Nếu hệ Phương trình có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau; hệ VSN thì hai đường thẳng trùng nhau; hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song( khi... Đưa về ptts..[r]
(1)PHẦN : LÝ THUYẾT ÔN TẬP
-****** -A/ ĐẠI SỐ
I ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1/ Phương trình bậc : ax+b=0 (a0)
Cách giải : ax b x b a
II / Phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 , (a 0)
* Trường hợp 1: Phương trình đầy đủ hệ số a,b,c Ta giải cách tính '.
2 4
b ac
' b'2 ac với b’=
2 b
< :Pt vô nghiệm
= 0:Pt có nghiệm kép
2 b x x
a > : Pt có n0 phân biệt
1
2
2 b x
a b x
a
'<0 : Pt vô nghiệm
'= : Pt có nghiệm kép
' b x x
a '> : Pt có n0 phân biệt
1
2
' '
' '
b x
a b x
a
Trường hợp đặt biệt:
Nếu a+b+c=0 có nghiệm x 1 x c
a
và
Nếu a-b+c=0 có nghiệm x 1 x c a
vaø
Chú ý:
* Pt ax2 bx c 0 , (a 0)
Có hai nghiệm x x1, 2 ta viết dạng phân tích đa thức thành nhân tử sau:
1
( ) ( )( ) , ( 0)
f x ax bx c a x x x x a
* Định lí Vi-ét :
Nếu x x1, 2 nghiệm Pt ax2bx c 0 , (a0) :
2
1
b x x
a c x x
a
* Trường hợp 2: Pt khuyết c , tức c=0
Cách giải : Đặt thừa số chung đưa pt tích :
0
0 ( )
0 x x
ax bx x ax b b
ax b x
a
Trường hợp 3: Pt khuyết b , tức b=0 Giải cách chuyển vế lấy bậc hai vế Cách giải : ax2 c x2 c x2 A x A
a x A
Chú ý :
0 c A
a III ) XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT : f(x)=ax+b (a0)
(2)-B1: Tìm nghiệm x = b a B2: Lập bảng xét dấu :
x
- b a
+ f(x) Trái dấu a Cùng dấu a
IV ) XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI : f(x)=ax2bx c (a0)
1/ Trường hợp 1:f(x) vô nghiệm f(x) dấu a với x R Lập bảng xét dấu :
x - + f(x) Cùng dấu a
2/ Trường hợp 2: f(x) có nghiệm kép
2 b x x
a
f(x) dấu với a
2 b x
a (Chú ý : x =
2 b
a
f(x) = Bảng xét dấu :
x
-
b a
+ f(x) Cùng dấu a Cùng dấu a
3/ Trường hợp 2: f(x) có nghiệm phân biệt x x1, Xét dấu theo quy tắc trái
Bảng xét dấu :
x - x1 x2 + f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a V) Xét dấu đa thức bậc ba : f(x)=ax3 bx2 cx d (a 0)
Tìm nghiệm
Lập bảng xét dấu : Khoảng bên phải dấu với a , qua nghiệm đơn đổi dấu , qua nghiệm kép không đổi dấu
** Ghi :Xét dấu phương pháp khoảng:
Giả sử ta muốn xét dấu biểu thức f x( ), phương pháp xét dấu thơng thường, ta cịn có phương pháp khoảng sau ( với điều kiện f x( ) liên tục TXĐ )
Gọi x x1, , (2 x1x2) nghiệm phương trình f x( ) =
Chọn số x0 thuộc khoảng ( ; ) , x1 Sau tính f x( )0 Nếu f x( )0 > f x( ) > x ( ; )x1 Các khoảng lại đan dấu với
** Chú ý :
+ Nên chọn x0 số nguyên để f x( )0 dễ tính!
+ Nếu x1x2 f x( ) không đổi dấu x qua nghiệm
VI ) CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ CÔNG TỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1 Các đẳng thức :
x x1 x2
0 0
0 x ( )
(3)
2
2 2
( )
2 ( )2 2
2
( ) ( )
2 2 ( )( )
3 2 3
( ) 3 ( )
3 ( )( 2 )
2 2
( ) b ac bc
a b a ab b
a b a b ab
a b a b ab
a b a b a b
a b a a b ab b a b ab a b
a b a b a b ab
a b c a b c a
2 Các công thức lượng giác thường gặp : a ) Các công thức
1
2 2
sin cos ; 2 cot ; 2
sin cos
x x x tn x
x x
b ) Công thức cộng:
cos( ) cos cos sin sin ; sin( ) sin cos sin cos ;
( )
1
a b a b a b a b a b b a
tga tgb tg a b
tga tgb
c ) Công thức nhân đôi:
2 2
sin 2a 2sin cos ;a a cos 2a cos a sin a 2cos a 1 2sin a
2
2 2
1
tga tg a
tg a
Chú ý : :
3 sin 3sin 4sin
3
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
d ) Công thức hạ bậc ( tăng cung )
1 cos
2 2
2cos cos ; 2sin cos ;
1 cos
a
a a a a tg a
a
e ) Cơng thức biến đổi tổng thành tích :
; ;
cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin
2 2
sin( ) cos cos
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
a b tga tgb
a b
f ) Hai góc đối :
cos() cos ;sin( ) sin
g ) Cơng thức tích thành tổng:
(4)
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
sin sin [cos( ) cos( )]
2
sin cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
g ) Bảng giá trị lượng giác số cung ( góc ) đặc biệt :
6
4
3
2
2
sin
2
2
3
2 0
cos
2
2
1
2 -1
tan
3 0
cot 3 1
3
3 Phương trình lượng giác : a ) Phương tŕnh lượng giác bản:
2
sin sin cos cos
2
; cot cot ;
x k
x x x k
x k
tgx tg x k gx g x k k z
b ) Phương tŕnh b.nhất sinx cosx: asinx + bcosx = c (a2+b2 c2 ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Chia hai vế phương tŕnh cho a2b2:
sin cos
2 2 2
cos sin sin cos sin sin( ) sin
a b c
x x
a b a b a b
x x
x
Với sin 2a 2 ; cos 2b 2; sin 2c 2
a b a b a b
Lưu ý: + Nếu giá trị 2a 2; 2b 2 ; 2c 2
a b a b a b giá trị
đặc biệt cung ( góc ) , phải cung ( góc ) đặc biệt.
