tham luận bồi dưỡng học sinh yếu kém nguyễn năng suất – thpt quang trung – goø daàu – taây ninh cấu trúc đề thi tốt nghiệp môn toán chương trình chuẩn câu i 3 điểm khảo sát vẽ đồ thị của hàm số

Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tín[r]

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN (CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

Câu I (3 điểm):

- Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.

- Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng)…

Câu II (3 điểm):

- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit.

- Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm ngun hàm, tính tích phân. - Bài tốn tổng hợp.

Câu III (1 điểm):

Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu.

Câu IV.(2 điểm): Nội dung kiến thức:

- Xác định tọa độ điểm, vectơ. - Mặt cầu.

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu.

Câu V.(1 điểm): Nội dung kiến thức:

- Số phức: mơđun số phức, phép tốn số phức Căn bậc hai số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.

- Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay. MƠN: GIẢI TÍCH

Chủ đề I: DẠNG TỐN KHẢO SÁT HAØM SỐ: I/ Khảo sát hàm đa thức:

1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức: B1: Tập xác định: D=

B2: Tìm limy x 

B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm phương trình y’= 0, tính giá trị hàm số nghiệm vừa tìm được.

B4: Lập bảng biến thiên

B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm y”=  điểm uốn

x Ghi tập xác định nghiệm phương trình y/=0

f’(x) Xét dấu y/

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm điểm có hồnh độ nhỏ cực trị bên trái điểm có hoành độ lớn cực trị bên phải.

B7:Vẽ đồ thị

Các dạng đồ thị hàm bậc 3:

y y y y x x x x

' có nghiệm phân biệt 0

  

 

y

a

' 0   

  

y x

a

' có nghiệm phân biệt 0

y a

  





' 0   

  

y x

a Chú ý: Đồ thị hàm bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

Các dạng đồ thị hàm trùng phương:

y' coù nghiệm phân biệt

a 0

  

 

' có nghiệm ñôn 0

y a

  

 

' có nghiệm phân biệt 0

y a

  





' có nghiệm ñôn 0

y a

  

  Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương nhận trục oy làm trục đối xứng.

2/ Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3+3x2– Giải: Tập xác định: D = R

lim x y



y= 3x2+6x = 3x(x+2), cho

0 4

0

2 0

x y

y

x y

  



      

 Lập bảng biến thiên.

x   -2 + y/ + - +

y CT + - CÑ -4

6 6

y  x cho y= ⇔ x= –1  y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1  I(-1 ;-2) điểm uốn

Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4) Vẽ đồ thị hàm số:

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4

Giaûi

-2

-4

x y

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh MXĐ : D= R

lim x y

 

y= 4x–4x3 = 4x(1–x2) cho y=  4x(1–x2)=0 ⇔

x = y=0 x = 1 y=1

 

  

 Lập bảng biến thiên:

x   -1 + y/ + +

-y CT

- CÑ CÑ -

y= 4–12x2 cho y = ⇔ x = 3 3



 y=

5 9

yđổi dấu qua x =  33  Đồ thị hàm số có điêm uốn

3 5; 3 9

 



 

 

 

Điểm đặc biệt: A 2;0 B 2;0 Đồ thị:

3/ Bài tập đề nghị: Bài 1 : Khảo sát hàm số sau:

a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8

d/ y = x4 – 6x2 + e/ y = -1

4x4 + 2x2 + 9

4 f/ y = x4 + 2x2 Baøi 2 :

a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1. b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=4.

II/ Khảo sát hàm biến: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm

ax b y

cx d  

 : B1: TXÑ D = R\

d c 

 

 

 

B2:+ Giới hạn tiệm cận : 

lim lim

x x

a a

y y y

c c

         tiệm cận ngang



lim

d x

c

y        



( -)



lim

d x

c

y        

 

( +)

d x

c

 

tiệm cận đứng

2

-2

x y

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

B3: Tính đạo hàm y’= 2

. .

a d b c cx d



  tính đơn điệu hàm số B4: Lập bảng biến thiên.

x Ghi miền xác định hàm số

f’(x) Xét dấu y/

f(x) Ghi khoảng tăng giảm hàm số

B5:Tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ , lấy thêm số điểm khác để dễ vẽ. B6:Vẽ đồ thị

Dạng đồ thị hàm b1/b1

y’<  x D y’>  x D

2/ Ví dụ: Khảo sát hàm soá : y =

2 2

1

x x



 .

MXÑ: D= R\1

y=  2

4 1

x >  x D  hàm số đồng biến khỏang xác định nó.

xlim y 2    TCN: y = 2

xlim y 1  ; lim yx 1 

 TCĐ: x=–1 ; Laäp bảng biến thiên.

Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Đồ thị:

Bài tập đề nghị:

Bài 1: khảo sát hàm số sau: a/ y =

2

2 1

x x

 

 b/ y =

1 1

x x 

 c/y =

4 4

x Bài 2:

Cho hàm số y=

1

mx m x m

 

 khảo sát hàm số m = 2.

2 -2

-4 -6 -8

2

-2 -4 -6 -8

x y

x - -1 + y/ + +

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I/Bài tốn1: Tìm giao điểm hai đường:

Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thị (C), y= g(x) có đồ thị (C’) Tìm giao điểm (C) (C’). Phương pháp giải:

B1: phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’): f(x) = g(x) (1)

B2: Giải (1) giả sử nghiệm phương trình x0,x1,x2 giao điểm (C) (C’)

laø :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2))

Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) (C’). Ví dụ 1:

Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 đường thẳng d qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận số

giao điểm (C) d.

Giải Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d : x3 -3x +1 = kx + (1)  x3-(3+k)x = 0

 x(x2-3-k) = 

0

( ) 3 0 (2)

x

g x x k

  

   



ta có /(2)= 3+k

Nếu 3+k <  k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm  (1) có nghiệm  (C) d có giao điểm.

Nếu 3+k =  k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0  (1) có nghiệm bội  (C) d có

giao điểm.

Neáu 3+k >  k> -3 Mặt khác g(0) =  -3-k =  k = -3 phương trình (2) có nghiệm

phân biệt khác không  (1) có nghiệm phân biệt (C) d có giao điểm. Ví dụ 2: Cho hàm số

3 2x y

x 1  



1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho.

2 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số cho tại hai điểm phân biệt.

Giài:

2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị hai điểm phân biệt  Phương trình (ẩn x)

3 2x

= mx+ 2 x 1



 có hai nghiệm phân biệt

 Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1



2

2

m

m

m

(m 4) 20m m

m 12m 16

m

m.1 (m 4).1

    



 

 

          

 

   



 

   

 

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho đường cong (C): y=

2 2

1

x x

x  

 đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k biện

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Bài 2: Cho đường cong (C): y=

4 2

x Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số giao điểm (C)

và đường thẳng y=k.

II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình f(x)= ( ) m Phương pháp giải:

B1: Vẽ đồ thị (C) hàm f(x) (Thường có tốn khảo sát hàm số )

B2: Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y= ( ) m Tùy theo m

dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm. Ví dụ:

Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m =

Giaûi:

Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0

 x3 – 6x2 + 9x = m

Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thị ta có:

Nếu m > phương trình có nghiệm. Nếu m = phương trình có nghiệm. Nếu 0< m <4 phương trình có nghiệm. Nếu m=0 phương trình có nghiệm. Nếu m < phương trình có nghiệm. Bài tập đề nghị:

Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – x2 + 5.

b/ Dùng đồ thị (C) hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – x2 + 5=m.

Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – có đồ thị (C) a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số.

b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2=m có nghiệm phân biệt. III/ Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trường hợp sau:

1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0;f(x0))là: y = /

0

f (x )(x–x

0) + f(x0) 2/ Tại điểm đồ thị (C) có hồnh độ x0 :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x0 là:y = /

0

f (x )(x–x

0) + f(x0) 3/ Tại điểm đồ thị (C) có tung độä y0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2:Do tung độ y0f(x0)=y0 giải phương trình tìm x0 f /(x0)

4

2

-2

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 là:y =

/

f (x )(x–x

0) + y0 4/ Biết hệ số góc tiếp tuyến k:

B1: Gọi M0(x0;y0) tiếp điểm B2: Hệ số góc tiếp tuyến k nên : f'

(x0) =k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0  f(x0)  phương trình tiếp tuyến Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b có f/(x0)=a Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=ax+b có f/(x0).a=-1 5/ Biết tiếp tuyến qua điểm A(x1;y1) :

B1:Phương trình đường thẳng d qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1) B2: d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :

¿

f(x)=k(x − x1)+y1 f'(x)=k

¿{ ¿

B3:Giải hệ ta tìm k hệ số góc tiếp tuyến vào (1)  phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1 :

Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hồnh độ –2

c.Tại điểm có tung độä –8 d Biết hệ số góc tiếp tuyến e.Biết tiếp tuyến qua điểm B(2;8)

Giaûi:

Ta có y’= 3.x2

a/ Tiếp tuyến A(-1;-1)( )C coù

0

x 1

f(x ) 1

  



  f’(x0)= 3.(-1)2 =

 phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x0)

(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1)

b/ Ta coù x0= -2 

0

f(x ) 8 f '(x ) 12

 





  Ph.trình tiếp tuyến y= 12(x+2) – =12x + 16

c/ Ta có tung độä y0= –8  f(x0)= -8 

x =-8  x

0=-2  f’(x0)=12  Phương trình tiếp tuyến là:

y= 12(x+2) – = 12x + 16

d/ Hệ số góc tiếp tuyến baèng  f’(x0)=3  3.x02=3 x0= 1

với x0=1  f(x0)=1  Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2

với x0=-1  f(x0)= -1  Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2

e/Phương trình đường thẳng d qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :

3

k(x-2) + 8(1) 3 (2)

x

x k

 

 

 

  x3 = 3x2(x-2) +  2x3- 6x2 + = 

2 1

x x

  

 

Với x=2  k=12  phương trình tiếp tuyến y=12(x-2)+8 = 12x -16.

