de cuong TNTHPT 2011

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).. Theo chương trình Chuẩn Câu IVA.[r]

Một số nội dung cần ơn tập: I Giải tích:

1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 +cx + d (có tìm điểm uốn)

 Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (chỉ tìm điểm uốn a.b < 0)  Hàm số biến y cxax db

 

 (ad – bc 0)  Hàm số dạng

e dx

c bx ax y

   

2

(Ban NC)

 Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số:

Chiều biến thiên, cực tri, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn, đường tiệm tiệm cận đồ thị hàm số (tc đứng, tc ngang tc xiên (NC)), tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm, tương giao hai đồ thị (một đường cong đường thẳng), điều kiện tiếp xúc, biện luận số nghiệm phương trình đồ thị

2) Nguyên hàm, tích phân ứng dụng tích phân:

 Tìm ngun hàm số hàm số công thức, phương

pháp đổi biến, phương pháp nguyên hàm phần.

 Tính tích phân số hàm số phương pháp đổi biến,

phương pháp tích phân phần.

 Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.

3) Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit:

 Một số toán biến đổi luỹ thừa, logarit.

 Một số toán đạo hàm hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số

logarit.

 Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, bất

phương trình logarit.

 Hệ phương trình mũ, logarit đơn giản.

4) Số phức:

 Dạng đại số số phức: Số phức nhau, số phức liên hợp,

mơđun số phức, phép tốn tập số phức, biểu diễn hình học số phức, bậc hai số thực âm, bậc hai số phức (NC), phương trình bậc hai với hệ số thực có biệt thức 0, phương

 Dạng lượng giác số phức ứng dụng: Biểu diễn số phức từ dạng

đại số sang dạng lượng giác ngược lại, phép nhân, chia bậc hai số phức dạng lượng giác.

 Công thức Moa-vrơ ứng dụng. II Hình học:

1) Hình học tổng hợp:

 Khối đa diện: Khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp, phân chia lắp

ghép khối đa diện, khối đa diện đều, thể tích khối đa diện Phép đối xứng qua mặt phẳng hai khối đa diện (NC)

 Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón: Xác định tâm bán kính mặt cầu,

vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng, mặt cầu đường thẳng, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ, giao mặt trụ với mặt phẳng, giao mặt nón với mặt phẳng.

 Thể tích khối đa diện, khối cầu, khối trụ, khối nón, diện tích xung

quanh hình trụ, hình nón 2) Phương pháp toạ độ không gian:

 Toạ độ điểm, toạ độ vectơ, tích có hướng hai vectơ ứng dụng,

phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng.

 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, mặt phẳng

mặt phẳng, đường thẳng đường thẳng.

 Khoảng cách điểm đường thẳng, điểm

CHUYÊN ĐỀ 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN §1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Phần : SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Để xét tính đơn điệu hàm số ta làm theo quy tắc:

 Tìm TXĐ

 Tính y’=f’(x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà y’=0 khơng xác định  lập bảng biến thiên xét dấu y’

 kết luận y’ từ bảng xét dấu y’ tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Bài tập:

1)Xét tính đơn điệu hàm số a) y = f(x) = x3+ 3x2+1.

b) y = f(x) = 2x2 - x4. c) y = f(x) = xx 23

 

d) y = f(x) =

x

4 x x2

  

e) y= f(x) = x33x2 g) y f(x) x2 x3x1

   



h) y= f(x) = x42x2 i) y = f(x) = sinx [0; 2]

2) Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số đồng biên khoảng

xác định (ĐS:1  m  0)

3) Tìm mZ để hàm số y = f(x) = mxx m1 



4) Chứng minh : hàm số luôn tăng khoảng xác định (trên khoảng xác định) :

a) y = x33x2+3x+2. b)

1 x

1 x x

y

  



c) y 2xx 11  



Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Để tìm cực trị hàm số ta áp dụng quy tắc sau:

- Tìm TXĐ

- Tính y’ tìm điểm xi (i =1, 2, …)mà y’=0 khơng xác định - Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điểm cực trị hàm số Để tìm cực trị hàm số ta áp dụng quy tắc sau:

- Tìm TXĐ

- Tính y’ tìm điểm xi (i =1, 2, …)mà y’=0 khơng xác định - Tính y’’ y’’(xi)

- Dựa vào dấu y’’(xi) để kết luận điểm cực trị hàm số BÀI TẬP:

1) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số quy tắc I: a) y = x3.

b) y = 3x + x3 +

2) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số quy tắc II: a / y x4 3x2 2

  

b) y = x2lnx

c) y = sin2x với x[0;  ] .

3) Xác định tham số m để hàm số y = x33mx2+(m21)x+2 đạt cực đại x = ( m = 11) 4) Xác định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4

b.Có cực đại cực tiểu ( m <1) 5) Xác định m để hàm số y = f(x) =

x

m x x2

   a Có cực đại cực tiểu (m>3)

b Đạt cực trị x = (m = 4) c Đạt cực tiểu x = -1 (m = 7)

6) Tìm cực trị hàm số : a)

x x

y 

b) 2x

4 x

y

  



7) Xác định m để hàm số sau đạt cực đại x =1: y = f(x) =

3 x3

-mx2+(m+3)x-5m+1 (m = 4)

8) Hàm số

2( 1)

3

m

y x  m x  mx Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu

CHUYÊN ĐỀ : GTLN – GTNN – TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ Phần 1: GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn khoảng (a; b)

Tính y’ Tìm điểm x1, x2,… khoảng (a;b) mà y’=0 khơng xác định

Lập bảng biến thiên

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn [a; b]

Tính y’ Tìm điểm x1, x2,… khoảng (a;b) mà y’=0 khơng xác định

Tính f(a), f(b), tính f(x1), f(x2),….

Tìm số lớn M nhỏ m số max ( )a b; f x M; ( )a b;  f x m

BÀI TẬP

1) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = x2-2x+3 (

R

Minf(x) = f(1) = 2)

2) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = f(x) = x2-2x+3 [0;3]. (Min[0;3] f(x) = f(1) = Max[0;3] f(x) = f(3.) =

5) Tìm GTLN: y = x2+2x+3 (

R

Maxy = f(1 ) = 4) 6) Tìm GTNN y = x – +

x

1

với x > (Min(0;) y = f(1 ) = 3) 7) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = 2x3+3x21 đoạn

     

 ;1

2

; (Max;1] y f(1)

2 [    ; ) ( f y Min ] ; [     )

8) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x4-2x2+3. (

R

Miny = f(1) = 2; Khơng có MaxR y) b) y = x4+4x2+5. (

R

Miny=f(0)=5; Không có MaxR y)

Bài 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau

a

3

y x  x  x  x đoạn 2; 2

b 2 x y x  

 đoạn3;4

c y x3 6x2 9 ,x x 0; 4

   

d y x 2 x2, x  2; 2

    

Phần : TIỆM CẬN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT

BÀI TẬP

Bài tập : Chia lớp làm nhóm yêu cầu nhóm giải câu sau.Tìm tiệm cận đứng,ngang đồ thị hàm số sau : a/

2 x y x  

 b/

3 x y x  

 c/

5

y

x



 d/

4 y x    Gợi ý lời giải : a /

2 x y x  

 ta có

2 lim , x x x      



2 lim , x x x     

 Nên đường thẳng x = - đường tiệm cận đứng đồ thị

Vì

1 2

lim lim

2 1 x x x x x x        

a./

2

12 27

4

x x

y

x x

 



  b/

2 ( 1)

x x y

x

  

 c /

2

3

x x

y x

 

 d / 2

4

x y

x x

 

  Gợi ý lời giải :

a./ 22 12 27

4

x x

y

x x

 



  Vì

2

12 27

lim

4 x

x x

x x

 

 



  nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị Vì x2 4x 5

  > ,x nên đồ thị tiệm cận đứng

KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LÝ THUYẾT

1 Sơ đồ khảo sát hàm số:

1) Txđ

2) Sự biến thiên

Giới hạn tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận hàm phân thức) Bảng biến thiên:

3) Tính đạo hàm

4) Tìm điểm xi cho phương trình y’(xi) = Tính y(xi)

5) Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến cực trị. 6) Vẽ đồ thị:

- Tìm giao với trục toạ độ (Hoặc số điểm đặc biệt) - Vẽ đồ thị

2 PTTT đồ thị hàm số

a) PTTT hàm số (C): y = f(x) điểm M0(x0; y0)

Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f(x0)(x – x0)

Bước 2: Tính f(x)

Bước 3: Tính f(x0)

Bước 4: Thay x0, y0 f(x0) vào bước

Bước 1: Tính f(x)

Bước 2: Giải phương trình f(x0) = k  nghiệm x0

Bước 3: Tính y0 = f(x0)

Bước 4: Thay x0, y0 k = f(x0) vào PT: y – y0 = f(x0)(x – x0) VD1 : Cho hàm số y = - x3 + 3x2 -

1) Khảo sát hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm y’’=0 Giải:

a) Khảo sát hàm số: Tập xác định: R Sự biến thiên:

a) Giới hạn: xlim y 

b) Bảng biến thiên: y’ = - 3x2 + 6x, y’ =  - 3x2 + 6x = 0 1

2

0

2

x y

x y

   

    



- Hàm số đồng biến khoảng (0 ; 2) nghịch biến

trên khoảng (-∞ ; 0) (2 ; +∞) - Cực trị: Điểm cực

đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2)

3 Đồ thị : - Điểm uốn : y” = - 6x + 6; y” = x =  y = 0 Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0)

- Giao Ox : A(1 3;0); (1B  3;0); (1;0)U - Giao Oy : D(0 ; -2)

Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm tâm đối xứng

b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn U(1 ; 0) Hệ số góc k = f’(1) =

Vậy ta có phương trình tiếp tuyến : y - y0 = k(x - x0) hay : y - = 3(x - 1)  y = 3x -

Một số ý khảo sát hàm số bậc ba :

X - ∞ +∞ y’ +

-y

+∞

-2 - ∞

2

-2

y

2. a0 xlim y;a0 xlim y 

3. a > : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Khơng có cực trị y’> y’< xR)

4. Tìm điểm uốn trước vẽ đồ thị Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

VD 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x +

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 – 3x – + m = 0 ĐS: * m > 4: n0; * m = 4: n0; * < m < 4: n0; * m = 0: n0; * m < 0: n0

c) Viết phương tình tiếp tuyến điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) HD: PT đt qua điểm A(xA; yA) B(xB; yB) cú dạng: A A

B A B A

x x y y

x x y y

 



  ĐS: y = 2x + 2

VD3: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 – k = 0 ĐS: * k > 4: n0; * k = 4: n0; * < k < 4: n0; * k = 0: n0; * k < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ -1

HD: Thế x = -1 vào (C)  y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x

d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1

VD4: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 5x

3

 

ĐS: y = 5x 83 27

  ; y = 5x 115 27

 

VD5: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m =

b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = 9x 1

8

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số: y x3 12x 12

   (C)

1) Khảo sát hàm số

2) Tìm giao điểm (C) với đường thẳng d: y = - Bài 2: Cho hàm số 2( )

3

y  x  x C (Đề thi TN 2002) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C)

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3; 0) Bài 3: Cho hàm số 3 ( )

4

y  x  x C (Đề TN 2001) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ (d) Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x3 - (m + 2)x + m

a) Tìm m để hàm số có cự đại tương ứng với x = b) Khảo sát hàm số tương ứng với m = 1(C)

c) Biện luận số giao điểm (C) với đường thẳng y = k

Bài 5 : (Đề 97) Cho hàm số y = x3 - 3x + (C) Khảo sát hàm số (C) Bai 6: (Đề 93) Cho hàm số y = x3 - 6x2 + (C)

1) Khảo sát hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y’’=0 3) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm phương trình x3 - 6x2 + - m.

Bài 8 : Cho hàm số 2,( )

y x  x  C

1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:

2

6

4

2

-2

5 x

y

KHẢO SÁT HÀM SỐTRÙNG PHƯƠNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1 Sơ đồ khảo sát hàm số:

2/ Bài tốn : Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình f(x)= ( )m

Phương pháp giải:

B1: Vẽ đồ thị (C) hàm f(x) (Thường có tốn khảo sát hàm số )

B2: Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y=( )m Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm

Ví dụ:

Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C)

Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = Giải:

Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0

 x3 – 6x2 + 9x = m

Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d: y=m dựa vào đồ thị ta có:

Phần 2 : Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải tập

Hàm số bậc trùng phương y = ax4 + bx2 + c VD1: Cho hàm số 2 9( )

4

y x  x  C

a) Khảo sát hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Giải:

a) Khảo sát hàm số Tập xác định: R

Sự biến thiên

a) Giới hạn: limx y 

b) Bảng biến thiên:

1

3

2,3 2,3

9

4 y' = - x + 4x; y' =

25

4

x y

x y



  

  

   



x -∞ - +∞ y’ + +

-y 25

4 25

4 -∞

4 -∞

6

4

2

y

5

x

O

Cực trị: CD CD

25

x = ±2 y = ;

4 xCT yCT

   

Đồ thị : (H2)

- Điểm uốn: y” = - 3x2 +4; y” =

2 161

36

x y

   

- Giao với Ox : A(-3 ; 0) B(3 ; 0) - Giao Oy : (0; )9

4

C

(H2)

b) x0 =  y0 = 4, y’(x0) = y’(1) = Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm : y - = 3(x - 1), hay : y = 3x +

Một số lưu ý khảo sát hàm số bậc trùng phương :

a) Txđ : R

b) a0 : limx y  đt hàm số có hai cực tiểu - cực đại có cực tiểu (y’ = có nghiệm, đồ thị giống đồ thị parabol)

a0 : limx y ; đt hàm số cú hai cực đại - cực tiểu cú cực đại. c) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Không có tiệm cận.

VD2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 +

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -x4 + 2x2 + – m = 0

ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: n0; * < m < 2: n0; * m = 1: n0; * m < 1: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ

HD: Thế y = vào (C)  x =1: M(-1; 2), N(1; 2) ĐS: y = 2

VD3: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết hệ số góc tiếp tuyến 24 ĐS: y = 24 – 43 VD4: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m –

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Xác định m để đồ thị (Cm) qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = 1

Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Cho hàm số y = x4 - 2x2 - (C) a) Khảo sát hàm số

b) Dựa vào (C), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + m = có nghiệm phân biệt. Bài 2:Khảo sát hàm số: y = - x4 + 4x2 - 5

Bài 3: Cho hàm số: y = x4 + mx2 - m - (C m) 1) Khảo sát hàm số với m = (C)

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh 3) Tìm m để (Cm) có cực đại cực tiểu

Bài 4: Cho hàm số:

2

y x  mx  (Cm) a) Khảo sát hàm số với m =

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 9)

A  Bài số 5. Khảo sát hàm số sau:

4

4

4

1) y x 4x 2) y x x 3) y x 2x

  

  

2

-2

y

5

x

O I KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

VD1: Cho hàm số: 4( )

x

y C

x

  

 a) Khảo sát hàm số

b) Xác định toạ độ giao điểm (C) với đường thẳng d: y = 2x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm

Giải:

a) Khảo sát hàm số: 1.Tập xác định: D = R\{1} 2.Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

3

' 0,

( 1)

y x D

x



   



Nên hàm số nghịch biến (-∞; 1) (1; +∞) b) Cực trị: Đồ thị hàm số khơng có cực trị c) Giới hạn tiệm cận:

1

lim

x y

   x = tiệm cận đứng. lim

x y

   y = - tiệm cận ngang.

d) Bảng biến thiên :

x -∞ +∞ y’

+∞

y -1 -1 -∞

3.Đồ thị : (H3)

- Giao với Ox : A(4 ; 0) - Giao với Oy : B(0 ; -4) - Đồ thị nhận I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng

b) Hoành độ giao điểm của(C) đường thẳng d nghiệm

Của phương trình:

1

2

2

2

4

2 2 3

1

2

x y

x

x x x

x x y

   

  

      



   



Vậy giao điểm (C) đường thẳng d là: ( 2; 2), ( ;5)

2

M   M

- Phương trình tiếp tuyến (C) M1 có hệ số góc là:

1 '( 2)

3

k y   Nên có phương trình là: 1( 2)

3 3

y  x  y x - Phương trình tiếp (C) M2 có hệ số góc là:

3

'( ) 12

k y  Nên có phương trình là:

5 12( ) 12 23

2

y  x  y x

Những lưu ý khảo sát hàm biến:

1) Tập xác định: D R\ { d}

c

 

2) Hàm số đồng biến (y’>0) nghịch biến (y’<0) khoảng xác định. 3) Đồ thị hàm số khơng có cực trị.

4) Giới hạn tiệm cận:

) lim d x

c

d

y x

c

 

    tiệm cận đứng.

) lim x

a a

y y

c c

 

    tiệm cận ngang +) Khơng có tiệm cận xiên.

vd2 Cho hàm số y 3x x

 

1) Khảo sát hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = -1 3) Tìm GTLN GTNN hàm số [0; 2]

Hướng dẫn giải.

1) Hs tự khảo sát Đồ thị: 2) Có

 2

10

y ' y '( 1)

8 x



   

 ; y( 1) 1

 Phương trình tiếp tuyến: y 5x 1 y 5x

8 8

     

3) Ta có hàm số nghịch biến khoảng xác định nên hàm số nghịch biến [0; 2] Do đó:

0;2 0;2

1

max y y(0) ; y y(2)

   

VD3 Cho hàm số (C): y = x

x

 

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường phân giác phần tư thứ HD: Đường phân giác phần tư thứ là: y = x ĐS: y = -x y = -x + 8

VD4.: Cho hàm số (Cm): y = mx 1

2x m

 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C2)

b) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số ln đồng biến khoảng xác định

HD: Chứng minh tử thức y’ > suy y’ > 0(đpcm)

c) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1; 2) ĐS: m = 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C2) điểm (1;

1

4) ĐS: y =

3 1

x 8  8

VD5: Cho hàm số (Cm): y =

(m 1)x 2m 1 x 1

  



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m =

b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0 c) Định m để tiệm cận ngang đồ thị qua điểm C( 3; -3) ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số giao điểm với trục tung

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hàm số: 1( )

x

y C

x

 

 a) Khảo sát hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ Bài 2: Cho hàm số 1( )

1

x

y C

x

 

 a) Khảo sát hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ độ Bài 3: Cho hàm số 4( )

2

x

y C

x

 

 a) Khảo sát hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục toạ độ Bài 4: (Đề TN - 99)

Cho hàm số 1( )

x

y C

x

 

 a) Khảo sát hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tai điểm A(0; 1) Bài 5: Cho hàm số 2( )

1

x

y C

x

 

 a) Khảo sát hàm số

b) Chứng minh đường thẳng dm: y = 2x + m (m tham số) cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh đồ thị

c) Tìm toạ độ M thuộc đồ thị (C) cho điểm M cách trục toạ độ Bài 6: Cho hàm số 2( )

1

x

y C

x

 

 a) Khảo sát hàm số

b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + m + (m tham số) cắt (C) hai điểm phân biệt Bài 7: Khảo sát hàm số

a)

2

x y

x

 

 b)

1

x y

x

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

Luü thõa - mò

I Định nghĩa luỹ thừa căn 1 Luỹ thừa Căn

Với n nguyên dương, bậc n số thực a số thực b cho bn = a.

