UBND QUẬN BẮC TỪ LIÊM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN Thời gian làm 120 phút x ;B x 1 Tính giá trị biểu thức A x 49; Bài I: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A Chứng minh B x 1 ; x 1 Cho P A : B Tìm giá trị x để P x với x 0; x x 1 x 1 x 1 x x x Bài II: (2,0 điểm) 1) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài thêm 5m chiều rộng thêm 3m diện tích mảnh vườn tăng thêm 255m Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn ban đầu? 2) Tính diện tích mặt bàn hình trịn có đường kính 1,2m (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài III: (2,5 điểm) 2 x y 1) Giải hệ phương trình 5 x y 16 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x đường thẳng d : y mx (m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm d P m b) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn 1 x1 x2 Bài IV: (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn O; R , đường kính AB Trên tia tiếp tuyến kẻ từ A nửa đường tròn lấy điểm C cho AC R Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD nửa đường tròn O; R , với D tiếp điểm Gọi H giao điểm AD OC 1) Chứng minh: ACDO tứ giác nội tiếp 2) Đường thẳng BC cắt đường tròn O; R điểm thứ hai M Chứng minh: CD CM CB CBO CM KM 3) Gọi K giao điểm AD BC Chứng minh: MHC CB KB Bài V: (0,5 điểm) Cho a, b thỏa mãn : a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M 4ab a b ab -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN x x Bài I: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A ;B với x 0; x x 1 x 1 x 1 x 1 Tính giá trị biểu thức A x 49; Chứng minh B x 1 ; x 1 Cho P A : B Tìm giá trị x để P x x x Hướng dẫn Với x 49 A x x 1 x 1 x 1 Xét B B x 1 x x x 1 Ta có P A : B Khi P 49 4.7 14 49 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x : x 1 x 1 x 1 x 1 x x Điều kiện: x 4 x Nên x 1 x x x x x x 1 x x4 x4 x4 x4 4 x x 1 x x x 1 x x x 2 Do x x4 x4 x 2 x4 x x x Dầu “ ” xảy x 4(tm) x x Vậy x P x x x Bài II: (2,0 điểm) 1) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài thêm 5m chiều rộng thêm 3m diện tích mảnh vườn tăng thêm 255m Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn ban đầu? 2) Tính diện tích mặt bàn hình trịn có đường kính 1,2m ( Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Hướng dẫn 1) Gọi chiều dài ban đầu mảnh vườn x (m), chiều rộng ban đầu y (m) ( x > y > 0) Vì chu vi ban đầu mảnh vườn 124m nên ta có phương trình: 2( x + y ) = 124 x y 62 (1) Sau thay đổi kích thước chiều dài mảnh vườn là:( x + 5) (m) chiều rộng là:( y + 3) (m) Diện tích mảnh vườn tăng thêm 255m nên ta có phương trình: ( x + 5)(y + 3) = xy + 255 x y 240 (2) x y 62 3 x y 186 y 27 Từ (1), (2) ta có hệ : ( thỏa mãn điều kiện) 3 x y 240 3 x y 240 x 35 Vậy chiều dài ban đầu mảnh vườn 35m, chiều rộng 27m NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 1, 0, 6( m) Diện tích mặt bàn : S R 3,14.(0, 6) 1,13( m ) Bài III: (2,5 điểm) 2 x y 1) Giải hệ phương trình 5 x y 16 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x đường thẳng d : y mx (m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm d P m 2) Bán kính mặt bàn : R b) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn 1 x1 x2 Hướng dẫn 2 x y 1) (ĐKXĐ: y ) 5 x y 16 x a Đặt hệ phương trình trở thành y b b 2a b 5a 2b 16 4a 2b 12 5a 2b 16 a 2a b a 2.4 b a (tmđk b ) b x y x y 1 x (tmĐKXĐ) y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (2;5) 