ n + dX δ τ nτ dτ  +  X δ τ n + dX δ τ nτ dτ  + +  X δ τ n + dX m δ τ nτ dτ  + + im i1 i2  i1   i2   m im  dτ dτ dτ 0       ∫ ∫ ∫ τn τn τn   dX mτ τ nτ  τ n dX 1τ τ nτ   dX 2τ τ nτ  τn τn τn   + X 1δ i1 + δ i1 dτ  +  X 2δ i + δ i dτ  + +  X mδ im + δ im dτ  + ∆ iP =  dτ dτ dτ τ τ τ n −1 n −1 n −1       ∫ ∫ ∫ - Trong khoảng thời gian nhỏ ∆τ = τ z − τ z −1 coi X kτ δ ikτ nτ biến đổi tuyến tính Như khoảng thời gian X kτ z − X kτ z −1 dX kτ dX kτ ∆τ giá trị = không đổi: dτ τ z − τ z −1 dτ - Do đó: τz ∫ τ z −1 τn, X τ z − X kτ z −1 dX mτ τ nτ (τ z − τ z −1 )δ ik δ im dτ = k dτ τ z − τ z −1 ( ) τn, = X kτ z − X kτ z −1 δ ik τ z −1 +τ z τ z −1 +τ z - Thay vào phương trình rút gọn lại ta được: τ +τ τ τ +τ m m m  τ  τ n ,τ1 τ n , n −1 n τn ,  τn, τn τ1  n 2   X k δ ik + X k δ ik − δ ik + X k δ ik − δ ik    k =1 k =1   k =1  τ + τ τ + τ m  τ n , n − n −1 τ n , n−2 n  2  + ∆τ n = + X kτ n −1  δ ik − δ ik iP   k =1   - Viết ngắn lại: τn X 1τ n δ iτ1n + X 2τ n δ iτ2n + + X mτ n δ im + ∆τipn = ∑ ∑ ∑ X kτ z τ +τ  τ n ,τ z +τ z −1 τ n , z z +1 δ − δ ik  ik    +   ∑ đó: τ n +τ n −1 τn, δ ikτ n = δ ik ∆τipn ∆τipn = + m n −1 ∑∑ k =1 z =0     τ - Ta thấy số hạng tự phương trình tắc ∆ipn thời điểm τn phụ thuộc vào tất các ẩn số thời điểm trước (mà ta chia nhỏ) Điều bắt buộc ta phải lập giải hệ phương trình tắc tất thời điểm τ = 0,τ = τ ,τ = τ , ,τ = τ n Để làm điều cần phải có họ đường τ ,τ τ ,τ τ ,τ cong δ ikn để xây dựng họ đường cong δ ikn lại phải có họ đường cong độ cứng BuMn , có nghĩa phải có họ đường cong ϕτ n ,τ (đã nói mục 9) f) Phương pháp lực sở lý thuyết già cải tiến phân nhỏ tích phân: - Phương trình tắc thời điểm t tải trọng không đổi: t t t τ τ τ        X δ t + dX δ tτ dτ  +  X δ t + dX δ tτ dτ  + +  X δ t + dX m δ tτ dτ  + ∆t = i1 i1 i2 i2 m im im iP       dτ dτ dτ 0       - Trên sở lý thuyết già cải tiến ta có (xem mục b): ∫ Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD ∫ ∫ -(39)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP t ∫ )[ t ] t dX kτ tτ dX kτ dX kτ τ t t δ ik dτ = X k − X k δ ik + δ ik (1 − α ) − (1 − α ) k δ ϕτ dτ − (1 − α ) δ ik dτ dτ dτ ik dτ 0 ( ∫ ∫ - Ở giả thiết mối quan hệ parabol X kτ ↔ ϕτ X kτ ↔ δ ikτ Bây ta sử dụng phương pháp chia nhỏ tích phân mà không giả thiết trước Khi đó: t ∫ )[ ] dX kτ tτ δ ik dτ = X kt − X k δ ikt − δ ik (1 − α ) − (1 − α ) k 0δ ik dτ ( X kτ - Trong khoảng thời gian nhỏ ∆τ = τ z − τ z −1 coi t ∫ )[ −( − α ) ∑( n −1 X kτ z +1 ] X kτ z − z =0 ) ∑∫ z =0 τ z δ iktτ , ϕτ dX kτ tτ δ ik dτ = X kt − X k δ ikt − δ ik (1 − α ) − (1 − α ) k 0δ ik dτ ( n −1 τ z −1 τ z −1 ∑∫ τz dX kτ tτ δ ik dτ dτ biến