Với n nguyên dương lẻ a số thực bất kì, có bậc n a, kí hiệu n a

Với n nguyên dương chẵn a số thực dương, có hai bậc n a hai số đối nhau; có giá trị dương kí hiệu n a , có giá trị âm kí hiệu -n a.

Số âm khơng có bậc chẵn

*

,

a n an a a (a n thừa số )



a n

n

a a



 , a0 1



Lưu ý: 0 ,00 n khụng cú nghĩa

0, m, , ,

a r m n n

n

     ar amn n am

Tớnh chất: Cho a0,b0, ,   Khi đó:

a a  a 

 a a

a



  



( )a  a 

 a a

b b

 



      

( )ab  a b 



Nếu: a1 thỡ a a   Nếu: a a0a1 thỡ

 

Vớ dụ:Cho a0,b0 Rỳt gọn biểu thức: a. a a a.3 .6 a a a21 .31 61 a1 12 6  a

b. 3 2 1 2 4 2 3 2 1 2 4 2 6 2 1 2 4 2 3

9 3 3   3 3       27

   

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Đơn giản biểu thức.

a>1 0<a<1

y’>0 với xR Hàm số đồng biến R



 

x x a

lim ; lim 0  

x x a

Bảng biến thiên

Đồ thị

y’>0 với xR

Hàm số nghịch biến R lim 0

 

x

x a ; x 

x a

lim

Bảng biến thiên

y=ax +

x

-1 y

x

0

-1 y

x 0

+

y=ax

+

x 0

1. x6.y12 5 x.y25  2

1 41

2      a a a a a a a 3.                   m m m m m 2 2 4. ) (

3 2    b a b a

5. 4 3 3

3 3 3

2 1)( )

( a a a a a a     6.             

b ab a ) ( 7. 1

1 1

2 2

4

2

a a a a

A

a a a a

                  

với 0; 1;

a a a 8.

3 3 4 b a ab b a  

2. Tính giá trị biểu thức

1. 3 75 , 32 125 81                

 2.

1 2 ) ( 64 ) ( 001 ,

0       

3. 0,5

75 , 25 16

27  

      

4.

1 25

,

4 19( 3)

4 625 ) , (              

15.   3

3    



 16. 412 3.161

17. 3 22 27

18.  58 54

2

3. Biến đổi đưa dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

1. 25.

1

ax 2. a5.4 a 3. b3.4 b 4. 27.3

3

a 5. a a a a a: 116,a0 6. 52 23

LƠGARÍT

Định nghĩa: Cho b0,0a1. logab b a





  

logb b 10



  

lnb  b e

  

Tính chất:

log 0a  logaa1

logab

a b loga a

 



Quy tắc:

0a1,b0,c0 Khi đó:

log ab clogablogac loga loga loga

b

b c

c  

0a1, 0b, 0 c 1 Khi đó: logab logab





 logab 1logab



 ,  0 log

log

log c a

c

b b

a

 log ,

log a

b

b

a

 b1

Ví dụ 1: Cho a0,b0 Rút gọn biểu thức:

a. 1 log log

log log log log

b a

a b b a

ab ab

M

ab ab ab ab



  

   

log 1 log log 1 log 1 log log log 1 log

b a b a

a b b a

a b a b

b a a b

     

  

    

b.

   

5

2

5

2 4

4

173

log log log

3 60

a a a

a a a

N a a a a

a

 

        

 

 

Ta có. Alog 12 log log 2log log 25      a b

II. BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tính giá trị biểu thức

1. 2log log log

4

7 125

9

49 25

81 

  

  





2. log 3log

2 log

1

4 42

16  

3. 

  

  

 

log log

log

5

7

5 49

72 4. log(2 3)20 log(2 3)20

 



5. 3log( 21)log(5 2 7) 6.

e e ln1 ln  7. lne 4ln(e2 e)



 8.

3

1

1 2log 400 3log 45

6 log

2  

9. log 21log

36  10. log (log34.log23)

4

Đạo hàm hàm số mũ lôgarít

I ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT.

 ex ' ex



 ax ' ax.lna  ln x'

x

 log '

ln a x ax a

 x ' .x1 ( 0,x 0)

  

 eu ' e uu ' 

 au ' au.ln 'a u 

lnu' 'u u



log ' ' ln

a u u

u a



 u ' .u1 'u 

a. 2

x

x y  e

  HD:

'

2 2

1 1

'

2 2

x x x x

x x

y   e   e    e x e

   

 

b. y 5x2 lnx 8cosx

   HD: y' 10x 8sinx

x

  

II BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tính đạo hàm hàm số sau.

1. y x2 2x 2ex

   2. ysinx cosx e 2x 3.

x x

x x

e e y

e e

 

 



4. y 2x ex

  5. ylnx21 6.

lnx y

x



7. ylnx1 ln x 8. y x2.ln x2 1

  9.

3

3 logx

y x

10. y x.x

 11. y3 x 12.

3 ln 22

y x

2. Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng cho.

1. y esinx

 CMR: y'cosx y sinx y '' 0

2. yln cos x CMR: y'tanx y '' 0 

3. yln sin x CMR: ' ''sin tan

x

y y x 

4. x.cos

y e x CMR: ' 2y  y y '' 0

5.

ln

y x CMR: x y2 ''x y ' 2

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1.Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng số: aM = aN  M = N Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 2

4 x  x



HD: 2 2 2

x  x x  x 

  

2 3 2 2 3 0

3

x

x x x x

x

          

  Vậy phương trình có nghiệm: x0,x3

Ví dụ 2: Giải phương trình sau :

2 3 1

1

3

x  x

 

  

  HD:

2

2

3

( 1) 1

3 3

3 x x

x x

 

  

 

  

   

2

( 1)

2

x

x x x x

x

            

  Vậy phương trình có nghiệm: x1,x2

Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 2x1 2x2 36

 

HD: 2 2 36 2.2 36

x

x x x

    

x x x

8.2

36 9.2 36.4 16 2

4 x x

x



         

Vậy phương trình có nghiệm: x1,x2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 5 2x 2x1 50



HD:

20

5 50 50 20 100 log 100

2 x

x x x x x

      

Vậy phương trình có nghiệm: xlog 10020

2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 32x8 4.3x5 27 0

  

HD: 3 38 2x 4.3 35 x 27 0

  

 2

6561 3x 972.3x 27

    (*)

Đặt t 3x

Phương trình (*)

1 6561 972 27

1 27

t

t t

t

  

     

  

Với 3 2

9 x

t  x

    

Với 3 3 3

27 x

t  x

    

Vậy phương trình có nghiệm: x2,x3

Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 25x 2.5x 15

  

HD: 25x 2.5x 15  5x 2.5x 15

       (*)

Đặt 5x

t  

Phương trình (*) 2 15

3 (loai)

t t t

t

       

 

Với 5x

t    x

Vậy phương trình có nghiệm: x1

Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 3x2 32x 24

 

HD: 32 24 9.3 24 3 2 24.3

x x x x x

x

 

          (*)

Đặt t 3x

 

Pt (*)

3

9t 24 1

( loai)

t t

t

  

    

   Với t 3x x

    

Vậy phương trình có nghiệm: x1

3.Phương pháp: Lấy logarit hai vế

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 1

x x  HD: Lấy logarit hai vế với số 8, ta

2

1

8

1

8 log log

8

x x x x 

  

 

2 1 1 2

8 8

log 8x log 5x log 8 x x log

      

       

1 log 1 log

x x x x x

   

 

8 1 1 log

1 log

x

x x

x

  

        

  



8

1

.log log 1 log

x x

x x

 

 

   

   

 

Vậy phương trình có nghiệm: x1,x 1 log 85 Ví dụ 2: Giải phương trình sau :

3 2x x 1

HD: Lấy logarit hai vế với số 3, ta

2

3

3 2x x  1 log 2x x log

 

2

3

log log

x x x x

     

3

1 log

x x

   

 



3

0

log log

x

x

x x

 

  

  

   



Vậy phương trình có nghiệm: x0,x log 32

4 Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ, nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm)

Ta thường sử dụng tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)

Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải phương trình sau : 3x4x5x

HD: 3x4x 5x

5

x x

         

    (*) Ta có x2 nghiệm phương trình (*)

2

3

1

5

   

 

        Ta chứng minh nghiệm

Thật vậy, xét ( )

5

x x

f x         

Ta có f x( ) đồng biến  '( ) ln3 ln4

5 5

x x

f x      

    , x

+ Với x2 f x( ) f(2) hay

5

x x

   

 

   

    , nên phương trình (*) thể có nghiệm x



+ Với x2 f x( ) f(2) hay 1

5

x x

   

 

   

    , nên phương trình (*) thể có nghiệm

2

x

Vậy phương trình có nghiệm x2

x

BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Giải phương trình sau: 16 1010 0,125.8 155

x x

x x

 

   32x8 4.3x527 0

3 6.9x 13.6x 6.4x

   ( )x ( )x

   

5 2

2x x  x x

  3.8x4.12x18x 2.27x 0

7 2.22x 9.14x 7.72x 0

   12.3x 3.15x 5x1 20

  

9 log log 39 9 x

x    10

3 x

x

 

   

  11 8 1 3

2x  x 4 x

 12

2 6

2

2x  x 16 13 2x 2x1 2x2 3x 3x1 3x2

     14 5x x1 x2 12

15 2 1

(x x 1)x 

   16 log 2.log 2.log 4x 2x x1

17

3

4

log x

x



 18. 7x 2.71x 9 0

  

19

2 x 2x 17

   20 (2 3)x(2 3)x 0

21 2.16x 15.4x

   22 (3 5)x16(3 5)x 2x3

23 (7 3)x 3(2 3)x

     24 2.41x 61x 91x

25 82x 23xx3 12 0



   26 5x5x15x2 3x3x13x2

27 log2x3  1 log2x1 28 x2 (3 ) x x2(1 ) 0 x  29 2x4 4

 30 32x3 9x23x5



31

5 17

7

32 128

4

x x

x x

 

   32

1

5

2

2 5

x x

   

  

       

33

5 x 5 x 20

  34 4 15 4 15

x x

35  6  6 10

x x

    36 32x1 9.3x

  

37 22x2 9.2x 2 0

   38 3x1 5x2

39 3 7 12

3x 5x x



II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình bản:

a. ( ) f x

a  b

0

b b

      

Phương trình vơ số nghiệm

Phương trình : af x( ) b

  ( ) log

( ) log a a

f x b

f x b

 



 

khi

khi

0

a a

  

b. ( ) f x

a b

0

b b

      

Phương trình vơ nghiệm

Phương trình : f x( )

a b ( ) log

( ) log a a

f x b

f x b

 



 

khi khi

0

a a



 

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

3

1 log

3 2 log

2

x x x 

     

Vậy bất phương trình có nghiệm: ;1 log 23

S     

 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  

1

3

3 3.3 3 27.3

3

x x

x x x

x

 



        



26.3 12 ,

13

x x x

        

Vậy bất phương trình có nghiệm: S     ; 

a f x( ) g x( )

a a  ( ) ( )

( ) ( )

f x g x f x g x

 

 



khi khi

1

0

a a

  

b f x( ) g x( )

a a  ( ) ( )

( ) ( )

f x g x f x g x

 

 



khi khi

1

0

a a

  

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 3 9 x

x

 HD:  3 9

x x

 34 32 4 16 16

4

x

x x

x x x x



         

Vậy bất phương trình có nghiệm: ;16

S   

 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:   

2

1

5 2 x  2 x (1) HD: Ta có:  2  2  2

5



       

 Phương trình (1)    

2

1 2

5 x x  x x

       

2

2

x x x

       

Vậy bất phương trình có nghiệm: S   1; 2

3 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:5x 52x 26

 

HD: 52 26 25 26  5 26.5 25

x x x x x

x



          (1)

Đặt t 5x

 

Ta có: (1) t2 26t 25 0

      1 t 25 5x 25 50 5x 52 x

        

Vậy bất phương trình có nghiệm: S0; 2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:32x+1 10.3x 3 0

  

HD: 32x+1 10.3x 3

    3 x 210.3x 3 (1) Đặt t 3x

 

Ta có: (1) 32 10 3 0 3

t t t

       3 3 31 1

3

x  x x

         

Vậy bất phương trình có nghiệm: S  1;1

HD: Chia (*) hai vế cho 4x

 ta được:

2

5

5

2 x x                      (**)

Đặt

2 x

t    

Ta có: (**)

5

0

0 0

2

2 5

1 5 2 x x t x t t x t                                          Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ;0 1;  

. BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Bài 1: Giải phương trình sau: 16x4 8

 2 x       

3 9x3x62

2 6

4x  x 

5

2

4 15

3 2 x x x        

 

2

4 15 13

1

2

x  x  x

   



   

   

7 7 12

5x  x

 1

16 x x  

    

9 2 3

2 5x x 5x x

 10 25x1125

11

2 x x 17

  12    

2

1

2 x  2 x 

13

5 x 2.5x

  14 41x1 21x23

15 5.4x 2.25x 7.10x

  16 2.16x 24x 42x2 15

Bài 2: Giải phương trình sau: 16 1010 0,125.8 155

x x

x x

 

   32x8 4.3x527 0

3 6.9x 13.6x 6.4x

   ( )x ( )x

   

5 log2x3  1 log2x1

2 6

2

2x  x 16 2.22x 9.14x 7.72x 0

9 8

2 2log ( 2) log ( 3)

3

x  x  10 8 1 3

2x x x

CHUYÊN Đề: PHƯƠNG TRìNH BấT PHƯƠNG TRìNH Mũ

PHNG TRèNH LễGARIT

1 Phương pháp : Biến đổi phương trình dạng số: logaM loga N  M N Ví dụ : Giải phương trình sau : log2xlog (2 x3) log 4

HD: log2xlog (2 x3) log 4 (1)

Điều kiện: 0

3

x x

x

x x

 

 

  

 

   

 

Do phương trình(1) log (2x x3) log 4  x x( 3) 4

2

3

4 (loai)

x

x x x

x

 

       

 

Vậy phương trình có nghiệm: x1

Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 2

log xlog x log 9x HD: log2xlog2x2 log 92 x (1)

Điều kiện: x0

Phương trình (1) log2 x2log2xlog log2  2x log2xlog 92

2 2

1

log log log log 3

2

x x x

     

Vậy phương trình có nghiệm x3

2 Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số. Ví dụ 1: Giải phương trình sau :

2

log x2log x 0

HD:

2

log x2log x 0 (1)

Điều kiện: x0

Phương trình

2

(1) log xlog x 0

Lúc đó: log22xlog2x 0  2 2 log 1

t 1

2 log

4

x x

t t

t x x

                     

Vậy phương trình có nghiệm 2,

x x

Ví dụ 2: Giải phương trình sau :1 log ( x1) log x14 HD: log ( x1) log x14 (1)

Điều kiện: 1 (*)

1

x x x x             

Phương trình 2

2

log

(1) log ( 1) log ( 1)

log ( 1) log ( 1)

x x

x x

       

 

log (2 x 1)2 log (2 x 1)

      (2)

Đặt t log (2 x1)

Lúc đó: phương trình (2) 2 t t t t           2

1

log ( 1)

1

log ( 1)

4

x x

x

x x x

                        thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm 3,

x x 3.Phương pháp: Mũ hóa hai vế:

Ví dụ: log (33 8) x

x

  

Điều kiện: 3x

 

 

3

log (3 8) 2

3

2 2

log (3 8) 3

3 1( )

3 8.3 3

3

x

x x x x

x

x x x

x x loai x                          Vậy phương trình có nghiệm x2

4 Phương pháp: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

Ta thường sử dụng tính chất sau:

Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0  (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải phương trình sau : log2xlog 25 x1 2 HD: log2xlog 25 x1 2 (1)

Điều kiện: x0

Ta có x2 nghiệm phương trình (*) log log 2.2 12  5   2 Ta chứng minh nghiệm

Thật vậy, hàm số ylog ,2 x ylog 25 x1 có số lớn nên hàm số đồng biến + Với x2, ta có:

log2xlog 12  +

   

5

log 2x1 log 2.2 1 1

log2xlog 25 x1 2 Suy ra, phương trình (1) vơ nghiệm x2

+ Với 0x2, ta có:

log2xlog 12  +

   

5

log 2x1 log 2.2 1 1

log2xlog 25 x1 2 Suy ra, phương trình (1) vơ nghiệm 0x2

Vậy phương trình có nghiệm x2

BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Giải phương trình sau: 1) log 2.log 2.log 4x 2x x1

2)

4

log x

x

3) log2x3  1 log2x1

4)

2 log log x0

 

5)

8

2 2log ( 2) log ( 3)

3

x  x  6) log (42 4) log (21 3)

2

x  x x 

21log ( 1) log ( 4) log2(3 )

2

2 x  x   x

8 3

2

4

log log

3

x x 

9 log log2

3

3 x x  

10 log2x2.log7x 2 log log2x x 11 log5 xlog5x6 log5x2

12 log5 xlog25xlog0,2 13 log 2x x2 5x42

14 log( 2 3) log 0

x

x x

x



   



15 log (45 144) log log (25 1)

x x

    

16

4 log x2 log x 

17 log2x 10 log2x6 0

18

1

log log

2 x

x x

 

  

 

 