+ Nếu phương tŕnh dạng asinx b cosx0 (1) Ta biến đổi phương trình phương trình tanx cotx
B ) GIẢI TÍCH
I) CÁC TÍNH CHẤT VỀ LŨY THỪA:
1
; ;
( ) ; ;
n a
n m n m n m n
a a a m a n a
a a
m n
n m n m m n n m n m
a a a a a a
(5)Quy ước: a0 = ,a
1
II ) Hàm số mũ hàm số lơgarít 1) Hàm số mũ: y = ax ( < a 1 )
+ Nếu a > hàm số tăng, < a <1 hàm số giảm ) Hàm số lơgarít logax y x a y ( 0a1)
3 ) Các tính chất hàm số lơgarít:
Nếu a > hàm số tăng, < a <1 hàm số giảm log ; loga aa1; alogaxx ;logaax x.
log ( ) log1 2 1 log 2 ;log log 1 log 2
x
x x x x x x
a a a a x a a
logbx loglogabx ;loga b logab ;logab log1 a
a b
.
Lơgarít tự nhiên lnxlogex ( lnx: Đọc lơgarít nepe x ).
Lơgarít thập phân lgxlog10x ( lgx: Đọc lốc x ) Chú ý : log ogb ln
loga ln a l b b a
III ) ĐẠO HÀM
1/ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1/ (u v w - ) ' u' v w'- ' / ( ) 'k u k u ' 3/ ( ) 'uv u v u v'. ' 4/
/
2
' '
u u v u v
v v 5/ /
1 v'
v v
6/ y’x=y’u.u’x 2/ BẢNG ĐẠO HÀM
(xn)’=nxn-1
'
1 x =
1 x ' k x =
k x ( ) ' x x
(un)’=nun-1 u/
'
1 u =
' u u ' k u
= ' k u u ' ( ) ' u u u (sin ) ' cos
(cos ) ' -sin
x x x x (tan ) '
cos x x ( t ) '
sin co x
x
(sin ) ' 'cos (cos ) ' - 'sin
u u u
u u u
2
' (tan ) '
cos u u u ' ( t ) '
sin u co u u x x e
e )'
(
a a
ax)' x.ln
(
u u u e
e )' '
( a a u
au)' '. u.ln
(
(6)-x x)' (ln
a a
x x
a
ln )'
(log
) , (
)'
(
x x
x
n n n
x n x
1
1 )' (
u u u)' ' (ln
' (log ) '
.ln
a u
u u
a a
' )'
(u u 1u
n n n
u n
u u
1
' )'
(
IV/ Ứng dụng đạo hàm :
) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số yf x( )
y=f’(x0)(x-x0)+y0
Để viết phương trình tiếp tuyến điểm M ta cần ba số : f’(x0) ; x0 ; y0 Để tính f’(x0) ta tính f’(x) sau x0 vào f’(x)
Các bước viết phương trình tiếp tuyến
B1: Cơng thức : y=f’(x0)(x-x0)+y0
B2 : Viết x0=….? ; y0=…?
B3 : Tính f’(x)=….? f’(x0)=…
B4 : Thế f’(x0) , x0 , y0vào pt : y=f’(x0)(x-x0)+y0
2) Xét tính đơn điệu hàm số :
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang
phải tăng dần)
* y/ > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng Định lí (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x)
x (a;b) b) f(x) giảm khoảng (a;b) f/(x)
x (a;b) ) Cực trị hàm số
Dấu hiệu I : + MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang
phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý:
1) Nếu hàm số tăng ( giảm) (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm phương trình y/ = 0.
