Tôi đã hệ thống lại được rất nhiều bài toán hình học và đại số có thể ứng dụng bất đẳng thức * để giải, mặc dù có những bài toán mà trong tài liệu tham khảo phải sử dụng các bất đẳng thứ[r]
(1)Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh A- Đặt vấn đề Trong gi¶ng d¹y m«n to¸n, ngoµi viÖc gióp häc sinh n¨m ch¾c kiÕn thức bản, thì việc phát huy tính tích cực học sinh để khai thác thêm các bài toán từ bài toán điển hình, đồng thời biết ứng dụng các bài toán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Chúng ta biết bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải nó có thể đưa chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản, việc giải bài toán phức tạp có thể đưa việc áp dụng, tiền đề là các bài toán đơn giản Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giải các bài toán khó là cách nâng cao dần khả suy luận, tư sâu cho học sinh Qua số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi các đồng nghiệp và với kinh nghiệm thân tôi luôn giúp học sinh khai th¸c, øng dông nhiÒu bµi to¸n, nhÊt lµ c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh bất đẳng thức, trên sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “ứng dụng, khai thác bất đẳng thức “ Dù đã có nhiều cố gắng, song sáng kiÕn kinh nghiÖm nµy cha ph¶i lµ hoµn chØnh, cßn cã thiÕu sãt T«i rÊt mong Hội đồng khoa học và các đồng nghiệp bổ sung thêm ý kiến đóng góp cho tôi, để quá trình giảng dạy sau này, tôi giúp häc sinh cña m×nh nhiÒu h¬n n÷a lÜnh vùc t×m tßi vµ chiÕm lÜnh c¸c tri thøc, kh¸m ph¸ m«n to¸n häc Lop10.com (2) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh B- Néi dung I- C¬ së lý thuyÕt Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai sè a vµ b Ta nãi : a lín h¬n b, ký hiÖu a > b, nÕu a - b > a nhá h¬n b, ký hiÖu a < b, nÕu a - b < Một số tính chất bất đẳng thức +a>b b<a +a>b,b>c a>c + a b ac bd c d + a b a.c b.c c 0 + a b a.c b.c c 0 + a b 0 a.c b.d c d 0 Một số bất đẳng thức + a ; a xảy đẳng thức a = + a Xảy đẳng thức a = Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4.1 Dùng định nghĩa §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh r»ng A - B > 4.2 Dùng các phép biến đổi tương đương Để chứng minh A > B ta biến đổi tương đương A B A1 B1 A2 B2 An Bn Trong đó bất đẳng thức An > Bn luôn đúng, quá trình biến đổi là tương đương nên ta suy A > B là đúng 4.3 Dùng bất đẳng thức phụ Để chứng minh A > B, ta xuất phát từ bất đẳng thức bất đẳng thức đơn giản (gọi là bđt phụ) và biến đổi tương đương suy A > B II- C¸c nhËn xÐt vµ c¸c bµi to¸n minh ho¹ cho viÖc øng dụng, khai thác bất đẳng thức lớp Nhận xét :Trong chương trình toán T.H.C.S có bất đẳng thức quen thuộc mà Lop10.com (3) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh việc ứng dụng nó giải các bài tập đại số và hình học có hiệu Ta thường gọi đó là “bất đẳng thức kép” Đó là bất đẳng thức sau : ( a b) 2ab (*) Víi mäi a, b ta lu«n cã : a b 2 2(a b ) (a b) .(1) (a b) 4ab .