19 log 4.32 6 log 92 6

x x

20 4 

log log x   0

 

21 log 6.5 x 25.20x log 25

x

  

22 log8x2 4x31

23 log 1  log 5 x 1 log 5 1 x 5

    

24 2  1 

2

log 2x log 2x 2

  

25 2  2 

2 log 4 log log

8

x x

  

26

3

log log

2 x

x 

27 1  5 

5

log x  6x8 2log x 0 II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

1 Phương trình bản:

a log ( ) ( ) ( )

b

a b

f x a f x b

f x a

 

  

 

khi

khi

1

0

a a



  , Điều kiện f x( ) 0

b log ( ) ( ) ( )

b

a b

f x a f x b

f x a

 

  

 

khi

khi

1

0

a a



  , Điều kiện f x( ) 0 Ví dụ 1: Giải bất phương trình:log (2 x 2) 3

Điều kiện x 0  x2

3

log (x 2) 3  x 2  x10

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S 10;

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2

log (x 7 ) 3x 

+ Điều kiện 7

0

x

x x

x

      

 

+

2

log (x 7 ) 3x  7 7 0

2

x x   x x

97 97

7

2

2 x

   

  

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm:

97 7 97 2 x x                  + Hay 97 97 7

2 ; 7 0;

2 S                               

2 Phương pháp: Biến đổi bất phương trình dạng số: a log ( ) log ( ) ( ) ( )

( ) ( )

a a

f x g x

f x g x

f x g x

       khi khi 1 a a 

  , Điều kiện f x( ) 0, ( ) 0 g x 

b log ( ) log ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a a

f x g x

f x g x

f x g x

       khi khi 1 a a 

  , Điều kiện f x( ) 0, ( ) 0 g x 

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2

log (x5) log (3  x) 0

HD: + Điều kiện: 5

3 x x x           

+ 2

2

log (x5) log (3  x) 0  log (x5) log (3  x) 0

2

log (x 5) log (3 x) x x x

         

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S  1;3

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:log (0,5 x1) log (2  x)

HD: + Điều kiện: 1

2

x x x x x                  

+ Lúc đó: log (0,5 x1) log (2  x)   log (2 x1) log (2  x)

2

log (2 x) log (x 1)

      log22 x x  1 0

2 x x  1

    1 0 5

2

x x  x 

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm :

1 5

;

2

S   

 

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:log (5 x2) log ( x 2) log (4 x1)

HD: + Điều kiện:

2

1

4

4

2 2

x x

x x x

x x                          

+ Lúc đó: log (5 x2) log ( x 2) log (4 x1)

   

5 5

log x x log (4x 1) log (x 4) log (4x 1)

          

x2 4 4x 1 x2 4x 5 0 1 x 5

           

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : S2;5 3 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:log20,5xlog0,5x2 HD: + Điều kiện: x0

+ Đặt : tlog0,5 x

+ Lúc đó: log20,5 xlog0,5x2 t2  t t2 t 0  2 t

 

2 0,5

4 0,5

2 log 1

0,5 x x x x x                     

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : 1;

S 

  Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2 log log x x  

HD: + Điều kiện:

2

0

log

x x x x            + Đặt : tlog2 x

+ Lúc đó:

2 log log x x  

2 2 2

0 1 t t t t t              2 log

1 log

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : 1; 4; 

S     Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

log x13logx36 0

HD: + Điều kiện: x0

+ Đặt : tlogx + Lúc đó: log2x 13logx 36 0

   t213t36 0

4

4 log 10

9 log 10

t x x

t x x



  

 

     

  

  

+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm : S0;104 10 ;9 

BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

1

3

log

2

x x

  

2 log (4 x7) log (1  x) log (2 x5) log (3 ) 4  x 

4

2

log (x  4x 5) 4

5 log (26 ) 25 x

 

6 log (13 ) 23 x

 

7 log3xlog9xlog27 x11

8 1

1 log xlogx 

9

2 16

1 log 2.log

log

x x

x





10

4

3

log (3 1).log ( )

16

x

x 

 

11  

3

2(log )x  5log 9x  3

12 3

3

2 8

2 2log ( 2) log ( 3)

3

x  x 

3

2 log log x0

 

log (45 144) log log (25 1)

x x

    

5 4 

3

log log x   0

 

6 1  5 

5

log x  6x8 2log x 0 log5 xlog25xlog0,2

8

7x 2.7x

  

9

2 x 2x 17

  

10 log8x2 4x31 11 2.16x 15.4x

  

12 log 4.32 6 log 92 6

x x

   

13 log5 xlog5x6 log5x2

14 log( 2 3) log

x

x x

x



   



CHUY£N §Ị: NGUYÊN HàM, TíCH PHÂN, ng dng ca tích phân

1 Các phơng pháp tìm nguyên hàm

Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP

THƯỜNG GẶP

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP :

 

1

2

2

1,

2, ,

1

3, ln ,

4,

5, ,

ln 6, cos sin 7, sin cos

8, tan cos 9, cot sin x x x x

dx x C x

x dx C

dx

x C x

x

e dx e C a

a dx C a

a

x dx x C

x dx x C

dx x C x dx x C x                                        2 1,

2, ,

1

3, ln ,

4,

5, ,

ln 6, cos sin 7, sin cos

8, tan cos 9, cot sin u u u u

du u C u

u du C

du

u C u u x u

e du e C a

a du C a

a

u du u C

u du u C

du u C u du u C u                                      

b.Tìm nguyên hàm hàm số định nghĩa tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm cho nguyên hàm tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết

Ví du 1: Tìm ngun hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x +

x

1

b) f(x) = 2x+ 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx

Giải

a)          

4

3 x

( ) (x - 3x + ) x ln

x x

f x dx dx dx xdx dx x x C

b) ( )  (2 + ) x x 2 3   

ln ln3

x x x x

f x dx dx dx dx C

c)      

6

5 (5 3) (5 3)

( ) (5x+ 3) (5x+ 3)

5 30

d x x

f x dx dx C

d)     

5

4 sin

( ) sin x cosx sin x (sin )

5

x

f x dx dx d x C

Ví du 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( 

Ta có F(x)= x –

3 cos3x + C Do F(6 

) = 

6 

- cos



+ C =  C =

-6  Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –

3 cos3x -6  Ví dơ 3: Tìm ngun hàm hàm s

2 )

2

2

) x a dx x x x b dx x        2 ) 3 ) 4 c dx x x x d dx x x        c Tìm nguyên hàm cách đặt ẩn phụ:

Phương pháp giải: đặt t=u(x) Ví dơ 4. Tìm ngun hàm hàm s

) 3 ) a dx x b dx x     1` ) ) x c dx x x d dx x        d Tìm nguyên hàm phương pháp tng phần:

Phương pháp giải: Sư dơng công thc: u dv u v   v du Ví dơ 5. Tìm ngun hàm hàm s

) cos ) ( 1)sin

a x xdx

b x xdx





) (2 1) ln )

x

c x e dx x d dx x    Bài tập đề nghị:

1 Tìm nguyên hàm hàm số sau

3

2 2

(2 5)

2

3

sin ( 5)

2

x x

x

a x x dx b dx

x x

c dx d e e dx e dx

x          

Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị nguyên hàm 

8

x=

3

Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = e1-2x , biết F(1) 0

Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) =

3

2

2 3

2

x x x

x x

  

  , biết F( 1)

3 

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍNH TÍCH PHÂN-ĐỔI BIẾN SỐ

Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân cho tích phân tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết

Ví dụ: Tìm tích phân hàm số sau: a/

3

(x 1)dx 



 b/

4

4

2

4

( 3sin )

cos x x dx



 



 c/

2 x dx    Giải a/ 3

(x 1)dx 



 =

3

3

3

1 1

81

1 ( ) ( 3) ( 1) 24

4 4

x

x dx dx x

             b/                     

4 4

4 4

2

4

4

( 3sin ) sin (4 tan 3cos )

cos x x dx cos xdx xdx x x

=(4 tan4 3 cos ) [4 tan(4   4) cos(  4)]=8

c/ 2 x dx    = x dx    + 1

x dx

 =

1

(1 x dx)





 +

2

(x 1)dx



=(x-2

1

2

) ( )

2

x x x

   =5

Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải:

b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)  dx = u (t) dt

b2: Đổi cận:

x = a  u(t) = a  t = 

x = b  u(t) = b  t =  ( chọn , thoả đk đặt trên) b3: Viết

b a

f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích phân Ví dụ: Tính :

1

2

1 x dx

§Ỉt x = sint  dx = cost.dt Víi x [0;1] ta c t[0; ]

2 

§ỉi cn: x =  t = ; x=  t = 

Vy

1

2

1 x dx

 = 2 2

0

0

1 s

cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )

2 2

in t t

 



  

  =



Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng :  a2 x2 đặt x= a sint t [ ; ]

2   

 a2x2 đặt x= a tgt t ( ; )

2   

 x2 a2 đặt x= sin

a

t t [ 2; ]    \  0 Dạng 2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx

b

a

 

 phương pháp đổi biến. Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x)  dt = '( ) dxx b2: Đổi cận:

x = a  t =(a) ; x = b  t = (b)

b3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví dụ : Tính tích phân sau :

a/

1

2

1

x

I dx

x x

 

 

 b/

1

3

J x  x dx

Gi i: ả

a/ Đặt t = x2 + x +1  dt = (2x+1) dx

Đổi cận: x =  t =1 ; x =  t = Vậy I=

3

1

ln ln3

dt t

t  



b/ Đặt t= x23  t2= x2+ 3 tdt = x dx

Đổi cận: x = 0 t = 3 ; x = 1 t = Vậy J =

2

2

2

3 3

1 (8 3)

3

t

t dt  

 Bài tập đề nghị:

1/ I=



 

2

(3 cos2 ).x dx

2/J= 

1

(ex 2)dx

3/K= 

1

(6x )x dx

Bài Tính tích phân sau: 1/





2 sin

.cos x

e x dx 2/ 

1

0

x x

e dx

e 3/

 

1

1 ln e

x dx

x 4/ 

2

0

( 3)

x x dx

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍNH TÍCH PHÂN-TỪNG PHẦN

1/ Tính tích phân phương pháp tùng phần: Công thức phần :

b b

b a

a a

u dv u v  v du

 

Phương pháp giải:

B1: Đặt biểu thức dấu tích phân u tính du phần cịn lại dv tìm v B2: Khai triển tích phân cho theo công thức phần

B3: Tích phân b

a

vdu

 suy kết Chú ý:

a) Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho b

a

vdu

 dễ tính  b

a

udv khó phải

tìm cách đặt khác

b) Khi gặp tích phân dạng : ( ) ( )

b

a

P x Q x dx



- Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx

Nếu bậc P(x) 2,3,4 ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt - Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số ln(ax+b) ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

Ví dụ 1: Tính tích phân sau: a/ I=2

0

.cos

x x dx



 b/J=1 ln

e

x x dx



a/ Đặt :

cos sin

u x du dx

dv x dx v x

 

 



 

 

  (chú ý: v nguyên hàm cosx )

Vậy I=x cosx 

-

0

sin x dx



 = cosx 02 

= -1

b/ Đặt : 2

1 ln

2

du dx

u x x

dv x dx v x

 

 

 



 



  

 

Vậy J= lnx

2

2

x

1

e

- 2 21

1

1 1

2 2 4

e e

e

x dx e xdx e x e

x



    

 

1/ Tính tích phn phương php tng phần: Cơng thức phần :

b b

b a

a a

u dv u v  v du

 

Phương php giải:

B1: Đặt biểu thức no đĩ dấu tích phn u tính du phần cịn lại l dv tìm v B2: Khai triển tích phn đ cho theo cơng thức phần

B3: Tích phn b

a

vdu

 suy kết Ch ý:

a) Khi tính tính tích phn phần đặt u, v cho b

a

vdu

 dễ tính  b

a

udv khĩ phải tìm

cch đặt khc

b) Khi gặp tích phn dạng : ( ) ( )

b

a

P x Q x dx



- Nếu P(x) l đa thức ,Q(x) l cc hm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx

Nếu bậc P(x) l 2,3,4 ta tính tích phn phần 2,3,4 lần theo cch đặt trn - Nếu P(x) l đa thức ,Q(x) l hm số ln(ax+b) ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

Ví dụ 1: Tính cc tích phn sau: a/ I=2

0

.cos

x x dx



 b/J=1 ln

e

x x dx



a/ Đặt :

cos sin

u x du dx

dv x dx v x

 

 



 

 

  (chú ý : v nguyên hàm cosx)

Vậy I=x cosx 

-

0

sin x dx



 = cosx 02 

= -1

b/ Đặt : 2

1 ln

2

du dx

u x x

dv x dx v x

              

Vậy J= lnx

2

2

x

1

e

- 2 21

1

1 1

2 2 4

e e

e

x dx e xdx e x e

x



    

 

b) Dạng bậc1 bậc 2:

Phương pháp giải: Tách thành tổng tích phân tính *Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt:

Ví dụ: Tính tích phân : ( )

2 x dx x x -ò Giải

Đặt 52( 1)

6

x

x x

- =

5 ( 3) ( 2)

( 2)( 3) ( 2)( 3)

x A B A x B x

x x x x x x

- = + = - + +

+ - + - +

 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2  A=3 cho x=3  B=2

Vậy ta có: ( )

2 x dx x x -ò = 2 1

3 16

( ) (3ln 2 ln ) ln

2 dx x x 27

x+ +x- = + + - =

ị

* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính tích phân :

1 (2 1) 4 x dx x x + - + ò Giải CI:

1 1 2

2 2 2

0 0

(2 1) ( ) ( 4) 5

4 4 4 4 ( 2)

x dx x dx d x x dx

x x x x x x x x x

+ = - + = - + +

- + - + - + - +

-ò ò ò ò

=(ln 4 ) x x x    

0  5 ln42

CII: Đặt 2 2

2 ( 2) ( 2) 2 1

4 ( 2) ( 2) ( 2)

x x A B A x B A x B x

x x x x x x

+ = + = + = - + Û - + = +

- Ax -2A+B=  2

2

A A

A B B

             Vậy 1 2 0

2 [ ]

4 ( 2)

x dx dx

x x x x

+ = + - + - -ò ò = (2ln x-2 - )

x-2 5 ln42 *Trường hợp mẫu số vơ nghiệm:

Ví dụ: Tính tích phân :I=

0 (2 3) x dx x x -+ + ò Giải:

0 2

2 2

1

2 ( 4)

I 5J

2 ( 1)

x dx dx d x x

x x x x x

- -+ + + = - = -+ + + + + + ị ị ị Ta có 2

( 4)

2

d x x

x x

+ +

+ +

ò =ln/x +2x+4/2 01 ln ln3 ln4     Tính J=

(x 1) 3dx

- + +

ò

Đặt x+1= 3tgt(t  ;

2   

 

 

  )  dx=

2

3(1tg t dt) Khi x= -1 t = ; x=0 t=

6 

 J=6

2

0

3(1 ) 1

(3 3tg ttg t dt) dt

 

 

  



  Vậy I= ln 5(3 33

  ) 3/ Tính tích phân hàm vô tỉ:

 Dạng1: ( ,  ) b

n

a

R x ax b dx Đặt t=n ax b

 Dạng 2:    ( , ) b n a ax b

R x dx

cx d Đặt t=n ax bcx d

 

Ví dụ: Tính tích phân I =

1

1 xdx



Giải

Đặt t =31 x

  t3= 1-x  x= 1-t3  dx= -3t2dt

Đổi cận:

x=0  t=1; x=1  t=0 Vậy I=

1

0

2

1 0

3

.( ) 3

4

t

t  t dt t dt 

4/ Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp

Dạng: sin cosax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx

  

  

  

Phương pháp giải:

Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu tích phân giải  Dạng: sinn xdx; cosnxdx

 

 

 

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng cơng thức đổi biến Ví dụ :

2 2

2

sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx

1 cos2

cos (cos )

2

n n n

n

n n

xdx x xdx x xdx

x

xdx x dx dx

                              

 Dạng: R(sin ).cosx xdx





 Đặc biệt: sin2nx.cos2 1k xdx









Phương pháp giải: Đặt t =sinx  Dạng: R(cos ).sinx xdx





 Đặc biệt: sin2n 1x.cos2kxdx 

 

 Phương pháp giải: Đặt t =cosx  Các trường hợp cịn lại đặt x=tgt

Ví dụ: Tính tích phân sau: a/

0

sin3 cos x x dx 

 b/

2

sin xdx 

 c/

2

cos xdx 

 d/

2

3

0

cos sinx xdx 

 Giải

a/

0

sin3 cos x x dx   =        0

1(sin 4 s ) cos4( cos2 )

2 2

x x

x in x dx

b/            2 2 0

1 cos2 sin

sin ( )

2 2

x x

xdx dx x

c/I=2 cos xdx   =       2 2 0

đặt u=sinx  du = cosx dx x=0  u=0 ; x= 

2  u=1 Vậy: I=    

1 0

(1 ) ( )

3

u

u du u

d/J=2

cos sinx xdx   =       2

2 2

0

cos sin cos x x x dx (1 sin )sin cos x x x dx

đặt u=sinx  du = cosx dx x=0  u=0 ; x= 

2  u=1

Vy: J=      

1

1

2 2

0

0

2 (1 ) ( ) ( )

3 15

u u

u u du u u du

Bài tập đề nghị: Tính tích phân sau: Bài : 1/

1

x

x e dx 2/

  cos x dx

x 3/ 1

ln e

x dx 4/ 

5

2 ln(x x 1).dx 5/

  cos x

e x dx

Bài : 1/ I=  

2

2

2

x x x dx

x 2/ J=

   

4

3

2

1

x x dx

x

Bài : 1/ I=

  

5 6dx

x x 2/ I=

    x dx9

x x 3/ I= 2 x dx x x    

Bài 4: 1/ 

1

x xdx 2/

 

1

2

x dx

x

Bài : 1/





cos x dx 2/





3

0

sin cos x x dx 3/2 4

sin x.cos x dx 

 4/

2

6 sinxdx







Vớ dơ 3: Tỡm nguyờn hàm cỏc hàm s

2 )

2

2

) x a dx x x x b dx x        2 ) 3 ) 4 c dx x x x d dx x x        c Tìm nguyên hàm hàm số sau cách đổi biến:

Phương phỏp giải: đỈt t=u(x)

1 )

3 )

2

a dx

x

b dx

x

   

1` )

1 )

1

x

c dx

x x

d dx

x

 

   

 d Tìm nguyên hàm phương pháp tich phân phần:

Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u dv u v   v du Ví dụ 5. Tìm ngun hàm hàm số sau:

) cos ) ( 1)sin

a x xdx

b x xdx





) (2 1) ln )

x

c x e dx x

d dx

x

 

 1/ Diện tích hình phẳng:

a) Dạng tốn1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) đường thẳng x= a; x=b; y= : ( )

b

a

S f x dx

b) Dạng tốn2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng.