3) x0 cực trị hàm số yf x( )
/ ( 0) /
( )
y x y x
Dấu hiệu II:
'
0 "
0
( ) ( ) CT
f x
x x
f x
Chú ý : Dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu
Cách tính nhanh cực trị hàm số :
(7)Dạng 1: y = f(x) đa thức : Giả sử '
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x p x f x q x f x q x
Dạng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u
v, u(x) ; v(x) đa thức có MXĐ: D
Và y/ = u v v u
2 v
=g(x)2
v dấu y
/ dấu g(x)
Nếu h/s đạt cực trị x0 y/(x0)= => g(x0) = <=> u/vv/u =
=> u u
v v
Do giá trị cực trị y(x0) =
u (x )0 v (x )0
4 ) Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
a Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s [a;b]: + Miền xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có )
x1 , x2 … chọn nghiệm thuộc (a;b)
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh KL
y(a) ; y(b) + max y ?
[a;b] y[a;b] ?
b Ph ng pháp tìm GTLN GTNN HS (a;b) MXĐ : + Miền xét (a;b) TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = ( có ) xét dấu y/
+ BBT:
* Nếu tồn miền xét h/s có CT GTNN giá trị CT : y[a;b] yct * Nếu toàn miền xét h/s có CĐ GTLN giá trị CĐ : max y[a;b] yCĐ * Nếu hàm số tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị khoảng (a;b)
5 ) Đường tiệm cận :
* Tiệm cận đứng : 0
0
x x x x
x x x x
lim f (x) ; lim f (x) lim f (x) ; lim f (x)
=> x = x0 tiệm cận đứng
Chú ý : Tìm x0 điểm hàm số không xác định
* Tiệm cận ngang : xlim f (x) y0
=> y = y0 tiệm cận ngang
Chú ý : Hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử bậc mẫu có tiệm cận ngang
* Tiệm cận xiên:
Cách 1: + Viết hàm số dạng : f(x) = ax + b + (x) lim
x [f(x) –(ax + b)] =xlim (x) = xlim [f(x) –(ax + b)] =xlim (x) = y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị hàm số
Cách 2: ta tìm hai hệ số a b ;
x
f (x) a
x lim
; b xlim f (x) ax
y = ax + b tiệm cận xiên 6 ) Các dạng toán liên quan đến vẽ đồ thị Bài tốn 1: Phương trình tiếp tuyến
(8)-1 Tiếp tuyến M(x0; f(x0)) có phương trình : Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
Phương trình tiếp tuyến M là: y = f/(x
0)(x x0) + f(x0)
2 Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thị h/s y =f(x) + Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A
Pt đường thẳng (d) : y = k(x x1) + y1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C)
hệ phương tŕnh : (1)
f(x) k(x x ) y1 1 /
f (x) k (2) có nghiệm
Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
Chú ý : Dạng tốn gặp thi tốt nghiệp ! Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f/(x
0)(x x0) + f(x0)
+ Giải phương trình f/(x
0) = k => x0 = ? => f(x0) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x x0) + f(x0)
Chú ý :
+ Tiếp tuyến song song đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
+ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a1 Bài toán 2: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = đồ thị hàm số y = f(x) + Biến đổi phương tŕnh dạng f(x) = g(m) Đặt: d = g(m)
+ y = d đường thẳng song song trùng với trục ox ; y =f(x) có đồ thị (C) + Tuỳ theo m xét tương giao đồ thị (C) với đường thẳng d
7) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: Sơ đồ chung
Hàm số đa thức Hàm số phân thức
1 Tập xác định : D = R Sự biến thiên
+ Giới hạn + Đạo hàm + Lập bảng biến thiên
+ Kết luận đồng biến, nghịch biến, cực trị hàm số
+ Điểm uốn 3 Đồ thị
- Giá trị đặc biệt - Đồ thị
1 Tập xác định Sự biến thiên + Giới hạn, tiệm cận + Đạo hàm + Lập bảng biến thiên
+ Kết luận đồng biến, nghịch biến, cực trị hàm số
3 Đồ thị
- Giá trị đặc biệt - Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm số đa thức khơng có tiệm cận, hàm số phân thức khơng cần tính đạo hàm cấp hai, mà thay vào tìm đường tiệm cận
Chú ý : Cần thể giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh ( có ), trục tung a.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a
) * Tập xác định : D = R
(9)+ Giới hạn: xlim (ax3bx2cxd)
=
) (
) (
a a
xlim (ax3 bx2 cxd)
=
) (
) (
a a + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với
/ = b2 3ac
/ /
y/ cùng dấu với hệ số a
KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y/ = có hai nghiệm x 1; x2 KL: hàm số tăng? Giảm? Hàm số khơng có cực trị Cực tri cực đại? Cực tiểu?
+ Bảng biến thiên:
x + x x1 x2 +
y/ + y/ +
+ y +
-
y CĐ +
- CT
x + x x1 x2 +
y/ y/
+ y +
y + CĐ
CT
Chú ý : dù y/ = có nghiệm kép việc xét dấu đúng + Điểm uốn:
Tính y’’
Cho y’’=0 ,tìm nghiệm x0
Điểm uốn U(3ba ;f( a b )) * Vẽ đồ thị :
Chú ý điểm đặc biệt :cực đại, cực tiểu, điểm uốn Giao điểm với trục tung (x 0 y )
Giao điểm với trục hoành (y 0 x )
2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ) + TXĐ : D = R
+ Giới hạn : lim (ax4 bx2 c)
x =
) (
) (
a a
Tài liệu ôn thi TNTHPT LÝ THUYẾT
-a < 0 a > 0
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị ?
