Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải toán hệ phương trình

Kiến thức hàm số, đồ thị hàm số và các kỹ thuật giải phương trình bậc cao, vô tỷ khác chắc hẳn các bạn học sinh đã thuần thục, đáng lưu ý hơn hết là cách tìm miền giá trị của các biến[r]

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ _

Hệ phương trình nội dung trọng tâm, phổ biến chương trình đại số phổ thơng Đặc biệt, phận hữu cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn, thường bố trí vào câu đề thi thức năm gần (sau câu giải phương trình lượng giác) Để giải hệ phương trình có nhiều phương pháp, từ phương pháp đơn giản phép thay thế, cộng đại số, đến phép đặt ẩn phụ, hình học, đồ thị, hàm số, song hành kỹ phân tích nhân tử, kỹ giải phương trình bậc cao phương trình vơ tỷ tạo hệ thống tập vô đa dạng Trong phương pháp hương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số phương pháp mới, tích hợp nhiều kiến thức, kỹ năng, thực tế xuất đề thi tuyển sinh năm gần (2012 2013, mơn Tốn khối A) Có thể nói kỹ thuật đột phá, nhạy bén, kiến thức sử dụng bản, túy – tính chất đơn điệu hàm số, cho thu lời giải gọn gàng, đẹp mắt, bất ngờ Bài viết nhỏ nhằm chia sẻ với bạn số ý tưởng kinh nghiệm xử lý lớp toán thú vị

Để mở đầu viết, xin trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học mơn Tốn khối A, Đề thức, năm 2012

B

Bààiittoốánn11 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh  

3

2

3 9 22 ,

;

x x x x y y y

x y x y x y

       



 

   

 

 Lời giải

Điều kiện x y; 

Hệ phương trình cho tương đương với

         

 

3

2

3

2

3 12 12 3 12 12

1

1

4

1 12 1 12 1

1

1

2

x x x x y y y y

x x y y

x x y y

x y

           

 

     

 

       



    

   

   

   



Chú ý  

2

2

1 1 1 3 3 1

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2

1 1

1

1 1 1 1 1

1

2 2 2

2

x x x x x

y y y

y y

     

   

             

     

    

 

              

 

    

     



Xét hàm số   12 ; 3; 2

f t t  t t  

 thì  

2 3

3 0, ;

2

f t  t     t  

 , hàm số liên tục, đồng biến Khi  1  f x 1 f y 1x 1 y 1 x y2 Phương trình thứ hai hệ trở thành

 

2 3 1

4 ; ; ; , ;

2 2 2

x  x   x   x y       

     

Kết luận hệ phương trình cho có hai cặp nghiệm Nhận xét

Để giải toán trên, bạn học sinh cần nhận đồng điệu hai ẩn x y phương trình thứ nhất, cố gắng thêm bớt tạo tương đồng hàm số kiểu f u  f v uv Tuy nhiên để có điều này hàm số cần đơn điệu (cùng đồng biến nghịch biến miền xác định) Kết chúng ta thu hàm số khơng cho phép điều f t t312t!

Viết lại phương trình bậc hai dạng ẩn x, tham số y: 2

0 4

2

x  x y y      y  y Điều kiện có nghiệm 4 4 3

2

y y y y y

           

Viết lại phương trình bậc hai dạng ẩn y, tham số x: 2 4

y yx  x      x  x Điều kiện có nghiệm 4 4 3

2

x x x x x

           

- Mời bạn đến với tốn 2, trích lược Đề thi chọn Đội tuyển dự thi HSG Quốc gia Mơn Tốn, Trường THPT Chuyên, trực thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2010 – 2011

B

Bààiittoốánn22 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh     

2

2

2 2 18,

;

7 14

x x y y

x y x y xy x y

     



 

     

 

 Lời giải

Điều kiện x y; 

Coi phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x ẩn y, ta có

   

   

2

2

7 14

6 14

x y x y y

y x y x x

      

 

     

 

Điều kiện có nghiệm hai phương trình

2

2

7

3 10 3

10

3 16 20 2

3 y

y y

x x x

         

 



 

     

 

  

 

Xét hàm số   2 4;   3;  

4 f t  t  t t f t  t f t   t Do hàm số   2 4; 2;10

3 f x  x  x x  

 và  

2

2 4; 1;