Với x=-1  k=3  phương trình tiếp tuyến y= 3(x-2)+8 = 6x - 4 Bài tập đề nghị:

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

a/ Tại giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hồnh độ =

c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005 e/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=

1

3x + 2006 f/Bieát tiếp tuyến qua A(1;-2). Bài 2: Cho hàm số y=

2

1

x x

x

 

 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a/ Tại giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hồnh độ = c/ Tại điểm có tung độ

y=-3

2 d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - e/Biết tiếp tuyến qua A(2;0). IV/ Bài tốn 4: xét tính đơn điệu

A/ Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ?

+ Tính : y/ = , tìm nghiệm ptr y/ =

+ BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) Chú ý: y/ > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng Định lý (dùng để tìm gía trị m):

a) f/(x)

  x  (a;b) ( không hữu hạn điểm (a;b) ) thi f(x) tăng khoảng (a;b)

b) f/(x)

  x  (a;b) ( không hữu hạn điểm (a;b) ) thi f(x) giảm khoảng (a;b)

B/ CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:

Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số Phương Pháp:

 Tìm tập xác định.

 Tính đạo hàm f x( ) Giải phương trình f x( )=0 Gọi nghiệm xi (i=1,2,3,4,….n)

 Lập bảng biến thiên.

 Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số.

Ví dụ 1:

Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y= –2x3 +9x2 +24x –7

b)

2

1 1

x x

y

x

 

 

Giải:

a) Miền xác định: D= 

y 6x2 18x24

1 0

4 x y

x      

 

Bảng biến thiên: x – –1 +

y – + – y

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh b) Miền xác định: D= \ 1 

 

2

2 1

x x

y

x

 

  

0 0

2 x y

x  

    



Bảng biến thiên: x   +

y – + + – y

Hàm số đồng biến khoảng: (0;1), (1;2)

Hàm số số nghịch biến khoảng: ( ; 0), (2;)

Ví dụ :

Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến 

Giải:

Miền xác định: D=  y= 3x2– 6mx+ m+ 2



 = 9m2– 3m– 6

Bảng xét dấu: m   2 3 

+  + – + Ta phân chia trường hợp sau:

 Nếu 2

1

3 m

  

Ta có:   0  y     0, x hàm số đồng biến 

 Nếu

2 3 1 m m 

   

 

Ta có: > phương trình y=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2) Bảng biến thiên: x   x1 x2 +

y + – + y

Hàm số khơng thỏa tính chất ln ln đồng biến 

 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn toán là: 2

1

3 m

  

Bài tập

Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a)

3

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Goø Dầu – Tây Ninh

b)

3

1 1

10

3 2

y x  x  x

c) y= 1

4x4 –2x2 –1 d)

2 1

5 x y

x  



e)

2

2 26

2

x x

y

x   



f) y 2x 1 3 x

Bài 2: Định m để hàm số y= –x3+ mx2– 3x+ nghịch biến 

Bài 3: Định m để hàm số

1

2 1

mx y

x m  

  nghịch biến khoảng xác định nĩ. V/ Bài toán 5: Cực trị hàm số

 Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị x0 có đạo hàm x9 f/(x0)=0  Tìm cực trị = dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Tính : y/ = , tìm nghiệm ptr y/ = Tính y

CÑ ; yCT

+ BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = 0.

3) x0 cực trị hàm số 

/ ( 0) /

( )



  

y x y x  Tìm cực trị = dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?

cho y/ = => nghiệm x

1 , x2 … ( có )

+ Tính y//(x

1); y//(x2)……

Nếu y//(x

0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ?

Nếu y//(x

0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu

*Cực trị hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trị x0 y/(x0)= giá trị cực trị y(x0) = u (x )0 v (x )0

 

* Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt ⇔

a 0 0

  

  

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm mẫu

* Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt. Một số ví dụ:

Ví dụ 1:

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh a) y= –x4+ 2x2– 3

b) y= e–x(x2– 3x +1) Giải:

a) Miền xác định: D=  y= – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1)

y= 

0 1 1 x x x

  

    

Bảng biến thiên: x   –1 + y + – + –

y –2 –2

–3 Điểm cực đại: A(–1;–2), B(1;2)

Điểm cực tiểu: C(0;–3) b) Miền xác định: D= 

y= –e–x(x2– 3x +1)+ e–x(2x–3) = e–x(–x2+5x–4) y= 

1 4 x x

  

 

Bảng biến thiên: x    y – + –

y 5 e

1 e  Ví dụ 2:

Tìm điểm cực trị hàm số: y= x– 2sin2x Miền xác định: D= 

y= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x

y=0  sin2x= 1 2

  

 

 



  

  



 12

5 12

x k

k

x k

y= – 4cos2x

4 cos 2

12 6

y  k  k 

   = –2 3<0

Vậy: x 12 k 



 

, k  điểm cực đại.

 

 

   

     

   

5 5

cos 2

12 6

y k k

= 2 3>0 Vậy:

  5 

12

x k

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Ví d

ụ 3/ : Xác định m để hàm số:

2 1

x mx

y

x m

 



 đạt cực đại x=2.

Giải:

Ta có ( )

2

2

2 1

' x mx m

y

x m

+ +

-=

+ ; ( )4

2 2

'' x m

y

x m + =

+

Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại x=2 là: f' 2( ) = Û0 m2+4m+ =3 0

1 3

m m é =-ê ê =-ë

Đ/k đủ: Với m= -1 f//(2)=2>0

 m= -1 không giá trị cần tìm

Với m= -3 f//(2)= -2<

 m= -3 giá trị cần tìm

Ví d

ụ 4/ Chứng minh hàm số y=

2

2 2

x x m

x

 

 ln ln có cực đại cực tiểu. Giải:

Ta coù

( )

( )

2

2

2

'

1

x m x

y

x

- + - +

=

+

Choy' 0= Û - x2+2 2( - m x) + =4 ta coù ( )

2

' 2 m 4 m

D = - + > "  y/=0 luôn có nghiệm

phân biệt Vậy hàm số ln có cực đại cực tiểu

3/Định m để hàm số y=  

3 3 3 1

x  mx  m  m x

có cực đại, cực tiểu

Giải

Txđ D=R y/= 3x2 -6mx +3(m2-m)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y/=0 có nghiệm phân biệt  3x2 -6mx +3(m2-m)=0 có nghiệm phân

biệt   / 0  9m2 -9m2 +9m >0  m>0 m>0 giá trị cần tìm. Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm điểm cực trị hàm số sau: a)

3

1

4 15

3

y x  x  x

b) y=

4

3

9 7

4x  x  x 

c) y= 2sinx +cos2x 0; 2 d) y=

2

3 6

2

x x

x

  

 e) yx x2 4

4

x x

ye  e

Bài 2: Định m để y= x3−3 mx2+3(m2−1)x −(m2−1) đạt cực đại x=1 ĐS:m=2 Bài 3: Cho hàm số y= x4

2 −ax

2

+b Định a,b để hàm số đạt cực trị –2 x=1

Baøi 4: Cho hàm số y= x2− x+m

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Bài 5: Cho hàm số y= x3

+ (m−1)x2−(m+3)x −1 CMR đồ thị hàm số lu6n có cực đại cực tiểu.Viết

phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số

Bài 6: Cho hàm số y= mx4+(m2–9)x2+ 10 Tìm m để hàm số có ba cực trị.

Ch

ủ đề III:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHOû NHẤT CUûA HAøM SỐ Phương pháp giải:

*Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số miền xác định hay khoảng :

-Tìm tập xác định

-Tính y’, tìm điểm tại đó đạo hàm không không xác định hàm số liên tục, tính giá trị hàm số điểm đó.

-Lập bảng biến thiên bảng biến thiên  GTLN, GTNN.

*Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [a;b]:

-Tính y’, tìm điểm thuộc [a;b] tại đĩ đạo hàm khơng khơng xác định đĩ hàm số liên tục Giả sử điểm đĩ x1, x2,…, xn

- Tính giá trị f(a), f(x1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN số lớn giá trị vừa tìm được,

GTNN giá trị nhỏ số vừa tìm được. Ví dụ

a)Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số y= 2x x . b)Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số b/ y = x

2

+x+1

x treân [

1 2;2 ]

Giải : a)Txđ : D =[0;2]

y/=

1 2

x x x



 cho y/=0  1-x=0  x=1  y=1 Bảng biến thiên

X 0 2

y/ + -y 1

0 CÑ 0

max ( )f x f(1) 1

, min ( )f x f(0)f(2) 0

b) y/=

2

1

x x



cho y/=0  x2-1=0 

1 1 ;2

2 1

1 ;2

2

x x

  

 

  

 



  

 

  

 

 Ta coù y(1)2 =

7

2 ; y(1)=3 ; y(2)= 7 2

1 [ ;2]

2

min ( )f x

= f(1)2 =f(2)= 7 2 ; 1;22

max ( )f x f(1) 3  

   

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số : a) y= x2 +

2

x (x > 0) b) y = x3 3x 2

  10,10 c) y = 4 x đoạn 1,1 d) y= x4- 4x2 + đoạn [-2;2] Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

y= 2cos2x–3cosx– ; 2 2  

 



 

 