(2) NhËn thÊy (*) 2 a b 2ab (3) Cả ba bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức (a b) và đó chúng xảy đẳng thức a = b ý nghĩa bất đẳng thức (*) là nêu nên quan hệ tổng hai số với tích hai số và với tổng các bình phương hai số đó Sau đây là số ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai thác bất đẳng thức (*) Bµi to¸n 1: Cho a + b = Chøng minh r»ng: a2 b2 4 ; a b 1 8 ; a b 128 * Giải : áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết a + b = ta có: ( ) ( a b) (a b ) 2 4 a b ; a b 2 2 ( )2 (a b ) a8 b8 §¼ng thøc x¶y a = b = 1/2 2 128 4 * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu tiÕp tôc ¸p dông b®t (1) vµ t¨ng sè mò cña biÕn ta thu ®îc c¸c kÕt qu¶ nh: ) (a b ) 16 16 128 a b 15 2 8 ( Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau: 13 Lop10.com (4) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh Bµi to¸n 1.1: n n Cho a + b = Chøng minh r»ng: a b n 2 1 Cách giải bài toán 1.1 ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học và làm tương tự bài to¸n NhËn xÐt 2: TiÕp tôc kh¸i qu¸t bµi to¸n 1.1 thay gi¶ thiÕt a + b = bëi gi¶ thiÕt n n kn a + b = k , làm tương tự trên ta có a b n 2 1 VËy cã bµi to¸n 1.2 nh sau: Bµi to¸n 1.2: Cho a + b = k Chøng minh: n n kn 2 a b n 2 1 NhËn xÐt 3: Tõ bµi to¸n 1.2 nÕu ta thay gi¶ thiÕt a + b = k bëi b = k - a ta ®îc Bµi to¸n 1.3: n n kn Chøng minh : a (k a) n víi mäi k 2 1 * Khai th¸c s©u bµi to¸n Nhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp lần ta có kết quả: a b 2 (a b ) a b 4 a b 2 23 Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n1.4: Chøng minh : a) a b 4 a b 23 n n n a b 2 2 b) a b n 2 1 NhËn xÐt 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần và tăng số biến ta có: 13 Lop10.com (5) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh a b 2 c d 2 2 2 2 2 ( a b ) ( c d ) 4 4 a b c d 2 (a b) (c d ) a b c d 8.2 2 a b c d a b c d a b c d 4 4.8.2 4 VËy cã bµi to¸n 1.5: a4 b4 c4 d a b c d Chøng minh: 4 Cø tiÕp tôc suy luËn s©u h¬n n÷a ta thu ®îc nhiÒu bµi to¸n tæng qu¸t h¬n Bµi to¸n 2: Cho a, b, c > 0.Chøng minh r»ng: (a b).(b c).(c a ) 8abc (a b) 4ab * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có : (c b) 4cb (a c) 4ac (a b)(b c)(c a ) 64a b c (v× a, b, c > 0) (a b)(b c)(c a ) 8abc ( v× (a+b)(b+c)(c+a) > vµ 8abc > 0) §¼ng thøc x¶y a = b = c * Khai th¸c bµi to¸n Nhận xét 1: Nếu cho a, b, c > và a + b + c = Khi đó ta có - a, 1- b, - c > vµ cã + c = + - a - b = (1 - a ) + (1 - b ) ¸p dông bµi to¸n ta ®îc : (1 a )(1 b)(1 c) 8(1 a )(1 b)(1 c) VËy cã bµi to¸n 2.1: Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh: (1 a )(1 b)(1 c) 8(1 a )(1 b)(1 c) NhËn xÐt 2: Ta tiÕp tôc khai th¸c s©u h¬n bµi to¸n b»ng c¸ch cho a + b + c = n > Khi đó tương tự bài toán 2.1 ta có 13 Lop10.com (6) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh Bµi to¸n 2.2: Cho a, b, c > vµ a + b + c = n > Chøng minh : (n a )(n b)(n c) 8(n a )(n b)(n c) Bµi to¸n 3: 2 Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã : a b c ab bc ca * Gi¶i : a b 2ab 2 áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : c b 2cb a c 2ac 2(a b c ) 2(ab bc ca) ®.p.c.m Có đẳng thức a = b = c * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt : NÕu ¸p dông bµi to¸n vµ t¨ng sè mò lªn, gi÷ nguyªn sè biÕn ta cã a b c a b b c c a (*) l¹i ¸p dông bµi to¸n lÇn n÷a ta cã a b b c c a abc(a b c) (**) Tõ (*) vµ (**) ta thu ®îc kÕt qu¶ lµ a b