Chương này giới thiệu các định lý về phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ và giải thức trong một đại số Banach và cuối cùng là định lý p[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ VĂN HƯNG
VỀ PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ VĂN HƯNG
VỀ PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH
Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phan Viết Thư
(3)Mục lục
Lời cảm ơn
Lời nói đầu
Chương Các khái niệm sở giải tích hàm
1.1 Các không gian vectơ họ tôpô
1.1.1 Các định nghĩa
1.1.2 Các không gian không gian thương 12
1.1.3 Các tính chất không gian Hillbert 14
1.2 Tốn tử tuyến tính phiếm hàm 20
1.2.1 Định lý Hahn - Banach 21
1.2.2 Tính đối ngẫu 22
1.3 Các định lý 27
1.3.1 Định lý ánh xạ mở 27
1.3.2 Nguyên lý bị chặn 29
1.3.3 Định lý miền giá trị đóng 31
1.4 Tôpô yếu tôpô yếu∗ 32
1.4.1 Tôpô yếu 32
1.4.2 Tôpô yếu∗ 35
Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng 39
2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt 39
2.2 Toán tử compact 41
(4)2.4 Phổ toán tử compact tổng quát 48
2.5 Giới thiệu định lý phổ tổng quát 52
2.5.1 Phổ giải thức đại số Banach 52
2.5.2 Định lý phổ toán tử tự liên hợp bị chặn không gian Hilbert 56 Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 60
3.1 Giới thiệu 60
3.2 Độ đo phổ ngẫu nhiên 61
3.3 Toán tử chiếu ngẫu nhiên 65
3.4 Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát 70
Chương Khái niệm vết tốn tử khơng gian Lp cho lớp toán tử compact 75
4.1 Định nghĩa vết 76
4.2 Lớp toán tử vết lớp toán tử Hilbert-Schmidt 77
4.3 Một dạng cụ thể lớp toán tử Hilbert - Schmidt 82
4.4 Khơng gian Lp lớp tốn tử compact 86
Kết luận 87
(5)LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy: PGS.TS Phan Viết Thư, người tận tình hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể Thầy cô giáo, nhà khoa học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn
Trong trình viết luận văn, đạo ân cần chu đáo Thầy cô giáo thân cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì vậy, tác giả mong góp ý, giúp đỡ Thầy cơ, bạn để luận văn hồn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên
(6)LỜI NĨI ĐẦU
Mục đích lý thuyết phổ phân lớp toán tử tuyến tính khơng gian Banach mà ta hạn chế xét không gian Hilbert chúng đại diện đặc biệt không gian Banach Chúng có liên hệ gần gũi với hình học Euclide
Ta nghĩ đến nhiều cách khác để phân loại tốn tử tuyến tính Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý hai tốn tử tuyến tính T1, T2 : H1 →H2 liên hệ cơng thức
T2◦U1 =U2◦T1, (1)
với tốn tử khả nghịch Ui : Hi → Hi T1, T2 có chung nhiều tính chất
như Ta coi chúng lớp Trong trường hợp hữu hạn chiều, Ui tương ứng với đổi sở Hi, chúng không làm thay đổi chất bên
trong tốn tử Cách giải thích nói chung khơng cịn trường hợp vơ hạn chiều khơng có khái niệm tốt sở, cách định nghĩa có ý nghĩa đáng quan tâm ta thử mơ tả tất toán tử từ H1 vào H2 quan hệ Để làm đơn giản ý tưởng,
ta chọn H1 = H2 =H coi hai toán tử T1, T2 : H →H lớp
tồn toán tử khả nghịch U : H →H cho
T2◦U = U ◦T1 tức T2 = U T1U−1 (2)
Trong đại số tuyến tính, tốn phân lớp giải thành công lý thuyết giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng tối thiểu (minimal) dẫn đến “dạng tắc” Cho tốn tử tuyến tính từ Cn → Cn với n ≥ 1 Khi