3 f y  y  y y  

 đều liên tục, đồng biến Suy f x f y     f   2 f 3

Dấu đẳng thức xảy x2;y1 Hệ phương trình đề có nghiệm Nhận xét

Đối với tốn này, việc phân tích bình phương phương trình hai trở nên khó khăn (khơng phải thực hiện được), có tương tự việc tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai hai ẩn x y Rõ ràng chọn phương án chơng gai hơn, sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ẩn x ẩn y Sau xử lý triệt để miền giá trị x y, để ý tương đồng hai biểu thức phương trình thứ Trường hợp hai biểu thức khác nhau, bạn hồn tồn sử dụng kiến thức hàm số kỹ khác bất đẳng thức để tìm x2;y1

Giả dụ phương trình thứ có dạng x24x6y3254 hay chí có dạng khủng bố

     

1 3 105; 38

x x  x y  y  x  x y y  Chúng ta sử dụng tích hai hàm đồng biến f x g y    để thu x2;y1

-

B

Bààiittoốánn33 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh    

3 2

2

3 20 39 100,

;

4

x y x xy y x

x y

x y xy y x

      



 

    

 

 Lời giải

Điều kiện x y; 

Coi phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x ẩn y, ta có

 

 

2

2

3 4

4

x x y y y

y y x x x

     

     

2

1 2

7

3 10 3

0;

4

3

0

3 y

y y

x x

x 

  

   

 

     

  



   

  Phương trình thứ hệ trở thành

 

     

3 2 2

3

3 20 4 39 100

3 18 45 3 108 108

x y x y x x y y x

x x x y y y f x g y

         

         

Xét hàm số   3 18 45; 0;4

3

f x  x  x  x  

   

2

9 36 45 0, 0;

3

f x  x  x    x  

  Hàm số liên tục, đồng biến miền nên  

4 0;

3

4 892

3

x

Max f x f

 

 

    

 

Xét hàm số   3 ; 1;7 g y   y  y  y y  

     

2

9 8; ;

3 g y   y  y g y   y  

 

Trên miền  

7 1;

3

7 80

1;

3

y

y Max g y g

 

 

   

    

    , suy Max f x  g y 108 Dấu đẳng thức xảy

3

x y Thử lại, kết luận hệ cho có nghiệm

3

x y Nhận xét

Bài toán 3, điều kiện phương trình bậc hai hai ẩn x, y có lẽ trở nên quen thuộc Tuy nhiên phương trình thứ hệ có hình thức mù mịt, nhằng nhịt, khó chịu, ngun tích xy dính vào nhau, muốn sử dụng hàm số thông thường thường cô lập hai biến, xét theo tương đồng hàm hai hàm khác nhau, đòi hỏi phải đồng để đạt dấu đẳng thức Chú ý chút phương trình thứ hai sử dụng phép xy4y3x 4 x2y2, từ suy

 

     

3 2 2

3

3 20 4 39 100

3 18 45 3 108 108

x y x y x x y y x

x x x y y y f x g y

         

         

Một vấn đề đặt không thay đổi giả thiết miền giá trị hai biến, lại phân tích bình bình phương hay tam thức bậc hai thế, có tầm thường không ? Thành thử, nâng lên cấp thành xem nào, điều kiện thức Mời bạn học sinh theo dõi toán sau

-

B

Bààiittoốánn44 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh      

2

3 2

1 1,

;

4 35

x y y

x y

x y x y x y

    



 

     

 

 Lời giải

Điều kiện y0

Từ phương trình thứ ta có x12 1 y3 y  1 x    1 x0

Phương trình thứ hai hệ trở thành x34x25xy33y235y5 f x g y 5 Xét hàm số f x x34x25x miền 2;0 ta có

  3 8 5;   0 1;5

3

f x  x  x f x    x  

  Trên miền 2;0thì hàm số f x nghịch biến, liên tục,    

 

 

2;0

2 34

x

Max f x f

 

    Xét hàm số g y  y33y235 ;y y0, dễ thấy hàm số đồng biến nên    

0

1 39 y

Max g y g



 

Như Max f x  g x 5 Dấu đẳng thức xảy x 2;y1 Cặp giá trị không thỏa mãn hệ ban đầu, kết luận tốn vơ nghiệm

B

Bààiittoốánn55 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh  

3

2 2

3 2,

;

