PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 - 2021 QUẬN LONG BIÊN MÔN TOÁN Ngày thi: 16/4/2021 Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: x x x 2y 2) Giải hệ phương trình: 3 x y 18 x 3) Rút gọn biểu thức: P với x : x 1 x x 1 x x Câu (1,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Đáp ứng nhu cầu vận chuyển hàng hóa cho người dân đợt dịch covid – 19 vừa qua, tàu thuỷ chở hàng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian 30 phút (khơng tính thời gian nghỉ) Hãy tìm vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết khoảng cách hai bến sông A B 24 km vận tốc dòng nước km/h Câu (2,0 điểm) Viết biểu thức dạng lập phương tổng hiệu 1) Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 2) Cho phương trình x 1 m x m (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x2 36 Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC cm Trên nửa đường tròn lấy điểm A (điểm A khác điểm B , điểm A khác điểm C ) Vẽ đường cao AH tam giác ABC ( H BC ), BC lấy điểm D cho BD BA Kẻ đường thẳng AD , gọi điểm E hình chiếu điểm C đường thẳng AD 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: DA.HE DH AC tam giác EHC cân 3) Gọi R1 , R2 , R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABH , ACH , ABC Tìm vị trí điểm A nửa đường tròn để R1 R2 R3 đạt giá trị lớn nhất? Câu (0,5 điểm) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện 10 x y2 20 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy -HẾT - NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN Câu (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: x x x 2y 2) Giải hệ phương trình: 3 x y 18 x 3) Rút gọn biểu thức: P với x : x 1 x x 1 x x Hướng dẫn 1) Giải phương trình: x x x 3x 2x2 2x 5x x x 1 x 1 x x 1 x x Vậy phương trình có nghiệm là: x 1; x x 2y 2) Giải hệ phương trình: 3 x y 18 x y 3 x y 18 2 x y 3 x y 18 x y 5 x 20 4 y x 3 y x 3 y Vậy hệ phương trình có nghiệm: x x 3) Rút gọn biểu thức: P với x : x 1 x x 1 x x Với x x P : x 1 x x 1 x x NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x Vậy P với x x Câu (1,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Đáp ứng nhu cầu vận chuyển hàng hóa cho người dân đợt dịch covid – 19 vừa qua, tàu thuỷ chở hàng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian 30 phút (khơng tính thời gian nghỉ) Hãy tìm vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết khoảng cách hai bến sông A B 24 km vận tốc dòng nước km/h Hướng dẫn Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng là: x x (km/h) Vận tốc xi dịng tàu thủy là: x (km/h) Vận tốc ngược dòng tàu thủy là: x (km/h) Thời gian xi dịng tàu thủy : Thời gian ngược dòng tàu thủy là: 24 ( giờ) x4 24 ( giờ) x4 Đổi 30 phút ( giờ) Vì thời gian tàu thủy 30 phút nên ta có phương trình: NHĨM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 24 24 x4 x4 48 x 48 x x x x x x x 48 x 48 x x x 96 x x 80 x 96 x 80 x 100 x x 80 x 20 x x 20 TM x 20 x 4 KTM x 20 Vậy vận tốc tàu thủy nước yên lặng 20 (km/h) Câu (2,0 điểm) Viết biểu thức dạng lập phương tổng hiệu 1) Vẽ đồ thị hàm số y 2 x 2) Cho phương trình x 1 m x m (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x2 36 Hướng dẫn 1) Vẽ đồ thị hàm số y 2 x +) Ta lập bảng giá trị hàm số y 2 x x 2 1 y 2 x 8 2 2 8 +) Ta vẽ đồ thị hàm số y 2 x 2) Cho phương trình x 1 m x m (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x2 36 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ +) Xét phương trình: x 1 m x m 1 +) Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 1 m 4.1 m 2m m m m 2m m 1 m (vì m 1 với m ) m 1 Vậy với m 1 phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b 1 m x1 x2 a m Khi theo định lí Viet ta có: x x c m m a +) Mặt khác ta có: x1 x2 x2 36 x1 x1 x2 15 x2 36 x1 x2 x1 x2 21 m 1 m 21 5m m 21 6m 16 6m 16 16 m Kết luận: m m 1 Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính BC cm Trên nửa đường tròn lấy điểm A (điểm A khác điểm B , điểm A khác điểm C ) Vẽ đường cao AH tam giác ABC ( H BC ), BC lấy điểm D cho BD BA Kẻ đường thẳng AD , gọi điểm E hình chiếu điểm C đường thẳng AD 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: DA.HE DH AC tam giác EHC cân 3) Gọi R1 , R2 , R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABH , ACH , ABC Tìm vị trí điểm A nửa đường trịn để R1 R2 R3 đạt giá trị lớn nhất? Hướng dẫn NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ A O B D C H E 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp Tứ giác AHCE có AHC AEC 90 GT tứ giác AHCE nội tiếp đường trịn đường kính AC 2) Chứng minh: DA.HE DH AC tam giác EHC cân Xét DHE DAC có: DAC (hai góc nội tiếp chắn EC ); DHE DCA (hai góc nội tiếp chắn AH ) DEH DHE ” DAC g g DH DA DA.HE DH AC HE AC BDA (1); Theo ta có: BA BD BAD cân B BAD HAD 90 (2); AHD vuông H BDA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BAD DAC 90 (3); BAC ), DAC DAC , mà HAD HCE (hai góc nội tiếp chắn HE CHE Từ (1), (2), (3) ta có: HAD ) HCE CHE EHC cân E (hai góc nội tiếp chắn EC 3) Gọi R1 , R2 , R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABH , ACH , ABC Tìm vị trí điểm A nửa đường tròn để R1 R2 R3 đạt giá trị lớn nhất? Dễ dàng chứng minh R bán kính đường trịn nội tiếp ABC vng A AB AC BC R Áp dụng bổ đề trên, ta có: R1 bán kính đường trịn nội tiếp ABH vuông H R1 R2 bán kính đường trịn nội tiếp ACH vng H R2 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI AH BH AB AH CH AC https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABC vng A R3 R1 R2 R3 AB AC BC AH BH AB AH CH AC AB AC BC 2 AH BH AB AH CH AC AB AC BC AH AH 2 Vậy ta có R1 R2 R3 AH nên R1 R2 R3 đạt giá trị lớn AH lớn mà AH R (quan hệ vng góc đường kính dây) AH lớn R H O A điểm BC Câu (0,5 điểm) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện 10 x y2 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy x2 Hướng dẫn ĐKXĐ: x y2 20 x2 40 x x y 80 x 10 x x y 40 x 80 x x y 40 x 80 x 40 36 x y 40( x 1) 36 Ta có: 40 x x 40 x 36 36 x y 36 P 36 6 P Pmin 6 x 1 Dấu “=” xảy x x 1 +) x y (TM ) (TM ) P 6 6 x +) x 1 y P 6 6 x 1 Vậy Pmin 6 ( x, y) (1; 6);(1;6) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... 6);(1;6) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ A O B D C H E 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp Tứ giác AHCE có AHC AEC 90 GT tứ giác AHCE nội tiếp đường... trịn nội tiếp ABC vng A AB AC BC R Áp dụng bổ đề trên, ta có: R1 bán kính đường trịn nội tiếp ABH vng H R1 R2 bán kính đường trịn nội tiếp ACH vng H R2 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI AH