Cơng thức:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) đường thẳng x= a; x=b : ( ) ( )

b

a

S f x  g x dx Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

TH1:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm vơ nghiệm (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: [ ( ) ( )]

b a

S f x  g x dx

TH2:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x1(a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

1

1

( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

x

b b

a a x

S f x  g x dxf x  g x dx  f x  g x dx

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x1; x2(a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

     

1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

       

x x x

a x b

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

Chú ý: * Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0;2 ] Ox.

Giải:

Ta có :sinx = có nghiệm x=0;2 diện tích hình phẳng cần tìm là: S =

  



 

  

2

0

sinx dx sinxdx sinxdx = cosx0  cosx2 =

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , (P2) y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x =2

Giải

Pthđgđ : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x = -1/2

Do :S=

2 1/ 2

2 2 2

1 1/

(x ) (x x 1)dx [(x ) (x x 1)]dx [(x ) (x x 1)]dx

-

- + = - - + + - - +

ò ò ò

= ( ) ( )

1/ 2

1 1/

2x dx 2x dx

-+ + +

ò ò = ( ) ( )

1 2

2 2 1

1

2

x +x -- + x +x - =1 25 13 4+ = (dvdt)

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = x , đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0.

Giải:

Ta có (P): y2 = x  x =

2

4

y

(d): 2x+y-4 =  x=4

y

 Phương trình tung độ giao điểm (P) đường thẳng (d) là:

2

4

y

=4

y





4

y y

     Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=

2 2 2

2

4

4

( ) (2 ) (2 )

2 4 12

y y dy y y dy y y y



 



       

 

2/Thể tích vật thể trịn xoay

Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục ox là:

2( )

b

a

V f x dx

Ví dụ 1:Tính thể tích khối cầu sinh quay hình trịn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo

Đường trịn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2  y2= R2-x2

Thể tích khối cầu : V=  2

R

R

R x dx







 =

3

R

R x R x





  

 

  =

3

3

2

3

R R

  

 =

3

4

3R (đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x

Giải:

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm :

2

2

1

( ) ( 4 )

S  x x dx  x x x dx

 

      

=

5

2

4

1

4

( )

5

x x x

    =18 

(đvtt) Bài tập đề nghị:

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y= x2 - 2x trục hồnh. 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): yx1

x đường thẳng có phương

trình x=1, x=2 y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x3 –3 x , y = x

5/Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox:

a/ y = cosx ; y = ; x = ; x =

4 

b/ y = sin2x ; y = ; x = ; x =  c/ y = xe2x ; y = ; x = ; x = BI TẬP THM VỀ TÍCH PHN

Bi 1. Tính: a,

2

1

3 2dx

x  x

 b,

2

7 13

x

dx

x x

   

Giải a,

4 4

2

3 3

1 1

( )

3 2dx ( 1)( 2)dx dx

x  x  x x  x  x

  

4

(ln ln 1) ln ln ln1 ln 2 ln ln ln

3

 x  x       

b,

1 1

2

0 0

7 13 10 11

4 3( 1) 3( 5)

x

dx dx dx

x x x x



 

   

1

10 11 10 11 11

ln( 1) ln ln ln ln (10ln 11ln 20)

0

3 3 3

 x  x     

Bi Tính: a, 3 sin cos x dx x  

 b,

1

x  xdx

 c,

2 1 ln e x dx x   Giải a, 3

0 sin cos x dx x  

 Đặt tcosx dt sinxdx Đổi cận x 0 t 1;x3  t12 

1

1

3 2

3

1

0

2

sin (1 ) 3

(2 )

cos 2 2

   

    

   

 x x dx  t t dt  tt dt  t t dt



2 1 1 5

(2 3ln ) 1 3ln (1 3ln )

2

2

 t t  t       3ln6

8   b, 1

x  xdx

 Đặt t 1 x t2 1 x 2tdt dx dx 2tdt

        

Đổi cận x 0 t1;x 1 t0

1

2

0

1 (1 ) (2 )

x  xdx  t t tdt t  t dt

   (23t3 52t5)10 3 152 24 c, 1 ln e x dx x 

 Đặt t lnx dt 1dx x

  

Đổi cận x 1 t0;x e  t1 Vậy:

2 1 ln e x dx x   =

(1 ) ( )

0

3

t t dt t

   

 Bi Tính: a,

1

x

xe dx

 b,

(x1)sinxdx

 c,

ln e

xdx  Giải a,

1

x

xe dx

 Đặt u x x du dxx

dv e dx v e

          

Vậy: x xe dx  = 1

( ) 1

0

x x x

xe  e dx e e   e e 

b,

(x 1)sinxdx





 Đặt

1

cos

u x du dx

dv sinxdx v x

            2 0

( 1) (( 1) ) cos 2

0

x sinxdx x cosx xdx sinx

 

 

      

c,

ln e

xdx

 Đặt

1 ln

u x du dx

x dv dx v x             

Vậy: ln e xdx  =

( ln )

1

e

e e

x x  dx e x  

Bi 4.Tính tích phn sau: 2 x x dx x     . Giải:

1 1

0 0

1

2 3

( ) ( 1) 3ln 1 3ln

0

1 1 2

 

 

             

    

x x x dx x x dx x dx x dx x x x

Bi 5.Tính tích phn sau: 2 x x dx x    

Giải:  

1 1

2

0 0

2 2

2 2

2 2

x x

dx x x dx x x dx dx

x x x

                        

2 1

2 2ln 2 2ln 2ln

0

3 3

x

x x x

 

            

 

Bi 6. Tính tích phn sau: 2 4dx x   .

Giải: Đặt 2 2  

4

2 tan tan 4 tan tan = cos

        

x t x t x t t

t

2 tan

cos  x t dx dt

t  x 0 t0; x 2 t4 

Ta cĩ:

2 4

2

0 0

1 cos 1

.2 =

4 cos 2 0

t dt

dx dt t

x t             

Bi 7. Tính tích phn sau: 2 dx x   .

Giải: Đặt

 

2 2 2

3sin 9sin 9 9sin sin 9cos

x t x t x t t t

          

2

9 x 9cos t cos t

   

3

3sin 3cos 0;

2

x t dx tdt x t x t 

           Khi đĩ 6 2

0 0

1

3cos

3 cos

9 0

dx

Bi 8.Tính tích phn sau:  cos 

sin x

e x xdx





 .

Giải: Ta cĩ:  cos  cos

0 0

sin sin sin

    

e x x xdx e x xdx x xdx I J

  

   

cos cos cos cos cos0

0

1

sin cos

0

 x  x  x    

I e xdx e d x e e e e

e     sin

J x xdx



 Đặt

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

               0

.sin cos cos cos 0.cos sin

0

J x xdx x x xdx x

   

  

       

Vậy:  cos 

1 sin

x

e x xdx I J e

e





     



Bi 9.Tính tích phn sau: 6 

sin sin 2x x dx





 .

Giải: 6  6 6 

0 0 0

1

sin sin sin sin cos cos8

x x dx x xdx dx x x dx dx

    

      

    

sin sin 3 3

6

6

4 0 0 16 16

x x x                 

Bi 10 Tính tích phn sau: 2 x dx    Giải:: Vì 2 2 1

1 1

1

x x

x x x

x x               nÕu nÕu -1 nÕu

Do đĩ      

2 1

2 2

2 1

1 1



  

       

x dx x dx x dx x dx

3 1 1 2

4

2 1

3 3

x x x

x  x x

     

          

 

     

Bi 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn cc đường sau: y = x2 + , x + y = 3.

Xt phương trình : f1(x) - f2(x) =  x = -2 , x = Vậy diện tích cần tìm l: S=

1 1

2

1

2 2

9 f (x) - f (x) ( 2)

2

dx x x dx x x dx

  

      

  

Bi 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn cc đường sau: y = x2 + 2, y = 3x.

Giải S =

6 2   

x x dx

Bi 13. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn cc đường sau : y = 0, y = xsinx, x = 0, x =

2 

Giải: V = 2

sin



 x xdx Đặt :      xdx dv x u

sin       x v dx du cos

 V = 

2

sin



 x xdx =

             2 cos ) cos (  

 x x xdx = 

Bi 14 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh php quay xung quanh trục Oy hình giới hạn cc đường y =

2

x

, y = 2, y = v x = Giải: V =  

4

2ydy (

2 2)

(y = 12

BÀI TẬP THÊM VỀ TÍCH PHÂN Bài 1. Tính: a,

1

1

3 2dx

x  x

 b, 13 x dx x x    

Giải a,

4 4

2

3 3

1 1

( )

3 2dx ( 1)( 2)dx dx

x  x  x x  x  x

  

4

(ln ln 1) ln ln ln1 ln 2 ln ln ln

3

 x  x       

b,

1 1

2

0 0

7 13 10 11

4 3( 1) 3( 5)

x

dx dx dx

x x x x



 

   

  

1

10 11 10 11 11

ln( 1) ln ln ln ln (10ln 11ln 20)

0

3 3 3

Bài Tính: a, 3 sin cos x dx x  

 b,

1

x  xdx

 c,

2 1 ln e x dx x   Giải a, 3

0 sin cos x dx x  

 Đặt tcosx dt sinxdx Đổi cận x 0 t 1;x3  t12 

1

1

3 2

3

1

0

2

sin (1 ) 3

(2 )

cos 2 2

   

    

   

 x x dx  t t dt  tt dt  t t dt



2 1 1 5

(2 3ln ) 1 3ln (1 3ln )

2

2

 t t  t       3ln6

8   b, 1

x  xdx

 Đặt t 1 x t2 1 x 2tdt dx dx 2tdt

        

Đổi cận x 0 t1;x 1 t0

1

2

0

1 (1 ) (2 )

x  xdx  t t tdt t  t dt

   (23t3 52t5)10 3 152 24 c, 1 ln e x dx x 

 Đặt tlnx dt1xdx Đổi cận x 1 t0;x e  t1 Vậy:

2 1 ln e x dx x   =

(1 ) ( )

0

3

t t dt t

   

 Bài Tính: a,

1

x

xe dx

 b,

(x1)sinxdx

 c,

ln e

xdx  Giải a,

1

x

xe dx

 Đặt u x x du dxx

dv e dx v e

          

Vậy: x xe dx  = 1

( ) 1

0

x x x

xe  e dx e e   e e 

b,

(x 1)sinxdx





 Đặt

1

cos

u x du dx

dv sinxdx v x

            2 0

( 1) (( 1) ) cos 2

0

x sinxdx x cosx xdx sinx

             c, ln e xdx

 Đặt

1 ln

u x du dx

x dv dx v x             

Vậy: ln e xdx  =

( ln )

1

e

e e

Bài 4.Tính tích phân sau: 2 x x dx x     . Giải:

1 1

0 0

1

2 3

( ) ( 1) 3ln 1 3ln

0

1 1 2

 

 

             

    

x x x dx x x dx x dx x dx x x x

Bài 5.Tính tích phân sau: 2 x x dx x    

Giải:  

1 1

2

0 0

2 2

2 2

2 2

x x

dx x x dx x x dx dx

x x x

                        

2 1

2 2ln 2 2ln 2ln

0

3 3

x

x x x

 

            

 

Bài 6. Tính tích phân sau: 2 4dx x   .

Giải: Đặt 2 2  

4

2 tan tan 4 tan tan = cos

        

x t x t x t t

t

2 tan

cos  x t dx dt

t  x 0 t0; x 2 t4 

Ta có:

2 4

2

0 0

1 cos 1

.2 =

4 cos 2 0

t dt

dx dt t

x t             

Bài 7. Tính tích phân sau: 2 dx x   .

Giải: Đặt

 

2 2 2

3sin 9sin 9 9sin sin 9cos

x t x t x t t t

          

2

9 x 9cos t cos t

   

3

3sin 3cos 0;

2

x t dx tdt x t x t 

           Khi 6 2

0 0

1

3cos

3 cos

9 0

dx

tdt dt t t x            

Bài 8.Tính tích phân sau:  cos 

sin x

e x xdx





Giải: Ta có:  cos  cos

0 0

sin sin sin

    

e x x xdx e x xdx x xdx I J

  

   

cos cos cos cos cos0

0

1

sin cos

0

 x  x  x    

I e xdx e d x e e e e

e     sin

J x xdx



 Đặt

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

               0

.sin cos cos cos 0.cos sin

0

J x xdx x x xdx x

   

  

       

Vậy:  cos 

1 sin

x

e x xdx I J e

e





     



Bài 9.Tính tích phân sau: 6 

sin sin 2x x dx





 .

Giải: 6  6 6 

0 0 0

1

sin sin sin sin cos cos8

x x dx x xdx dx x x dx dx

    

      

    

sin sin 3 3

6

6

4 8 16 16

0 x x x                 

Bài 10 Tính tích phân sau: 2 x dx    Giải:: Vì 2 2 1

1 1

1

x x

x x x

x x               nÕu nÕu -1 nÕu

Do đó      

2 1

2 2

2 1

1 1



  

       

x dx x dx x dx x dx

3 1 1 2

4

2 1

3 3

x x x

x  x x

     

          

 

     

Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y = x2 + , x + y = 3.

Giải: Đặt : f1(x) = x2 + , f2(x) = - x.

Vậy diện tích cần tìm là: S=

1 1

2

1

2 2

9 f (x) - f (x) ( 2)

2

dx x x dx x x dx

  

      

  

Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y = x2 + 2, y = 3x.

Giải S =

6

2

 



x x dx

Bài 13. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau : y = 0, y = xsinx, x = 0, x =

2 

Giải: V = 2

sin



 x xdx Đặt :   

 

xdx dv

x u

sin   

 



x v

dx du

cos

 V = 2

sin



 x xdx =

     

   



 

2

0 cos )

cos (

 

 x x xdx = 

Bài 14 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay xung quanh trục Oy hình giới hạn đường y =

2

x

, y = 2, y = x = Giải: V =  

4

2ydy (

2 2)

(y = 12

CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC

SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC

1/ Công thức sô phức Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) môđun số phứcz  a bi  a2b2

3) số phức liên hợp z = a+bi z = a  bi * z+z = 2a; z.z= z2a2b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i

7) z = c di 2 2[(ac+bd)+(ad-bc)i] a bi a b

 

 

2 Bài tập

Dạng 1:Các phép toán số phức Câu 1: Thực phép toán sau:

a (2 - i) + 2i 3

 

 

  b  

2

2 3i i

3     

 

c 1i 2i 1i

3 2

    

   

   

    d

3

i i i

4 5   45   

     

     

     

Câu 2: Thực phép tính sau:

a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2 b

3

3i 2

 

 

 

Câu 3: Thực phép tính sau: a i

2 i 

 b

2 3i 5i



 c

3

5 i d     3i i 2i



 

Câu 4: Cho số phức z=

2  2i Tìm z, z ,

z , 1+ z +z2 Giải

Có z= 2i

( )2

2 2

z   i   i

( )2

2 2

z   i   i  z3 ( ).z2 z i

1+ z +z2=3 3

2 i

 



Câu 5: Giải phương trình sau:

a (2 i z)  0 (1) b

1

i i

z

i i

  



  (2)

Giải

a (1) (1 ) 1 3

1 (1 )(1 ) 10

  

       

  

i i

i z z z

1 10 10  z  i

b (2) 2:

2

i i

z

i i

  

 

 

( )(1 )

(2 )

   

  

 

i i i

z

i i

(2 )(3 ) 22

25 25 25

 

 z i i  z  i

Câu 6: Giải phương trình sau (với ẩn z) tập số phức

a 4 5i z i    b 3 2i  2 z i  3i c z 1i 1i

2

  

 

 

  d

3 5i

2 4i z



 

Câu 7: Cho hai số phức z, w chứng minh: z.w =  z w

    

Câu 8: Chứng minh số phức có mơđun viết dạng x i x i 

 với x số thực mà ta phải xác định

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a z 1  b z i  z 3i

Câu 2: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a z + 2i số thực b z - + i số ảo c z z 9  d

z 3i z i

 

 số thực

1/ Tính bậc hai số

Ví dụ1 :

Tìm bậc hai số phức z 4i

Gọi x + iy bậc hai số phức z 4i, ta cú :

2 x y

2 x y

(x iy) 4i

2xy

2xy

 

   

     



 

 

hoặc  x2xy y 4  

x y2

2x

    

 



(loại) x 2y

2x

   

  



x y x 2;y 2

2 x 2;y 2

x

  

  

   

 

 

 



Vậy số phức có hai bậc hai : z1 i , z 2  i 2

Ví dụ 2: Tính bậc hai số phức sau:

a -5 b 2i c -18i d 5i

3   2/ Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = với  = b2  4ac.

