10.ĐỀ HK2 LỚP 9 PGD QUẬN LONG BIÊN - GV TOÁN HÀ NỘI 2021

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 - 2021 QUẬN LONG BIÊN MÔN TOÁN Ngày thi: 16/4/2021 Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: x  x   x  2y  2) Giải hệ phương trình:  3 x  y  18  x  3) Rút gọn biểu thức: P   với x   : x 1  x  x 1  x x Câu (1,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Đáp ứng nhu cầu vận chuyển hàng hóa cho người dân đợt dịch covid – 19 vừa qua, tàu thuỷ chở hàng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian 30 phút (khơng tính thời gian nghỉ) Hãy tìm vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết khoảng cách hai bến sông A B 24 km vận tốc dòng nước km/h Câu (2,0 điểm) Viết biểu thức dạng lập phương tổng hiệu 1) Vẽ đồ thị hàm số y  2 x 2) Cho phương trình x  1  m  x  m  (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1   x2     x2   36 Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC  cm Trên nửa đường tròn lấy điểm A (điểm A khác điểm B , điểm A khác điểm C ) Vẽ đường cao AH tam giác ABC ( H  BC ), BC lấy điểm D cho BD  BA Kẻ đường thẳng AD , gọi điểm E hình chiếu điểm C đường thẳng AD 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: DA.HE  DH AC tam giác EHC cân 3) Gọi R1 , R2 , R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABH , ACH , ABC Tìm vị trí điểm A nửa đường tròn để R1  R2  R3 đạt giá trị lớn nhất? Câu (0,5 điểm) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện 10 x  y2   20 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy -HẾT - NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN Câu (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: x  x   x  2y  2) Giải hệ phương trình:  3 x  y  18  x  3) Rút gọn biểu thức: P   với x   : x 1  x  x 1  x x Hướng dẫn 1) Giải phương trình: x  x   x  3x    2x2  2x  5x    x  x  1   x  1    x   x  1   x    x  Vậy phương trình có nghiệm là: x  1; x   x  2y  2) Giải hệ phương trình:  3 x  y  18 x  y   3 x  y  18 2 x  y   3 x  y  18 x  y   5 x  20 4  y   x  3  y    x  3  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm:   x   x  3) Rút gọn biểu thức: P    với x  : x 1  x  x 1  x x Với x   x  P  : x 1  x  x 1  x x NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/     x x 1 x      x 1   x   1 x  x 1  x 1 x  1 x x   x 1  x 1       x 1 x x x 1 x x 1 x Vậy P  với x  x  Câu (1,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Đáp ứng nhu cầu vận chuyển hàng hóa cho người dân đợt dịch covid – 19 vừa qua, tàu thuỷ chở hàng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian 30 phút (khơng tính thời gian nghỉ) Hãy tìm vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết khoảng cách hai bến sông A B 24 km vận tốc dòng nước km/h Hướng dẫn Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng là: x  x   (km/h) Vận tốc xi dịng tàu thủy là: x  (km/h) Vận tốc ngược dòng tàu thủy là: x  (km/h) Thời gian xi dịng tàu thủy : Thời gian ngược dòng tàu thủy là: 24 ( giờ) x4 24 ( giờ) x4 Đổi 30 phút  ( giờ) Vì thời gian tàu thủy 30 phút nên ta có phương trình: NHĨM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 24 24   x4 x4 48  x    48  x    x   x      x   x    x   x    48  x    48  x     x   x    96 x  x  80  x  96 x  80   x  100 x  x  80    x  20  x     x  20 TM   x  20     x  4  KTM  x   20   Vậy vận tốc tàu thủy nước yên lặng 20 (km/h) Câu (2,0 điểm) Viết biểu thức dạng lập phương tổng hiệu 1) Vẽ đồ thị hàm số y  2 x 2) Cho phương trình x  1  m  x  m  (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1   x2     x2   36 Hướng dẫn 1) Vẽ đồ thị hàm số y  2 x +) Ta lập bảng giá trị hàm số y  2 