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y= (x–6) x24 [0;3] Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga

Kiến thức lũy thừa : 1./ Cho

0 -n

n

1 a 0, ta có: a 1; a

a

  

2./ Cho

m m

a 0, r (m,n Z,n>0

n n

  

tối giản) , ta có

m

m n n

a  a

3./ Cho a, b,α,β R; a>0, b>0 , ta có 

+ a aα β aα β + α

α β β

a a a





+    

β α

α β α.β

a  a a

+ (a.b)α a bα α +

α α α

a a

b b

          

Kiến thức loga : 1./ Định nghĩa:

0, 1, 0: loga N

a a M  M N  M a

Suy : loga1 0 , logaa1

2./ Các công thức: Cho a0,a1, ,M N 0 ta có

+ alogaM M + log ( )a a  + loga  b logab

 





;  0, b0

+ logaM N.  logaMlogaN +

loga M logaM logaN

N  

 

   

+

log

log log log log

loga

a b a b

a

M

b M M M

b

  

; 0a b, 1

+

1

log

log

a

b

b

a 

; 0b1

1/ Phương pháp giải phương trình mũ logarit :



Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh o af (x)= ag(x)  f(x) = g(x)

o uv(x)=  ( u 1 ).v(x) = (trong u có chứa biến ) o af (x)= b ( với b > )  f(x) = log ❑a b

olog ❑a f(x) = log ❑a g(x) 

f (x) g(x) f (x) g(x)

 

   

o

log f (x)a b a

    

  f(x) = ab

o logu(x)v(x) = b   

v(x) ; u(x) ; u(x) b

v(x) u(x)

  



      Đặt ẩn phụ :

.a2f (x) +.af (x) +  = ; Đặt : t = af (x)Đk t >

0

.af (x)+.bf (x)+  = ; ( với a.b=1) Đặt : t = af (x)

(Ñk t > 0) 

1 t =bf (x)

.a2f (x)+. 

f (x) a.b +

.b2f (x) = ; Đặt t =

f (x) a b

       Logarit hoá hai vế : af(x)=bg(x)  f(x)=g(x) logab

2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ logarit

 Dạng :

10 af (x)> ag(x) 

f (x) g(x) a f (x) g(x) a

 

  

  

20 af (x) > b

 Neáu b  có nghiệm x

Neáu b > f(x) > log ❑a b

neáu a >

f(x) < log ❑a b neáu

0 < a < 30 af (x) < b

 Nếu b  pt vô nghiệm

Neáu b > ; f(x) < log ❑a b

neáu a >

f(x) > log ❑a b

neáu < a < 40 log ❑

a f(x) > log ❑a g(x)  Ñk: f(x) > ;

g(x) > ; < a 

(a1)[ f(x)  g(x) ] >

50 log ❑

a f(x) > b  * Nếu a > : bpt f(x) > ab

* Neáu < a < bpt laø < f(x) < ab

60 log ❑

a f(x) < b  * Neáu a > :

bpt laø < f(x) < ab

* Neáu < a < bpt laø f(x) > ab

70 u(x)v(x)>

 u(x) > vaø [ u(x) 1 ].v(x)

> 80

(u(x))v(x) <  u(x) > vaø [ u(x) 1 ].v(x) <

Lưu ý:

*) trường hợp có ẩn số nên sử dụng cơng thức sau để toán trở nên dễ dang

10 af (x)> ag(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0.

20 log ❑

a f(x) > log ❑a g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) >

CÁC BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Giải phương trình sau:

a./

x 3x

1

3 3

   

  

     

b./ 2x 1 2x 2 36 Giải:

a./

2

x 3x

(x 3x 1) 2 x 1

1

3 3 3 (x 3x 1) x 3x 0

x 2 3

 

  

  

 

              



  

 



  

b./

x x x

x x x

x x

2 8.2 2

2 2 36 2.2 36 36

4 4

9.2 36.4 2 16 2 x 4

  

      

      

Bài 2: Giải phương trình sau

a./ 32x5 5 b./

5 2x. x 50 

Giải:

a./

2

3

5 5

3 5 2 5 5

2 log log

x x x 

     

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Taây Ninh

b./

2

20

4

5 2 50 5 50 20 100 100

2

. . x log

x x x x x

      

Bài 3: Giải phương trình sau

a./ 25x 2 5. x 15 0 b./

4

3 x-4.3 x 27 0 c./ 3x2 32x 24

Giải: a./

 2

25x 2 5. x 15 0  5x  2 5. x 15 0

Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0

5

3 (loai)

5 5 1

    



 x    t

t

x

b./

 2x 2

2x

2

2

4x 2x+1

3 -4.3 +27=0 3 12 3 27 0

Nêu t=3 t>0 ta có : t 12 27 0

1

3 3 3 2 1

2

9 3 9 3 2 2 1

   

  

 

   

  

      



   

   

 .

;

x

x x

t

t x x

t x x

c./

 2

2 9

3 3 24 9 3 24 0 9 3 24 3 9 0

3

. . .

x x x x x

x

 

         

Đặt t3x 0, ta có

2 3

9t 24 9 0 1 3 3 1

( loai) 3

  

       

  

x

t

t x

t

Bài 3: Giải phương trình sau:

a./ log2 xlog (2 x3)2

b./ log2xlog2x2 log29x

Giải:

a./ log2 xlog (2 x3)2 (1)

ĐK:

0 0

0

3 0 3

x x

x

x x

 

 

  

 

   

 

2

2

1 3 2 3 2 4

1

3 4 0 1

4

(loại)

( ) log (x x ) x x( )

x

x x x

x

      

 

       

 

b./ log2xlog2x2 log29x (1) ĐK: x>0

2 2 2

2 2

1 2 9 2 9

1

9 3 3

2

( ) log log log log log log

log log log log

x x x x

x x x

     

     

x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x=3

Bài 2: Giải phương trình sau:

a./ log22x2log2 x  2 0

b./ 1log (2 x 1) log x14

c./ lg2 x 5lgx lgx3 7

d./ 2 log2x log216x 7 0

Giải:

2

2

2

2

2 2 (1) x>0

(1) 2 0

/ log log :

log log

  

   

a x x ÑK

x x

2

2

2

2

1 1

t= ta có : t 2 0

2 2

2 1

2 4

log log ,

log 

 

 

      

  

 

   

  

 x t

Đặt x t

t x

x x

Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 x=1/4

b./1log (2 x 1) log x14 (1)

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh   2 2 2 2

1 0 1

1 1 2

4 2

1 1 1 1 1

1 1

1 1 2 0

(*)

log

( ) log ( ) log ( )

log ( ) log ( )

log ( ) log ( )

x x x x x x x x x x                             

Đặt: tlog (2 x 1), ta có :

2 2 0 1

2 t t t t          2

1 2 3

1 1

1 5

1 2 1

4 4

log ( )

log ( )

x x

x

x x x

                        thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm : x = x = 5/4.

c./ lg2 x 5lgx lgx3  7 (1) ĐK: x>0 (*)

2

1 5 3 7 8 7 0

( ) lg x lgx  lgx  lg x lgx 

Đặt: t= lgx , ta có:

7

10

1 1

8 7 0

7 7 10

lg lg

x

t x

t t

t x x

                      thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 x = 107

d./

2

2 log x log 16x 7 0 (1)

ĐK:

2 0 1 1

0 16 0

log x x

x x x              (*)

2 2 2

1 2 16 7 0 2 3 0

( ) log x log log x   log x log x 

Đặt: t log2x 0, ta có:

2

1

2 3 0 1 2

3 0 (loại) log t

t t x x

t              

Thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm x=2. Bài 3: Giải bất phương trình sau

 

   

1 2 1 3 1 3 9 3 1

5 2 5 2

b./ 3 ./ ./ x x x x x x a c              Giải: a./   1

3 1 3

3 1 3 3 1 3 3 27 3 9 26 3 12

3 3 1 6 3 13 . . . x x

x x x x

x

x x R

                     b./

 3 2x 9x2



4 16

3 3 2 4 8 16

4 7

x

x x x x x x

         

c./

 5 2 x1 5 2 x23

(1) Ta có

 5 2  5 2 1 5 2 1  5 2

5 2



       



Vậy (1)

 5 2x1  5 2x23 x 1 x2 3

       

2 2 0 1 2

x x x

       

Bài 4: Giải bất phương trình sau

5 5 26 10 3 3 0

2 25 7 10 0

2x+1 x

b 3 c./ 5.4

./ ./ .