1

x y y x

x y

x x y y

    



 

    

 

 Lời giải

Điều kiện  1 x1;0 y2

Từ điều kiện ta có x 1 0; , y0; 2 Phương trình thứ hệ biến đổi thành

 3  2  

3 2 3

3 3 3 3

x  x  x  x  x y  y  x  x  y  y 

Xét hàm số     2   

3 0, 0;

f t t  t  f t t t   t Hàm số nghịch biến, liên tục 0;  Do    f x 1 f y x 1 y Thay vào phương trình thứ hai hệ

 

2 2 2 1 4 4 4 4 2 8 0 0 1

x   x x  x    x x x   x y Cặp giá trị nghiệm hệ ban đầu, kết luận S0;1

Nhận xét

Các bạn học sinh dễ dàng nhận thấy phức tạp phương trình thứ hai, tâm lý e ngại tất yếu, phương án khai thác phương trình thứ lóe sáng Sau cố gắng hội quân quy dạng hàm số

 3  2  

3 3 3 1 3 6 3 3 1 3 1 3

x  x  x  x  x y  y  x  x  y  y 

Hàm số f t t33t2 f t t2t3, dấu đạo hàm chưa xác định Tuy nhiên để ý tý, với điều

kiện x 1 0; , y0; 2 dễ thấy hàm nghịch biến Thao tác giải phương trình trùng phương cuối có lẽ bạn xử lý OK

-

B

Bààiittoốánn66 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh  

   

3

3 3

2 1 8,

;

1

x x y y

x y

x y y x y

       



 

     

 

 Lời giải

Điều kiện y1;x 2

Phương trình thứ hệ tương đương với

       

   

3

3

2

2

3 2 1 1

2

1

2 1 2

2

x x

x x y y y y

x x

x y y x x

x x

 

            

   

 

            

   

 

Phương trình thứ hai hệ trở thành x33x22x3y38y y40 f x g y 0

Xét hàm số f x x33x22 ;x x2 ta có f x 3x26x 2 0, x Dễ thấy hàm số đồng biến liên tục nên    

2

2

x

Min f x f



 

Xét hàm số g y 3y38y y4;y0ta có   0,

g y y y

y

      

Hàm số liên tục, đồng biến suy    

1

1

y

Min g x g



 

Tóm lại ta thu Min f x  g y 0, dấu đẳng thức xảy x2;y1 Cặp giá trị thỏa mãn hệ đề nên nghiệm hệ

Nhận xét

Đối với tốn số này, hai hình thức phương trình hai phức tạp, tỏ bất lợi cho Tuy nhiên nhiều bạn học sinh quen thuộc với kỹ thuật liên hợp phương trình vơ tỷ dễ dàng nhận cách phá đề, cần ý y31 y 1 0, y 1sẽ tìm miền giá trị biến x chặt so với

2

x  Có thể nhiều bạn học sinh vội vàng xét hàm số f x   ,g y sẽ gặp phải trở ngại dấu đạo hàm

 

3 2; ?

f x  x  x x  Ngồi bạn giải bất phương trình sau để tìm x2:

2

-

B

Bààiittoốánn77 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh

     

3

2

4

2 13 1,

;

17

x x x y y y

x y

x x x y y y

      



 

      

 

 Lời giải

Điều kiện y1;x1 Phương trình thứ hệ biến đổi thành

   

    

   

3

2

3

3

3

2

2 13

3 14 14 14

3

8 2

1

3

2 2

1

x x x y y y

y y y x x x x x

y y

y y y y y y

y y y y

y y y y y

y y

     

            

 

           

 

   

 

          

 

 

 

Phương trình thứ hai hệ tương đương với

   

     

2

4

2

4

17

17 2

x x x y y y

x x x y y y f x g y

      

          

Xét hàm số    4  

17 6

f x  x x  x  f  Xét hàm số g y  y3y28 ;y y2ta có

  3 2 8 0, 2

g y  y  y   y nên hàm số đồng biến, liên tục Suy g y g 2   4 f x g y   6 Dấu đẳng thức xảy y2;x1

Thử lại ta thu nghiệm hệ Nhận xét

Bài tốn có mức độ khó nhỉnh chút so với tốn 6, tác giả mạo muội sử dụng đặc tính không âm biểu thức f x 2g x  g x 0 với điều kiện thức tốn Để tìm điều kiện của biến y, ngồi lời giải sử dụng tính đơn điệu hàm số sau