H có số chiều vơ hạn, ta khơng có định lý tổng qt Nhưng xuất khả nhiều toán tử quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trường hợp số chiều hữu hạn có mơ tả chí đơn giản Chúng thuộc lớp đặc biệt tốn tử khơng gian Hilbert như: tốn tử lấy liên hợp T → T∗, toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita Đối với lớp này, dim H = n ln có sở trực chuẩn
(7)này ta viết
T(X
i
αiei) = X
i
αiλiei (3)
(Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo) Trong trường hợp vơ hạn chiều, nói chung ta viết cách rõ ràng Tuy nhiên có cách giải thích biểu diễn cho tuân theo tổng quát Xét ánh xạ tuyến tính
U : H →Cn
ei 7−→(0, ,0,1,0, ,0)
với vị trí thứ i Ánh xạ song ánh đẳng cự, định nghĩa sở trực chuẩn, Cn tích tiêu chuẩn ta định nghĩa
T1 : Cn →Cn
αi 7−→(αiλi)
Thì (3) trở thành
T1◦U = U ◦T (4)
Rõ ràng ta giải nghĩa điều theo cách (nó cho ta cách nhìn khác tốn phân lớp): Với khơng gian Hilbert hữu hạn chiều H toán tử chuẩn T ta nhận khơng gian tốn tử “mẫu” (Cn, T1) cho (H, T)
tương đương với (Cn, T1) (Thực unitary tương đương U đẳng cự)
Định lý phổ mà chúng tơi trình bày luận văn tổng quát hóa loại đưa “dạng tắc” Điều thành cơng khơng gian tốn tử “mẫu” hồn tồn đơn giản: chúng loại L2(X, µ) với khơng gian có độ đo (X, µ) (Trường hợp Cn tương ứng với X ={1,2, , n} với độ đo đếm) Và toán tử “mẫu” toán tử nhân (phép nhân): Tg : f 7−→gf với
hàm g : X → C thích hợp Tốn tử nhân cho ta “mẫu” cho toán tử (chuẩn) khơng gian Hilbert Giả sử (X, µ)là khơng gian có độ đo hữu hạn (tức µ(X) < +∞) Giả sử g ∈ L∞(X, µ) hàm bị chặn ta có ánh xạ tuyến tính liên tục:
Mg :L2(X, µ)→L2(X, µ)
(8)do
Z
X
|g(x)f(x)|2dµ(x)≤ kgk2∞· kfk2,
nên Mg định nghĩa tốt liên tục với chuẩn kMgk ≤ kgk∞ Chú ý thêm
< Mg(f1), f2 > = Z
X
g(x)f1(x)f2(x)dµ(x)
=< f1, Mg(f2)>
với mọif1, f2 ∈L2(X, µ) Do tốn tử liên hợp củaMg cho bởiMg = Mg,
dẫn đến Mg tự liên hợp g tự liên hợp (hầu khắp nơi)
Với g1, g2 ∈ L∞(X, µ), ta có
Mg1(Mg2(f)) = g1(g2(f)) =g2(g1(f)) = Mg2(Mg1(f))
Do tốn tử Mg với g ∈ L∞(X, µ) giao hoán Suy chúng
chuẩn tắc Nếu X ⊂ C tập đo độ đo Lebesgue µ trường hợp g(x) = x đặc biệt quan trọng Bổ đề sau cho biết ta khơng thể xây dựng nhiều tốn tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn
Bổ đề Giả sử (X, µ) khơng gian có độ đo hữu hạn giả sử g hàm đo X →C Nếu ϕ 7−→ gϕ ánh xạ L2(X, µ) vào L2(X, µ) khơng thiết liên tục, g ∈ L∞(X, µ)
Trở lại câu hỏi động thúc đẩy đến định lý phổ, ta muốn phân lớp toán tử không gian Hilbert ? Động đến từ nguồn chung giống giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải phương trình tuyến tính T(v) = w khơng gian Banach, đặc biệt khơng gian Hilbert Vì mục đích có phân lớp cụ thể (dạng hiện) với mơ hình mẫu đơn giản có ích Nếu ta có quan hệ (1) ta có T1(v) = w ⇔ T2(v1) = w1 với v1 = U1(v), w1 = U2(w) Như ta
hiểu toán tử “mẫu” T2 ánh xạ khả nghịch U1, U2, ta chuyển lời
giải phương trình tuyến tính liên quan đến T1 thành lời giải tương ứng
liên quan tới T2 Tương tự (2) hay (4)
Bây ta nhận thấy với mẫu toán tử nhân T2 = Mg L2(X, µ), lời
(9)hình thức) f = g
h Điều tương ứng cách trực giác đến chéo hóa hệ phương trình tuyến tính, tất nhiên địi hỏi nhiều thận trọng hàm g có nghiệm tỷ số h/g khơng thuộc L2(X, µ)