Nếu  = phương trình có nghiệm oesp x1 x2 b 2a

  (nghiệm thực)

Nếu  > phương trình có hai nghiệm thực: x b 2a

   

Nếu  < phương trình có hai nghiệm phức x b i 2a

   

Ví dụ1: Giải phương trình x2 4x 0  tập số phức Giải:  ' 3 3i nên  ' i 3

Phương trình có hai nghiệm : x1 2 i , x2  2 i

Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức

a x2 + = 0 b x2 - 3x + = 0 c x2 + 2(1 + i)x + + 2i = 0 d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e ix2 + 4x + - i = 0

g x2 + (2 - 3i)x =

Ví dụ 3: Giải phương trình sau tập số phức

c 2z3 3z25z 3i 0  

Ví dụ 4: Tìm hai số phức biết tổng tích chúng là: a + 3i -1 + 3i b 2i -4 + 4i

Ví dụ 5: Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm: a  = + 4i b  = i 3

Ví dụ 6: Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện ra: a z2 - mz + m + = điều kiện: z2 z2 z z 1

1   

b z2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: 3z z3 18   Bài tập đề nghị:

Câu 1: Tính bậc hai số phức sau: a - 24i

b -40 + 42i c 11 + 3i d 2i

4

Câu 2: Chứng minh rằng:

a) Nếu x + iy bậc hai hai số phức a + bi x - yi bậc hai số phức a - bi b) Nếu x + iy bậc hai số phức a + bi x yi

k  k bậc hia số phức

a b

i

2

k k (k  0) Câu 3: Giải phương trình sau tập số phức:

a z2 + = 0 b z2 + 2z + = 0

c z2 + 4z + 10 = d z2 - 5z + =

e -2z2 + 3z - = 0

Câu 4: Giải phương trình sau tập số phức:

a (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0

c (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0 Câu 5: Giải phương trình sau tập số phức:

a (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - = 0 b

2

4z i 4z i

5

z i z i

 

  

 

 

 

Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:

a)  = - 5i b  = -2 - i 3 c  = 3 i 2

Câu 7: Chứng minh phương trình az2 + bz + c = (a, b, c  R) có nghiệm phức   R 

cũng nghiệm phương trình

Câu 8: Cho phương trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0

Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình

a) Chỉ có nghiệm phức b/ Chỉ có nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức Câu 9: Giải phương trình sau tập số phức:

a z2 +

z + = b z2 =

z + c (z + z)(z - z) = d 2z + 3z = + 3i Câu 10: Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo

a) z3 - iz2 - 2iz - = b z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - + 4i = 0

CHUY£N §Ị: DIƯN TÝCH – THĨ TÝCH KhèI §A DIƯN Và KhốI TRòN XOAY Thể tích khối chóp

-Nm đợc CT tính thể tích khối chóp V =

3

B.h ( B diện tÝch đ¸y ) -BiÕt c¸ch tÝnh thĨ tÝch khèi chóp, biết phân chia khối đa diện

Bi 1: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a

HD: * Đáy BCD cạnh a H trọng tâm đáy

* Tất cạnh đầu a * Tính: V = 1

3Bh = 1

3SBCD AH * Tính: SBCD =

2 3

4

a (

BCD cạnh a) * Tính AH: Trong VABH H :

AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = 2

3BM với BM = 3 2

a )

ĐS: V = 2

12

a

68

S

Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh a

HD: * Đáy ABCD hình vng cạnh a H giao điểm đường chéo * Tất cạnh đầu a

* Tính: V = 1

3Bh = 1

3SABCD SH * Tính: SABCD = a

2

* Tính AH: Trong VSAH H:

SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = 2

2

a )

ĐS: V = 2

6

a Suy thể tích khối bát diện cạnh a ĐS: V = 2

3

a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác đều và vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB

a) Chứng minh rằng: SH (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)

* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB) * SH AB ( đường cao SAB đều) Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)

b) * Tính: VS.ABCD =

1 3Bh =

1

3SABCD.SH

* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = a 3

2 (vì SAB cạnh a)

ĐS: VS.ABCD =

a 3 6

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy

góc 600 Tính thể tích khối chóp đó.

HD: * HạSH (ABC) kẻ HM AB, HNBC, HP AC

* Góc tạo mặt bên (SAB) với đáy (ABC)  = SMH

= 600 * Ta có: Các vng SMH, SNH, SPH (vì có chung cạnh

góc vng góc nhọn 600)

* Suy ra: HM = HN = HP = r bán kính đường trịn nội tiếp ABC

S

D a

H C

A B

7a

6a 5a

N

M H

P

C A

60

* Tính: VS.ABC =

1 3Bh =

1

3SABC SH

* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)  

= p(p AB)(p BC)(p CA)   (cơng thức Hê-rơng) * Tính: p = 5 6 7 9

2

a a a a

 Suy ra: SABC = 6 6a2 * Tính SH: Trong VSMH H, ta có: tan600 =

SH

MH  SH = MH tan600

* Tính MH: Theo cơng thức SABC = p.r = p.MH  MH = ABC

S

p = 2a3 6 Suy ra: SH = 2a 2

ĐS: VS.ABC = 8a3 3

Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy

góc 600 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA. a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC

b) Tính thể tích khối chóp S.DBC

HD: a) Hạ SH (ABC)  H trọng tâm ABC cạnh a

Gọi E trung điểm BC

* Góc tạo cạnh bên SA với đáy (ABC)  = SA E = 600 * Tính: S.DBC

S.ABC

V SD SB SC SD

. .

V SA SB SC SA

* Tính SD: SD = SA – AD

* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH nửa tam giác đều)

AH = 2

3AE mà AE = a 3

2 ABC cạnh a

Suy ra: SA = 2a 3

3

* Tính AD: AD = AE

2 ( ADE nửa tam giác đều) Suy ra: AD = a 3

4

* Suy ra: SD = 5a 3

12 ĐS:

S.DBC S.ABC

V SD 5

V SA 8

60

E D

a H

C

B A

b) Cách 1: * Tính VS.ABC =

1 3Bh =

1

3SABC.SH * Tính: SABC =

2

a 3

4 (vì ABC cạnh a)

* Tính SH: Trong VSAH H, ta có: sin600 = SH

SA  SH = SA.sin60

0 = a Suy ra: V S.ABC =

a 3 12

* Từ S.DBC S.ABC

V 5

V 8 Suy ra: VS.DBC =

3

5a 3 96

Cách 2: * Tính: VS.DBC =

1 3Bh =

1

3SDBC.SD * Tính: SDBC = 1

2 DE.BC

* Tính DE: Trong VADE D, ta có: sin600 =

DE

AE  DE = AE.sin60

0 =3a

4 Suy ra: SDBC =

2

3a 8

Bài 6: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ()qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

Giải

Kẻ MN // CD (N SD)thì hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM).

+ SANB SADB SABCD

SADB

SAND V V V

SD SN V

V

4

1

1

 

  

N S

O M

B D

C

A

+ SBMN SBCD SABCD

SBCD

SBMN V V V

SD SN SC SM V

V

8

1

1

    



Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD

8

Suy VABMN.ABCD = VSABCD

Do : 53



ABCD ABMN

SABMN V

V

III, Bµi tËp vỊ nhµ

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a, BC a SA3a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

(TN-THPT 2008 lần 2)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Biết 

120

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

- Nắm CT tính thể tích khối lăng trụ V = B.h ( B diện tích đáy ) -Biết cách tính thể tích khối lăng trụ, biết phân chia khối đa diện

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ

b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

HD: a) * Đáy A’B’C’  cạnh a AA’ đường cao * Tất cạnh a

* VABC.A B C   = Bh = SA B C  .AA’

* Tính: SA B C   =

2 3

4

a (A’B’C’  cạnh a) AA’ = a ĐS: VABC.A B C   =

3 3

4

a b) A BB C

V   = 1

3 VABC.A B C   ĐS:

3 3

12

a

( khối lăng trụ đứng có tất cạnh chia thành tứ diện nhau) Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a,

C = 600, đường chéo BC’

mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc 300. a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ HD: a)* Xác định góc cạnh BC’ mp(ACC’A’)

+ CM: BA ( ACC’A’)  BA AC (vì ABC vng A)  BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)

+  = BC A = 300 * Tính AC’: Trong

V

 BAC’ A (vì BA AC’)

tan300 = AB

AC  AC

’ =

0

30

AB

tan = AB 3

* Tính AB: Trong VABC A, ta có: tan600 = AB AC

 AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a

b) VABC.A B C   = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC =

1

2 AB.AC = 1

2 a 3.a =

2 3

2

a

C'

B' A'

C

B A

60

30

C' B'

A'

C B

* Tính CC’: Trong

V

 ACC’ C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2  CC’ = 2a 2 ĐS: VABC.A B C   = a3 6

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách đều các

điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ. HD: * Kẻ A’H (ABC)

* A’ cách điểm A, B, C nên H trọng tâm ABC cạnh a * Góc cạnh AA’ mp(ABC)  =

A AH = 600

* Tính: VABC.A B C   = Bh = SABC.A

’H

* Tính: SABC =

2 3

4

a (Vì

ABC cạnh a)

* Tính A’H: Trong

V

 AA’H H, ta có:

tan600 = A H

AH



 A’H = AH tan600 = 2

3AN 3 = a

ĐS: VABC.A B C   = 3

4

a

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a AA’ = 3a

Tính thể tích lăng trụ HD: * Đường cao lăng trụ AA’ = 3a * Tính: VABC.A B C   = Bh = SABC.AA

’

* Tính: SABC =

1

2AB.AC (biết AC = a)

* Tính AB: Trong VABC A, ta có:

AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2

ĐS: VABC.A B C   =

3

3 3

2

a

Bài 5: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao h góc hai đường chéo hai mặt bên kề phát xuất từ đỉnh  Tính thể tích lăng trụ

Giải

2a 3a

a

C' B'

A'

C B

A

a 60

N H

C'

B' A'

C

B' h D' C' A' O B D C A

Gọi x cạnh đáy, ta có B’D’ = x 2, AB' AD' h2 x2

  



 ' ' cos

cos ' ' ' ' ' ' : '

'D B D2 AB2 AD2 AB AD AB2 AB2

AB     



2x2 2(h2 x2) 2(h2 x2)cos x2 (h2 x2) (h2 x2)cos

            cos ) cos ( 2  

 x h .Vậy V = x2.h =

  cos ) cos (  h

Bài 6: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải 30 I C' B' A' C B A

Giả sử BI = x

2

x x

AI  



Ta có ' 300

A’A = AI.tan 300 = x x



3

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x2.Do VABC.A’B’C’ = III, Bµi tËp vỊ nhµ

Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB'a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC)

60 ; tam giác ABC vng C BAC 600

 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt

phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC a , ACB 600



Đường chéo BC’ mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

- Nắm sử dụng thành thạo công thøc:

1 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2..R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) Thể tích khối trụ: V = R2.h

 ( h : độ dài đường cao )

3 Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l Thể tích khối nón: V = R h

3

1



5 Diện tích mặt cầu: S = 4. .R2  Thể tích khối cầu: V = .

3

R 

Bài 1: Trong không gian cho tam giác vng OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón

a) Tính thể tích khối nón

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15 Tính: AB = ( AOB O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24

b) V = 1

3R h =

2

1

3.OB OA =

2

1 3 4

3 . = 12

Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2

* Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2

b) V = 1

3R h =

2

1

3.OB SO =

3

1 3

3

3 3

a

.a a 

 

Tính: SO = 2 3 3

2

a a

 (vì SO đường cao SAB cạnh 2a)

Bài 3: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vng. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón

b) Tính thể tích khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác vuông cân S nên A = B = 450 * Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2

77

2a

A B

S

O

A

B O

Tính: SA = a 2; OA = a ( SOA O)

* Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2) a2

b) V = 1

3R h =

2

1

3.OA SO =

3

1

3 3

a

.a a 

 

Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ

b) Tính thể tích khối trụ

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2 * OA =R; AA’ = 2R

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2 b) * V = R h2

 = .OA OO2 = .R R2 2  2 R3

Bài 5:Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ

b) Tính thể tích khối trụ

c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2) b) * V = R h2

 = .OA OO2 = .52.7 = 175(cm3)

c) * Gọi I trung điểm AB  OI = 3cm * SABB A  = AB.AA

’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8

* Tính: AI = 4(cm) ( OAI I)

Bài 6:Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho

c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB và trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ

A

B O

O' A'

B'

l h

h r

l

B'

A' O'

I

O B

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r r 3 = 3 r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 3 + 2r2 = ( 3 1 )r2 b) * V = R h2

 = .OA OO2 = .r r2 3r3 3

c) * OO’//AA’ 

BAA  = 300

* Kẻ O’H A’B  O’H khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ

* Tính: O’H = 3

2

r (vì

BA’O’ cạnh r)

* C/m: BA’O’ cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r

* Tính: A’B = r (



 AA’B A’)

Cách khác: * Tính O’H = O A 2 A H  =

2

2 3

4 2

r r

r   ( A

’O’H H)

* Tính: A’H =

2

A B

=

2

r

* Tính: A’B = r (



 AA’B A’)

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ABC vng B AB = 3a, BC = 4a

a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu HD: a) * Gọi O trung điểm CD

* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;

* Chứng minh: DAC vuông A  OA = OC = OD = 1

2CD

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) * Chứng minh: DBC vuông B  OB = 1

2 CD

* OA = OB = OC = OD = 1

2 CD  A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 2

CD

) b) * Bán kính R =

2

CD

= 1

2

2

AD AC = 1

2 AD2AB2BC2

= 1

2

2 2 5 2

25 9 16

2

a

a  a  a 

r

H A

B O

O' A'

r

O D

C

* S =

2

2

5 2

4 50

2

a a

 

   

 

; * V = 4

3 R

3 =

3

3

4 5 2 125 2

3 2 3

a a

  

  

 

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a. a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu HD: a) Gọi O tâm hình vng (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS b, R = OA = 2

2

a ; S = 2a2; V =

3 2

3

a 

Bài 1:Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a 2

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón

c) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

Bài 2:Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2.

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD)

a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

2) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 4), B(3; 6; 2) Tìm tọa độ điểm C cho tứ giác OABC hình bình hành C(2; 8; – 2)

Bài Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3; –2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(–1; 1; 2) 1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Từ suy ABCD tứ diện x + 2y + 3z – = 0 2) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD AH = d(A; (BCD)) = 14 

3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) R = 14

4) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song với cạnh CD tứ diện ABCD 3x – y + 2z – = 0

Bài Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z =0. 1) Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) I(1; –2; 3), R = 14

2) Gọi A, B, C giao điểm mặt cầu (S) với trục Ox, Oy, Oz (A, B, C khác gốc tọa độ O) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

3) Tính thể tích tứ diện OABC

Bài 6: Cho A(2;–4;1), B(1;2;4), C(3;2;–2)

1) Tìm tọa độ hình chiếu điểm A trục Ox, mặt phẳng (Oxy) 2) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua trục Oy, mặt phẳng (Oyz)

3) CMR: A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm tâm đtrịn ngoại tiếp tam giác ABC

4) Tính chu vi diện tích tam giác ABC, độ dài đường cao xuất phát từ A

5) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành, điểm I cho IA + 2IB + IC = Bài 7: Cho A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;–2)

1) CMR tam giác ABC vng Tính chu vi diện tích tam giác ABC 2) Tìm tọa độ trọng tâm tâm đtrịn ngoại tiếp tam giác ABC

3) Tìm tọa độ giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC 4) Tính số đo góc C

Bài 8: Cho A(0;–1;0), B(0;0;2), C(1;0;0), D(–1;1;–2)

1) CMR: A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Tính chiều cao tứ diện xuất phát từ D 2) CMR: AC  BD Tính số đo góc A tam giác ABC, góc tạo hai cạnh AB, CD 3) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện

4) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C Chứng tỏ điểm M(1;1;0) không thuộc mặt phẳng (ABC)

6) Viết phương trình đường thẳng Δ qua M song với AB, đường thẳng Δ’ qua D vng góc với (ABC) Xét vị trí tương đối đường thẳng Δ với mặt phẳng (ABC), đường thẳng Δ với Δ’ 7) Viết phương trình mặt cầu:

i) tâm A qua B ii) đường kính AB

iii) tâm D tiếp xúc với mp (ABC) iv) qua bốn điểm A, B, C, D

Bài Cho đường thẳng MN với M(–1; 0; 1) N(1; 2; –1)

Điểm hai điểm P(0; 1; 1) Q(0; 1; 0) thuộc đường thẳng MN ? Bài Cho tứ diện ABCD với A(2; 4; 1), B(1; 4; 1), C(2; 4; 3) D(2; 2; 1) a) Chứng minh: AB, AC, AD đơi vng góc

b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác BCD, tọa độ trọng tâm H tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AG

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Mặt phẳng xác định điểm vectơ pháp tuyến

1 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(1; 2; 1) có VTPT n = (–1; 3; 2) Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(2; 4; 0) có VTPT n = (0; 1; 3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực () đoạn AB biết A(2; 2; 1), B(0; –2; 5) Viết phương trình mặt phẳng trung trực () đoạn AB biết A(3; 1; 1), B(1; 1; –3)

5 Viết phương trình mặt phẳng () vng góc với đường thẳng AB A biết A(–1; 2; 1), B(2; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng () vng góc với đường OB B biết B(–2; 1; –3)

7 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(3; –1; 2) vuông góc với trục Oy

8 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(0; 4; 0) vuông góc với đt :

1

 

 



x y z

Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(1; –1; 1) song song với mp(Oxz)

10 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(2; 4; 0) song song với mp(): 2y + y – z – = Mặt phẳng xác định điểm vectơ có giá song song với mặt phẳng cần tìm

1 Viết phương trình mặt phẳng () qua ba điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) C(0; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng () qua ba điểm A(–2; 2; 0), B(2; –1; 3) C(–1; 0; –1)

3 Cho điểm A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(1; 2; 1) D(2; - 1; 2) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm C, D tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp ABCD

5 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(2; –1; 3) chứa đường thẳng :

1

1

  

 



x y z

6 Viết phương trình mặt phẳng () qua M(1; –1; 2), song2 với trục Oz đt :

1 1

  

 

 

x y z

7 Viết phương trình mặt phẳng () qua M(–2; 2; 0), song2 với :

1

x t

y t

z t

  



  

   

, ’:

5

1 2

  

 



x y z

8 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(1; 2; 1), N(2; 0; 0) song2 với đt :

1

1

x y z

 



9 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M(2; –1; 3), N(–1; 0; 1) song2 với đt :

1

1

 

 

 

x y z

10 Viết phương trình mặt phẳng () chứa :

1



 

 

x y z

song song với ’:

1

x t

y z t

   

    

11 Viết phương trình mặt phẳng () chứa :

3

2

x t

y t

z

  

      

song song với ’: 1

2 1

x y z

 

 

12 Viết phương trình mp () qua M(1; –1; 2) vng góc với mp (Oyz) mp (): x – 2y – z – =

13.Viết phương trình mp () qua M(–2; 2; 0), vng góc với mp (): x + 2y – 3z + = 0, (): x + y – z – =

14 Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm M(1; 2; 1), N(2; 0; 3) vng góc với mp (Oxz) 15 Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm M(1; 2; 1), N(2; 0; 3)  (): 2x – y – z + = 16 Viết phương trình mặt phẳng () chứa trục Oy vng góc với mặt phẳng (): x + y + z + =

0

17 Viết phương trình mặt phẳng () chứa đt : 1

1

x y z

 

  vng góc với mp (): 2x – y – z + =

Mặt phẳng xác định vectơ pháp tuyến cách điểm cố định khoảng không đổi Viết phương trình mp () vng góc với OA biết A(2; –2; 0) cách M(1; –1; 0) khoảng

2 Viết phương trình mp () vng góc với AB, biết A(1; 2; 1), B(0; 0; 3) cách M(1; 2; 0) khoảng

3 Viết phương trình mp () vng góc với đ/t :

2 1



 



x y z

cách M(1; –1; 1) khoảng

4 Viết phương trình mp () song song với (): x – 2y + z – = cách M(–2; 1; 0) khoảng

Mặt phẳng xác định vectơ pháp tuyến tạo với mặt phẳng khác một góc  khơng đổi

1 Viết phương trình mp () qua O(0;0;0), vng góc với mp (): x + 2y – z = tạo với mp (Oyz) góc 450

2 Viết phương trình mặt phẳng () qua M(3; 0; 0), N(0; 0; 1) tạo với mp (Oxy) góc  Mặt phẳng xác định tiếp xúc với m/c điểm thuộc m/c hay vuông góc với một đường hay song song với hai đường hay song với mặt phẳng hay vng góc với mặt phẳng

1 Viết phương trình mp () t/x với mc(S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = M(4; 3; 0)(S). Viết phương trình mp () t/x với mc (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = M(2; –1; 5)(S).