   

3

3

2 13

3

x x x y y y

g y y y y x x x f x

     

        

Dễ thấy hàm f x   ,g y đồng biến với điều kiện y1;x1nên

   1 14   3 1 14  2 2

f x  f  g y  y  y y  g y

-

B

Bààiittoốánn88 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh    

         

3

2 2

3 1 8,

;

2 2

x y y y x

x y

x y y y x y x x

       



 

      

 

 Lời giải

Điều kiện y1 Phương trình thứ hai hệ cho tương đương với

       

      

   

2 3

2 3

2 3

2

2 2

1

x y y y x y x y y x x

x y y x y y y x x

x y y x x

          

          

      

Dễ thấy   2    2 

1 0, 2

2 x

x y y y x x x x

x  

               

  

Xét x1thì 2y1 y  1 53 (Vơ nghiệm) Xét x 2 phương trình thứ hệ trở thành

 

       

3

2

9 24 19 1

2 1 1

x x x y y y

x x y y y

       

Để ý x2 2 x5  2y1 y 1 y 1 0,    x 2; y nên (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa x 2;y1

Cặp số x 2;y1thỏa mãn hệ nên nghiệm toán Nhận xét

Mấu chốt toán biến đổi phương trình thứ nhất, điều manh nha từ việc phán đoán cặp nghiệm x 2;y1của hệ từ phương trình thứ hai Kết hợp kiến thức bất đẳng thức AM – GM, từ đưa hướng thiết lập hạng tử   2 

3 2

x  x  x x  để thu lời giải

-

B

Bààiittoốánn99 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh    

4 2

2 2

4 2 1 ,

;

1

y x x x y y

x y

x y y xy

      



 

   



 Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét trường hợp

y x không thỏa mãn hệ cho Ngồi khả đó, phương trình thứ hệ biến đổi

 

   

4

2

2

1 1

2 2

1

2 1

y

x x x

y y y

x x

y y



    

 

        

 

 

Xét hàm số      

 

2

2

1

1 ; 0,

f t t t t f t t

t t 

         



Hàm số liên tục, đồng biến với t0nên    1 12

f x f x

y y

 

       

 

Khi phương trình thứ hai hệ trở thành

 

 

     

 

2

2 2

2

2

3

3 1

2

4 12 4 4 1

2 1

2 2 1

1 2

x x

y x x x x x

x

x x x x x x x

x x

x x

x x

 

            



             

  



     

   

 Xét hai trường hợp sau

  

 2

0

1

2 1

x x

x

x x x

  

 

   

     

 

    

2

1

2 2 2 1;

2

x

x y y

x x x

   

           

    



Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có bốn cặp nghiệm x y;     1;1 , 1; , 2    2; , 2    2; 1  Nhận xét

- Sau mời quý độc giả theo dõi tốn 10, trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học mơn Tốn, khối A, Đề thức, năm 2013

B

Bààiittoốánn1100 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh

   

4

2

1 ,

;

2

x x y y

x y

x x y y y

      



 

     

 

 Lời giải

Điều kiện x1

Phương trình thứ hai hệ tương đương với

   2

2

2 4 0

x  x y y  y  y x y  y y y Khi phương trình thứ trở thành

 

4 4

4 4

1 1 1 1

x  x  y   y  x  x  y    y    Xét hàm số f t  t 1 4t1,t1 thì  

 3

1

0,

2 4 1

f t t

t t

     

  Hàm số đồng biến với t1

Dễ thấy    f x  f y 41xy41 Thay vào phương trình thứ hai thu

   

 

2

4

7

0

4

2

y

y y y y y y y

g y y y y

 

        

    