c abc(a b c) VËy cã bµi to¸n 3.1: 4 Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã : a b c abc(a b c) NhËn xÐt 2: NÕu t¨ng sè biÕn vµ gi÷ nguyªn sè mò cña biÕn víi c¸ch lµm nh bµi to¸n ta cã Bµi to¸n 3.2: 2 Chøng minh r»ng: a1 a a n a1 a a a3 a n 1 a n a n a1 Víi mäi a1 ; a ; ; a n Bµi to¸n : 4 4 Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c, d ta cã : a b c d 4abcd * Gi¶i : 13 Lop10.com (7) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : a b c d 2a b 2c d 2(a b c d ) 4abcd ®.p.c.m Có đẳng thức a = b = c = d * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu thay b = c = d = ta cã b®t a 4a a 4a 3 VËy cã bµi to¸n 4.1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = a 4a Nhận xét 2: Nếu khai thác bài toán theo hướng tăng số biến, số mũ lên, ta Cã bµi to¸n tæng qu¸t sau: Bµi to¸n 4.2: Chøng minh r»ng víi mäi sè a1; a2 ; a3 ; ; a2n víi n N * ta cã: a1 2n a2 2n a3 2n a n 2n n a1a a a n Bµi to¸n : Cho a + b + c + d = Chøng minh : a b c d * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu thay h»ng sè ë gi¶ thiÕt bëi sè k ta ®îc kÕt qu¶ k2 a b c d VËy cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n nh sau: 2 2 Bµi to¸n 5.1: k2 Nhận xét 2: Ta còn có thể tổng quát bài toán 5.1 mức độ cao cách tăng 2 2 Cho a + b + c + d = k Chøng minh : a b c d số biến bài toán Khi đó bài toán 5.1 là trường hợp riêng bài toán sau: Bµi to¸n 5.2: 2 Cho a1 a2 an = k Chøng minh: a1 a a n k2 víi n N * n §Ó gi¶i bµi to¸n nµy th× c¶ hai c¸ch lµm cña bµi to¸n ë trªn ®a vµo ¸p dông kh«ng hîp lý, ta sÏ lµm nh sau: 13 Lop10.com (8) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh k2 k k2 k k2 k 2 ¸p dông b®t (3) ta cã: a1 2a1 ; a 2a ; … ; a n 2a n n n n n n n 2 2 2 a1 a a n k2 k n (a1 a a n ) (v× a1 a a n k ) n n a1 a a n k2 k2 2 n n 2 a1 a a n k2 (®.p.c.m) n Từ đó suy : 2 a1 a a n a1 a a n 2 n víi n N * (1.1) VËy cã bµi to¸n 5.3: 2 Chøng minh: a1 a a n a1 a a3 a n 2 n víi n N * §Æc biÖt ho¸ víi n = 5, n = 7, ta ®îc nh÷ng bµi to¸n nh : Chøng minh : 2 a1 a a3 a5 2 a1 a a5 2 a1 a a a1 a a3 a7 2 Rõ ràng bđt này sử dụng phương pháp dùng định nghĩa biến đổi tương đương thì khó giải * Khai th¸c s©u bµi to¸n NÕu tiÕp tôc n©ng sè mò lªn cao h¬n theo c¸ch khai th¸c cña bµi to¸n 1.4 ta thu ®îc kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n n÷a ch¼ng h¹n: Bµi to¸n 5.4: Chøng minh: 4 a) a1 a a n 8 a1 a a3 a n 4 b) a1 a a n n a1 a a3 a n 8 n 13 Lop10.com * víi n N víi n N * (9) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh c) a1 2n a2 2n a n 2n a1 a a3 a 2n 2n n n 1 2 víi n N * (1.2) Rõ ràng các bất đẳng thức này còn chặt bđt Cô Si và không cần điều kiện g× cña biÕn TiÓu kÕt 1: Trên đây ta đã khai thác và phát triển từ bài toán đơn giản để thu bµi to¸n míi, nh÷ng kÕt qu¶ míi tæng qu¸t h¬n Bất đẳng thức (1.1) là trường hợp tổng quát bất đẳng thức (1) ta khai thác theo hướng tăng số biến bài toán Bất đẳng thức (1.2) là trường hợp tổng quát bất đẳng thức (1) ta khai thác theo hướng tăng số mũ và số biến TiÓu kÕt 2: Để khai thác, phát triển bài toán bất đẳng thức ta có thể theo số hướng nh sau: Hướng thứ : Tổng quát hoá các số có bài toán, ví dụ c¸c bµi to¸n 