đổi tuyến tính Từ ta có: ∑(X n −1 n −1 dX kτ ϕτ dτ − ( − α ) dτ z =0 τ z +1 k − X kτ z z =0 )ϕ + ϕτ z τ z +1 δ iktτ z +1 + δ iktτ z τ τ tτ tτ X k = X k ; X k n = X kt ; δ ik = δ ik ; δ ik n = δ ikt ; ϕτ = 0; - Sắp xếp lại: t n −1 X kτ z +1 − X kτ z dX kτ tτ δ ik dτ = X kt − X k δ ikt − δ ik (1 − α ) − (1 − α ) k 0δ ik ϕτ z +1 + ϕτ z + δ iktτ z +1 + δ iktτ z dτ z =0 )[ ( ∫ ] ∑ ( )[ ( ) ] - Từ ta có phương trình tắc dạng rút gọn: τn X 1τ n δ iτ1n + X 2τ n δ iτ2n + + X mτ n δ im + ∆τipn = đó: δ ikτ n (1 + α )δ ikτ n = { [ )] ( − (1 − α ) δ ik + k ϕτ n −1 + ϕτ n + δ ikτ n −1 ∆τipn = ∆τipn − (1 − α ) ∆ ip − m ∑ X k δ ikt − k =1 + ∑ X τ [k δ (ϕτ m k n −1 ik k =1 n 1−α { ∑∑ ( X τ m n −1 k z k =1 z =1 ) + ϕτ n −1 + δ ikτ n −1 + δ ikτ n } )[ ( ) − X kτ z −1 k 0δ ik ϕτ z + ϕτ z −1 + δ ikτ z −1 + δ ikτ z ] ]} - Phải giải phương trình tắc (rút gọn) τ τ τ - Khi τ n = τ (thời điểm đầu) ta có: X k = X k ; δ ik n = δ ik ; ∆ ikn = ∆ ik , từ xác định X k - Khi τ n = τ : δ ikτ n (1 + α )δ ikτ − (1 − α ) {δ ik [3 + k 0ϕτ = ]} ∆τip1 = ∆τip1 − (1 − α ) ∆ ip − m ∑ X k δ ikτ1 − k =1 ( ) 1−α { = ∆τip1 − (1 − α ) ∆ ip − k 0ϕτ1 − 3−α ∑ X (k δ m k k =1 m ∑X ik ϕτ + δ ik + δ ikτ1 ) τ1 k δ ik k =1 m (ở sử dụng quan hệ đàn hồi: X k δ ik = − ∆ iP ) ∑ k =1 từ xác định X kτ1 , sau cho τ n = τ để xác định X kτ Tiếp tục trình xác định τ X k n Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(40)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP τ τ τ τ τ τ - Khi xác định δ ik1 , δ ik2 , , δ ikn ∆ iP1 , ∆ iP2 , , ∆ iPn dùng công thức quan hệ ứng suất τz biến dạng (để xác định BuM ) dựa sở quan hệ tuyến tính quan hệ parabol suốt trình tính từ đến τ n g) Phương pháp đơn giản để tính hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng bức: - Trong hệ đồng chất, thành phần lực chuyển vị gây thay đổi giống - Hệ BTCT với hàm lượng thép khác hệ không đồng chất Nhưng hàm lượng thép dao động khoảng 0.2 đến 2% coi tương tự đồng chất hay “tựa” đồng chất Và xem thay đổi nội lực chuyển dịch gối tựa (chuyển vị cưỡng bức) cấu kiện giống - Gọi X k - ẩn số thời điểm đầu; X kt - ẩn số thời điểm cuối; X k giảm dần đạt giá trị X kt , coi X k tắt dần đến giá trị X kt - Đặt X kt Xk = H t - hệ số tắt dần Ta tính hệ số - Giá trị ban đầu ẩn số X k X kt thời điểm tắt thay đổi biểu diễn: δ 11 δ 21  δ X k = m1 δ 11 δ 21  δ m1 δikt đó: δ 12 δ 22  δ m2 δ 12 δ 22  δ m2 = δikt = − ∆1 − ∆  − ∆ m δ 1m δ m  δ mm δ 1k δ k  δ mk δ 1m δ m  δ mm ( + α )δ ikt + (1 − α )(1 − k 0ϕ t )δ ik δ 11t δ 12t δ 1tk δ 21t δ 22t δ kt2    t t t δ m1 δ m δ mk δ 1tm δ 2tm  t δ mm B0 δik uM t BuM t BuM = Eb BuM = Eb J bq ; ; k1 = (1 − α + k ) - Tỷ số X kt = δ 11t δ 12t − ∆1t δ 1tm δ 21t δ 22t − ∆ 2t δ 2tm     t δ mt δ mt − ∆ mt δ mm ϕt ; k2 = + ( + α − k0 ) h0 − a' ( k1 (η − η ') + k η t − η t' ) ϕt (giá trị k1và k2 xem phần 6b) BuM tính trung bình cho tất hệ Nói chung hệ “tựa” đồng chất, tỷ số t BuM khác không nhiều BuM ( + α ) t + (1 − α )(1 − k 0ϕ t ) - Khi đó: t BuM δik = δ ik = Cδ ik m  (1 − α )(1 − k 0ϕ t )  − α BuM X k δ ik - Tương tự: ∆ it = ∆ i 1 +  + Bt   uM k =1 ∑ m - Với ý: X k δ ik = −∆ i , ta có: ∑ k =1  (1 − α )  B0 1 − k 0ϕ t − uM ∆ it = ∆ i 1 + t  BuM  Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD   = C1∆ i   -(41)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Viết lại: (2 +α ) C= BuM t BuM + (1 − α )(1 − k 0ϕ t ) (1 − α ) 1 − k ϕ  BuM  t t   BuM  t t - Thay giá trị δik ∆ it vào X k ta có: C1 = + δ 11 δ 21  m −1 C C1 δ m1 X kt = × δ 11 Cm δ 21  δ m1 δ 12 δ 22  δ m2 δ 12 δ 22  δ m2 − − ∆1 − ∆  − ∆ m δ 1m δ m  δ mm δ 1k δ k  δ mk δ 1m δ m  δ mm = Ht X k ⇒ Ht = C1 C h) Phương pháp chuyển vị để tính hệ thanh: - Phương trình tắc phương pháp chuyển vị tính theo học kết cấu: Z1r11 + Z r12 + + Z m r1m + R1P = Z r + Z r + + Z r + R =  21 22 m 2m 2P   Z1rm1 + Z m rm + + Z m rmm + R1P = với rik - giá trị phản lực liên kết thứ i ẩn số k có giá trị gây - Phương trình = có ý nghĩa tổng phản lực liên kết đưa vào hệ phải - Khi có xét đến tự biến, biểu thức tính biến dạng (góc xoay chuyển vị thẳng) phải kể đến thành phần biến dạng theo thời gian - Phương trình tắc thứ i: t Z1t ri1t + Z 2t rit2 + + Z mt rimt + RiP =0 - Để tính hệ số số hạng tự phải giải toán bản: - Việc ta giải theo phương pháp lực 13 Xác định đặc trưng tính toán - Tốt dùng thí nghiệm nén mẫu để vẽ đường cong từ biến, dùng để chỉnh lý hệ số Việc khó khăn, tốn kém, đầu tư lớn - Dùng quy trình để tính, có quy trình tính theo lý thuyết già (quy trình tính toán cầu Liên Xô)  Biến dạng từ biến tiêu chuẩn C t c : - Là giá trị giới hạn biến dạng tỷ đối ứng suất kG / cm đặt vào lăng trụ 10 × 10cm tuổi 28 ngày đêm, độ ẩm 70% Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(42)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP kt N R k t = 96 × 10 −6 m kg ; N- lượng nước cho 1m3 bêtông; R- Mác thiết kế bêtông; C t c = với:  Biến dạng co ngót tỷ đối tiêu chuẩn ε co.c : - Là giá trị co ngót cuối ( t = ∞ ) tính từ kết thúc dưỡng hộ mẫu 10 × 10cm độ ẩm 71% 32 ε co.c = k co N N , với: k co = 0.125 × 10 −6 m kg ( ) - Khi số liệu thành phần bêtông vào mác độ sụt để xác định C t c ε co.c bảng sau: Độ sụt (cm) 1-2 5-8 9-10 150 16.2 18.2 19.2 C t c × 10 mác thiết kế nén 200 300 400 12.4 8.9 7.2 