Để ý g y 7y68y3 1 0,  y 0 g y đồng biến, liên tục với y0 Hơn

 1

g  y Từ ta thu hai nghiệm x y;   1;0 , 2;1  

Nhận xét

Đây năm thứ hai dạng toán hệ phương trình sử dụng tính chất đơn điệu hàm số xuất câu 3, kỳ thi tuyển sinh Đại học mơn Tốn thức (khơng kể câu Phân loại thí sinh Đề thi tuyển sinh mơn Toán Đại học khối A năm 2010) Mức độ miền giá trị biến tương tự toán 1, Đề thi tuyển sinh khối A năm 2012, nhiên hình thức vơ tỷ phương trình thứ khiến nhiều bạn thí sinh tỏ lúng túng, e ngại, khó nhìn nhận, chống phá Khả tư linh hoạt, kết nối kiến thức trọng tâm, song hành với kỹ năng tính tốn cẩn thận, xác xây dựng từ toán nhỏ Trong sống, thành bại điều thường thấy, khơng mà nản chí, chùn bước, trái lại cần lạc quan, tin tưởng, cố gắng giữ lấy lề, mạnh dạn, táo bạo, thẳng thắn bảo vệ chân lý, làm chủ phần bầu trời khoa học! Ngồi cách phân tích bình phương trên, bạn coi phương trình thứ hai có dạng ẩn x, tham số y thu kết tương tự

-

B

Bààiittooáánn1111 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh  

   

3

2

3

2 ,

;

4 16 20

y x x y y

x y

x y y x

      



 

    

 

 Lời giải

Điều kiện 2x3;y0

Nhận xét  x2 3x2 1 x2 3 x 1 x2 3x1 Với 2x3;y0, phương trình thứ hệ biến đổi thành

    

1 1 1

y y  y  x  x  y y   y

Phương trình thứ hai hệ tương đương 4x320x16y220y20 y 8 0 f x g y 8 Xét hàm số f x 4x320 ;x x2;3 f x 12x2200, x 2;3 f x đồng biến 2;3 Xét hàm số g y 16y220y20 y8;y1thì g y  32y 20 10 0, y g y 

y

        liên tục đồng

biến 1; Do f x  f 2  8 g y g 1 8, suy f x g y 0

Nhận xét

Mấu chốt toán lại tìm miền giá trị y1 Sau lập hai biến hai bên chiến tuyến, dễ dàng nhận thấy cần tìm miền giá trị hàm số f x  x 2 3x Thao tác định hướng theo nhiều phương án sau

1. Sử dụng đẳng thức túy (lời giải trên)

2. Khảo sát trực tiếp hàm số f x  x 2 3xtrên miền 2;3 

3. Sử dụng bất đẳng thức thức thông thường: a b a b , biến không âm Lưu ý dấu đẳng thức xảy ab0

Sau có miền giá trị biến, dễ thấy hàm chứa x y không tương đồng f u  f v nên bạn có thể liên tưởng tới trường hợp Max f x  g y m Min f x;   g y n

-

B

Bààiittoốánn1122 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh

  

 

2

2

2

2 1 1,

;

3

1

2

x x x y y

x y x y

x

x y

       

 



  

   

 

 



Lời giải

Điều kiện x22y2 2 Phương trình thứ hệ tương đương với

 

     

2

4

2 4 2

2

2 2 2

1

2

1

1 1

1 1 1

x x x

y y

x x y y

x x y y

    

 

       

        

Xét hàm số f t  t2 1 t t; 

 

2

2 2

1

1 0,

1 1

t t

t t t

f t t

t t t

   

       

  

 Như hàm số xét đồng biến,  1  f x 1 fy2x 1 y2 0

Phương trình thứ hai hệ trở thành

2

3

1

x x

x x x

 

  

 (2)

Điều kiện x  2 x   1 x Ta thu

       

2 2 2

3 2 2 3 13

2

2

1

x x x x x x x x x x

x

x x

               

   

    

 

   

   

 

Kết luận hệ phương trình cho có hai nghiệm

-

B

Bààiittoốánn1133 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh    

2

3

2 ,

;

4 24 36 15

x x y y x

x y

x x x y y

      



 

    

 

 Lời giải

Điều kiện x0; 2

Nhận xét  x 2x2  2 x2x 2 1x12   2 4 x 2x2 Từ phương trình thứ hệ ta có

 2  2   

3

2 6 2

y y x x x   x   y y y   y Phương trình thứ hai biến đổi thành 4x324x236x3y44y315 f x g y 15

Xét hàm số f x 4x324x236 ;x x0; 2thì

  12 48 36;   0 4 3 0  1;3

Rõ ràng miền      

 

0;2

0; 16

x

x Max f x f



   