3 Viết phương trình mp () t/x với mc (S) x2 + y2 + z2 – 2x + 6y + 2z + = chứa đt :

4

x t

y t

z t

   

      

4 Viết phương trình mp () t/x với mc (S) x2 + y2 + z2 – 4x – 6y + =  ():

1

x y z

 

5 Viết pt mp () tx m/c (S) x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 6z + = song2 với đt : 1

x t y z t

  

    

, ’:

1

x t

y t

z t

   

   

    

6 Viết pt mp () tx mc (S) x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z +170 = 0, //: 13

2

  

 



x y z

’:

1

x t

y t

z

   



   

  

8 Viết pt mp () tx với m/c (S) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + = song2 với mp (’): 2x – y + 3z + =

9 Viết pt mp () tx với m/c (S) x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = 0,  () x – 4y + z + = (): x + y – =

10.Viết pt mp () tx với m/c (S) x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – = 0,  (): x + y + z = (): x –2y – z +3 = 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

Đường thẳng xác định điểm vectơ phương

1 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (4; 2; 1) có vtcp a(2; 1;0)

2 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (1; 1; –2) có vtcp a ( 1; 2;3)

3 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (1; 2; 1) song song với trục Oz

4 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (0; 2; 1) song song với đường thẳng :

x t y z t

  

    

5 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (–1; 2; 2) song2 với đt :

5

x y z

 

6 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M(1; 2; 0) vng góc với mp (Oxy)

7 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M(1; 2; 0) vng góc với mp (): 2x + y – z + = Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M(2; 0; -1) vng góc với mp (): x + y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm O(0; 0; 0) M(1; 2; 3)

10 Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm M(2; 3; 1) N(2; –1; 1)

Đường thẳng xác định điểm vng góc với hai đường thẳng hay vng góc với đường đồng thời song song với mặt phẳng hay song song với hai mặt phẳng

1 Viết phương trình đường thẳng  qua M(3; 2; 1), vng góc với trục Ox đường thẳng 1:

2

x

y t

z t

  

      

2 Viết phương trình đt  qua M(1; 2; 1) vng góc với đt 1:

1

x t

y t

z t

   

  

   

, 2:

2

2 1

x y z

 

3 Viết phương trình đt  qua M (1; –3; –1), vng góc với đt 1:

1

1

1 

  

 y z

x

4 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (–3; 1; –1), vng góc với đt 1:    

 y z

x

song song với mặt phẳng (α): y + 2z =

5 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (4; 0; 2), song song với hai mp (Oxz) (): 2y + z + =

6 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (0; 2; 1), song song với hai mp (): x – y + 2z + = (): 3x – 2y + 2z + =

Đường thẳng xác định tiếp xúc với m/c điểm thuộc m/c tạo với đường thẳng cho trước góc 

1 Viết pt đt  tx với mc (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – = M(1; 1; 1) tạo với trục Oz góc 450.

Đường thẳng đường vng góc chung đường thẳng chéo nhau

2 Viết phương trình  đường vng góc chung hai đường thẳng chéo 1, 2 có pt

1

x y z

 

 ,

3 1

7

x y z

 

 Khi tính khoảng cách hai đường chéo

3 Viết phương trình đường vng góc chung  hai đường thẳng chéo 1, 2 có

pt x t y z t           , x y t z t            

Khi tính khoảng cách hai đường chéo Đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng mặt phẳng cho trước

1 Viết phương trình hình chiếu vng góc đt Δ:

1 2 x t y t z t          

mp (Oxz)

2 Viết phương trình hình chiếu vng góc đt Δ: 2

3

x y z

  mp (α): x + 2y + 3z + =

Đường thẳng thuộc mp cho trước cắt hai đường thẳng + Tìm giao điểm A, B đt với mp

+ Viết pt đt qua điểm A, B

Viết ptđt  thuộc mp (): y + 2z = cắt hai đ/t 1, 2 có pt: x t y t z t          , 4 x t y t z           Đường thẳng qua điểm cho trước cắt hai đường thẳng   1,  2.

+ Xđ mp () qua điểm cho trước chứa đt 1, mp () qua điểm cho trước chứa đt 2 + Phương trình đt cần tìm qua điểm cho trước có vtcp an ,n1 2

 

  

Viết ptđt  qua điểm M(1;–1;1) cắt đt: Δ1:           t z t y t x

Δ2:

          z y z y x

Đường thẳng qua điểm cho trước, vng góc với đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

+ Xđ tọa độ H =   ()

+ Phương trình đt cần tìm qua điểm điểm H có vtcp aa ,n(Δ) (α)

 

  

Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm đường thẳng (): 11 23 1 

 y z

x

với mặt phẳng (): 2xy 2z90, vng góc với () nằm mp ().

Đường thẳng qua điểm cho trước, vng góc cắt đường thẳng   1. + Xđ mp () qua điểm cho trước vng góc với đt 1

+ Xđ tọa độ H = 1  ()

+ Phương trình đt cần tìm qua điểm cho trước điểm H Viết ptđt  qua điểm M(2;0;1), vng góc cắt 1:

1 2 x t y t z t          

Đường thẳng song song với đường thẳng   cắt hai đường thẳng  2,  3. + Xđ mp () chứa đt 2 song song 1, mp () đt 3 song song 1

+ Phương trình đt cần tìm qua giao điểm () () có vtcp a a Δ1

 

Viết phương trình đt song song với đt Δ1:

          t z t y t x

cắt đt Δ2:

3 1    

 y z

x

, Δ3:

4 x t y t z t          

Đường thẳng vng góc với mp ( ): Ax + By + Cz + D = cắt đt  1:

0 0

x x at y y bt z z ct

          

2

0 0

x x a t y y b t z z c t

                   .

+ Xđ mp () chứa đt 1 vng góc với (), mp () đt 2 vng góc với () + Phương trình đt cần tìm qua giao điểm () () có vtcp a n (α)

 

Viết phương trình đt  vng góc với mp (Oxz) cắt đt 1, 2 có pt:

x t

y t

z t

  

  

   

,

1

x t

y t

z t

    

   

    

Viết phương trình đt  vng góc với mp x + y + z = cắt đt 1, 2 có pt:

x t y

z t

  

     

,

3

x

y t

z t

  

   

   

13) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M, vng góc với đường ’ cắt đường thẳng ’’

Ví dụ: Viết ptđt  qua M(0; 1; 1) vng góc với 1:

1

3 1

x y z

  cắt 2đt 2:

1 4

x t

y t

z t

   

 

   

, BÀI TẬP THÊM :

1) Cho điểm A 2,0,3  mặt phẳng  P : 2x 3y 5z 0    Viết phương trình đường thẳng (d)

qua A vng góc với (P) Tìm hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (P) 4) Cho đường thẳng  d :3x y 2z 0x 3y 2z 0   

   

 Hãy viết phương trình đường thẳng (d) qua  

A 3,4,5

và song song với (d)

5) Cho đường thẳng  d :x y z 32 4  1 Hãy viết phương trình đường thẳng (d’) qua A 3,2,1  cho (d’) cắt (d) đồng thời vng góc với (d)

6) Cho hai đường thẳng  d :x y z 91  2  1 , d' :  x y z 17  2  3

  Hãy viết phương trình

đường thẳng vng góc chung (d) (d’)

7) Tính khoảng cách hai đường thẳng  d :2x z 0x y 0   , d ' :  3x y 0y z 0  

      

 

8) Cho hai đường thẳng  d :1 x y z 23 2 1 , d : 2 x y z 12 3 5

     

   

   Hãy viết phương trình

đường thẳng (d) qua A 3,2,1  cho (d) cắt (d1) (d2)

9) Cho hai điểm A 1,2, ;B 7, 2,3      đường thẳng  d :x y z 23  2  2

 

a) Chứng minh (d) đường thẳng AB nằm mặt phẳng b) Tìm điểm M  (d) cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

11) Tính khoảng cách từ điểm M 2, 1,3   đến đường thẳng  d :x y z

3

  

 

12) Tính khoảng cách hai đường thẳng  d :1 x y z 31 2 2 , d : 2 x y z 11 2 2

     

    ;

 d :1 x y z 11 1 2 , d : 2 x y z 21 1 4

  

   

14) Viết phương trình đường thẳng qua A 1,2, 2   song song với đường thẳng có phương trình x y

y 2z    



  



15) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  d :x y z 21  2  2 vng góc với mặt phẳng  P : 2x 3y z 0   

16) Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng  1  2

x y z x y z d : , d :

2 2

   

   

18) Tìm hình chiếu điểm A 3,1, 1   lên mặt phẳng   : x 2y 3z 30 0    19) Tìm hình chiếu điểm A 2,3,4  lên đường phẳng   : x y z 

21) Cho hai đường thẳng  d :y 2z 0x z 0     

  

x y z d' :

3 1

  

 

Chứng minh (d) (d’) cắt

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) (d’)

22) Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) trung tuyến có pt x y z

2

 

   y

x z

4 

   

Viết phương trình tắc cạnh tam giác Viết phương trình đường phân giác góc đỉnh A 23) Cho điểm A(- 4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; - 1), D(7; -2; 3) Chứng minh điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

Tìm đường thẳng AB điểm M cho (MC + MD) đạt giá trị nhỏ

24) Tính thể tích khối tứ diện giới hạn mặt phẳng (P) 2x + y – z + = mặt phẳng x = 0, y = 0, z =

26) Cho hai đường thẳng (d): 2x y 11 x y z

   



   

 (d’):

x z

y

2

 

  

Chứng minh hai đường thẳng cho thuộc mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng Viết phương trình tắc hình chiếu vng góc (d) lên mặt phẳng Oxy; 3x 2y 2z 0    28) Cho bốn điểm O(0; 0; 0), A(6; 3; 0), B(- 2; 9; 1) S(0; 5; 8)

Chứng minh SB vuông góc với OA

Chứng minh hình chiếu vng góc cạnh SB lên mặt phẳng OAB vng góc cạnh OA Gọi K giao điểm hình chiếu với OA Hãy tìm tọa độ điểm K

Gọi P, Q trung điểm cạnh SO AB Tìm tọa độ điểm M SB cho PQ KM cắt

31) Cho hai đường thẳng  

x t d : y t z 2t

  

      

,  d ' : x 2z y    



 



Chứng minh (d) (d’) chéo Viết phương trình đường vng góc chung (d) (d’) Viết phương trình mặt phẳng cách (d), (d’)

32) Cho bốn điểm S(0; 0; 1), A(1; 1; 0), B(m; 0; 0), C(0; n; 0) m + n = với m, n số thực dương

Tính thể tích khối chóp SOBAC

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Từ suy mặt phẳng (SBC) tiếp xúc với mặt cầu cố định

33) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD biết S(3; 2; 4), B(1; 2; 3), D(3; 0; 3) Lập phương trình đường vng góc chung AC SD

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lập phương trình mặt phẳng qua BI song song AC Gọi H trung điểm BD, G trực tâm tam giác SCD Tính HG

34) Cho hai đường thẳng  1

x t d : y t z   

   

 



,  2

x d : y t

z t   

      

Chứng minh (d1) (d2) chéo

Tính khoảng cách hai đường thẳng

Lập phương trình đường vng góc chung (d1) (d2)

35) Cho hai đường thẳng  1

2x 3y d :

x 3z    



  

  2

2x 3y d :

y 2z    



  



Chứng minh (d1) (d2) song song với Tính khoảng cách (d1) (d2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2)

36) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng Δ:           z x z y x

mặt phẳng (α):

7   y z

x (

           z y x z y x )

37) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng Δ1:

          t z t y t x

cắt hai đường thẳng Δ2:

3 1    

 y z

x

, Δ3:

           z y x z y x

(pt Δ:

           13 16 35 13 z y x z y x )

38) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1;–1;1) cắt đường thẳng Δ1:

          t z t y t x

Δ2:

          z y z y x

(pt Δ:

            z y x z y x )

39) Viết phương trình đt nằm mặt phẳng (α): y + 2z = cắt đường thẳng Δ1:

         t z t y t x

, Δ2:

          z t y t x (pt (α):

1 y z

x     ) 40) Cho đ/thẳng Δ1:

1    

 y z

x

, Δ2:

2 2    

 y z

x

a/ CMR đ/thẳng Δ1, Δ2 chéo

b/ Viết phương trình đường vuông chung chúng (pt Δ:

            4 45 43 25 16 z y x z y x )

4 MẶT CẦU

1) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Ví dụ: Xác định tọa độ tâm bán kính mc (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 6z + = 0. Xác định tọa độ tâm bán kính mc (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 2y – 6z – 12 = 0. 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 4) bán kính R = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R =

3) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) đường kính mặt cầu Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, biết A(1; 0; –3), B(5; 2; –1)

4) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A(xA; yA; zA) Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) qua A(3; –1; –1) có tâm B(0; 2; –5)

Viết phương trình mặt cầu (S) qua A(0; 0; 4) có tâm B(1; –2; 2)

5) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC), D(xD; yD; zD) Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0)

Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1; 0; –2), B(2; 1; 2), C(3; –1; 1), D(2; –3; 0) 6) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =0

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mp(Oxz)

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mp(): 3x – y + = 7) Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC) có tâm thuộc mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) có tâm thuộc (Oxy)

Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) tâm thuộc (Oyz)

Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) có tâm nằm mp(): x + y + z – =

8) Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) có tâm thuộc đường

thẳng : 0

1

x x y y z z

a a a

  

  .

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1) có tâm nằm đường thẳng :

1

x y z

 



Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(1; 0; –2), B(2; 1; 2) có tâm nằm đường thẳng

:

1 1

x y z

 



9) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với m/p có tâm thuộc đường thẳng :

Ví dụ: Cho mặt phẳng  P : 2x y z 0; Q : 2x y z 0          Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P), (Q) có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình x y z

1

  

 

10) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với m/p qua điểm:

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P): 2x y 2z 0    , (Q): 2x y 2z 0    điểm A(-1; 1; 1) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hai mặt phẳng (P), (Q) qua A

BÀI TẬP THÊM

 d :1 x y z 132 3 2 , d : 2 x y z 83 2 0

     

   

2) Cho mặt phẳng  P : 2x y z 0; Q : 2x y z 0          .

Viết phương trình mặt phẳng   song song cách (P), (Q).

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P), (Q) có tâm thuộc đt (d): x y z

1

  

 

3) Cho mặt cầu  S : x2 y2 z2 4 mặt phẳng  P : x y z 1   Chứng minh (P) cắt (S) theo đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến

4) Cho ba điểm A 1,0,0 ;B 0,1,1 ;C 1,0,2      a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

5) Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện có mặt nằm mặt phẳng có phương trình

3x 2y 6z 18; x 0; y 0; z 0     

6) Tìm quĩ tích điểm M khơng gian cho MA 2MB với A 4,0,0 ;B 2,0,0    7) Viết phương trình mặt cầu qua đường trịn có phương trình

2 2

x y z a

x y z a

   



   

qua điểm  

A a,a,a

8) Tìm tâm bán kính đường trịn

2 2

x y z 10y

x 2y 2z 19

    



   



9) Viết phương trình mặt phẳng qua tâm C mặt cầu x y z 2x y 3z 02 2 2    vng góc

với OC

10) Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) Lập phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC 11) Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7; 3) D(-2;1; - 1)

Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện vng góc với Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

12) Cho bốn điểm A(1; 2; 2), B(- 1; 2; - 1), C(1; 6; - 1), D(- 1; 6; 2) Chứng minh tứ diện ABCD có cặp đối diện

Xác định trọng tâm tứ diện Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện

13) Cho hai mặt phẳng (P): 2x y 2z 0    , (Q): 2x y 2z 0    điểm A(- 1; 1; 1) Gọi (S) mặt cầu qua A tiếp xúc hai mặt phẳng (P), (Q) Tính bán kính mặt cầu

Gọi I tâm mặt cầu Chứng minh I thuộc đường trịn cố định Xác định tâm bán kính đường trịn

Viết phương trình đường cao DH tứ diện ABCD

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A 15) Cho đường thẳng (d): x y z

2



   mp (P): xy 2z5 0, (Q):

2x y z 0    .

a) Gọi A, B giao điểm (d) với (P), (Q) Tính AB

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc mặt phẳng (P), (Q) 16) Cho I(2; 3; - 1) đường thẳng (d): 5x 4y 3z 20

3x 4y z

   

 

   



Tìm vectơ phương (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa I d

Tính khoảng cách từ I đến (d) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cho (S) cắt (d) hai điểm A, B thỏa điều kiện AB = 10

17) Cho đường tròn (C):

2 2

x y z 4x 6y 6z 17 x 2y 2z

       



   



Tìm tâm bán kính (C)

Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) tâm nằm mặt phẳng x y z 0   

Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(2; 3; - 1) cắt đường thẳng (d): 5x 4y 3z 20 3x 4y z     



  

 hai điểm A,

B cho AB = 16 Lập phương trình tiếp diện (S) A B 18) Cho m/c  S : x2 y2 z2 2x 4z 0

      điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(-1; 2; 1) nằm mặt cầu

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C

b) Tìm tâm bán kính mặt cầu (S) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; –2; 0) mặt phẳng (α): 2x – 4y + 3z + 19 =

1) Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm I song song với mặt phẳng (α) 2x – 4y + 3z – 10 = 0

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (α) (x – 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 29 Bài Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x – 2y – z + = mặt cầu (S):

x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0.