2) a) Thay m = vào phương trình đường thẳng (d) ta có y = 2x + Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số (P) (d) x2 x x2 2x b 4ac 2 4.1 3 16 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt b 16 x1 3 2a 2.1 b 16 x2 1 2a 2.1 Thay x1 vào phương trình (P) ta có y1 Thay x2 1 vào phương trình (P) ta có y2 Vậy tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số (P) (d) (3; 9) (-1; 1) b) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số (P) (d) x mx x mx * b 4ac m 4.1 3 m 12 Có m 12 12 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt với m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m Áp dụng hệ thức Vi et ta có b S x1 x2 m a c P x1 x2 3 a Vì x1.x2 3 x1.x2 nên x1 x2 1 Ta có x1 x2 x x x1.x2 x1 x2 3x1.x2 2m 3 m 9 Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 1 9 m x1 x2 2 Bài IV: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn O; R , đường kính AB Trên tia tiếp tuyến kẻ từ A nửa đường tròn lấy điểm C cho AC R Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD nửa đường tròn O; R , với D tiếp điểm Gọi H giao điểm AD OC 1) Chứng minh: ACDO tứ giác nội tiếp 2) Đường thẳng BC cắt đường tròn O; R điểm thứ hai M Chứng minh: CD CM CB CBO CM KM 3) Gọi K giao điểm AD BC Chứng minh: MHC CB KB Hướng dẫn NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ C M D K H A B O 1) Chứng minh: ACDO tứ giác nội tiếp CDO 90 (tính chất tiếp tuyến ) nên tứ giác ACDO nội tiếp đường Tứ giác ACDO có CAO trịn đường kính AO 2) Đường thẳng BC cắt đường tròn O; R điểm thứ hai M Chứng minh: CD CM CB Xét CDM CBD có: chung; MCD ) CBD (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn MD CDM CD CB CDM ” CBD CD CM CB CM CD CBO CM KM 3) Gọi K giao điểm AD BC Chứng minh: MHC CB KB Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có CA CD mà OA OD R nên OC trung trực AD OC AD trung điểm H AD Lại có AMB ) AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AMC 90 (kề bù với Tứ giác ACMH có AMC AHC 90 nên nội tiếp đường tròn đường kính AC MAC (hai góc nội tiếp chắn MC ), mà MAC MBA (góc nội tiếp góc tạo MHC MBA MAC hay MHC CBO tia tiếp tuyến dây cung chắn AM ) MHC CBO nên tứ giác OHMB nội tiếp (có góc ngồi đỉnh H góc đỉnh B ) Vì MHC OMB (hai góc nội tiếp chắn OB ) OMB MBO ( OMB cân O ) OHB MBO OMB OHB 90 MHC 90 OHB MHK BHK HK tia phân Vậy MHC giác đỉnh H MHB Lại có HC HK HC phân giác đỉnh H MHB CM HM KM Theo tính chất đường phân giác, ta có: CB HB KB CM KM Vậy CB KB NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Bài V: (0,5 điểm) Cho a , b thỏa mãn : a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M 4ab a b ab Hướng dẫn 1 Áp dụng bất đẳng thức , x, y Dấu “=” xảy x y ( Chứng minh x y x y phương pháp biến đổi tương đương) Ta có : M 4ab a b ab 1 4ab a b 2ab 2ab 4ab 4ab 4ab a b 2ab 1 4 2 a b 2ab a b 2 1 4ab 2 4ab 4ab 1 ab a b ab 4 5 ab ab Suy ra: M 11 Dấu “=” xảy a b Vậy GTNN M 11 a b 4ab -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... 11 a b 4ab -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... dẫn NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ C M D K H A B O 1) Chứng minh: ACDO tứ giác nội tiếp CDO 90 (tính chất tiếp tuyến ) nên tứ giác ACDO nội tiếp... có AMB ) AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AMC 90 (kề bù với Tứ giác ACMH có AMC AHC 90 nên nội tiếp đường tròn đường kính AC MAC (hai góc nội tiếp chắn MC