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
(10)+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a, b trái dấu a,b dấu
y/ =
2x (2ax2 + b) = x= 0; x1,2= 2ba
KL: tng? Giảm?
y/ =
x = KL: tăng? Giảm Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( a
b
2 ) =
a
4
Có cực trị
Giá trị cực trị : y(0) = c có cực trị
+ Bảng biến thiên :
x + x x1 x2 +
y/
+ y/ + + y
+ +
y + CĐ +
CT CT
x + x x1 x2 +
y/ +
y/ + + y
y CĐ CĐ
- CT -
+ Vẽ đồ thị : cực đại , cực tiểu ; y = > x= ? giải pt trùng phương
3 Hàm phân thức : y = cxaxdb ( c 0; ad bc ) + TXĐ : D = R\
c d
+ Đạo hàm : y/ =
2
) (cx d
bc ad
adbc < adbc >
y/ < ,
x D y/ > , x D
Hàm số khơng có cực trị
Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến D
+ Tiệm cận: x = dc tiệm cận đứng limd
x c
ax b cx d
y = ca tiệm cận ngang xlim ax b a cx d c
+Bảng biến thiên :
adbc < 0 adbc > 0
CĐ
a < 0
CT
x y
O x
y
O a < a >
Dạng 2: hàm số có cực trị
x y
O x
y
O a < a >
Dạng 1: hàm số có3 cực trị
(11)x d/c + x d/c +
y/ y/ +
+ y a/c +
a/c
y + a/c
a/c
+ Vẽ đồ thị : Vẽ tiệm cận, điểm đặc biệt
Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh, sau lấy đối xứng nhánh qua giao điểm hai tiệm cận
adbc > 0 adbc < 0 4) Hàm hữu tỉ : (CTNC) y = ax2exbxf c
=A x + B + (x) (đk : e ; tử không chia hết cho mẫu ) + TXĐ: D = R\
e f
+ Tiệm cận : x = eflà tiệm cận đứng x limf ( ) e
f x
+ lim[f(x) (Ax B)]
x =xlim(x)=0 => y = A x + B t/c xiên
+ Đạo hàm : y/ =
2
) (
) (
f x e
ce bf x af x ae
có / =(af)2(bfc e).ae
/ < / >
y/ dấu với ae y/ = có hai nghiệm x 1; x2
Hàm số khơng có cực trị Giá trị cực trị tính theo CT : y =
e b ax
2
+ Bảng biến thiên :
x f/e + x x1 f/e x2 +
y/ +
+ y/ + + y + +
y CĐ + +
CT
x f/e + x x1 f/e x2 +
y/ y/
+ + y + +
y + + CĐ
CT
+ Vẽ đồ thị : ( hàm phân thức )
Tài liệu ôn thi TNTHPT LÝ THUYẾT 11
-a.e > 0
a.e < 0
y
I x y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
x y
O
I
x y
O
I
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị
x y
O
I
x y
O
I
(12)V ) Phương trình, bất phương trình mũ lơgarit. a) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
) ( ) (
) ) ( (
) ( )
( log ) ( log
x g x f
x g hay x
f x
g x
f a
a
b) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
loga f(x)loga g(x) f(x)g(x)0 c) a af(x) ag(x) f(x) g(x)
loga f(x)loga g(x) 0 f(x) g(x) VI ) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Nguyên hàm:
Hàm số F x gọi l nguyên hàm hàm số f x a b;
, ;
F x f x x a b .
f x dx F x C
BẢNG NGUYÊN HÀM
Nguyên Hàm Của HS Cơ Bản Nguyên Hàm Của Hàm Số Mở Rộng dx= +x C,
ị ¡ ịa.dx=ax+C, ¡
1
x
x dx C,
1
a +
a = + a ¹
-a +
ị (ax b) dx 1.(ax b) C
a
a +
a +
+ = +
a +
ò
dx ln x C, x 0
x = + ¹
ị dx 1.ln ax b C
ax+b = a + +
ò
1
dx
C xa = - (a - 1)xa- +
ò
dx 1
C (ax+b)a = - a(a - 1)(ax+b)a- +
ò
x x
e dx=e +C
ò e dxax 1.eax C
a
= +
ò
x
x a
a dx C
lna
= +
ò a dxx a. x C
lna
a
a = +
a
ò
cosxdx =sinx+C
ò cosaxdx 1.sinax C
a
= +
ò
sinxdx= - cosx+C
ò sinaxdx 1.cosax C
a
= - +
ò
2
1 dx tanx C
cos x = +
ò
1 dx 1tanax C
cos ax = a +
ò
2
1 dx cotx C
sin x = - +
ò
1 dx 1cot ax C sin ax = - a +
ò
2 Tích phân:
Cơng thức Niutơn- Laipnit: b
b a a
(13)Tính chất:
0
; ( )
;
b a b b
a b a a
b b b b c b
a a a a a c
f x dx f x dx kf x dx k f x dx k
f x g x dx f x dx g x dx f x dx f x dx f x dx
3 Phương pháp đổi biến số
1) Công thức tổng quát:
.