14.0 10.1 8.1 14.8 10.7 8.5 500 6.0 6.8 7.2 ε co.c × 10 với mác BT 150-200 300-800 290 330 350 400 380 430  Các đặc trưng tính toán C t , ε co : - Phải kể đến số yếu tố: C t = Ct cξ1ξ 2ξ 3ξ ε co = ε co.c ξ 3ξ đó: ξ1 phụ thuộc tỷ số cường độ khối vuông đặt tải mác thiêt kế( R R ) ξ phụ thuộc vào tuổi đặt tải; ξ phản ánh ảnh hưởng nhân tố tỷ lệ phụ thuộc vào kích thước quy đổi tiết diện: tỷ số diện tích tiết diện ngang chu vi tiết diện (chu vi không kể mặt có lớp cách nước phủ sau đổ bêtông) ξ phụ thuộc độ ẩm môi trường; - Đối với kết cấu khối lớn mà kích thước quy đổi lớn 2.5cm cấu kiện có phủ lớp cách nước phía lấy ξ = tính từ biến ξ = 0.5 tính co ngót R R 0.6 0.7 0.8 0.9 lớn ξ1 1.5 1.4 1.25 1.15 Tuổi tính ngày đêm ≤ 28 45 60 70 180 ≥ 360 ξ2 0.9 0.85 0.75 0.95 0.6 Kích thước quy đổi (cm) 2.5 10 15 20 25 ξ - từ biến 0.8 0.75 0.7 0.65 0.65 ξ - co ngót 0.9 0.75 0.55 0.4 0.4 Độ ẩm môi trường (%) 40 50 60 70 80 ≥ 90 ξ - từ biến 1.4 1.3 1.15 0.85 0.55 ξ - co ngót 1.4 1.3 1.15 0.75 - Những giá trị trung gian độ từ biến biến dạng co ngót (ở thời điểm C ∆τ ε ∆τ ε co.τ = co bất kỳ) tính theo công thức: Cτ = t ; a + ∆τ + ∆τ với ∆τ - thời gian (ngày đêm) tính từ thời điểm đặt tải (khi tính từ biến) tính từ chế tạo kết cấu (khi tính co ngót) Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(43)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Nếu co ngót ảnh hưởng đến trạng thái ứng suất biến dạng từ đầu mà sau chế tạo thời gian ∆τ ε co tính sau:  ∆τ ∆τ   ε co = ε co  −  a + ∆τ a + ∆τ  với a- số tốc độ phát triển theo thời gian từ biến co ngót, lấy theo thí nghiệm sau: Kích thước quy đổi tiến diện (cm) 2.5 10 15 20 a (ngày đêm) 55 80 175 190 240 - Từ C t suy ϕt công thức: ϕ t = ECt = ÷ ≥ 25 300  Xác định hệ số α k0: - Hệ số α xét đến phần biến dạng không khôi phục Nó chưa nghiên cứu tỉ mỉ người ta chưa đưa vào quy trình tính hệ số α Theo kết so sánh lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến ξ 2,τ =∞ biểu thức độ từ biến Alexandrovski xác định α theo: α = ξ 2,τ - Khi đặt tải tuổi già, α = biến dạng từ biến coi khôi phục hoàn toan - Kết tính toán phù hợp với thực tế lấy α = 0.5 E0 Eτ − E - Lý thuyết già cải tiến lấy Eτ = , từ đó: k = − k ϕτ Eτ ϕτ - Theo Scramtaev: Eτ = 10 360 1.7 + Rτ  1000 − τ 28  lg  - Theo Khromes: Rτ = R28   5(100 + R ) τ  - Tính Rτ Eτ cho số giá trị τ sau tính số giá trị k Cuối dùng k giá trị trung bình giá trị tính Thường thường phân tán k không lớn,nó có giá trị khoảng 0,08 ≈ 0,1 Tài liệu tham khảo 1- Raymond Ian Gilbert and Gianluca Ranzi , Time-dependent behaviour of concrete structures , Spon Press , London-New York , 2011 2- Алфрей T , Механика свойства высокополимеров Изд Литература , Москва , 1952 3- Арутюнян Н Х Некоторые вопросы теории ползучести , Гостехиздат , Москва , 1952 4- Бранков Г , Основни проблеми на теория на вискозно-еластичността Изд БАН , София , 1972 5- Нго Тхе Фонг , Дисертация за присьждане на научна степен “ Кандидат на техническите науки , София , 1978 6- Лившиц М , Расчёт железобетонных конструкций с учётом влияния усадка и ползучести бетона , Изд Висша школа , Киев , 1976 7- Огибаов П М , Ломакин В А , Кишкин Б П Механика полимеров , Изд Московского университета , Москва , 1975 8- Ржаницын В , Теория ползучести , Стройиздат , Москва , 1968 9- Прокопович И Е , Улицкий И И , O теориях ползучести бетона, Изв.Вузoв, Сер Стр-во и архит No10 , 1973 10- Улицкий И И и др , Расчёт железобетонных конструкций с учётом длительных процесов , Госстройиздат УССР , Киев , 1960 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(44)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(45)- [...]... , τ ) + δ 1 ( t , τ ) ] dτ  τ1 E( t ) ∂τ   3 Các phương án biểu diễn từ biến: Tồn tại 3 phương án chính: - Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến (lý thuyết di truyền già) - Lý thuyết di truyền đàn hồi Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(15)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Lý thuyết già a) Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến: - Theo Aruchiunhian.: A   C ( t ,τ ) = θ... -(13)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Phần 2: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG 1 Những đặc điểm biến dạng của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng dài hạn: - Biến dạng toàn phần khi tải trọng không đổi theo thời gian: ε * ( t ) = ε dh (τ ) + ε tb ( t , τ ) τ- thời điểm đặt tải ε dh (τ ) - biến dạng đàn hồi trong đó: tức thời - Tồn tại một cường độ dài dạn của b tông: R... đó của nhiệt độ, đặc trưng cho sự thay đổi của các thông số biến dạng (thí dụ, sự thay đổi của các thông số đàn hồi và nhớt trong các mô hình đàn hồi - nhớt) - Như vậy trong khi giải bài toán nhiệt đàn hồi nhớt ta giải như bài toán nhiệt đàn hồi nhưng thay thời gian t bằng thời gian quy đổi t’ Nguyên lý này đã được dùng trong thí nghiệm để rút ngắn thời gian đo các đặc trưng từ biến, nhưng nhiều học. .. định các giá trị của ϕ t ,τ cần thiết lấy từ đường cong nằm giữa đường cong thứ nhất lấy từ đường cong nằm giữa đường cong thứ 2 và đường cong thứ 3 - Độ cong của cấu kiện chịu uốn xác định trên cơ sở lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến có dạng: ' 1 ε aτ n − ε aτ n = ρ h0 − a ' Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(31)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP n −1 - Biểu diễn qua từ. .. thể chuyển đổi các công thức của lý thuyết đàn hồi theo ω và K như sau:  =  E 29 K 1 − ν = 1 1 1 + 2ω  E 3K ω 2 + ω ω < 1 Vì nên người ta khai triển các biểu thức của lời giải tương tự đàn hồi theo w thành các biểu thức đại số dễ dàng tìm thấy gốc của các ảnh Đó là phương pháp gần đúng 8 Lý thuyết nhiệt đàn hồi nhớt tuyến tính: - Vật liệu đàn hồi nhớt có tính chất cơ lý phụ thuộc vào nhiệt độ -... chất đẳng hướng, biến dạng nhỏ ⇒ có thể áp dụng nguyên lí cộng tác dụng • Xét biến dạng toàn phần do σ = 1 tác dụng: 1 δ ( t,τ ) = + C ( t,τ ) E (τ ) 1 trong đó: - biến dạng đàn hồi tức thời; E (τ ) C ( t , τ ) - độ từ biến 1 - Việc phân biệt và C ( t , τ ) trong thí nghiệm không phải E (τ ) là dễ Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(14)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP 1... NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP d) Ứng suất gây nên bởi lực ép trước trong BTCT ƯLT: - Tác dụng của lực ép trước được quy về N0 và M0 = N O e0 trong đó: N0- hợp lực của lực căng trong tất cả cốt thép ƯLT; e0- khoảng cách từ điểm đặt lực đó đến trọng tâm tiết diện b tông - Chú ý đến dấu của mômen: dấu dương nếu trọn tâm của tiết diện b tông nằm thấp hơn điểm đặt của N0 (căng thớ dưới) - Các. ..  E ( t ) E ( 0)  ∫ ∫ - Nếu coi môđun đàn hồi không đổi thì: σ ( 0) t (1 + ϕ ( t ) ) + 1 dσ ( t ) [1 + ϕ ( t ) − ϕ (τ ) ] dτ ε (t) = E ( 0) E ( 0 ) 0 dτ ∫ Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(16)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Lý thuyết già này có sai số vì chấp nhận sự song song của đường cong độ từ biến Do đó sinh ra lý thuyết già cải tiến - Tính không song song... ĐHXD ( ) ] -(25)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP 7 Ứng suất -biến dạng của b tông và cốt thép theo lý thuyết già khi không nứt: dF a) Ứng suất gây nên bởi M: - Phương trình cân bằng : h − a '− z z σ z = σ bt' + σ bt 0 h0 − a' h0 − a ' ∑ X = 0 : ∫ σ dF + σ F + σ F = 0 ∑ M = 0 : ∫ σ z dF + σ F ( h − a') + M = 0 F Fa z at F với ' at z - Phương trình chập biến dạng: ' at a... dùng lý thuyết biến dạng từ biến tuyến tính ′ (τ 2 ) < ε dh (τ1 ) R- Rỡ tải: ε dh Biến dạng từ biến là biến dạng khôi phục nhưng lệch pha với tải trọng Tải trọng đã hết nhưng biến dạng vẫn tiếp diễn - Nguyên lý cộng tác dụng: Đối với biến dạng từ biến tuyến tính tồn tại nguyên lý cộng tác dụng: ε * ( t ) = ε * ( t ,τ 1 ) + ε * ( t ,τ 2 ) + ε * ( t ,τ 3 ) 2 Quan hệ ứng suất - biến dạng đối với lý thuyết