Xét hàm số g y 3y44y y3; 1

  12 12 12 21  0, 1  

g y  y  y  y y    y g y đồng biến

Cho nên    

1

1

y

Max g y g



   Suy f x g y 15 Dấu đẳng thức xảy x y1 Thử lại ta thu nghiệm hệ x y;    1;1

-

B

Bààiittoốánn1144 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh    

3 2

2

3 10 15 4 ,

;

6 17 19 97 72

x y y x x y

x y

y y x x

      



 

    

 

 Lời giải

Điều kiệny1 Phương trình thứ hệ tương đương với

   

       

3

3

2

3 12 15 10 16

3 2

3 2

x x x y y y

x x x y y y

x x y y

      

       

     

Chú ý 2 2 2 1 0, 3 1 2 2 x

y y y x x

x  

          

 

 Xét trường hợp x1thì phương trình thứ hai trở thành 6 y17 y2 1 6

Dễ thấy y17 y2 1 6,  y y1là nghiệm nhất, x y;    1;1  Xét trường hợp x2thì phương trình thứ hai viết lại

   

2

6 y17 y  1 19x 97x720 f x g y 0

Xét hàm số f x 19x397x72;x2 ta có f x 57x2970, x 2nên hàm số đồng biến Suy f x  f 2 30, g y 6 y17 y2 1 6nên

    36

f x g y   Trường hợp vô nghiệm

Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x y;    1;1

-

B

Bààiittooáánn1144 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh  

2

3

2

6 8 ,

;

2

x

y x y y

x y

x x

x y x y

 

     



 

    



 Lời giải

Điều kiện 1;

x y Phương trình thứ hệ tương đương với

 

   

   

   

4

2

4

2

4

2

3

1 2

3

2

3 2 2 2 1

1

2

2 1

3

6

2

2 1

3

1

2 x

x y y y

x x

x x x x

y y y

x x

x x

y y y

x x

x x

y y

x x



 

       

 

 

   

       

  

      

  

    

Để ý        

2

3

2 1

3 1

0,

2

x x

x y y y

x x

  

Phương trình thứ hai hệ trở thành 2x33x23y6 y  4 f x g y 0 Xét hàm số   3 2;

2

f x  x  x x   6 6 ;   0

1 x f x x x f x

x  

      

 

Lập bảng biến thiên hàm f x , rõ ràng miền      

1 ;

1

; 1

2

x

x Min f x f

 

 

 

 

     

 

Xét hàm số g y 3y6 y4;y 0;1      

3

0, 0;1

y

f y y

y 

    

Hàm số nghịch biến nên    

 

0;1

1

y

Min g y g



  Như f x g y 0

Dấu đẳng thức xảy x y1 Thử lại vào hệ ban đầu ta có cặp nghiệm x y;    1;1 Nhận xét

Thao tác biến đổi phương trình thứ hệ thú vị, việc tạo đẳng thức thực tế không phải điều dễ thấy, dựa nhìn từ bất đẳng thức AM – GM (BĐT Cauchy, liên hệ trung bình cộng trung bình nhân) Vì bạn trình bày theo cách sau

Xét phương trình thứ hệ

 

   

   

     

2 4

2

2 4 2

3

4

2

2

6 8 8

2

1 1

2

2

6 1

3

x

y x y y x x x x y y y

x x

x x x y y y

x

x x x x x y y y x

x

y y y y y y

x 

             

       

 

            

            



-

B

Bààiittoốánn1155 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh

     

4 2

3

3 1,

;

6

x y x y

x y

x y y x y

   



 

   

 

 Lời giải

Điều kiện x y; 

Hệ phương trình cho tương đương với

   

       

   

       

2

4 2 2 2 2

3

3

3 2

3

3

x y x xy y x xy y y x y x y x y y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

               

 



 

      

      

 



Từ phương trình thứ suy  

 

2

2

1

1 1

1

1

x y

x y x y

x y x y

x y

         

 

 

  

   

  

  

 



Xét hàm số f t t33 ;t t  1;1 f t 3t2 3 0,  t  1;1, hàm số liên tục, nghịch biến Phương trình thứ hai có dạng f x y f x yxy x yy0

Từ suy 2 1 ;  ;  2; , 2;

2

2

x   x    x y      

     

Hệ ban đầu có hai cặp nghiệm -

B

Bààiittoốánn1166 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnhh

   

3 2

3 11 11 14,

;