. .

x x x

x x

a      

  

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

 2

2 25

5 5 26 5 26 0 5 26 5 25 0

5

./ x x x x x . x

a 

         

Đặt t5x 0 Ta có: t2 26t25 0

1 t 25

  

0

1 5x 25 5 5x 5 0 x 2

        

10 3 3 0

2x+1

b 3./  . x  

 2

3 3. x 10 3. x 3 0

   

Đặt t3x 0 Ta được:

2 1

3 10 3 0 3

3

t  t    t 

1

1

3 3 3 3 3 1 1

3

x  x x

        

2 25 7 10 0

x

5.4 (*)

./ . x . x

c   

Chia hai vế cho 4x 0 ta được:

5 5

5 2 7 0

2 2

. x . x

       

   

 

 

Đặt t =

5 2

x

   

  >0 ta :

2

5

0 1

0 1 2 0

2 7 5 0 5

1

5 5

2

2 2

x

x

t x

t t

x t

  

  

    

    



       

   

  

 

     

Bài tập đề nghị:

Phương trình mũ:

Dạng Đưa số

Bài 1 : Giải phương trình sau a) 2x4 3 b)

2 6

2

2x x 16 2 c)

2 3

3 x 9x  x

 d) 2x2 x 41 3 x

 e) 52x + 1 – 52x -1

= 110 f)

5 17

7 1

32 128

4

x x

x x

 

  

f) 2x+ 2x -1 + 2x –

= 3x – 3x – 1 + 3x - g) (1,25)1 – x = 2(1 )

(0,64)  x

Dạng đặt ẩn phụ

Bài 2 : Giải phương trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 =

0 c) 52x + 4 – 110.5x + – 75 = d)

1

5 2 8

2 0

2 5 5

x x

   

  

       

e) 5 x 53 x 20 f) 4 15 x 4 15x 2

g)

 5 6  x 5 6 x 10

h) 7x 2.71x 9 0

   (TN – 2007) i) 6.9x

-13.6x+ 6.4x=0 b)

3 8x

+4 12x−18x−2 27x=0

Daïng Logarit hóạ

Bài 3 Giải phương trình: a) 2x - =

b) 3x + 1 = 5x – c) 3x – 3 = 5x27x12

d)

2

2

2x 5x  x 

e)

1

5 8 500

x

x x



 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Phương trình logarit Dạng Đưa số

Bài 1: giải phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1)

– lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x +

2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1)

= e) log3x = log9(4x + 5) + ½

f) log4x.log3x = log2x + log3x –

g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h)

   

3 3

log x2 log x log

Dạng đặt ẩn phụ

Bài 2: giải phương trình a)

1 2

1

4 ln x2 ln x b) logx2 + log2x =

5/2 c) logx + 17 + log9x7 = d) log2x +

10 log x6 9

e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – log16x =

2log2x g)

2

2

2 2

log x3log xlog x2

h)

2

lg 16 l g 64 3x  o x 

Dạng mũ hóa

Bài 3: giải phương trình

a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Bất phương trình mũ

Bài 1: Giải bất phương trình a) 16x – 4 ≥ 8 b)

2

1

9 3

x  

  

  c)

6

9x 3x d) 6

4x  x

 e)

2

4 15

3

1

2 2

2

x x

x

    

  

  f) 52x + >

5x

Bài 2: Giải bất phương trình

a) 22x + + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c)

1

1

4x 2x 3 d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x

e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log 48

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

Baøi 3: Giải bất phương trình

a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2)

Bất phương trình logarit

Bài 4: Giải bất phương trình

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 –

2x) – c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x +

6) < g) 13

3 1

log 1

2 x x

  

Bài 5: Giải bất phương trình a) log2

2 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2 c)

log2 x + log2x ≤ d)

1 1

1 1 log xlogx

e) 16

1 log 2.log 2

log 6

x x

x 

 f)

4

4

3 1 3

log (3 1).log ( )

16 4

x

x 

 

Bài 6 Giải bất phương trình

a) log3(x + 2) ≥ – x b) log5(2x + 1) < – 2x c)

log2( – x) > x + d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤

Chủ đề IV: NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUN HÀM CỦA MỘT HAØM SỐ:

1/ Bảng nguyên hàm thường dùng.

0dx C

 (0 1)

ln

x

x a

a dx C a

a

   



dx x C 

 ¿❑

¿ sinkxdx = -

1

( 1)

1 x

x dx C

 

 



  





¿ ❑

¿ coskxdx =

ln ( 0)

dx

x C x

x   

 os2

dx

tgx C

c x 

 ¿

❑

¿ e

kx

dx = e

kx

k + C sin2 cot

dx

gx C

x  

 2/Một số dạng tốn thường gặp:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm hàm số định nghóa tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm cho nguyên hàm tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết

quả

Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + 1

x b) f(x) = 2x + 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x

cosx

Giaûi a/

4

3 1 1 x 3

( ) (x - 3x + ) x 3 ln

x x 4 2

f x dx dx dx xdx dx  x  x c

    

b/

x x 2 3

( ) (2 + ) 2 3

ln ln3

x x

x x

f x dx dx dx dx   c

   

c/

6

5 (5 3) (5 3)

( ) (5x+ 3) (5x+ 3)

5 30

d x x

f x dx dx     c

  

d/

5

4 sin

( ) sin x cosx sin x (sin )

5 x

f x dx  dx d x  c

  

Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm họ ngun hàm hàm số cho

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(6



)= Giải Ta có F(x)= x –

1

3 cos3x + C Do F(6



) =  6 

-1 3 cos 2



+ C =  C = -6 

Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –

1

3 cos3x -6

 Bài tập đề nghị:

Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị nguyên hàm



khi x=



3

Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = e1-2x ,

biết F(1) 02 

Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) =

3

2

2 3 3 1

2 1

x x x

x x

  

  , bieát F(

1 1)

3



II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :

1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng ngun hàm thường dùng

Định nghóa tích phân, tính chất tích phân

Các phương pháp tính tích phân

2/Một số dạng tốn thường gặp:

Dạng 1: Tính tích phân định nghóa tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân cho tích phân tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết quả.

Ví dụ: Tìm tích phân hàm số sau: a/

3

(x 1)dx    b/ 4 4

( 3sin )

cos x x dx

     c/ 2 1 x dx    Giaûi a/ 3

(x 1)dx 





=

3

3

3

1 1

81 1

1 ( ) ( 3) ( 1) 24

4 4 4

x

x dx dx x

  

       

 

b/

4 4

4 4

2

4

4 1

( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos )

cos x x dx cos xdx xdx tgx x

                    

=(4tg43cos ) [4 (4  tg 4) 3cos( 4)]=8 c/ 2 1 x dx    = 1 x dx    + 1

x dx



=

1

(1 x dx)    +

(x 1)dx

 =(x-2 2 ) ( ) 2 2

x x x

  

=5

Bài tập đề nghị:

Tính tích phân sau:

1/I=   

(3 cos2 ).x dx

2/J=





1

(ex 2)dx

3/K=  

(6x 4 )x dx

Dạng 2: Tính tích phân

f[ (x)] '(x)dxb a

 



phương pháp đổi biến.

Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x)  dt = '( ) dxx

b2: Đổi cận:

x = a ⇒ t =(a) ; x = b ⇒ t = (b) b3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm

Ví dụ : Tính tích phân sau :

a/ 2 1 1 x I dx x x      b/ 3 .

J  x  x dx

Giaûi:

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Đổi cận: x = ⇒ t =1 ; x = ⇒ t = Vậy I=

3

1

ln ln3

dt t

t  



b/ Đặt t= x23  t2= x2+ 3 tdt = x dx

Đổi cận: x = ⇒ t = 3 ; x = ⇒ t = Vậy

J =

2

2

2

3 3

1 (8 3)

3 3

t

t dt  



Bài tập đề nghị:

Tính tích phân sau:

1/   sin .cos x

e x dx

2/ 

1

0 1

x x

e dx

e 3/

  1 ln e x dx

x 4/ 

1

2

( 3)

x x dx

Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tùng phần:

Công thức phần :

. . .

b b

b a

a a

u dv u v  v du

 

Phương pháp giải:

B1: Đặt biểu thức dấu tích phân u tính du phần cịn lại dv tìm v

B2: Khai triển tích phân cho theo công thức phần

B3: Tích phân b

a

vdu



suy kết

Chú ý:

a/Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho b

a

vdu



dễ tính  b

a

udv

khó phải tìm cách đặt khác

b/Khi gặp tích phân dạng :

( ) ( ). b

a

P x Q x dx



- Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) ta đặt u = P(x) ; dv=

Q(x).dx

Nếu bậc P(x) 2,3,4 ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt

- Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số ln(ax+b) ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

a/ I=

2

.cos

x x dx





b/J=1

.ln e

x x dx



Giaûi

a/ Đặt : cos sin

u x du dx

dv x dx v x

 

 



 

 

  (chú ý: v

là nguyên hàm cosx )

vậy I=x cosx 02



-

2

sin x dx





= cosx 02



= -1

b/ Đặt :

2 1 ln . 2 du dx

u x x

dv x dx v x

              

Vaäy J= lnx

2 2 x e

-2 2

2

1

1 1 1 1

.

2 2 2 2 4 4

e e

e

x dx e xdx e x e

x



    

 

Bài tập đề nghị:

Tính tích phân sau:

1/

1

. x

x e dx

2/   0cos x dx

x 3/ 1ln

e x dx 4/  

2 ln(x x 1).dx

5/   .cos x

e x dx

Dạng 4: Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp:

a/Dạng bậc tử lớn hay bậc của mẫu:

Phương pháp giải:

Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên phần phân số tính

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh a/ 2 1

2 (1 1 ) [ 1ln 2 1] 1 1ln3

2x-x dx1 = +2x- 1 dx= +x 2 x- = +2

ò ò

= 1 ln32 b/

0 3

2

1

1

3 1 ( 4 5 ) [ 4 ln 1] 23 ln 2

1 1 3 2 6

x x dx x x dx x x x x

x x

-+ + = + + + = + + + - =

-ị ị

Bài tập đề nghị:

Tính tích phân sau:

1/I=

 



2 2

2 3

x x x dx

x 2/J=

 





4

2 5 3

1

x x dx

x

b/Dạng bậc1 bậc 2: Phương pháp giải:

Tách thành tổng tích phân tính Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: Ví dụ: Tính tích phân :

( ) 2 5 1 6 x dx x x -ị Giải Ñaët ( ) 5 1 6 x x x - =

5 5 ( 3) ( 2)

( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)

x A B A x B x

x x x x x x

- = + = - + +

+ - + - +

- A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2  A=3 cho

x=3  B=2 ta có:

( ) 2 5 1 6 x dx x x -ò = 2 1

3 2 16

( ) (3ln 2 ln 3 ) ln

2 3 dx x x 27

x+ +x- = + + - =

ò

Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính tích phân :

1 (2 1) 4 4 x dx x x + - + ị Giải CI:

1 1 2

2 2 2

0 0

(2 1) ( 2 4 5 ) ( 4 4) 5 1

4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2)

x dx x dx d x x dx

x x x x x x x x x

+ = - + = - + +

- + - + - + - +

-ò ò ò ò

=(ln

2 4 4 5 )

2 x x x    

0  5 ln42

CII: Đặt

2 2

2 1 2 1 ( 2) ( 2) 2 1

4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)

x x A B A x B A x B x

x x x x x x

+ + - +

= = + = Û - + = +

- + - - -

- Ax -2A+B= 

2 2

2 1 5

A A

A B B

             Vaäy 1 2 0

2 1 [ 2 5 ]

4 4 2 ( 2)

x dx dx

x x x x

+ = + - + - -ò ò = 5 (2ln x-2 - )

x-2 5 ln42

Trường hợp mẫu số vơ nghiệm: Ví dụ: Tính tích phân :I=

0 (2 3) 2 4 x dx x x -+ + ị Giải:

0 2

2 2

1

2 2 5 ( 2 4) 5

2 4 ( 1) 3 2 4

x d x x

I dx dx J

x x x x x

- -+ + + = - = -+ + + + + + ò ò ị Ta có 2

( 2 4)

2 4

d x x

x x + + + + ò = 4 ln/x +2x+4/ ln ln3 ln

3

   

Bài tập đề nghị: Tính tích phân sau:

1/I=  

1

1

5 6dx

x x 2/I=

    1 2 6 x dx9

x x 3/ I=

4 2 3 1 4 8 x dx x x     Daïng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:

Dạng1:   ( , ) b n a

R x ax b dx

Đặt t=n ax b

Daïng 2:

   ( , ) b n a ax b

R x dx

cx d Đặt

t=

n ax b

cx d  

Ví dụ: Tính tích phân I =

1

1 xdx



Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Đặt t =31 x  t3= 1-x  x= 1-t3 

dx= -3t2dt.

Đổi cận:

x=0  t=1; x=1  t=0 Vaäy I=

0

2

1 0

3

.( ) 3 3

4 4

t

t  t dt t dt 

 

Bài tập đề nghị: Tính tích phân sau: 1/   1 x xdx

2/ 

1 2

x dx

x

Dạng 6: Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp

Daïng:

sin cosax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx

  

  

Phương pháp giải:

Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu tích phân giải

Dạng:

sinn xdx; cosn xdx

 

 

 

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến

Ví dụ :

2 2

2

sin sin sin (1 cos ) sin Ñaët t =cosx

1 cos2

cos (cos )

2

n n n

n

n n

xdx x xdx x xdx

x

xdx x dx dx

                               Daïng: (sin ).cos

R x xdx



 

Đặc biệt:

2

sin n x.cos k xdx





 

Phương pháp giải: Đặt t =sinx

Dạng:

(cos ).sin

R x xdx



 

Đặc biệt:

2

sin n x.cos kxdx



 



Phương pháp giải: Đặt t =cosx

Các trường hợp cịn lại đặt x=tgt

Ví dụ: Tính tích phân sau:

a/

4

sin3 cos x x dx   b/ 2 sin xdx   c/ cos xdx   d/

cos sinx xdx   Giaûi a/

sin3 cos x x dx   =        0

1(sin 4 s ) cos4( cos2 )

2 2

x x

x in x dx

b/            2 2 0

1 cos2 1 sin 2

sin ( )

2 2 2 4

x x

xdx dx x

c/I= cos xdx   =       2 2 0

cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx

đặt u=sinx  du = cosx dx.

x=0  u=0 ; x= 

2  u=1 vaäy:

I=      0 2

(1 ). ( )

3 3

u

u du u

d/J=

2

3

0

cos sinx xdx   =       2

2 2

0

cos sin cos x x x dx (1 sin )sin cos x x x dx

đặt u=sinx  du = cosx dx.

x=0  u=0 ; x= 

2  u=1 J=

     

 

1

1

2 2

0

0

2

(1 ) ( ) ( )

3 15

u u

u u du u u du

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

1/





0

cos x dx

2/





2

3

0

sin cos x x dx

3/

2

4

sin x.cos x dx





4/

6 sinxdx





5/





2

7

sin x.cos x dx

III/ Diện tích hình phẳng:

1/ Dạng tốn1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) đường thẳng x= a; x=b; y= :

( )

b

a

S f x dx

2/ Dạng tốn2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng.

Cơng thức:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) đường thẳng x= a; x=b :

( ) ( )

b

a

S f x  g x dx

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm vơ nghiệm (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

[ ( ) ( )]

b

a

S f x  g x dx

TH2:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x1

(a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

1

1

( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

x

b b

a a x

S f x  g x dxf x  g x dx  f x  g x dx

TH3:

Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x1; x2(a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

     

1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

       

x x x

a x b

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

Chú ý: * Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp

* Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng tốn đường cong g(x)=0

Ví dụ 1ï:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0;2 ] trục hồnh

Giải :

Ta có :sinx = có nghiệm x=0;2 diện tích hình phẳng cần tìm là:

S =

  



 

  

2

0

sinx dx sinxdx sinxdx

=

 





0

cosx cosx

= Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y =

x2 –2 x , vaø (P

2) y= x2 + đường thẳng x

= -1 ; x =2

Giaûi

phhñgñ : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x =

-1/2 Do : S =

2 1/ 2

2 2 2

1 1/

(x 2 ) (x x 1)dx [(x 2 ) (x x 1)]dx [(x 2 ) (x x 1)]dx

-

- + = - - + + - - +

ò ò ò

=

( ) ( )

1/ 2

1 1/

2x 1 dx 2x 1 dx

-+ + +

ò ò

=

( ) 12 ( )21

1

2 x +x -- + x +x

=

1 25 13 4+ 4 = 2

Ví dụ 3:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 =

4 x , đường thẳng (d): 2x+y-4 =

Giải: Ta có (P): y2 = x  x =

4

y

vaø (d): 2x+y-4 =  x=

4 2

y 

Phương trình tung độ giao điểm (P) đường thẳng (d) là:

2

4

y

=

4 2

y 



2 4

y y

  

 

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=

2 2 2

2

4

4

( ) (2 ) (2 )

2 4 12

y y dy y y dy y y y



 



       

 

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y= x2 - 2x trục hoành.

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H):

 x 1 y

x đường thẳng có phương trình

x=1, x=2 y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 đường thẳng (d): y=5

4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x3

–3 x , vaø y = x

2/ Dạng tốn 3:Thể tích vật thể tròn xoay

Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục ox là:

2( )

b

a

V f x dx

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình trịn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo Giải: Đường trịn tâm O bán kính R có phương trình :x2 +

y2 = R2  y2= R2-x2

Thể tích khối cầu : V=

 2

R R

R x dx

 





=

3

3 R

R

x R x





  

 

  =

3

3 2

2

3 R R

  

 =

3 4

3R (đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giải: Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm :

2

2

1

( 2 ) ( 4 4 )

S  x x dx  x x x dx

 

      

=

5

2

4

1

4

( )

5 3

x x x





 

=

18 5



(ñvtt)

Bài tập đề nghị:

Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox:

a/ y = cosx ; y = ; x = ; x = 4



b/ y = sin2x ; y = ; x =

0 ; x =  c/ y =

x

xe ; y = ; x = ; x = 1

Chủ đề VI: SỐ PHỨC Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…

Cho hai số phức a+bi c+di

1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) môđun số phứcz  a bi  a2b2

3) số phức liên hiệp z = a+bi z = a  bi  z+z

= 2a; z.z= z2a2b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) (

c+di) = (ac)+(bd)i

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i 7) w =

z ' z '.z [(ac+bd)+(ad-bc)i] (z'=c di, z a bi) 2

z  z.z a b   

Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = với  = b2 4ac

Nếu  = phương trình có nghiệp kép

b x1 x2

2a  

(nghiệm thực)

Nếu  > phương trình có hai nghiệm thực:

b x

2a    

Nếu  < phương trình có hai nghiệm phức

b i x

2a    

Bi tp: Số phức

Dạng 1:Các phép toán số phức

Câu 1: Thực phÐp to¸n sau: a (2 - i) + 1

2i 3

 

 

  b. 

2 5

2 3i i

3 4

    

 

c

1 3 1

3 i 2i i

3 2 2

    

   

   

    d.

3 1 5 3 4

i i 3 i

4 5   4 5    5

     

     

     

C©u 2: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau: a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2

c

3 1

3i 2

 

 

Câu 3: Thực phép tÝnh sau:

a 1 i 2 i 

 b

2 3i 4 5i



 c.