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1 Hướng thứ hai : Giữ nguyên số biến và tăng số mũ các biến dẫn đến tæng qu¸t ho¸ sè mò, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.1; 1.4 Hướng thứ ba : Giữ nguyên số mũ và tăng số biến các biến dẫn đến tổng qu¸t ho¸ sè biÕn, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3 Hướng thứ tư : Tổng quát hoá số mũ và số biến, ví dụ các bài toán 4.2; 5.2; 5.4 Hướng thứ năm : Đổi biến, đặc biệt hoá từ bài toán tổng quát, ví dụ các bµi to¸n 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên đây là các ví dụ vận dụng bđt (*) vào việc giải các bài toán đại số và số phương hướng để khai thác bài toán 13 Lop10.com (10) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh KÕt qu¶ thu ®îc sau khai th¸c b®t (1) lµ b®t : 2 a1 a2 an 2 a1 a a n n víi n N * (1.1) Vµ b®t: a1 2n a2 2n a n 2n a1 a2 a3 a2n 2n n n 1 2 víi n N * (1.2) Hoàn toàn tương tự trên ( Chứng minh quy nạp toán học ) ta còng cã kÕt qu¶ khai th¸c b®t (2) nh sau: a1 a2 a3 a2n 2n 2n 1 2 n n a1a a víi n N * (2.1) 2n Tõ b®t (1.2) vµ b®t (2.1) ta cã b®t tæng qu¸t cña b®t (*) nh sau: a1 2n a2 2n a n 2n a1 a2 a3 a2n 2n 2n 1 2 n n a1a a víi n N * (*.1) 2n Như làm xong bài toán dù là bài toán dễ , người làm toán không nên thoả mãn với lời giải mình mà cần tiếp tục suy xét vấn đề xung quanh bài toán, tìm các bài toán hay hơn, tổng quát hơn, sau đó đặc biệt hoá bài toán tổng quát để có bài toán độc đáo hơn, thú vị Điều đó làm cho người học toán ngày càng say mê môn, đồng thời là cách rèn luyện tư duy, nghiên cứu để chiếm lĩnh kho tàng tri thức nhân loại III- Bài tập đề nghị IV- KÕt qu¶ thùc hiÖn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm 13 Lop10.com (11) Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác bất đẳng thức- Nguyễn Duy Tỡnh V- §iÒu kiÖn ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm VI- Nh÷ng ®iÓm cßn tån t¹i, h¹n chÕ VII- Bµi häc kinh nghiÖm VIII- §Ò xuÊt hø¬ng nghiªn cøu tiÕp C- KÕt luËn Sau mét qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m, th«ng qua c¸c tµi liÖu tham khảo, học hỏi các đồng nghiệp Tôi đã hệ thống lại nhiều bài toán hình học và đại số có thể ứng dụng bất đẳng thức (*) để giải, mặc dù có bài toán mà tài liệu tham khảo phải sử dụng các bất đẳng thức lớn bất đẳng thức CôSi cho số, cho số, bất đẳng thức Bunhiacốpski… để giải, các cách giải này không phù hợp với chương trình toán T.H.C.S Trong đó bất đẳng thức (*) hầu hết học sinh lớp và lớp chứng minh và thường sử dụng, việc ứng dụng bất đẳng thức (*) mang lại hiÖu qu¶ kh«ng ph¶i lµ nhá Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn đựoc đóng góp phần nhỏ bé công sức việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác bất đẳng thức (*) làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triÓn t s¸ng t¹o cho häc sinh, g©y høng thó cho c¸c em häc toán Tuy nhiên, thời gian có hạn, trình độ thân còn hạn chế, nên tôi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học các cấp và các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm tôi hoàn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tôi tiến giảng dạy T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ! 13 Lop10.com (12)