8

x x y y x y

x y

x y x xy x y x y y

         



 

       

 

 Lời giải

Điều kiện 1;

3

x  y

     

       

2 2 2 2 2

2

2 2 2

0

2

a b b c c a ab bc ca a b c

ab bc ca a b c a b c a b c

           

           

Áp dụng bất đẳng thức ta có

   

 

2

3 4

11 11 14 4

x x y y x y

x y x y x y

        

        

Phương trình thứ hai hệ trở thành

 

 

 

   

     

3 2

3 2

3 3

3 3 2 3 2

8

3 3 24 24 12

3 24 12 24

12 12 24

0

x y x xy x y x y y

x y x xy x y x y y

x y xy x y x x x y y y

x y x y x x x y y

f x y g x h y

       

        

           

          

    

Xét hàm số f x y  xy312xy;xy2 f t 3xy2120, x y2 Hàm số đồng biến với  x y2, suy f x y f 2  16

Xét hàm số      

2 12 ; 6 12;

2

x

g x x x x x g x x x g x

x  

 

           

  

Với miền    

1 ;

1

;

3

x

x Min g x g

 

   

 

      

 

Xét hàm số   2 3 24;   6 6 ;   0

1

y

h y y y y h y y y h y

y  

 

         

 

Với miền    

1 ;

1

; 23

5

y

y Min h y h

 

  

 

    

 

Tóm lại ta có f x yg x h y 0

Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy đồng thời, nghĩa 1

2; 1

x x y y x

x y x y y

      

 



 

    

 

Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x y;    1;1 Nhận xét

Vẫn motip cũ, tốn khơng nằm ngồi phạm vi sử dụng tính chất đơn điệu hàm số giải hệ phương trình Điểm đáng lưu ý lời giải sử dụng tổng ba hàm số, có hai hàm số cần khảo sát biến thiên, tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất, may mắn dấu đẳng thức xảy đẹp mắt Thao tác tìm miền giá trị tổng t xycó lẽ khó khăn với nhiều bạn học sinh, lẽ dễ dàng nhận vẻ đẹp bất đẳng thức ẩn chứa phương trình thứ Lời giải sử dụng đánh giá đẳng thức thông thường, một cách chứng minh cho bất đẳng thức Bunyakovsky ba cặp số, mong bạn lưu ý

-

B

Bààiittoốánn1177 GGiiảảiihhệệpphhưươơnnggttrrììnnh h      

2 2

4

6

1 44,

;

4 30 21

x x x y y

x y

y x x x y

        



 

     



 Lời giải

Điều kiện x2

Phương trình thứ hệ tương đương với

 

 

  

2

2

2

2 2 14 49 44

2 2 11 4

2 2 9

x x x x x x x y y

x x x x y y

x x x x y y

            

       

  

      

         

2 2

2

2

3 3

2

2

3 1

2

x x

x x y y y

x x

x x y y

x

 

       

  

 

 

        

 

 

 

Rõ ràng 2 1 0, 2

x

x x

x



    

  nên từ (1) suy x 3 0 x3 Xét phương trình thứ hai hệ

     

6

2 4 3 2 3 2

6 21 30

1 21 30

y y x x x

y y y y y x x x

     

          

Ta có y42y33y24y 5 y42y3y22y24y 5 y2y22y12 3 0, y 

Hơn xét hàm số  

4 21 30 9;

f x  x  x  x x

Đạo hàm    

12 42 30 0,

f x  x  x    x f x đồng biến, liên tục nên f x  f  3 0 Phương trình (3) có nghiệm  

2

3

1

1

x y

y x

    





 



 

 

Thử lại cặp giá trị thấy thỏa mãn hệ đề Kết luận nghiệm x3;y1

-

B

Bààiittậậppttưươơnnggttựự

Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực

1  

3

3

7 12 ,

4

x y xy x y x x

x y x y

      

 

    

 

2   

2

3

2

4 2,

6

x x y y

y y x

     

 

    



3

3

2 10 ,

6 13 10

x y x x y x y

x x x y y

         

 

    

 

4  

3

3 3 1 3 1,

1 1

x x y y

x y

     

 

    



5   

2

2

3 11 ,

14

x y xy

x y xy x y

   

 

    

 

6    

 

2 2 0,

8 2

x x y y

x y y

      

 

    

 

- Lời kết