1) Chứng tỏ mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) I(3; – 2; 1), R = 10, d(I, (α) = < R

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD), (B’D’C)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AD, BB’ Chứng minh MN  A’C Tính góc hai đường thẳng MN với AC’

1) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a đáy hình vng cạnh a Gọi AI, AJ, AE đường cao xuất phát từ A tam giác SAB, SAD, SAC

Chứng minh AI, AJ, AE đồng phẳng

Chứng minh tứ giác AIEJ có đường chéo vng góc với tính diện tích

2) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, M, N, P thuộc đoạn thẳng AB, CC’, A’D’ cho AM = CN = D’P = x

Chứng minh tam giác MNP đều, tính diện tích tam giác định x để diện tích nhỏ Cho x a

2

 , tính thể tích tứ diện B’MNP

3) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, DA = 2a, AA ' a 2 , M điểm thuộc đoạn

thẳng AD K trung điểm B’M Đặt AM = m(0 m 2a  ) Tính thể tích tứ diện A’KID, I

là tâm hình hộp Tìm vị trí M để thể tích lớn

4) Cho tia )x, )y, )z vng góc với đơi Trên tia đó, lấy điểm A, B, C cho OA a, OB a 2, OC c   Gọi D điểm cho OADB hình chữ nhật, M ;à trung điểm

BC, (P) mặt phẳng qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vng góc với AM Gọi E giao điểm OC (P) Tính OE

Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P)

5) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D

Gọi M, N, P trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính góc tạo MP CN

6) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a M, N hai điểm thuộc CC’ cho CM = MN = CC’ Gọi (K) mặt cầu qua A, B’, M, N

Chứng minh A’, B thuộc (K) Tính bán kính (K)

Bài Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; 1; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

c) Viết phương trình mặt phẳng () chứa AD song song với BC Tính khoảng cách hai cạnh đối AD BC tứ diện

Viết ptđt qua M(1;2;3) cắt vng góc Ox ?

ĐỀ THAM KHẢO:ƠN TỐT NGHIỆP TỐN 2009 ĐỀ SỐ 1

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 3 1

  x 

y x có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt 3 0

 x  

x k

Câu II ( 3,0 điểm )

a.Giải phương trình 33x4 92x2

b.Cho hàm số

1 sin



y

x.Tìm nguyên hàm F(x )của hàm số,biết đồ thị hàm số F(x) qua điểm M(

6



; 0)

b.Tìm giá trị nhỏ hàm số y x 12

x với x >

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp tam giác có cạnh 6 đường cao h = Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình Theo chương trình chuẩn :

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

(d) :

1 2

 

 



x y z

mặt phẳng (P) : 2x y z  5 0

a Chứng minh (d) cắt (P) A Tìm tọa độ điểm A

b Viết phương trình đường thẳng () qua A , nằm (P) vng góc với (d)

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : yln ,x x1,x e

e trục hoành

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

2 3

   

      

x t

y t

z t

mặt phẳng (P) : x y 2z 5

a Chứng minh (d) nằm mặt phẳng (P)

b Viết phương trình đường thẳng () nằm (P), song song với (d) cách (d) khoảng 14

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Đề số 2 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 11



 x x

y có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(1;8) Câu II ( 3,0 điểm )

a Giải bất phương trình logsin 42

3

 



x x

b Tính tích phân : I =

1

0

(3 cos )  x x dx c.Giải phương trình 4 7 0

  

x x tập số phức Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình trụ có bán kính đáy R = , chiều cao h = Một hình vng có đỉnh nằm hai đường tròn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Tính cạnh hình vng

II PHẦN RIÊNG ( điểm ) 1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P) :2x y 3z 1 (Q) : x y z   5

a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

b Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng (T) : 3x y  1 0

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = 2

x  x trục hồnh Tính thể tích khối trịn

xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh 2.Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : 3

2 1

  

 

x y z

mặt phẳng (P) : x2y z  5 0

a Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) b Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P)

Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Giải hệ phương trình sau : 2

4 log

log





 

 

 

 

y

y x

x

ĐỀ SỐ 3 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 2 1

 

x x

y có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Dùng đồ thị (C ) , biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 2 0

  

x x m

Câu II ( 3,0 điểm )

a.Giải phương trình logcos 2log cos3

3 log

3



  





x x

x x

b.Tính tích phân : I =

1

0

(  ) x x e dxx

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2 3 12 2

  

x x x [ 1; 2]

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với đôi với SA = 1cm,SB = SC = 2cm Xác định tân tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

II PHẦN RIÊNG ( điểm ) 1 Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2;1; 1) ,B(0;2; 1) ,C(0;3;0) D(1;0;1)

a Viết phương trình đường thẳng BC

b Chứng minh điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng c Tính thể tích tứ diện ABCD

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính giá trị biểu thức (1 2 )2 (1 2 )2

   

P i i

2 Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1;1) , hai đường thẳng

1 ( ) :

1



  



x y z

,

2 ( ) :

1

   

   

  

x t

y t

z

mặt phẳng (P) : y2z0

a Tìm điểm N hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng (2)

b Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng ( ) , (1 2) nằm mặt phẳng (P)

Tìm m để đồ thị hàm số ( ) :

 

 

m

x x m

C y

x với m0 cắt trục hoành hai điểm phân biệt A,B cho tuếp tuyến với đồ thị hai điểm A,B vng góc

ĐỀ SỐ 4. I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 3 1

 

x x

y có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(14

9 ; 1) Câu II ( 3,0 điểm )

a.Cho hàm số  

 x x

y e Giải phương trình yy2y 0 b.Tính tìch phân :

2

sin (2 sin ) 

 

 x

I dx

x

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y2sin3xcos2x 4sinx1

Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O đáy đến dây cung AB đáy a , SAO30,

 60

SAB Tính độ dài đường sinh theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm ) Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1

( ) :

2

 

  

 

x y z

,

( ) :

4

 

 

   

  

x t

y t

z a Chứng minh đường thẳng ( )1 đường thẳng (2) chéo

b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )1 song song với đường thẳng (2)

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Giải phương trình 8 0

 

x tập số phức Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x y 2z 1 0 mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y 6z 8

a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Biểu diễn số phức z = 1+ i dạng lượng giác ĐỀ SỐ 5. I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

2

 

x x

y có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Câu II ( 3,0 điểm ) a.Giải bất phương trình ln (1 sin )

2

log ( )

 

  

e x x

b.Tính tìch phân : I =

0

(1 sin ) cos 2 



 x xdx c.Tìm GTLN, GTNN hàm số 



x x

e y

e e đoạn [ln ; ln ]

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm ) Theo chương trình chuẩn :

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

2 ( ) :

   

    

x t

d y

z t

2

( ) :

1

 

 



x y z

d

a CM hai đường thẳng ( ), ( )d1 d2 vuông góc khơng cắt

b Viết phương trình đường vng góc chung ( ), ( )d1 d2

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tìm mơđun số phức z 1 4i(1 )i 3.

Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2x y 2z3 0

và hai đường thẳng (d1 ) :

4

2

 

 



x y z

, (d2 ) :

3

2

  

 



x y z

a Chứng tỏ đường thẳng (d1) song song mặt phẳng ( ) (d2) cắt mặt phẳng ( )

b Tính khoảng cách đường thẳng (d1) (d2 )

c Viết phương trình đường thẳng () song song với mặt phẳng ( ) , cắt đường thẳng (d1) (d2 )

Tìm nghiệm phương trình



z z , z số phức liên hợp số phức z

Đề thi thử tốt nghiệp năm 2010 Đề sè 1

Thời gian : 150 phút Môn thi : Tốn

I PHÂN CHUNG CHO TẤT CẢC THÍ SINH( 7,0 điểm )

Câu 1 ( điểm )

Cho hàm số: y = x( – x )2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) trục hồnh c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tai A(2;2)

Câu 2 ( điểm )

1.Giải phương trình : 1log x2  2log8 3 x 1

3    

2 Tính tích phân

2

ln x

J dx

x



3 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f(x) = 1x4 2x2 3

4   4 đoạn 1;3

Câu 3 ( điểm )

Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc SAC 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD

II.PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm phần dành cho chương trình

1.Theo chương trình chuẩn : Câu 4.a ( điểm )

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình tương ứng (P): 2x-3y+4z-5=0, (S): x2+y2+z2+3x+4y-5z+6=0.

1 Xác định toạ độ tâm I bán kính R mặt cầu (S)

2 Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Xác định bán kính r toạ độ tâm H đường tròn (C)

Câu 5.a ( 1điểm )

Câu 4.b (2 điềm)

Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

x 7 y z 9

d :

1 2 1

  

 

 ,

x 3 y z 1

d :

7 2 3

  

 

 

1 Hãy lập phương trình đường thẳng vng góc chung d1 d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 Câu 5.b ( điểm )

Giải phương trình z2 3i 2zi 0

1 i 3 2i

 

 

 

Đề thi thử tốt nghiệp năm 2009 Đề số 2

Thời gian : 150 phút Mơn thi : Tốn

I.PHÂN CHUNG CHO TẤT CẢC THÍ SINH( 7,0 điểm )

Câu 1 ( điểm )

Cho hàm số y = x m 2

2x 1

 



1.Tìm m để đồ thị qua A(1;1) Từ khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)của hàm số với m vừa tìm

2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ Câu 2 ( điểm )

1.Giải phương trình : log( ) log0,1( 4)

  

 x x

x Tính tích phân I =

2

1

x 2x x 5

dx x

  



3 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :f (x) 2 cos x 4sin x đoạn 0,

2



 

 

 

Câu 3 ( điểm )

Cho khối chúp tứ giác S.ABCD cú cạnh đáy a, gúc mặt bờn mặt đỏy 60o Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD

II.PHẦN RIÊNG ( điểm )

1.Theo chương trình chuẩn : Câu 4.a ( điểm )

Cho M(1;3;-2) N(3 ;-3 ; 0) mặt phẳng   : 2x – z +3 = Viết phương trình đường thẳng MN

2 Tính khoảng cách từ trung điểm MN đến mặt phẳng   Câu 5.a ( điểm )

Tìm mơđun số phức z = 3+i – (2-5i)2 + 2i(4-3i) 2 Theo chương trình nâng cao :

Câu 4.b (2 điềm)

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (): 2x-y+2z-1=0, ():x + 6y + 2z + = 0. Viết phương trình mặt phẳng () qua gốc toạ độ O qua giao tuyến () ().

2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1;2;-3) song song với () (). Câu 5.b ( điểm )

Cho hàm số y =  

x 3 m x 1

mx 1

  

 Tìm m cho tiệm cận xiên đồ thị qua A(2 ;-3)

§Ị thi thư tèt nghiệp năm 2009 Đề số 3

Thi gian : 150 phút Mơn thi : Tốn

I.PHÂN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH( 7,0 điểm )

Câu 1 ( điểm )

Cho hàm số y = x(x+3)2 + 4

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2 Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3+6x2 + 9x +2m = 0

Câu 2 ( điểm )

1.Giải phương trình : 22log ( 16) 2log ( 16) 24

3

3 x   x   

2 Tính tích phân I = 2 

1 3cos2x sin 2xdx 



3 Cho hàm số y = mx 1

nx 2



 Tìm m n biết đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số qua điểm A(-1;2)

Câu 3 ( điểm )

Trong không gian cho tam giác vng OIM vng I, góc IOM 60o Cạnh OI=a Khi tam giác IOM quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình nón trịn xoay Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón trịn xoay nói

II.PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm phần dành cho chương trình

1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( điểm )

Cho điểm A(1;0;-1) đường thẳng d có phương trình : x y z 3

2 1 1

 

 



1 Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua d

Câu V.a ( 1điểm )

Tính giá trị biểu thức sau: P = (3+2i)(i-1) –(i+3) + 2 3i

i

 2 Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b (2 điềm)

Cho mặt cầu (S): (x-1)2 + y2 + (z+2)2 = mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – = 0. Chứng minh (P) cắt (S) theo đường trịn

2 Tìm tâm tính bán kính đường trịn thiết diện (P) (S) Câu V.b ( điểm )

Cho z = 3-2i Hãy biểu diễn hình học số phức sau: z3 – 3z2 + 2z – 1.

MỘT SỐ ĐỀ TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP

ĐỀ 1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

2 Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn (C), trục hoành, trục tung.

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: A =  

0

2 1dx

x

x ; B =



2 sin



xdx x

2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = ln(x2 + x – 2) đoạn

[3 ; 6]

Câu III (1 điểm)

Diện tích ba mặt khối hộp chữ nhật có chung đỉnh 10cm2, 14cm2 và

35cm2 Tính thể tích khối hộp chử nhật cạnh khối lập phương tích với

thể tích khối hộp chữ nhật.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y – 4z + = điểm M(0 ; ; 0)

1. Tìm tọa độ hình chiếu M lên mặt phẳng (P)

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa OM vng góc với mặt phẳng (P)

Câu VA (1 điểm)

Tìm số thực x y biết: (2x + 3y + 1) + (– x + 2y)i = (3x – 2y +2) + (4x – y + 3)i

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1 ; ; 0) B(5 ; ; – 2) 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B song song với trục Oz 2 Tìm tập hợp điểm cách hai điểm A B.

Giải hệ phương trình:    

 

 

1 y log x log

1 y log x log

4

2 y

-HẾT -ĐỀ 2

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = – x3 + 3x2 –

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) điểm có hồnh độ x = – Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), (d) trục tung.

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: A =  

1

2

1 x2 x2 dx

; B = 

e

dx x

x

2

ln

2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos2x + cosx + 3 Câu III (1 điểm)

Cho hình chóp tam giác S.ABC, M điểm thuộc cạnh BC cho MCMB mn Tính

tỉ số thể tích

AMC S

AMB S

V V

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

    

 

 

 

t4 3 z

t 7 y

t2 1 x :)

d(1 và

    

  

  

 

't 2 z

't2 1 y

't3 6 x :) d(2

1 Chứng tỏ (d1) cắt (d2) điểm I, tìm tọa độ giao điểm I.

2 Viết phương trình mặt phẳng tạo (d1) (d2). Câu VA (1 điểm)

Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả điều kiện

1 

z

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):x21 1y z 32 

   

mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + z – = 0

1 Chứng tỏ (d) cắt (P) điểm I, tìm tọa độ giao điểm I.

2 Viết phương trình đường thẳng qua I, vng góc với (d) nằm mặt phẳng (P)

Câu VB. (1 điểm)

Biểu diễn số phức z dạng đại số dạng lượng giác biết  100

i z 

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm): Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 – x2 – x + 1

2 Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn (C), parabol (P): y = – x2 + 1, trục tung

và đường thẳng x = 1

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: A = 3

0

cos sin sin



xdx x

x ; B = 





2

) (x xdx

2 Giải phương trình: 3 3 10 84 10 x x

 



Giải bất phương trình: log 2(3 2x)1 Câu III (1 điểm)

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):3x + 4z – 1= điểm I(1 ; ; – 3)

1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2 Tìm tọa độ tiếp điểm (S) (P)

Câu VA (1 điểm)

Giải phương trình sau tập số phức: x4 + 2x2 – = 0

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

    

 

  

 

t z

t y

t x d

4 2

5 2 1 :)

( mặt phẳng (P) có

phương trình x – 3y – 4m2z + m = (m R)

1 Với giá trị m (d) nằm mặt phẳng (P)

2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3 ; – ; 2) cắt (d) cắt (d’):

    

  

  

t 2 1 z

2 y

t 4 x

Câu VB. (1 điểm)

Giải hệ phương trình   

  

  

i yi

x

i y x

3 2 3

1 2

-HẾT -ĐỀ 4

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 4x3 + x

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) song song với đường thẳng có phương trình y = 13x + 1

Câu II (3 điểm)

1 Tìm nguyên hàm hàm số: a) f(x) = xe-x

b)

x x x

g 4

3

2 Giải phương trình sau: a) e6x – 3e3x = –

b) log4(log2x) + log2(log4x) = 2 Câu III (1 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): 1 z

2 y

1

x 

   



và

1 z y

3 x : ) d

( 2  

  

Gọi (P) mặt phẳng có phương trình 11x + y + 8z – 17 = 0 1 Chứng tỏ (d1) nằm mặt phẳng (P)

2 Gọi (Q) mặt phẳng chứa (d2) song song với (d1) Viết phương trình đường

thẳng giao tuyến (P) (Q).

Câu VA (1 điểm)

Giải phương trình sau tập số phức: 3x2 – 4x + = 0 B Theo chương trình nâng cao

Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y – z – = 0, (Q): 2x + y + z + = điểm M(1 ; ; – 2)

1 Viết phương trình đường thẳng qua M song song với giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q).

2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm M tiếp xúc với mặt phẳng (P) Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) với mặt phẳng (Q)

Câu VB. (1 điểm)

Giải phương trình sau tập số phức: x2 – (3 – i) x + (2 – 3i) = 0

-HẾT -ĐỀ 5

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3x2

2 Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + m = 0 Câu II (3 điểm)

1 Tìm nguyên hàm hàm số: a) 2 2 ) (

x x

f

 

b)

x x x

g 2

cos ) ln(sin )

( 

2 Giải phương trình sau: a) 4.9x + 12x – 3.16x = 0

b) log 3(x 2)log5x2log3(x 2) Câu III (1 điểm)

Cho lăng trụ tam giác có độ dài cạnh bên 15cm, mặt phẳng vng góc với cạnh bên cắt lăng trụ tạo thành thiết diện tam giác có độ dài ba cạnh 17cm, 25cm 26cm Tính thể tích khối lăng trụ cho.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm AOx, BOy, COz Gọi G(– ; ; 2) trọng tâm tam giác ABC.