b a
f x x dx f t dt
Đặt
t x dt x dx
Đổi cận
x a
x b
b a
I f x x dx f t dt
a). TH1: fsin cosx xdx
Đặt tsinx
t p sinx q p q,
b). TH2:
cos sin
f x xdx Đặt tcosx
t p cosx q p q,
c). TH3: 1
ln f x dx
x
Đặt tlnx
t p x q ln p q,
d). TH4:
1
tan cos
f x dx
x
Đặt ttanx
(14)- t p tanx q p q,
e). TH5:
1
. sin f cotx dx
x
Đặt t cotx
t pcotx q p q, Chú ý : + a2 x2 ;
2
a x
đặt x = asint
a2 x2 ; 21 2
a x
đặt x = atant.
4 Phương pháp tích phân phần:
a) Công thức tổng quát :
b b
b a
a a
uv dx uv vu dx
hay
b b
b a
a a
udv uv vdu (1) b) Các bước thực hiện:
Bước 1: Đặt dv v x dxu u x( )( ) du u x dx Đạohàmv v x( ) (nguyên hàm)( ) ( )
Bước 2: Thế vào cơng thức (1)
Bước 3: Tính uv bavà suy nghĩ tìm cách tính tiếp
b a
vdu
(
b a
vdu
tính định nghĩa đổi biến số tích phần phần tùy toán cụ thể mà ta phải xem xét kĩ)
c) Các dạng tích phân tính phương pháp phần:
* Dạng1
sin ( )
ax f x cosax dx
ax e
với f(x) đa thức:
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau thay vào cơng thức
b b b
udv uv a vdu
a a để tính
* Dạng2: f x( ) ln(ax b dx )
Đặt
ln( )
( )
( )
a dx u ax b du
ax b dv f x dx
(15)Sau thay vào cơng thức
b b b udv uv a vdu
a a để tính
Dạng : sin
ax ax
e dx
cosax
Ta thực phần hai lần với u = eax 5) Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Tính b f (x) dx a
Xét dấu biểu thức f x( ) Dựa vào bảng xét dấu định nghĩa GTTĐ tính chất chen cận tích phân để tính b f (x) dx
a
6) Diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay. Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn : y f (x)
x a;x b
hàm số liên tục [a;b] trục hoành y 0;
Diện tích : S = b|f (x)|.dx
a
Chú ý : thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0 Hình phẳng giới hạn :
y f (x) y g(x) x b
hàm số liên tục [a;b] hàm số liên tục [a;b] x a;
Diện tích : S = b|f (x) g(x)|.dx
a ( )
Để tính cơng thức ( ) ta thực tính tích phân hàm số dấu tích phân năm GTTĐ, nhiên ta thực sau :
Giải phương trình f x( )g x( ) (3) tìm nghiệm [a;b] Khi : S = [f (x) g(x)]dx b[f (x) g(x)]dx
a
b
|f (x) g(x)|.dx a
Chú ý :
+ Nếu [a;b] phương trình ( ) vơ nghiệm có nghiệm trùng với a, trùng b :
b
[f (x) g(x)]dx a
b
|f (x) g(x)|dx
a
+ Nếu tốn qúa phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính thơng qua tổng hiệu nhiều hình
+ Hình phẳng giới hạn :
Tài liệu ôn thi TNTHPT LÝ THUYẾT 15
-a
b
x y
a b x
y y=f(x
(16)x f (y) x g(y) y b
hàm số liên tục [a;b] hàm số liên tục [a;b] y a;
Có diện tíchdiện tích : S = b|f (y) g(y)|.dy a
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường : y f (x) x a; x b
hàm số liên tục [a;b]
trục hoành y 0; quay quanh trục Ox f(x) [a;b]
V = b f (x) dx2 a
* Thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường : x f (y) y a; y b
hàm số liên tục [a;b]
trục tung x 0; quay quanh trục Ox f(x) [a;b]
V = b f (y) dy2 a
* Thể tích khối trịn xoay giới hạn đường yf x y g x x a x b( ); ( ); ; quay quanh trục ox:
V= V V1
Với V1 [f( )]2
b
a
x dx
; V2 [g( )]2 b
a
x dx
VII) Số phức
1 ) Định nghĩa :
Có dạng z = a+ bi; a, b R , i2 = -1; a gọi phần thực, b gọi phần ảo 2 ) Các tính chất :
Cho hai số phức a+bi c+di + a+bi = c+di a = c; b = d + môđun số phức : z a bi a2b2
+ số phức liên hợp: z = a+bi l z = a bi
* z+z = 2a; z.z= z2a2b2
+(a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
+ (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i.
+ (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i + ' '
z z z
z z z
) Căn bậc số phức :
Định nghĩa : Cho số phức w, số z đgl bậc w z2 = w.
TH: w = a 0 => w có hai bậc : a TH : w = a < => w có hai bậc : i a TH : w = a+ bi Gọi z = x yi bậc w.