x x 2 1 y  2 x 8 2 2 8 +) Ta vẽ đồ thị hàm số y  2 x 2) Cho phương trình x  1  m  x  m  (với x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1   x2     x2   36 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ +) Xét phương trình: x  1  m  x  m  1 +) Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    1  m   4.1  m     2m  m  m   m  2m     m  1   m   (vì  m  1  với m )  m  1 Vậy với m  1 phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b 1 m   x1  x2   a    m  Khi theo định lí Viet ta có:   x x  c   m  m  a +) Mặt khác ta có: x1   x2     x2   36  x1  x1 x2  15  x2  36   x1  x2   x1 x2  21    m  1   m   21   5m   m  21   6m  16   6m  16 16 m  Kết luận: m   m  1 Câu (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính BC  cm Trên nửa đường tròn lấy điểm A (điểm A khác điểm B , điểm A khác điểm C ) Vẽ đường cao AH tam giác ABC ( H  BC ), BC lấy điểm D cho BD  BA Kẻ đường thẳng AD , gọi điểm E hình chiếu điểm C đường thẳng AD 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: DA.HE  DH AC tam giác EHC cân 3) Gọi R1 , R2 , R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABH , ACH , ABC Tìm vị trí điểm A nửa đường trịn để R1  R2  R3 đạt giá trị lớn nhất? Hướng dẫn NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ A O B D C H E 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp Tứ giác AHCE có  AHC   AEC  90  GT   tứ giác AHCE nội tiếp đường trịn đường kính AC 2) Chứng minh: DA.HE  DH AC tam giác EHC cân Xét DHE DAC có:   DAC  (hai góc nội tiếp chắn EC  ); DHE   DCA  (hai góc nội tiếp chắn  AH ) DEH  DHE ” DAC  g g   DH DA   DA.HE  DH AC HE AC   BDA  (1); Theo ta có: BA  BD  BAD cân B  BAD   HAD   90 (2); AHD vuông H  BDA   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BAD   DAC   90 (3); BAC  ), DAC   DAC  , mà HAD   HCE  (hai góc nội tiếp chắn HE   CHE  Từ (1), (2), (3) ta có: HAD  )  HCE   CHE   EHC cân E (hai góc nội tiếp chắn EC 3) Gọi R1 , R2 , R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABH , ACH , ABC Tìm vị trí điểm A nửa đường tròn để R1  R2  R3 đạt giá trị lớn nhất? Dễ dàng chứng minh R bán kính đường trịn nội tiếp ABC vng A AB  AC  BC R Áp dụng bổ đề trên, ta có: R1 bán kính đường trịn nội tiếp ABH vuông H  R1  R2 bán kính đường trịn nội tiếp ACH vng H  R2  NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI AH  BH  AB AH  CH  AC https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ R3 bán kính đường trịn nội tiếp ABC vng A  R3   R1  R2  R3   AB  AC  BC AH  BH  AB AH  CH  AC AB  AC  BC   2 AH  BH  AB  AH  CH  AC  AB  AC  BC AH   AH 2 Vậy ta có R1  R2  R3  AH nên R1  R2  R3 đạt giá trị lớn AH lớn mà AH  R (quan hệ vng góc đường kính dây)  AH lớn R H  O A điểm  BC Câu (0,5 điểm) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện 10 x  y2   20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy x2 Hướng dẫn ĐKXĐ: x  y2   20 x2  40 x   x y  80 x  10 x   x y  40 x  80 x   x y  40 x  80 x  40  36  x y  40( x  1)  36 Ta có:   40 x   x    40 x   36  36  x y  36  P  36  6  P   Pmin  6  x 1 Dấu “=” xảy  x      x  1 +) x   y  (TM ) (TM ) P 6   6 x +) x  1  y  P 6  6 x 1 Vậy Pmin  6  ( x, y)  (1; 6);(1;6) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... 6);(1;6) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ A O B D C H E 1) Chứng minh tứ giác AHEC tứ giác nội tiếp Tứ giác AHCE có  AHC   AEC  90   GT   tứ giác AHCE nội tiếp đường... trịn nội tiếp ABC vng A AB  AC  BC R Áp dụng bổ đề trên, ta có: R1 bán kính đường trịn nội tiếp ABH vng H  R1  R2 bán kính đường trịn nội tiếp ACH vng H  R2  NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI AH