PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂY HỒ ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2 điểm) Cho biểu thức A 1 B với x x 1 x x x 1 a) Tính giá trị biểu thức A x 81 b) Rút gọn biểu thức P B : A c) So sánh P với Câu (2,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị tổng bình phương hai chữ số 45 Một hộp sữa hình trụ tích 16 cm3 Biết đường kính đáy độ dài trục hình trụ Tính diện tích vật liệu cần dung để làm vỏ hộp sữa, bỏ qua diện tích phần ghép nối Câu (2 điểm) x 1 y 1 1) Giải hệ phương trình 2 x y 1 2) Cho phương trình x m 1 x 1 ( m tham số) a) Chứng minh phương trình 1 ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m đê phương trình 1 có hai nghiệm ngun Câu (3,0 điểm) Cho O dây AB cố định khơng qua O Đường kính CD vng góc với AB H ( C thuộc cung lớn AB ) Điểm M di chuyển cung nhỏ AC ( M A M C ) Đường thẳng CM cắt AB N Nối MD cắt AB E a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp b) Chứng minh NM NC NA.NB c) Lấy điểm P đối xứng với A qua O Gọi I trung điểm MC Kẻ IK vuông góc với đường thẳng AM K Chứng minh IK // MP K thuộc đường tròn cố định M di chuyển cung nhỏ AC Câu (0,5 điểm) Cho a, b thỏa mãn: (a a 9)(b b2 9) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 2a b 6ab 8a 10a 2b 2026 -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2 điểm) 1 B với x x 1 x x x 1 a) Tính giá trị biểu thức A x 81 b) Rút gọn biểu thức P B : A c) So sánh P với Hướng dẫn 2 a) Khi x 81 (TMĐK) ta có A 81 10 Vậy A 1 1 x b) Với x ta có B x x x 1 x x x 1 Cho biểu thức A P B: A Vậy P x 1 : x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x x 2 x Vì x x 0 x 1 P 2 x Vậy P c) Với x ta có P Câu (2,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị tổng bình phương hai chữ số 45 Một hộp sữa hình trụ tích 16 cm3 Biết đường kính đáy độ dài trục hình trụ Tính diện tích vật liệu cần dung để làm vỏ hộp sữa, bỏ qua diện tích phần ghép nối Hướng dẫn Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: ab a 9; b 9; a, b Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị 3, nên ta có: a b Mà tổng bình phương hai chữ số 45, đó: a b 45 a b a b a b Ta có hệ phương trình: 2 2 b 3 b 45 2b 6b 36 a b 45 a b a b a b a b b TM b 3 b b 3b 18 b 6b 3b 18 b 6 L a a TM b b Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 63 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Gọi đường kính đáy độ dài trục hình trụ là: R cm; R Bán kính đáy hình trụ là: R cm Vì hộp sữa hình trụ tích 16 cm3 , nên ta có: R 2 R 16 R3 R TM Vậy diện tích vật liệu cần dung để làm vỏ hộp sữa là: 2 R.2 R 4 R 16 cm2 Câu (2 điểm) x 1 y 1 1) Giải hệ phương trình 2 x y 1 2) Cho phương trình x m 1 x 1 ( m tham số) a) Chứng minh phương trình 1 ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m đê phương trình 1 có hai nghiệm ngun Hướng dẫn 1) Đkxđ: x 1; y Đặt x a ; b a (*) y 1 a t / m a b 3 a Hệ phương trình cho trở thành 2a b b a b Thay vào (*) ta x 1 x x x 1 2 y 2 y y 2y (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 2;1 2) a) Ta có 2m 1 4.1 5 2m 1 20 với giá trị m Vậy phương trình 1 ln có hai nghiệm phân biệt b) Vì phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x x 2m Theo hệ thức Vi-et ta có x1 x2 5 Vì phương trình 1 có hai nghiệm nguyên nên từ x1 x2 5 hai nghiệm 1; 1; 1 5 2m x1 x2 2m 1 2m Ta lại có 3 ; 2 Vậy m m 2m 3 m 2m 3 phương trình 1 có hai nghiệm ngun NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Câu (3,0 điểm) Cho O dây AB cố định không qua O Đường kính CD vng góc với AB H ( C thuộc cung lớn AB ) Điểm M di chuyển cung nhỏ AC ( M A M C ) Đường thẳng CM cắt AB N Nối MD cắt AB E a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp b) Chứng minh NM NC NA.NB c) Lấy điểm P đối xứng với A qua O Gọi I trung điểm MC Kẻ IK vng góc với đường thẳng AM K Chứng minh IK // MP K thuộc đường tròn cố định M di chuyển cung nhỏ AC Hướng dẫn a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp Xét tứ giác CMEH có: 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CMD 90 ( CD AB H ) EHC EHC 90 90 180 , mà chúng vị trí đối CME Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp (đpcm) b) Chứng minh NM NC NA.NB NBC (góc ngồi góc Xét tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn O NMA đỉnh đối) Xét NAM NCB có: chung N NBC (chứng minh trên) NMA NAM ∽ NCB g g NA NM NA.NB NC NM (đpcm) NC NB c) Lấy điểm P đối xứng với A qua O Gọi I trung điểm MC Kẻ IH vng góc với đường thẳng AM K Chứng minh IK // MP K thuộc đường tròn cố định M di chuyển cung nhỏ AC 1) Chứng minh IK // MP Ta có IK AM (giả thiết) 1 Do P đối xứng với A qua O AP đường kính O AMP 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) MP AM 2 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Từ 1 IK // MP AM (đpcm) 2) K thuộc đường tròn cố định M di chuyển cung nhỏ AC Gọi tia KI cắt BC F Có KI // MP (chứng minh trên) IF // MP Xét CBM có : IF // MP I trung điểm CM F trung điểm CP , CP cố định, A cố định AF cố định Theo giả thiết ta có AKF 90 K thuộc đường trịn đường kính AF Do AF cố định nên K nằm đường tròn cố định (đpcm) Câu (0,5 điểm) Cho a, b R thỏa mãn: (a a 9)(b b2 9) (*) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 2a b 6ab 8a 10a 2b 2026 Hướng dẫn Ta có ( a a)( a a) (1) Từ (1) (*) , ta suy ra: a a b2 b a b b2 a ab ba ( a b) 0 2 a 9 b 9 a 9 b 9 (a b)(b a ) 2 Xét 1 ba a b2 0 a b2 b a a2 b2 0 Mà a a | a | a a a b b | b | b b b Do VT VP a, b R Vậy a b Thay a b vào M , suy M a 2a 8a 2026 a 2a 4(a 2a 1) 2021 (a 1) 4( a 1) 2021 2021 Vậy MinM 2021 Dấu " " xảy a 1; b 1 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... 1; b 1 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... CMEH nội tiếp Xét tứ giác CMEH có: 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CMD 90 ( CD AB H ) EHC EHC 90 90 180 , mà chúng vị trí đối CME Chứng minh tứ giác CMEH nội. .. qua O AP đường kính O AMP 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) MP AM 2 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ Từ 1 IK // MP AM (đpcm)