Xét hệ phương trình :
2
2
x y a
xy b
(17) Chú ý : Ta biến đổi w = (x yi)2
=> w có bậc (x yi) 4 ) Phương trình bậc hai cơng thức nghiệm:
Cho phương trình Az2 + Bz + C = với
= B2 4AC Nếu = phương trình có nghiệm kép z1 z2 B
2A
(nghiệm thực)
Nếu > phương trình có hai nghiệm thực: z1,2B2A
Nếu < phương trình có hai nghiệm phức 1,2 B i z
2A
Chú ý :
+ Nếu B số chẵn ta tính '
tương tự phương trình bậc hai thực!
+ Nếu số phức Gọi bậc Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt : z1,2B2A ( đối với ban khơng có dạng ! )
5 ) Dạng lượng giác số phức công thức Moa – vrơ: a ) Dạng lượng giác số phức:
( os +isin )
z r c
Với r z a2 b2
; acgumen z thỏa : cos sin
a r b r
b ) Công thức Moa – vrơ:
Cho z r c ( os +isin ) Khi n n( osn +isinn )
z r c , n z
B / HÌNH HỌC
I ) Thể tích, diện tích khối hình
1 ) Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) khối nón,trụ,cầu Khối nón: Sxq = rl; Stp = r(r + l) Với độ dài đường sinh
Khối trụ: Sxq = 2rl; Stp = 2r(r + l) Khối cầu: S = 4r2
2 ) Tính thể tích khối hình * Khối chóp V = 1Bh
3 ; với B diện tích đáy, h chiều cao
* Khối nón V = r h2
3 ; với h chiều cao
* Khối trụ V = r2h ; với h chiều cao * Khối cầu V =4 r3
3
* Khối lăng trụ: V= Bh; với B diện tích đáy, h chiều cao II ) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 ) TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
a) M x ; y ;z M M M OM x i y j z k M M M
b) Cho A x ; y ;z A A Av B x ; y ;z B B Bta có:
B A B A B A
AB (x x ; y y ;z z )
(18)-2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
c) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA kMB ta có : xM xA kxB; yM yA kyB; zM zA kzB
1 k k k
(Với k ≠ -1)
* Đặc biệt M trung điểm AB (k = – ) ta có : xM xA xB; yM yA yB;zM zA zB
2 2
Tọa độ vectơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz a) a (a ;a ;a ) 1 2 3 a a i a j a k 1 2 3
b ) Cho a (a ;a ;a ) 1 2 3 v b (b ;b ;b ) 1 2 3 ta có :
1
2
3
a b
a b a b
a b
a b (a 1b ;a1 2b ;a2 3b )3 k.a (ka ;ka ;ka ) 1 2 3
a.b a b cos(a;b) a b 1 1a b2 2a b3 3 a a12a22a23
a phương với b a k b . 2 ) Tích có hướng hai vectơ ứng dụng:
a) Nếu a (a ;a ;a ) 1 2 3 b (b ;b ;b ) 1 2 3 3 1
2 3 1
a a
a a a a
a,b ; ;
b b b b b b
b) ca,b c a c b
c) a, b a b sin(a, b)
d) SABC 1[AB,AC] 1[CB,CA] 1[BA, BC]
2 2
e) VHộpABCDA’B’C’D’=[AB, AC].AA '
f) VTứdiện ABCD =
1
[AB, AC].AD
6
(19)g) a b c , , đồng phẳng [a, ].c 0 b h) a cp b[ ,b]=0a
3) MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu:
a) Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
b) Phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by -2cz + d =
với a2+b2+c2–d>0 phương trình mặt cầu tâm I(A;B;C), bán kính
2 2
R a b c d
Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R mặt phẳng
(P): Ax+By+Cz+D=0
Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc
Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường
trịn ( C ) có phương trình : (C ) :
2 2 2
x a y b z c R
Ax By Cz D
Bán kính đường trịn r R2 d(I,(P))2
Tâm H đường trịn ( C) hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) 4 ) MẶT PHẲNG
Chú ý : + VTPT mp vectơ khác vectơ khơng có giá vng góc với mp. + Nếu k n. VTPT ( P ) n VTPT ( P )
Phương trình mặt phẳng:
a) Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2≠0 là
PTTQ mặt phẳng, n (A;B;C) vect pháp tuyến b) Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vect n (A;B;C)
làm VTPT có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
Chú ý :
+ Cho a (a ;a ;a ) 1 2 3 b (b ;b ;b ) 1 2 3 không phương, giá chúng song song
hoặc năm ( P ) : 3 1
2 3 1
a a a a a a
n a, b ; ;
b b b b b b
VTPT ( P ) Cặp VT a b ; đgl cặp VTCP ( P ).
+ Mặt phẳng ( ) chắn trục Ox , Oy , Oz A a ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; B b C c với
, ,
a b c có pt : x y z 1
a b c
Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 v (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 (P) cắt (Q) A : B : C ≠ A’: B’: C’
(20)- (P) // (Q) ' ' ' '
A B C D
A B C D (P) ≡ (Q) ' ' ' '
A B C D
A B C D
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = cho công
thức :
0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
Chú ý : Khoảng cách từ điểm M0đến ( ) chính khoảng cách từ điểm M0 đến hình
chiếu vng góc lên ( ). 5 ) ĐƯỜNG THẲNG
Chú ý : + VTCP đường thẳng VT khác VT khơng có giá song song hoặc
trùng với đường thẳng.