Trường hợp đặc biệt, cịn hình thức, ý làm biến đổi Fourier với (6) gợi ý mạnh mẽ thử giải phương trình liên quan đến tốn tử Laplace ∆f =g cách “chuyển sang giới Fourier” Thực tế ý tưởng hiệu quả, tất nhiên đòi hỏi nhiều thận trọng tốn tử liên quan khơng liên tục
Hiểu ý nghĩa khả ứng dụng to lớn lý thuyết phổ toán tử, tác giả chọn đề tài luận văn “ Về phổ tốn tử tuyến tính” Để tiếp tục tìm hiểu sâu vấn đề này:
Luận văn chia làm bốn chương:
Chương Các khái niệm sở giải tích hàm tốn tử tuyến tính
Chương giới thiệu khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert khái niệm tốn tử tuyến tính khơng gian tính chất chúng
Chương Một số dạng định lý phổ cho số lớp toán tử quan trọng
Chương giới thiệu định lý phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ giải thức đại số Banach cuối định lý phổ toán tử tự liên hợp bị chặn không gian Hilbert
Chương Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát
Chương giới thiệu độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý bổ sung độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát
Chương Khái niệm vết tốn tử khơng gian Lp cho lớp toán tử compact
Chương giới thiệu khái niệm vết toán tử cách sử dụng chúng với vai trị tích phân hàm tốn tử để xây dựng khơng gian Lp cho đại số tốn tử, ký hiệu Bf(H), chẳng hạn B1(H) với chuẩnkTk1 = tr (H)là lớp
(10)tử Hilbert-Schmidt có dạng L2 khơng gian Hilbert
Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên
(11)Chương 1
Các khái niệm sở của giải tích hàm
1.1. Các không gian vectơ họ tôpô
1.1.1. Các định nghĩa bản
(1) Một chuẩn xác định tôpô Hausdorff không gian vectơ mà phép toán đại số liên tục, kết khơng gian tuyến tính chuẩn Nếu đầy đủ gọi khơng gian Banach
(2) Tích (tích vơ hướng) nửa tích trong: Trong tập số thực tích dạng song tuyến tính xác định dương từ X ×X → R Trong tập số phức, dạng nửa song tuyến tính: X×X →C xác định dương, đối xứng Hermitian Một (nửa) tích sinh (nửa) chuẩn Do khơng gian tích (khơng gian Unita) trường hợp đặc biệt khơng gian tuyến tính chuẩn Một khơng gian tích đầy đủ (khơng gian Unita đầy đủ) không gian Hillbert, trường hợp đặc biệt không gian Banach
Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn không gian có tích theo tích Đối với khơng gian tích thực, là:
(x, y) =
4(||x+y||
(12)TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001),Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập II, NXB Giáo Dục
[2] Trịnh Minh Nam (2007), Toán tử đo được, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN
[3] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ( 2006), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG HN
[4] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội
[5] Đặng Hùng Thắng (2007), Q trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội
[6] Phạm Thị Phương Thúy (2007), Phiếm hàm tuyến tính độ đo, Luận văn thạc sỹ khoa học – ĐH KHTN
Tài liệu tham khảo Tiếng Anh
[7] Edward Nelson (1974), Notes on Non – commutative integration, Journal of functional anylysic
[8] Dang Hung Thang, Nguyen Thinh and Tran Xuan Quy (2014), General-ized Random Spectral Measures, Journal of Theoretical Probability, Volum 27, Number 2, Springer – Verlag New York Inc
[9] R.V.Kadison, J.R.Ringrose ( 1986), Fundamentals of the theory of operator algebras, Volum I, II