3 5 i

d     2 3i 4 i 2i

bậc hai Số phức phơng trình bậc hai

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh * Số a= có là:

* Số a< có là:  ( a).i D¹ng 2: Giải phơng trình bậc hai

Ví dụ: Gii phương trình x2 4x 0  tập số

phức

Giải:  ' 3 3i 2 nên  ' i

Phương trình có hai nghiệm : x1 2 i , x2  i

Bi tp:

Câu 1: Giải phơng trình sau tập số phức

a z2 + = 0 b z2 + 2z + = 0 c z2 + 4z + 10 = 0

d z2 - 5z + = e -2z2 + 3z - = 0

f x2 + = 0 g x2 - 3x + = 0 h z4 + 4z -5 = 0

e z4 +3z -3 = 0

Câu 2 Tìm phơng trình bậc hai với hệ sè thùc nhËn  lµm nghiƯm:

a  = + 4i b  = i 3

Câu 3: Tìm tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện ra:

a z2 - mz + m + = ®iỊu kiƯn:

2 2

z1 z2 z z1 2 1

b z2 - 3mz + 5i = 0 ®iỊu kiƯn:

3 3

z1 z2 18

a z2 + z + = 0 b z2 = z + c (z + z)

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

ƠN THI KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY

KHỐI ĐA DIỆN

I/ Các cơng thức khối đa diện

Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c kích thước)

Thể tích khối lập phương : V = a3 (a cạnh khối

lập phương)

Thể tích khơi chóp: V = 13Bh ( B diện tích đáy, h chiều cao)

Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)

Chú ý:

- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k3

II/ Bài tập:

1/ KHỐI CHĨP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam

giác cạnh a, biết cạnh bên SA vuông

góc với mặt đáy SA=a 2

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b/ Gọi I trung điểm BC Chứng minh mp(SAI) vng góc với mp(SBC) Tính thể tích khối chóp SAIC theo a

c/ Gọi M trung điểm SB Tính AM theo a

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam

giác vuông A, biết SA vng góc với mặt

đáy SA=AC , AB=a góc ABC450 Tính

thể tích khối chóp S.ABC

Bài :Cho hình chóp tam giác SABC có

đường cao SO = đáy ABC có canh 2

√6 .Điểm M,N trung điểm cạnh AC, AB

tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a c / Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành khối chóp Hãy kể tên kchóp

Bài 5:Cho hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S,

độ dài cạnh đáy AB=a góc SAB=60o Tính thể

tích hình chóp SABCD theo a

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD, đáy ABCD hìnhvng cạnh a, SA = SB = SC = SD = a Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a.

2/ KHỐI LĂNG TRỤ, HỘP

Bài : Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a/ Tính thể tích khối LP theo a b/ Tính thể tích khối chóp A A’B’C’D’ theo a

Bài : Cho hình lăng trụ

ABC.A’B’C’ có cạnh bên cạnh đáy a

a/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a b/ Tính thể tích khối chóp A’ ABC theo a

KHỐI TRỊN XOAY

I/Tóm tắt lý thuyết:

1/Cơng thức tính diện tích thể tích khối nón

Sxq= .R.l với R bán kính đáy, l

độ dài đường sinh

V= 13sñđ.cao13R2.h với R bán kính đáy, h chiều cao hình chóp

2/ Cơng thức tính diện tích thể tích khối trụ

Sxq= 2.R.l với R bán kính đáy, l là

độ dài đường sinh

V= S caoñđ R h2 với R bán kính

đáy, h chiều cao hình trụ.

3/ Cơng thức tính diện tích thể tích khối cầu:

3

4

V .R

3

   

MC 2

S R

với R là bán kính hình cầu.

II/ BÀI TẬP: 1- KHỐI NÓN

Bài 1: Thiết diện qua trục khối

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

a.tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón

b. tính thể tích khối nón

Bài 2: Thiết diện qua trục hình nón

một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a.

a/Tính diện tích xung quanh hình nón b/Tính thể tích khối nón

Bài 3: Một hình nón có đường sinh l=1 góc

giữa đường sinh đáy 450

a Tình diện tích xung quanh hình nón b tính thể tích khối nón.

Bài 4: Trong khơng gian cho tam giác OIM

vng I, góc IOM 300 cạnh IM = a.

khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay.

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay.

b/ Tính thể tích khối nón trịn xoay

Bài 5: Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và

B hai điểm Thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ điểm O đến AB a SAO = 300 , SAB = 600

a.Tính độ dài đường sinh diện tích xung quanh theo a

b.Tính thể tích khối nón

Bài 6: Một khối tứ diện cạnh a nội tiếp

khối nón Tính thể tích khối nón đó.

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có

chiều cao SO = h góc SAB = α ( α >

450) Tính diện tích xung quanh hình nón

đỉnh S có đtrịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD.

2/- Khối trụ

Bài 1: Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng

cách hai đáy 7cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm

a.Tính diện tích thiết diện diện tích xung quanh

b.Tính thể tích khối trụ

Bài 2: Thiết diện chứa trục khối trụ hình

vng cạnh a

a.Tính diện tích xung quanh hình trụ

b. Tính thể tích khối trụ

Bài 3: Trong khơng gian cho hình vng

ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta htrụ trịnxoay

a/Tính d tích xung quanh hình trụ.

b/Tính thể tích khối trụ

Bài 4: Một khối lăng trụ tam giác có

cạnh đáy chiều cao nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ đó

Bài 5: Một hình hộp chữ nhật có ba kích

thước a, b, c nội tiếp khối trụ a Tính thể tích khối trụ.

b Tính diện tích xung quanh hình trụ

Bài 6: Một khối trụ có chiều cao

20cm có bán kính đáy

bằng 10cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ hai đáy

cho chúng hợp với góc 300

Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song với trục OO’ khối trụ Hãy tính diện tích của thiết diện.

Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy R

đường cao R√3 ;

A B hai điểm hai đường tròn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300.

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần h trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tương ứng.

Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R

có thiết diện qua trục hình vng. a/Tính diện tích xung quanh h trụ. b/Tính thể tích khối trụ tương đương.

3/ KHỐI CẦU

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC

là tam giác vng B và SA⊥(ABC) .

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh điểm A, B, C, S nằm mặt cầu tâm O

bán kính R=SC

2 .

b) Cho SA = BC = a AB=a√2 Tính bán

kính mặt cầu

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

hình vuông cạnh

a, SA⊥(ABCD) SA=a√3 Gọi O

tâm hình vng ABCD Klà hình chiếu Btrên SC

a) Chúng minh ba điểm O, A, K nhìn đoạn SB góc vng Suy năm điểm S, D, A, K B nằm mặt cầu đường kính SB.

b) Xác định tâm bán kính mặt cầu nói trên.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có

cạnh đáy cạnh

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh ƠN THI HÌNH HỌC OXYZ

I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:

     

 

 

B A B A B A

2 2

B A B A B A

1 2 3

2 2 1 2 3

1 2 3

1 AB (x x ,y y ,z z )

2 AB AB x x y y z z

3 a b a b ,a b ,a b 4 k.a ka ,ka ,ka

5 a a a a

a b

6 a b a b

a b

7 a.b a b a b a b a

8 cos(a;b)

   

      

    



  

 



   

 



  





  

 

 

   

3

1

1 2 3

2 3 1

2 3 1

.b a b

a

a a

9 a / /b a k.b a b 0

b b b

10 a b a.b 0 a b a b a b 0

a a a a a a

11 a b , ,

b b b b b b

       

      

 

  

 

  

      

   

 

12 a,b,c   đồng phẳng ⇔(a∧b).c=0

13 a,b,c   không đồng phẳng ⇔(a∧b).c ≠0

14 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 M(x −kxB

1− k ,

y −kyB 1−k ,

z −kzB 1− k ) 15 M trung điểm AB

M(xA+xB

2 ,

yA+yB 2 ,

zA+zB 2 ) 16 G trọng tâm tam giác ABC

G(xA+xB+xC

3 ,

yA+yB+yC

3 ,

zA+zB+zC 3 ,) 17 Véctơ đơn vị:



e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)

18.

M(x ,0,0)∈Ox; N(0, y ,0)∈Oy; K(0,0, z)∈Oz 19.

M(x , y ,0)∈Oxy; N(0, y , z)∈Oyz; K(x ,0, z)∈Oxz 20

2 2

ABC

1 1

S AB AC a a a

2 2

     

                           

20 ABCD 1

V (AB AC).AD

6

 

  

21 VABCD A❑

B❑

C❑

D❑=|(AB∧AD).AA

❑|

2/ Mặt cầu :

2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

S(I,R):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)

Phương trình

D

   

2 2

x y z + 2Ax + 2By +2Cz 0(2) ( A B C D2 2 2 

với 0) phương trình mặt cầu

Tâm I(-A ; -B ; -C) R A B C D2 2 2 2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu

Cho

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S)

đến mp :

 d > R : (S)   = 

 d = R :  tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, :

tiếp diện)

 d < R :  cắt (S) theo đường trịn có pt

¿

(S):(x −a)2+(y −b)2+ (z − c)2=R2 α : Ax+By+Cz+D=0

¿{ ¿

2.3.Giao điểm đường thẳng mặt cầu

d: x=xo+a1t

y=yo+a2t

z=zo+a3t ¿ { {

(1) vaø

(S):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm 2.CÁC DẠNG TỐN

a/ Các dạng tốn toạ độ điểm, véctơ. Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác

 A,B,C laø ba đỉnh tam giác  [  

AC ,

AB ] ≠ 0

 SABC =

1  

AC] , [AB

 Đường cao AH = 2 SΔABC BC  Shbh =

 

AC] , [AB

Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành  Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng  ABCD hbh  AB=DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện:  [ AB→ ,AC→ ] AD→ ≠

 Vtd = 61

¿[AB

→

,AC]

→

AD→ ∨¿

Đường cao AH tứ diện ABCD

V=1

3SBCD AH  AH=

3V SBCD  Thể tích hình hộp :

VABCD A❑B❑C❑D❑=|[AB;AD].AA

❑|

Dạng 4/ Hình chiếu điểm M trên trục tọa độ mp tọa độ:

Cho điểm M ( x , y , z ) Khi đó:

+ M1 hình chiếu điểm M trục

Ox M1 ( x , , )

+ M2 hình chiếu điểm M trục

Oy M2 ( , y , )

+ M3 hình chiếu điểm M trục

Oz M3 ( , , z )

+ M4 hình chiếu điểm M

mpOxy M4 ( x , y , )

+ M5 hình chiếu điểm M

mpOxz M5 ( x , , z )

+ M6 hình chiếu điểm M

mpOyz M6 ( , y , z )

Dạng 5:/ Chứng minh ba A, B, Cđiểm thẳng hàng

Ta chứng minh véctơ AB, AC

                           

phương

b/ Các dạng toán về mặt cầu : Dạng 1: Mặt cầu tâm I qua A

ª S(I,R):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB  Tâm I trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp Mc

B.yI C.zI D

2 2

A B C

(S)   

  

 

taâm I

A.xI R d(I, )

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Ptr mc có dạng

D

   

2 2

x y z + 2Ax +2By + 2Cz A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm A, B, C, D

Dạng 5: Mặt cầu qua A,B,C tâm I € (α)

Mc(S) có ptr:

D

   

2 2

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh A,B,C  mc(S): tọa độ điểm A,B,C vào (2)

Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt (α) Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A( mặt

tiếp diện)

Tiếp diện () mc(S) A :  qua A, vtpt \{n= IA

→

Dạng 7: Tìm tiếp điểm H của mặt phẳng mặt

cầu : (là hchiếu tâm I mp)

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp : ta có ad=nα  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () Dạng 8: Tìm bán kính r tâm H đường trịn giao tuyến m/c S(I ;R) mp():

+ bán kính r=√R2−d2(I , α)

+ Tìm tâm H ( h chiếu tâm I mp())  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I

và vuông góc mp : ta có ad=nα

 Tọa độ H nghiệm hpt :

ptr(d) ptr( )

 

 

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

BAØI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉCTƠ: 1:Cho ba vect¬ →a = ( 2;1 ; ), b→ = ( 1; -1; 2) ,

c

→

= (2 ; 2; -1 ).

a) Tìm tọa độ vectơ : u→ = 4 →a - 2 b→ + 3

c

→

b) Chøng minh r»ng vect¬ →a , b→ , →c

không đồng phẳng

c) H·y biĨu diĨn vect¬ w→ = (3 ; ; -7 ) theo ba vect¬ →a , b→ , →c .

2: Cho vect¬ →a = (1; m; 2), b→ = (m+1; 2;1 ) , c

→

= (0 ; m-2 ; ) Định m để vectơ đồng phẳng

3: Tìm tọa độ vectơ x 

, biÕt r»ng: a) a x 0

  

 

vµ a 1; 2;1 

 

b) a x 4a

  

  vµ a 0; 2;1



 

c) a 2x b

  

  vµ a 5;4; 1



 

, b 2; 5;3  

 

4:Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa hỡnh chiu

vuông góc điểm M:

a) Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz,

Oyz. b) Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.

5: Cho điểm M(1 ; ; 3) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O b)

Qua mặt phẳng Oxy c) Qua

Trục Oy.

6: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1),

B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ của đỉnh lại.

7: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz điểm M.

a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

nào ? b) T×m

tọa độ điểm M.

8 . Cho ba vect¬ a 1; 1;1 , b 4;0; ,

 

   

3; 2; 

c



 

T×m:

2 2

) ; ) ; ) ;

a  a b c b a b c   c a b b c c a   

   

2 2

) ; )

d a a b b c b   e a c b   c

 

.

9. TÝnh gãc gi÷a hai vectơ a

b :

   

) 4;3;1 , 1; 2;3

a a  b  

   

) 2;5; , 6;0;

b a  b  

10 a) Trên trục Oy tìm điểm cách hai điểm: A(3; 1; 0) B(-2; 4; 1).

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) C(3; 1; -1).

11 Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh một tam giác b) Tính chu vi diện tích ABC.

c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC hình bình hành d/ Tìm toạ độ trọng, trực

t©m cđa ABC.

e) Tính độ dài đờng cao ABC hạ từ đỉnh A f) Tính góc ABC. d/ Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

12. Cho ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0;

0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh của tứ diện

b) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD.

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Goứ Dầu – Tãy Ninh d/ Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD.

e/ Xác định toạ độ chân đờng vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD)

BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU

Bài 1: Trong phơng trình sau ,phơng trình nào là phơng trình mặt cầu ,khi rõ toạ độ tâm và bán kính ,biết:

a) (S):x2+y2+z2−2x −4y+6z+2=0 b) (S):x2+y2+z2−2x+4 y −2z+9=0

c) (S):3x2

+3y2+3z2−6x+3y −9z+3=0 d) (S):2x2+y2+z2− x+y 2=0 Bài 2: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :

a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.

b) Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1).

c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuéc

0x. d) Hai đầu đờng kớnh l A(-1;2;3), B(3;2;-7)

Bài 3: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :

a) Tâm I(1;2;-2) tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.

c) Bán kÝnh R = vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 điểm M(1;1;-3).

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).

a) Viết phơng trình tham số đờng thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (ABC).

b) Viết phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

c/ Viết phơng trình tiếp diện với mặt cầu (S) A.

Bi 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho

  :x y z  1 0 và đường thẳng (d) :

1

1 1 1

x y z

 



a/ Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến mặt phẳng   với mặt phẳng tọa độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết A , B , C giao điểm tương ứng mặt phẳng

  với trục tọa độ Ox , Oy , Oz, D giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.

b/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A , B , C , D Xác định tọa độ tâm bán kính của đường trịn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Baøi

6 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , ,1) , B ( , 10 , ) , C ( , , -1 ) , D ( , , -1 )

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A , B , C.

b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm D vng góc với mặt phẳng (P).

c/Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (P).

II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.

Vectơ pháp tuyến mp  : n ≠ 0 véctơ pháp tuyến  ⇔ n   2.

Cặp véctơ phương mp  : 

a b cặp vtcp () ⇔ a , b có giá song song với () nằm trong ()

Quan hệ vtpt n cặp vtcp a,b: n = [ ,b]

Pt mp(  ) qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n

 = (A;B;C):

() : Ax + By + Cz + D = ta coù n = (A; B; C)

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm 1véctơ pháp tuyến

5.Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0)

B(0,b,0) ; C(0,0,c) : xa+y b+

z c=1 6.Phương trình mặt phẳng tọa độ

(Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = 0 7 Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d trong

(1): A1x + B1y + C1z + D1 = (2): A2x + B2y + C2z + D2 =

Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y

+ C2z + D2) =

8 Vị trí tương đối hai mp (1) (2) : ° αcắtβ⇔A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 ° α//β⇔A1

A2 =B1

B2 =C1

C2

≠ D1

D2

//

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh ° α ≡ β⇔ A1

A2 =B1

B2 =C1

C2 =D1

D2

ª ( ) ( )   A A1 2B B C C1 2 0

9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (  ) : Ax + By + Cz + D = 0

d(M,α)=|Axo+ Byo+ Czo+ D|

√A2+B2+C2

10.Goùc hai mặt phẳng :

¿n1.n2∨ ¿

|n1|.|n2| cos(α , β)=¿

2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1:Mặt phẳng qua điểm A,B,C :

A(hay BhayC) ]

( )  

 



qua

vtptn [AB , AC

Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° n

()







quaM trung điểm AB

vtpt AB

Dạng 3:Mặt phẳng  qua M  d (hoặc AB)

° n (AB)

( ) 

  

 



quaM

Vì (d) nên vtpt ad

Dạng 4:Mp qua M // : Ax + By + Cz + D = 0

°       

 qua M  

Vì / / nên vtpt n n Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/)

 Tìm điểm M treân (d)

 Mp chứa (d) nên () qua M có VTPT

/

d d

na ,a 

 

                            

Daïng 6Mp() qua M,N vaø () :

°

 

[ MN, ]

 



  

qua M (hay N) vtptn n

Dạng 7:Mp() chứa (d) qua A:

■ Tìm M∈(d)



 

[ a ,d ]



 



qua A

vtptn AM .

Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) (d/) cắt :

 Đt(d) qua điểm M(x0 ,y0 , z0 )

có VTCP a( , , )a a a1



 Đt(d/) có VTCP b( , , )b b b1



 Ta coù n[ , ]a b

  

laø VTPT của mp(P).

 Lập pt mp(P) qua điểm M(x0 ,y0

, z0 ) nhaän n[ , ]a b

  

laøm VTPT.

Dạng 9:Lập pt mp(P) chứa đt(d) vng góc mp(Q) :

 Đt(d) qua điểm M(x0 ,y0 , z0 )

coù VTCP a( , , )a a a1



 Mp(Q) coù VTPT nq ( , , )A B C



 Ta coù np [ , ]a nq

 

 

là VTPT của mp(P).

 Lập pt mp(P) qua điểm M(x0 ,y0

, z0 ) nhận np [ , ]a nq

  

laøm

VTPT.

Daïng10: Cm mp(P) // mp(Q) :

 mp(P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

 mp(Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

 mp(P) // mp(Q)

1 1

2 2

A B C D

A B C D

   

Daïng 11: Cm mp(P)  mp(Q) :

 mp(P) coù VTPT n1( , , )A B C1 1



 mp(Q) coù VTPTn2 ( ,A B C2 2, 2)



 mp(P)  mp(Q)

1 2 0

A A B B C C

    .