+ Nếu k u. VTCP đường thẳng d thìucũng VTCP d Phương trình đường thẳng:
a) Phương trình tham số đường thẳng :
0
0
0
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
( d )
Trong M0(x0;y0;z0) d a (a ;a ;a ) 1 2 3
VTCP d Phương trình tắc đuờng thẳng :
0 0
1
x x y y z z
a a a
( d )
Trong M0(x0;y0;z0) d a (a ;a ;a ) 1 2 3
với 2
1
a a a VTCP d Vị trí tương đối hai đường thẳng đường thẳng với mặt phẳng: a) Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng () qua M có VTCP avà (’) qua M’ có VTCP a ' () ≡ (’) a,a ' a,MM ' 0
() // (’)
[a,a ']=0 a, MM '
() cắt (’)
a,a ' MM ' a,a '
() chéo (’) a,a ' MM ' 0
(21)2 VTCP hai đường thẳng cp ) chéo nhau( VTCP hai đường thẳng không cp ).
b) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:
Cho đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a ) 1 2 3
và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = có VTPT n (A;B;C)
() cắt (P) a.n 0 () // (P) a.n
M ( )
() nằm mp(P) a.n M ( )
Khoảng cách:
a) Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a
0
[M M,a] d(M, )
a
b) Khoảng cách hai đường chéo :
() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a
, (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '
[a,a'].MM' d( , ')
[a,a']
Các loại góc:
a ) Góc hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng ; '
có VTCP u u; '; góc '
Khi : cos '
' u u u u
b ) Góc hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) có VTPT n n' Gọi góc ( P ) ( Q ) Khi : cos '
' n n n n
c ) Góc đường thẳng mặt phẳng :
Cho đường thẳng d có VTCP u ( P ) có VTPT n Gọi góc d ( P) Khi : sin
n u n u
6 ) MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng
Phương pháp : Tìm điểm mp qua VTPT ( cặp VTCP )
(22)-VẤN ĐỀ : Lập phương trình mặt đường thẳng
Phương pháp : Tìm điểm đt qua VTCP
Chú ý : Tùy theo giả thuyết tốn ta tính VTCP đường thẳng
bằng cách lấy tích có hướng VT đó! VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng
Dạng 1 : Hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ()
Phương pháp : Gọi H hình chiếu vng góc điểm M lên () B1: Lập đường thẳng d qua điểm M v vng góc ()
B2: H = d Chú ý :
+ Ta giải cách khác sau : Gọi H( x ;y ;z) hình chiếu M lên ( ) Ta có hệ phương trình : MH cp n
H ( )
Trong n VTPT () ; đưa hệ tọa độ giải tìm x ;y ;z Dạng 2 :Điểm M’ đối xứng với điểm M qua ()
M’ đối xứng với điểm M qua điểm H
/ / /
2 2
H M M
H M M
H M M
x x x
y y y
z z z
Dạng 3 : Hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d
Phương pháp : Gọi H hình chiếu vng góc điểm M lên đt d B1: Lập mặt phẳng ( ) qua điểm M vng góc với đt d
B2: H = d ( )
Đặc biệt : Cho điểm M( x;y; z ) ta có :
+ Hình chiếu vng góc điểm M lên trục Ox có tọa độ ( x;0;0 ) -M lên trục Oy có tọa độ ( 0;y;0 ) -M lên trục Oz có tọa độ ( 0;0;z ) +Hình chiếu vng góc điểm M lên Mp(Oxy) có tọa độ (x;y;0 ) -M lên Mp(Oxz) có tọa độ (x;0;z ) -M lên Mp(Oyz) có tọa độ (0;y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ M’( x;-y;-z ) -M qua trục Oy có tọa độ M’( -x;y;-z ) -M qua trục Oz có tọa độ M’( -x;-y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ M’(x;y;-z) -M qua Mp(Oxz) có tọa độ M’(x;-y;z) - M qua Mp(Oyz) có tọa độ M’(-x;y;z) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ M’( -x;-y;-z ) Dạng 4 : Hình chiếu vng góc đường thẳng d xuống mặt phẳng ( )
Phương pháp1 : Gọi d’ hình chiếu vng góc đt d xuống mp () B1: Tìm giao điểm I đt d mp( )
B2 : Lấy điểm A đường thẳng d tìm hình chiếu H A lên mp() KL : Đt d’ qua hai điểm I A
Phương pháp2 :
+ Viết phương trình ( P) chứa d vng góc với ()
(23)Đặt biệt : Hình chiếu vng góc đường thẳng d :
0
0
0
x x a t
y y a t
z z a t
lên mặt phẳng tọa độ Oxy có pt :
0
x x a t y y a t z
lên mặt phẳng tọa độ Oxz có pt :
0
0
x x a t y
z z a t
lên mặt phẳng tọa độ Oyz có pt :
x
y y a t z z a t
VẤN ĐỀ 4: Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 v d2
1
d có vtcp avà qua điểm A
2
d có vtcp b qua điểm B
Phương pháp1 : Gọi đường vng góc chung d1 d2
B1: Gọi u VTCP đường vuông góc chung
1
d d
,
ua b
B2: Lập pt mặt phẳng ( ) chứa và d1 () qua điểm A có cặp VTCP a u , B3: Tìm giao điểm I ( ) với d2
KL: Đường vng góc chung qua điểm I có VTCP u
Phương pháp2 :
Gọi A x( 1a t y1 ; 1b t z1 ; 1c t1 )d1; B x( 2a t y2 '; 2b t z2 '; 2c t2 ')d2
Tìm t t’ hai cách : Cách 1 :
Ta có AB phương với u AB k u.
