[r]
(1)BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ ỨNG DỤNG
I BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR
Nếu a, b, c, t số thực dương
( )( ) ( )( ) ( )( )
t t t
a a b− a c− +b b c b a− − +c c a− c b− ≥ (1) Chứng minh
Không tính tổng quát, giả sử a≥ ≥ >b c Khi
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
t t t t
t t
a b a a b a c b a b a c
a a b a c b b c b a
≥ ⇒ − − ≥ − −
⇒ − − + − − ≥
Mặt khác
( )( )
t
c c−a c b− ≥
Vậy a a bt( − )(a c− +) b b c b at( − )( − +) c c at( − )(c b− ≥) (1)
Đẳng thức (1) xảy a = b = c
II HỆ QUẢ
Nếu t = ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 a a b a c− − +b b c b a− − +c c−a c b− ≥
Bất đẳng thức (2) tương đương với bất đẳng sau:
( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
3 3 2 2 2
2
3
4
4
a b c abc a b ab b c bc c a ca b c a a c b a b c abc
a b c ab bc ca a b c abc
• + + + ≥ + + + + +
• + − + − + − ≤
• + + + + ≤ + + +
III ỨNG DỤNG
Ở phần chúng tơi xin trình bày sốứng dụng BĐT Schur dạng (2), (3), (4), (5) qua số thí dụ
Thí dụ Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn x + y + z =1
Chứng minh rằng:0
27
xy yz zx xyz
≤ + + − ≤
(2)Lời giải Ta có
( )( )
2 2 2
2
2
0 xy yz zx xyz
x y z xy yz zx xyz x y xy y z yz z x zx
• + + −
= + + + + −
= + + + + + ≥
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3 3 2 2 2
7
27
7
27
7 15 6
xy yz zx xyz
x y z xy yz zx xyz x y z
x y z xyz x y xy y z yz z x zx
• + + − ≤
⇔ + + + + − ≤ + +
⇔ + + + ≥ + + + + +
Theo BĐT (3) ta có
( 3 ) ( 2 2 2 )
6 a + + +b c 3abc ≥6 a b+ab +b c bc+ +c a+ca
Do (6) tương đương với
3 3
3
x +y + ≥z xyz (Ln có điều – theo BĐT Cauchy) Suy (6) Dấu (6) xảy
3
x= = =y x
Thí dụ Giả sử a, b, c ba số thực dương cho abc = Chứng minh ( )7
1 1 1
a- 1+ b- 1+ c- 1+ 1
b c a
≤
(Đề thi Toán Quốc tế 2000)
Lời giải Đặt x a y; 1;z ac b
= = = =
thì a x,b y,c z
y z x
= = =
BĐT (7) (x y z)(y z x)(z x y) 8( ) xyz
− + − + − +
⇔ ≤
(3)Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh
( 2 )( 2 )( 2 ) ( ) ( ) a + b + c + 2 ≥9 ab+ bc+ ca 9
(Đề thi Olympic Tốn Châu Á – Thái Bình Dương - 2004)
Lời giải BĐT (9) tương đương với
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a b c +2 a b +b c +c a +4 a + +b c + ≥8 ab+ +bc ca Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
a b c ab bc ca; i
a b b c c a ab bc ca ; ii
• + + ≥ + +
• + + + + + ≥ + +
2 2 2
1
a b c a b c
• + + ≥ 9abc ( ) ( )2
4 ab bc ca a b c
a b c
≥ ≥ + + − + +
+ + (Theo BĐT (5))
2 ( ) ( 2 2)
a b c 2 ab bc ca a b c
⇒ + ≥ + + − + + (iii) Từ (i), (ii), (iii) ta suy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
a b c 2 a b b c c a a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca
+ + + + + + + +
≥ + + + + + + + +
≥ + +
Vậy BĐT (9) Dấu xảy a = b = c
Thí dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : a +b + c +6 abc3 3 3 ≥9
(4)Lời giải Theo BĐT (3) ta có :
( )( )
3 3
a + + +b c 6abc≥ + +a b c ab+ +bc ca
Ta có
( )2 ( )
3 3
a b c ab bc ca a b c
a b c 6abc
+ + ≥ + + =
⇒ + + ≥
⇒ + + + ≥
Dấu xảy a = b = c =
Thí dụ Tìm số thực k lớn cho với số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1, ta ln có bất đẳng thức
( )( ) ( )
2 2 2
1 1 1
+ + + k k+1 a+b+ c 10
a b c ≥
(Đề thi chọn HSG Toán Quốc gia THPT năm 2006 – Bảng B)
Lời giải Giả sử số thực k thỏa mãn đề
Chọn a = b = , c (n 1)2 (n *)
n 1+ = + ∈
ℕ
Từ (10) suy
( )
2
4
1
n 2n
n n
k
2
n 2n
n
+ + + −
+ +
≤
+ + −
+
Vì ( )
2
4
n 2
1
n 2n
n n
lim
2
n 2n
n
→+∞
+ + + −
+ +
=
+ + −
(5)( ) ( )
2 2
1 1
3 a b c 11
a +b +c + ≥ + +
Đặt x 1, y 1, z
a b c
= = = x, y, z số dương xyz = BĐT (11) tương đương với
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
3 3 2 2 2
x y z xy yz zx
x y z x y z x y z xy yz zx
x y z x y z x y xy y z yz z x zx 12
+ + + ≥ + +
⇔ + + + + + ≥ + + + +
⇔ + + + + + ≥ + + + + + +
Mặt khác x+ + ≥y z 3 xyz3 =3.
Suy
( )
( )
( )
2 2
3
2
3 3 3
6
3
3
x
x y z x
y xy y z yz z x zx theo BDT
y z x y z xyz
+ + +
+ + + + + ≥ + +
≥ +
+ +
+ +
Vậy BĐT (12) ⇒BĐT (11) Dấu (11) xảy a = b = c =
Như giá trị lớn k
* Cuối số tập dành cho bạn đọc Bài Cho số thực dương a, b, c Chứng minh
( ) ( ) ( )
{ }
2 2
2 2
3
a bc b ca c ab
a) a b c
b c c a a b
a b c
b) abc max a b , b c , c a
3
+ + + + + ≥ + +
+ + +
+ + − ≤ − − −
(Đề chọn đội tuyển Mỹ thi Toán Quốc tế - 2000) ( ) ( ) (2 ) (2 )2
1 1
c) xy yz zx
4
x y y z z x
+ + + + ≥
+ + +
(Đề thi Olympic Toán Iran - 1996)
3 3 2 2 2
(6)Bài Cho ba số thực a, b, c thuộc khoảng 0;
π
Chứng minh ( )
( ) ( ( ) () ) ( ( ) () )
sin a sin(a b) sin a c sin b sin b c sin b a sin c sin c a sin c b
sin b c sin c a sin a b
− − − − − −
+ + ≥
+ + +