1 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.

2 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC).

Câu VA (1 điểm)

Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x21 y 122z 

  

điểm M(2 ; ; -3)

1 Tìm phương trình hình chiếu (d) mặt phẳng tọa độ Oxz. 2 Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng (d).

Câu VB. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

  

  

 



y log x log )y x( log

)x 4( log y log x log

3

3

4

2

-HẾT -ĐỀ 6

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 + 2

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) điểm có hồnh độ x = Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn (C) tiếp tuyến (d)

Câu II (3 điểm)

1 Giải bất phương trình: a) x x             

5

2

b) 4

4   x

2 Tìm phương trình đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị các hàm số sau:

a)

 2

1 

  

x x x y

b)

3

2

 

 

x x

x y

Câu III (1 điểm)

Cho hình nón có độ dài đường sinh 12cm, bán kính đáy 3cm ngoại tiếp một hình cầu Tính chu vi đường trịn giao tuyến mặt cầu mặt bên hình nón.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 59 = và

điểm M(– ; ; 6).

1 Xét vị trí tương đối điểm M mặt cầu (S)

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến có bán kính nhỏ Tính bán kính nhỏ đó.

Câu VA (1 điểm)

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay quanh trục Ox hình phẳng (H) bị giới hạn đường y = x2 – 4x + , y = , x = x = 3

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1 ; ; 2), B(– ; ; 3) C(1 ; – 2 ; 1)

1 Chứng tỏ A, B, C ba đỉnh tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, suy độ dài đường cao tam giác kẻ từ A.

2 Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC.

Câu VB. (1 điểm)

Cho hàm số

1 x

x y

2 

 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến vng góc với tiệm cận xiên (C).

-HẾT -ĐỀ 7

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x2 – x3

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) có hệ số góc lớn nhất.

Câu II (3 điểm)

1 Tính đạo hàm hàm số: a)  83



  x y

b)      

  

4 log

3

x x y

2 Tính tích phân sau:   

3

0sin cos

sin



dx x x

x

I 

 

3

0 sin cos

cos



dx x x

x J

Câu III (1 điểm)

Trong lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ dựng hai thiết diện (BCA’) (A’B’C). Chứng minh hai thiết chia lăng trụ ABC.A’B’C’ thành ba tứ diện tích bằng nhau.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tứ diện A.BCD có A(5 ; ; 3), B(1 ; ; 2), C(5 ; ; 4), D(4 ; ; 6).

1 Viết phương trình mặt phẳng (ACD) (BCD)

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song với cạnh CD.

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường yx1lnxx , y = x – x

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(2 ; ; 4) mặt phẳng (P): 2x + 3y +z – 17 = 0

1 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm

2 Tìm trục Oz điểm M cách điểm A mặt phẳng (P).

Câu VB. (1 điểm)

Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng (H) bị giới hạn các đường: y = x3 , y = x = quanh trục Ox.

-HẾT -ĐỀ 8

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 – 4x2 + 3

2 Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn (C) trục hoành

Câu II (3 điểm)

1 Giải phương trình bất phương trình sau: a) logx + logx2 = log9x

b) 16x  4x  60

2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x3 + 3x2 – 9x – trên

Câu III (1 điểm)

Chiều cao lăng trụ tứ giác h Từ đỉnh ta kẻ hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau, góc hai đường chéo  Tính thể tích diện tích

xung quanh lăng trụ.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; -6), B(2; 4; -2), C(1; 4; 0), D(1;1;9).

1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.

2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm (S) (P).

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường y = x2 – 2x y = x

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho M(1;2;-3) Gọi M1, M2, M3

hình chiếu điểm M lên trục Ox, Oy, Oz.

1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua ba điểm M1, M2, M3.

2 Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm M1, M2, M3 có tâm I nằm

trên mp(Oxy).

Câu VB. (1 điểm)

Tính tổng sau tập số phức: Sii2i3i99i100

-HẾT -ĐỀ 9

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 – 10x2 + 9

2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 10x2 – m = 0 Câu II (3 điểm)

1 a) Tính log 350 theo a b biết a = log35 ; b = log310

b) Tìm tập xác định hàm số: log 3 9

3 

 x

y  

  

 



log log

2 3

2 x

y

2 Chứng minh với giá trị a 3 hàm số y = x3 – ax2 + (2a – 3)x +

1 đạt cực trị

Câu III (1 điểm)

Cho biết diện tích xung quanh lăng trụ đứng tam giác 600cm2, cạnh bên

dài 20cm, đáy tam giác vng có cạnh huyền dài 13cm Tính độ dài hai cạnh cịn lại đáy.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian Oxyz ,cho hai điểm A(1;-2;1) B(3,4,-1). 1 Tìm điểm C thuộc trục Ox cho ABC vng A.

2 Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành.

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay quanh trục Ox hình phẳng (H) bị giới hạn đường y = x2 x = y2

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian Oxyz ,cho điểm A(1;4;1) , B(0,2,-1), C(3,-2,0). 1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1,1,7) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). 3 Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) điểm A.

Câu VB. (1 điểm)

Cho hàm số

m x

m mx x y

2 

 

 (m tham số thực) Xác định m để hàm số có cực trị.

-HẾT -ĐỀ 10

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 23 21   

 x x

y

2 Gọi (d1), (d2) tiếp tuyến với (C) điểm (– ; 0) (1 ; 0) Tính diện

1 Cho a = log23 ; b = log35 ; c = log72 Tính log14063 theo a, b c

2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

x y

sin

 đoạn 

  

 

6 ;

 

3 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = sinxcos3x biết F 3 

   

Câu III (1 điểm)

Một hình chóp có chiều cao 21cm, diện tích đáy 135cm2 Tính khoảng cách

giữa mặt đáy mặt phẳng thiết diện song song với đáy, biết thiết diện có diện tích là 60cm2

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 4), B(1; 1; 1), C(0; 4;

5) mặt cầu (S): x2 + (y + 1)2 + (z 5)2 = 3.

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A,B, C. 2 Chứng minh mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng (P).

Câu VA (1 điểm)

Lập phương trình bậc hai có nghiệm z1 z2 với z1 = 3i z2 = – 7

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 4), B(1; 2; 2) mặt

phẳng

(P): x + y + + z = 0.

1 Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu VB. (1 điểm)

Cho số phức 

  



 

  

3 sin i cos

z Tìm số phức w cho w3 z 

-HẾT -ĐỀ 11

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

4

2

  x x

y

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm với trục hồnh

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân:  

9

31 xdx x

I ; 



3

3

cos



xdx J

2 Giải phương trình bất phương trình sau: a) log 3(x 2).log5x2log3(x 2)

b)

3

4

x x

x

 

Câu III (1 điểm)

Một khối hộp có mặt hình thoi có góc 600 và cạnh a.

Tính thể tích khối hộp đó.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

1 Viết phương trình tắc đường thẳng () qua B có véctơ phương u=

(3;1;2) Tính cosin góc hai đường thẳng AB ()

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa ()

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường y = x3 – x2 y = x 1

 B Theo chương trình nâng cao

Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1;1) , hai đường thẳng

( ) :1 x y z

1 1 4



  

 ,

x t ( ) : y 2t2

z 1

   

      

mặt phẳng (P) : y 2z 0 

1 Tìm điểm N hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng (2)

2 Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng ( ) ,( )1 2 nằm mặt

phẳng (P)

Câu VB. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

   

  

 30

e

19 e e5

y x

y x

-HẾT -ĐỀ 12

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x2(2 –x2)

1 Với giá trị m hàm số y = x3 + (m + 1)x2 + – m đạt cực trị điểm

x = –

2 Giải phương trình sau: a) log9 9log   x

x

b) 5 53 26   

 x

x

Câu III (1 điểm)

Trong hình hộp chữ nhật đường chéo tạo với hai cạnh phát xuất từ cùng một đỉnh góc 600 450 Tính góc tạo đường chéo cạnh thứ ba phát

xuất từ đỉnh ấy.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 2z – = mặt

phẳng (P) có phương trình 2x + y + 2z + = 0.

1 Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu (S) Chứng minh (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm I (S) vng góc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm (S) (P).

Câu VA (1 điểm)

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay quanh trục Ox hình phẳng (H) bị giới hạn đường y = – x2 , y = 1

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 4y – 4z + = và

đường thẳng (d) có phương trình

2 3

x

y t

z t

  

      

.

1 Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu (S) Chứng minh (d) không cắt mặt cầu (S).

Câu VB. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:   

 

 

6 ln 3 y ln x ln

30 y x

-HẾT -ĐỀ 13

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 13

 

x x

2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) biết (d) vng góc với đường thẳng có phương trình y = x + 2010

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: dx x

x ln I

8 

 ; 







4

3xdx tan J

2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = sin3x – cos2x + sinx + 2 Câu III (1 điểm)

Một hình chóp tứ giác có cạnh đáy cạnh bên a Tính thể tích khối chóp thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(3; -2;- 2), B(3; 2; 0), C(0; 2;1); D(-1;1;2)

Chứng tỏ ABCDlà tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD.

Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Tìm tọa độ tiếp điểm

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường y = 2x – x2 , y = – x

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 1), B(1, 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1)

1 Viết phương trình đường vng góc chung AB CD 2 Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Câu VB. (1 điểm)

Tìm m để đường thẳng (d): y = m tiếp xúc với đồ thị (C):

2 x

1 m mx mx y

2 

  

 ,

R m

-HẾT -ĐỀ 14

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2 12

 

x x

2 Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn (C), trục hoành, trục tung.

Câu II (3 điểm)

1 Giải phương trình: a) 52x  7x  52x.177x.170

b) x log 125 5x 25

5  



2 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = sincosx 2cosx x

 biết F 3 1      Câu III (1 điểm)

Đáy hình chóp tam giác vng có cạnh huyền a góc nhọn là  Mặt bên qua cạnh huyền vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với đáy góc

 Tính thể tích khối chóp ấy.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;4;2) mặt phẳng (P): x + y + z – = 0

1) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (P)

2) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P)

Câu VA (1 điểm)

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay quanh trục Ox hình phẳng (H) bị giới hạn đường 2x – x2, y = x

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): y + 2z = đường

thaúng

    

   

t z

t y

t x d

4 1 :)

(1 vaø

    

  

 

1 2 4 2 :) ( 2

z t y

t x

1) Viết phương trình đường thẳng () nằm mặt phẳng (P) và

cắt hai đường thẳng (d1) (d2)

2) Tìm phương trình hình chiếu (d1) lên mặt phẳng (P). Câu VB. (1 điểm)

Cho hàm số

1 x

2 m m x ) m ( x y

2



    

 (m tham số thực) Xác định m để hàm số

đạt cực trị Tìm m để tích giá trị cực đại giá trị cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

-HẾT -ĐỀ 15

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = xx



2 Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn (C), trục hoành đường thẳng x = 1.

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân 

 



5

2 x 12dx x

3 x

2 Tìm nguyên hàm hàm số

x cos x sin x

1 ) x (

f  2 3 Tính đạo hàm hàm số y1lnxlnx Câu III (1 điểm)

Cắt hình nón có chiều cao h mặt phẳng qua đỉnh nghiêng góc 450 với mặt đáy Tính diện tích thiết diện biết thiết diện chắn đường tròn đáy một

cung 31 đường tròn đáy.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

    

   

t z

t y

t x d

5 1 3 :)

( 1 ,

32

2 11

: )

(  

 

 y z

x

d vaø( 3):3 21 11

    y z

x d

1) Viết phương trình đường thẳng () song song với đường

thẳng (d1) cắt hai đường thẳng (d2), (d3)

2) Tìm phương trình hình chiếu (d1) lên mặt phẳng Oxz Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường y = x3 – 12x , y = x2

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

1) Cho hàm số

2

   

x x x

y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

4   x y

2) Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) có tâm nằm mặt phẳng Oxy.

Câu VB. (1 điểm)

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay quanh trục Ox hình phẳng (H) bị giới hạn đường (P): y = x2 + 1, tiếp tuyến với (P) điểm (1 ; 2) x = 0.

-HẾT -ĐỀ 16

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 13

  

x x

Câu II (3 điểm)

1 Giải phương trình bất phương trình sau: a) ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(x + 7)

b) log x2 2x 8

2

1   

2 Tìm nguyên hàm hàm số: a)

1 e

e ) x (

f x

x

 

b) g(x) x2cos3x



Câu III (1 điểm)

Trong hình trụ cao 2dm, bán kính đáy 7dm có hình vng xiên góc với trục, đỉnh hình vng hai đường trịn đáy Tính cạnh hình vng ấy.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

    

   

 

t z

t y

t x d

2 1

2 1 :)

( điểm

A(2;-2;1)

1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (d)

2) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A, song song với mặt phẳng (P): 2x – y + = cắt đường thẳng (d).

Câu VA (1 điểm)

Giải phương trình tập số phức: 3(2 – i)x + = 2i(1 + i)x + 3i

Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1), đường thẳng

1

2 31

: )

(d1 x y z đường thẳng

23

31 : ) ( 2

     y z

x d

1) Viết phương trình đường thẳng qua M, vng góc với (d1) cắt

(d2)

2) Viết phương trình đường vng góc chung (d1) (d2) Câu VB. (1 điểm)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 – 3x + qua điểm    

 

1 ; A

-HẾT -ĐỀ 17

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 42



x 2 Tìm điểm M(x ; y) thuộc (C) với x, y nguyên

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: a) 



 

2

dx x cos

x sin x cos

I b)  

2

x dx

xe J

2 Tìm giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm số y cos3x 6cos2x 9cosx

 

 

Câu III (1 điểm)

Một hình nón có chiều cao 20cm, bán kính đáy 25cm Qua đỉnh dựng mặt phẳng có khoảng cách đến tâm đáy 12cm Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng hình nón.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x – y + z – = (Q): 2x

– y + z + = Gọi (d) đường thẳng có phương trình

    

 

  

t 2 z

t 1 y

t x

(t R)

1 Chứng tỏ (d) nằm (P) (d) song song với (Q) 2 Tính khoảng cách (d) (Q).

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường (C): y = x3 – tiếp tuyến

với (C) điểm M(– 1; – 2).

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1 ; ; – 1), B(0 ; ; 0), C(2 ; ; 1) 1 Chứng tỏ ABC tam giác vng Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình

chữ nhật.

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C tình thể tích khối chóp O.ABCD

Câu VB. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:   

 

  

18 y log 4 x log 3

5 y log 3 x log 2

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm): Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y =

1 x

x



2 Chứng minh đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M N Xác định m để độ dài đọan MN ngắn nhất.

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: a) I 22x 1 2xdx

1

0

 



b) 

e

2xdx

ln

J

2 Giải phương trình: a) log3xlog3(x2)1

b) 35 x 35x 12

  



 

    



 

Câu III (1 điểm)

Một hình nón có bán kính đáy R thiết diện qua trục tam giác Tính bán kính đáy r hình trụ nội tiếp hình nón, biết thiết diện qua trục hình trụ hình lập phương.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(– ; ; 2) mặt phẳng (P):x + 2y + 2z – = 0

1 Tìm trục Ox điểm M cách A (P)

2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(– ; ; 0) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm.

Câu VA (1 điểm)

Lập phương trình bậc hai có nghiệm z1 z2 với z1 = 1i 2 z2 = 1 i

B Theo chương trình nâng cao Câu IVB (2 điểm)

1 Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O, A, B, C.

2 Gọi (C) đường tròn giao tuyến (S) với mặt phẳng (ABC), tìm bán kính của (C) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) gốc tọa độ O.

Câu VB. (1 điểm)

Cho hàm số

2 x

2 x x y

2 

 

 có đồ thị (C) Giả sử tiếp tuyến với (C) M thuộc (C)

cắt hai tiệm cận (C) P Q, chứng minh MP = MQ.

-HẾT -ĐỀ 19

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (3 điểm)

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = xx 32

 

2 Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang.

Câu II (3 điểm)

1 Tính tích phân: a)  

0

2)dx x ln( x

I b) 





2

3 8xsin xdx

cos J

2 Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số y log log2x

1



Câu III (1 điểm)

Một hình thoi có cạnh tiếp xúc với mặt cầu có bán kính 5cm Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng hình thoi cm Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của hình thoi dài 6cm.

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; – ; – 2) đường thẳng (d):

    

  

  

t 2 1 z

t 5 y

t x

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) xác định (d) A

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) vng góc với mặt phẳng (R): x + 4z = Tìm phương trình giao tuyến (P) (Q).

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường (C): x

y  , tiếp tuyến (d)

với (C) điểm      

2 ;

2 đường thẳng x = 1. B Theo chương trình nâng cao

Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (a):x13 y11 z1

    

(b):

5 z

3 y

1 x

     

1 Viết phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng tọa độ Oxy cắt cả hai đường thẳng (a) (b).

2 Viết phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng (a), (b) cách đều (a), (b).

Câu VB. (1 điểm)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên phép quay quanh trục Ox hình phẳng (H) bị giới hạn đường y = excosx , y = , x =

2 

x = 

-HẾT -ĐỀ 20

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = – 3x3 + 3x –

2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình – 3x3 + 3x – = log 3m Câu II (3 điểm)

1 Giải phương trình sau: a) 31 x 31x 10    

b) log9log3xlog3log9x3log34 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x4 8x2 16

 

 đoạn [–

1 ; 3]

Câu III (1 điểm)

Một khối tứ diện có cạnh a, tính bán kính r mặt cầu nội tiếp.

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn Câu IVA (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (a):

    

  

  

t 2 1 z

t 2 1 y

t x

và (b):

1 z y

2

x 

   

.

1 Chứng tỏ (a) chéo (b) (a) vng góc với (b) Tính khỏang cách (a) và (b)

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (a) vng góc với (b).

Câu VA (1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn đường Elíp: x2 + 4y2 = 4 B Theo chương trình nâng cao

Câu IVB (2 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):     

 

 

 

t 3 z

t y

t 6 1 x

tR mặt

phẳng (P):2x – y – z + = 0.

2 Tìm phương trình hình chiếu (d’) (d) lên mặt phẳng (P)

Câu VB. (1 điểm)

Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x – 3) tiếp xúc với đồ thị (C): y = 3x x3

 