Từ tìm t, t’=> phương trình đường
thẳng qua hai điểm A,B đường vng góc chung Cách :
Ta có : AB
AB
a b
( Từ hệ tìm t, t’ ) => phương trình đường thẳng qua hai
điểm A,B đường vng góc chung
VẤN ĐỀ 5: Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước thỏa điều kiện khác .
Dạng 1 :Lập đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng d1, d2
Phương pháp1 :
B1: Lập mặt phẳng () qua điểm M chứa đường thẳng d1
B2: Tìm giao điểm I ( ) với d2
Đường thẳng qua hai điểm M I
B3: So sánh VTCP VTCP đường thẳng d1 Kết luận
Phương pháp2 :
(24)-Gọi A x( 1a t y1 ; 1b t z1 ; 1c t1 )d1; B x( 2a t y2 '; 2b t z2 '; 2c t2 ')d2
Do AB qua M nên A,B,M thẳng hàng
Ta có AB phương AM nên AB = k AM Từ tìm t, t’ phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B đường cần tìm !
Dạng 2 : Lập đường thẳng qua điểm M , vng góc đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2
Phương pháp1 :
B1: Lập mặt phẳng () qua điểm M vng góc đường thẳng d1
B2: Tìm giao điểm I ( ) với d2
Đường thẳng qua hai điểm M I
Phương pháp2 :
Gọi B x( 2a t y2 '; 2b t z2 '; 2c t2 ')d2 Ta có BM.u1 0
( ), với u1
VTCP d1 Từ ( )
tìm t’ Sau viết ptđt qua điểm B, M
Dạng 3 : Lập đường thẳng qua điểm M , vng góc cắt đường thẳng d
Phương pháp 1 :
B1: Lập mặt phẳng () qua điểm M vng góc đường thẳng d B2: Tìm giao điểm I ( ) với d
Đường thẳng qua hai điểm M I
Phương pháp2 :
Gọi B x( 0a t y; 0b t z; 0c t)d Ta có BM.u 0
( ), với u VTCP d Từ ( ) tìm t Sau viết ptđt qua điểm B, M
Dạng 4 : Lập đường thẳng qua điểm M, song song mặt phẳng (P) cắt đường thẳng d
Phương pháp1 :
B1: Lập mặt phẳng () qua điểm M song song mặt phẳng ( P ) B2: Tìm giao điểm I ( ) với d
Đường thẳng qua hai điểm M I
Phương pháp2 :
Gọi B x( 0a t y; 0b t z; 0c t)d Do BM // ( P ) nên BM.n0
( ), với n VTPT ( P ) Từ ( ) tìm t Sau viết ptđt qua điểm B, M
Dạng 5 : Lập đường thẳng nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước
Phương pháp :
B1: Tìm giao điểm A B d1 , d2 với mp( P )
B2: đường thẳng qua hai điểm A B
VẤN ĐỀ :Lập đường thẳng nằm mp( P ) v cách đường thẳng d P cho trước khoảng L
Phương pháp : Cho đường thẳng d có VTCP aa a a1; ;2 3 qua điểm Ax y z0; ;0 0
Mặt phẳng P : Ax + By + Cz + D = có VTPT nA B C; ;
B1: Lập mặt phẳng () vng góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d cách điểm A khoảng L
B2: Lấy điểm M P
Đường thẳng qua điểm M có VTCP aa a a1; ;2 3
VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng nằm mp( P ) vng góc đường thẳng d cho trước giao điểm I d mp( P )
Phương pháp :
(25)B2:
P
d d có VTCP
,
P d
u n a
Đường thẳng qua điểm I có VTCP u VẤN ĐỀ :Lập phương trình mặt cầu ( S )
Phương pháp1: Tìm tâm bán kính
Phương pháp2 : ( Có kiện mặt cầu qua điểm ) B1 : Chỉ dạng
Nếu có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc
Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 Nếu khơng có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc
Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0
B2 : Khai thác kiện để lập hệ phương trình
VẤN ĐỀ : Lập phương trình tiếp diện mặt cầu ( S ) (Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc )
Dạng 1 : Tiếp diện điểm M thuộc ( S )
Phương pháp :
Tiếp diện điểm M vng góc IM có VTPT IM
Dạng 2 : Tiếp diện song song mặt phẳng song song hai đường thẳng không phương vng góc đường thẳng cho trước
Phương pháp :
B1 : Tìm VTPT tiếp diện
; ;
n A B C
Phương trình tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = 0 B2 : Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I ,tiếp diện = R