Su dung tinh don dieu trong giai phuong trinh batphuong trinh he phuong trinh

[r]

(1)

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A) Phương pháp :

1 Đối với loại phương trình có hướng để giải quyết:

Hướng 1:

Bước 1: Đưa phương trình dạng : f(x)k (1) Bước : Xét hàm số y f(x)

Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến

Bước : Lúc phương trình (1) có nghiệm x x0 ( mà ta nhẩm được) Hướng 2:

Bước : Đưa phương trình dạng : f(x)g(x) (1) Bước : Xét hai hàm số y f(x) y g(x)

Dùng lập luận để khẳng định y f(x) hàm đồng biến (nghịch biến) vày g(x) hàm nghịch biến (đồng biến)

Bước : Lúc phương trình (1) có nghiệmx x0 nghiệm Hướng 3:

Bước 1: Đưa phương trình dạng f(u)f(v) (1) Bước : Xét hàm số : y f(t)

Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước : Khi từ (1) suy : u v

2 Đối với loại bất phương trình có hướng để giải quyết:

Hướng 1:

Bước 1: Đưa phương trình dạng : f(x)k (1)

Bước 2: Xét hàm số y f(x) Dùng lập luận để khẳng định hàm số tăng (giảm) Bước 3: Từ (1) ta thấy f(x) f()

Bước 4: Dựa vào định nghĩa đơn điệu suy x  hàm số tăng hay 



x hàm số giảm

Hướng 2:

Bước 1: Đưa phương trình dạng : f(u) f(v) (1) Bước 2: Xét hàm số y f(x)

Dùng lập luân để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến

Bước 3: Khi từ (1) suy ra: u v đồng biến ,u v nghịch biến

B) Bài tập ứng dụng :

Loại 1: Giải phương trình

1 4 1

  

 x

x

2 3sinx 2 sinx 1

3

   

 x x

x

4

5 ) 2 (

log

1

3

2

 

        

 x x

x x

5 2 2 ( 1)2

   

 x x x

x

6 8sin 4sin 8sin1 5 4sin1 1

 

 

 



x x

e

(2)

7 1 1        

 x x x x x

x

 Bài làm:

1 4 1

  

 x

x Điều kiện:

  

 

0

2 x

x

2   x

Nhận xét : số nghiệm phương trình số giao điểm hàm số

1

4

 



 x x

y y 1

Xét hàm số 4

 



 x x

y

 Miền xác định : 

  

 

  ,

2

D

 Đạo hàm 21

1

4

2

2 '

     

 x

x x x

y

Suy hàm số đồng biến

Do hàm số có nghiệm x 21 3sinx 2 sinx 1

Đặt t sinx , điều kiện t 1

Khi phương trình có dạng : 3t  2 t 1 t

t   



 (*)

Xét hàm số :

 Hàm số f(t) 3t hàm đồng biến D 1,1

 Hàm số g(t)1 2 t hàm nghịch biến D  1,1

Từ (*) suy : f(t)g(t) có nghiệm nghiệm Ta thấy t 1 nghiệm phương trình (*), :

Z k k

x

x    2 

1 sin

3

   

 x x

x (*)

Điều kiện : x1

Xét hàm số f(x) x hàm đồng biến D 1,

Xét hàm số ( )

  

 x x

x g

 Miền xác định D 1,

 Đạo hàm : y' 3x2 40 xD

hàm số nghịch biến D

Từ (*) ta có : f(x)g(x)

Do phương trình có nghiệm nghiệm nhất.Ta thấy



x thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x 1

4

5 ) 2 (

log

1

3

2

 

        

 x x

x

(3)

Điều kiện :

0

2  x 

x 

 

  

2

x x

Đặt ,

 



 x x u

u

Lúc : 3x x2  11 u2

Khi : (*)

5 ) ( log

2

1

3  

       

u

u (**)

Xét hàm số :

2

1

3 5

1 ) ( log ) (

x

x x

f



        

 Miền xác định: D 0,

 Đạo hàm : '( ) ( 12)ln315.2 2.ln30 

 x x

x x

f ,x D

Suy hàm số tăng D

Mặc khác : f( 1) 2 Do (**) có dạng : f(u)f(1)  u1 Với

2 1  

 x

u

Vậy phương trình có nghiệm

2  

x 2 2 ( 1)2

   



x

x x x

Biến đổi phương trình dạng : x x x x x x    

 

1 2

2

2 (*)

Xét hàm số f x t t

 2 ) (

 Miền xác định : D R

 Đạo hàm : f t t t D

   

ln2.2

) ( '

Từ (*) có dạng f(x 1) f(x2 x)  

  x1x2 x x1 Vậy x 1 nghiệm phương trình

6 8sin 4sin 8sin1 5  4sin1  1 



 



x x

e

e x x

Điều kiện : x R

Biến đổi phương trình dạng :

1 sin

1

sin

1 4sin

5 sin

 

 

 



x e

x

e x x

(*) Xét hàm số f(t) et 1t

 

 Miền xác định : D R

 Đạo hàm : x D

t e x

f t

   



)

(' 2

(4)

          x x x x sin sin sin sin        sin sin x x                    6 2 k x k x k x

7 1 1

       

 x x x x x

x

Điều kiện :

              1 2 x x x x x x                1 2 x x x x x x Với                            2 2 0 1 x x x x x x x x x x x x x         0 Với                                 1 1 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x           1

Vậy D R

Biến đổi phương trình dạng :

1 ) ( ) ( ) ( 1

2         

 x x x x x

x ) ( ) ( ) ( ) (

2           



 x x x x x x x x (*)

Xét hàm số ( )

  

 t t t

t f

 Miền xác định D R

 Đạo hàm :

1 2 )' ( ) ( ' 2 2                  t t t t t t t t t t t t t t t f Nhận xét :

0 2 ) ( 4

2 2

                 

 t t t t t t t t t

t

  

 f'(x) x hàm số đồng biến

Khi :

(*) f(x)f(x1) xx1 vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm

Loại 2:Giải bất phương trình

1 x9 2x4 5

2 2 11

       

 x x x x x

x

Bài làm:

1 x9 2x4 5 (1)

(5)

  

    

 

2

4

0

x x

x

(*)

Xét hàm số yf(x) x9 2x4

 Miền xác định : D  2,

 Đạo hàm f x x x  xD

  



4

1

1 ) ( '

Suy hàm số đồng biến D

Ta có : f(0)5,do :

 Nếu x0 f(x) f(0) x9 2x4 5, nên x0 nghiệm  Nếu  2x0 f(x)f(5) x9 2x4 5 nên  2x0

không nghiêm

Vậy với x0 nghiệm (1)

2 2 11

       

 x x x x x

x Điều kiện:

3

1

0 11

0

2

   

     

 

  

x x

x x x

x x

(*) Biến đổi bất phương trình thânh:

x2 2x3 x1 x2 6x11 3 x x

x x

x        

 ( 1)2 (3 )2 (1)

Xét hàm số f(t) t22 t Ta thấy hàm số đồng biến 1,3 Từ (1) ta có f(x 1) f(3 x) x13 x x2

So sánh với (*) ta có : 2x3 nghiệm bất phương trình Loại 3: Giải hệ phương trình

1

  

 

   

y x

x y

x

3

) (

1

2

    

   

x y

y

y x

x

3

2

3     

     

   

 

     

x z

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

) ln(

3

) ln(

3

) ln(

3

2

Bài làm:

1

  

 

   

y x

x y

x

3

) (

1

Điều kiện :

  

   

 

0

y x y

x

(6)

  

 

    

y x

x x

x

3

) (

1 ) (

Từ phương trình : x 1 (x 1)2 1 x3     

2

1

     

 x x x x (*)

Ta thấy hàm số f(x) x1 hàm đồng biến 1,

Xét hàm số ( ) 2

   

 x x x

x g

 Miền xác định : D 1,

 Đạo hàm g'(x)3x22x 20 xD

Suy hàm số nghich biến

Từ (*) ta thấy x 1 nghiệm phương trình nghiệm Vậy hệ có nghiệm (1,0)

    

   

x y

y

y x

x

3

2

Điều kiện:

  

  0

y x

Biến đổi hệ

    

   

   

y y

x

y x

x

2

3

2

Cộng vế theo vế ta có : 3 3 3

     

x x y y (*)

Xét hàm số ( ) 3

  

 t t

t f

 Miền xác định : D 1,

 Đạo hàm : t x D

t t t

f     





2 3

) ( '

2 Suy hàm số đồng biến Từ (*) ta có f(x)f(y) xy

Lúc : 3

 

x x

 VT hàm số hàm tăng  VP hàm

 Ta thấy x 1 nghiệm

Suy phương trình có nghiệm x1 nghiệm Vậy hệ có nghiệm





3

    

     

   

 

     

x z

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

) ln(

3

) ln(

3

) ln(

3

2

Xét hàm số ( ) 3 ln( 1)     

t t t t

t f Lúcđó hệ có dạng

    

  

x z f

z y f

y x f

) (

(7)

 Miền xác định: D R

 Đạo hàm : x R

t t

x

f   

 

  



1

1 3 ) ( '

2

.Suy hàm số đồng biến D

Ta giả sử (x,y,z)là nghiệm hệ x maxx,y,z ta suy ra:

x z f y f z z y f x f

y ( ) ( )   ( ) ( )

Vậy xyzx xyz.Thay vào hệ ta có : x3 3x 3ln(x2  x1)x

0 ) ln(

3

2

3

     

 x x x x

Ta thấy x 1 nghiệm phương trình (vì VT đồng biến )

C) Bài tập tự luyện:

Giải phương trình,bất phương trình hệ sau:

1. 2

    

 x x x x

2. 3 12

    

 x x x

x

3. 2x1 x2 3 4 x

4. 1 2 1  1 1

 

 



x x

e

e x x

5. 2 24 (4 2)

  

  

 x m m x m

x m

6. tanx2.3log2tanx 3

7. x

x x x

4 cos

sin

sin 2 sin

1

2

2  

8. 32sin (3sin 10).3sin sin

 

 

 x x x

x

9.

  

  

  

12

2

2 xy y x

x y y x

10.

  

   

  

 

7 4

0 ) ( ) (

2 2

x y

x

y y

x x

11. 1

 

 x

x

12. x x2 (x 1)(3 x)

     

13. x 1 1 2x x2 x3

    

14. x3 x 39 x

15.

    

     

3

2

x y

y

y x

x

16.

  

  

25 2 y x

y xy x

17.     

  

 

 ,

3

2 sin

y x

x y y

x

(8)

18.

      

  



  



  



z x z

z

y z y

y

x y x

x

) ( log

3

19.   

    

  

8

1 tan tan

y x y

x y y x

20.

      

 

   



4 ,

) ( 10

sin sin

4

  x y

y x