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua

điểm M có vtpt n

biÕt A

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Taây Ninh a, M 3;1;1 , n    1;1;2



b, M2;7; , n 3; 0;1 

c, M 4; 1; , n    0;1;3 

d, M 2;1; , n   1; 0; 0 

Bµi 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực AB biÕt:

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)

c,

1 1

A ; 1; , B 1; ;5

2 2

   

 

   

   

c,

2 1 1

A 1; ; , B 3; ;1

3 2 3

   



   

   

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt ph¼ng   biÕt:

a, M 2;1;5 ,      Oxy

b, M1;1; ,   :x 2y  z 100 c, M 1; 2;1 ,     : 2x y 3 0

d, M 3;6; ,     : x z 10 Bµi 4 Lptr mặt phẳng (P) qua điểm M(2;3;2) và song song với cặp véctơ a(2;1;2); (3; 2; 1)b 

 

Bµi 5 : Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;1)

a) Song song với trục 0x 0y b) Song song với các trơc 0x,0z c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z. Bài 6 : Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M(1;-1;1) B(2;1;1) :

a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.

Bài 7 : Xác định toạ độ véc tơ n vuông góc với hai véc tơ a(6; 1;3); (3; 2;1) b

.

Bài 8: Tìm VTPT mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP a(2,7,2); b(3,2,4)

Bài 9: Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) biết :

a) (P) qua điểm A(-1;3;-2) nhận 

n(2,3,4); lµm VTPT.

b) (P) qua điểm M(-1;3;-2) song song với (Q): x+2y+z+4=0.

Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) song song với mặt phẳng toạ độ.

B

ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,

(Q) : y-z-1=0 ViÕt ph¬ng trình mặt phẳng (R) qua điểm A vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).

Bài 12: Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) trờng hợp sau:

a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) có cặp VTCP a3; 2;1

b3;0;1

b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) C(3;1;-1) cùng phơng víi trơc víi 0x.

Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)

a) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).

b) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song vói cạnh CD Bài 14: Viết phơng trình tổng quát (P)

a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)

b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0

c) Chứa 0x qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y qua B(1;4;-3)

Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) không gian 0xyz

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) trung trực AB.

b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) vuông góc với mặt phẳng y0z

c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A

và song song với mặt phẳng (P).

III.NG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)

(d): x=xo+a1t y=yo+a2t

z=zo+a3t ;t∈R

¿{ {

2.Phương trình tắc (d)

(d):x − xo

a1

=y − yo

a2

=z-z0

a3

4.Vị trí tương đối đường thẳng: Cho đường thẳng:

d1 :x=x1+a1t; y=y1+a2t ; z=z1+a3t có véctơ chỉ phươnga



=(a1;a2;a3) M1 (x1, y1, z1)  d1 d2 :x=x2+b1t; y=y2+b2t ; z=z2+b3t có véctơ chỉ phương b→ =(b1;b2;b3) M2 (x2, y2, z2)  d2

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

* d1// d2  a k.b M d         

*d1 d2  a k.b M d         

* d1 cắt d2 

1

1 2

1 3

             

x a t x b t

y a t y b t

z a t z b t có nghiệm nhất.

* d1 chéo d2 

              

  1

1 2

1 3

&

x a t x b t

a kb y a t y b t

z a t z b t

vô nghiệm

* Đặc biệt d1d2  . 0 

  a b

4.Góc đường thẳng:

1 2

1

n n cos(d ;d )

n n                               

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Đường thẳng (d) qua A,B

(d){quaA¿(hayB) Vtcpad=AB

Dạng 2:Đường thẳng (d) qua A song song () (d)

¿ ⟨quaA

⟨Vì (d) // (Δ) nên vtcp ad=aΔ

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vng góc mp (d)

¿

¿ ⟨quaA

⟨Vì (d)⊥(α) nên vtcp ad=nα

Dạng4:PT d’ hình chiếu d lên  : d/ = 

 Viết pt mp() chứa (d) vng góc mp

 

d

quaM (d) n [a ;n ]

                                                  

/ ptr( )

(d ) ptr( )     

Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A vng góc (d1), (d2)

2 A (d)      qua

vtcpa a , a d d

Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2

:

C1/ + Tìm ad = [ a d1, a d2]

+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)  d =   

CII/

 Đưa phương trình đường thẳng

dạng tham số

 Tìm ,

                           

a b VTCP d

1

và d2

 Lấy diểm A, B thuộc

đường thẳng tính AB



 đường thẳng AB đường vng góc

chung . 0 . 0 AB a AB b            

 Giài hệ tìm A, AB



 phương trình đường vng góc chung AB.

Dạng 7: PT d qua A cắt d1 , d2 : d = 

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Daïng 8: PT d //  cắt d1,d2 : d = 12

với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

Daïng 9: PT d qua A  d1, cắt d2 : d = AB

với mp qua A  d1 ; B = d2  

Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d = 

với mp chứa d1 và (P) ; mp chứa d2 và  (P)

Dạng 11: Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mp 

Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc mp() : ta có

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Tọa độ H nghiệm hpt :

  Ptr d Ptr ( )

  

  

H hình chiếu M đường thẳng (d)  Viết phương trình mp() qua M vng góc với (d): ta có nα=ad

 Tọa độ H nghiệm hpt :

  Ptr d Ptr ( )

  

  

Dạng 12 : Điểm đối xứng

a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua

mp(P) :

 Lập pt đt (d) qua điểm M vuông

góc mp(P).

 Tìm toạ độ giao điểm H đt(d)

mp(P)

 A/ đối xứng với A qua (P)  H trung

điểm MM/ neân :

/ / /

2 2 2

H M

M

H M

M

H M

M

x x x

y y y

z z z

  



 

 

 



b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua

ñt(d) :

 Lập pt mp (P) qua điểm M vuông

góc đt(d).

 Tìm toạ độ giao điểm H đt(d)

mp(P)

 A/ đối xứng với A qua (d)  H trung

điểm MM/ nên :

/ / /

2 2 2

H M

M

H M

M

H M

M

x x x

y y y

z z z

  



 

 

 



Dạng 12 : CM song song: a/ Cm đt(d) // đt(d/ ) :

 đt(d) qua điểm M1(x1 , y1 , z1) có

VTCP a( , , )a a a1



 đt(d/) qua điểm M2( x2 , y2 , z2) có

VTCP b( , , )b b b1



.

 Ta tính

1 ( 1, 1, 1)

M M  x  x y  y z  z



.  ñt(d) // ñt(d/)

1: 2: 1: 2: ( 1) : ( 1) : ( 1)

a a a b b b x x y y z z

     

.

b/ Cm ñt(d) // mp(P) :

 đt(d) qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và

có VTCP a( , , )a a a1



 mp(P) : Ax + By + Cz + D = coù

VTPT n( , , )A B C .  ñt(d) // mp(P)

1 1

. 0

0 a n

Ax By Cz D

 

  

   

 

 

Dạng 12 : CM vng góc : a/ Cm đt(d)  đt (d / ) :

 ñt(d) coù VTCP a( , , )a a a1



 đt(d/) có VTCP b( , , )b b b1



.

 ñt(d)  ñt(d/) 1 2 3 0

a b a b a b

   

b/ Cm ñt(d)  mp(P) :

 đt(d) có VTCP a( , , )a a a1



 mp(P) coù VTPT n( , , )A B C 

.  ñt(d)  mp(P)

1: 2: : :

a a a A B C

 

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) các trờng hợp sau :

a) (d) qua điểm M(1;0;1) nhận (3; 2;3)

a

làm VTCP

b) (d) qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3) Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát giao tuyến mặt phẳng

Nguy n N ng Su t – THPT Quang Trung – Goứ Dầu – Tãy Ninh Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm

M(2;3;-5) song song với đờng thẳng (d) có phơng

tr×nh:

(d):

x=−t

y=2+2t

z=1+2t , t∈R

¿{ {

Bài 4: Cho đờng thẳng (D) v mt phng (P) cú phng

trình :

(d): x=−t y=2+2t z=1+2t , t∈R

¿{ { vµ

(P): x+y+z+1=0 Tìm phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) vng góc với đờng thẳng (D)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) qua điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Bài 6:1/ Lập phơng trình tham số, tắc đờng thẳng (d) qua điểm A(2;1;3) vng góc với mặt phẳng (P) trờng hợp sau:

a) ( ) : P x2y3 - 0z  b)  P x: 2y3z1 0 .

2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P)

Bµi 7: a/ Lập phơng trình tham số, tắc đ-ờng thẳng (d) qua điểm A(1;2;3) song song với

đờng thẳng () cho :

 

2 2

: 3 t

3

x t

y t R

z t

   

   

  

 .

b/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua ()

Bài 8: Xét vị trí tơng đối đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) ,biết:

a)

(d):

x=1+t

y=3−t

z=2+t , t∈R

¿{ {

(P): x-y+z+3=0 b)

(d): x=12+4t

y=9+t z=1+t , t∈R

¿{ {

(P): y+4z+17=0

Bài 9: Cho mặt phẳng (P) đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và

(d):x −1 2 =

y 1=

z+2 −3 .

a) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P)

b) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) qua A

vuông góc với (d) nằm mặt phẳng (P)

Bài 10: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng

tr×nh cho bëi :

(d1):

x −2 1 =

y −1 2 =

z −1 1

(d2):

x=1+2t y=t+2 z=−1+3t (t∈R)

¿{ {

CMR hai đờng thẳng cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm nó.

Bài 11: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng

tr×nh cho bëi :

(d1):

x=−7+3t

y=4−2t

z=4+3t

¿{ {

(d2):

x=1+t1 y=−9+2t1 z=−12− t1

(t,t1∈R) ¿{ {

a) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2)

chÐo nhau.