Trong thời cấp hai khi đọc lời giải của khá nhiều bài toán đặc biệt là bất đẳng thức tôi không thể hiểu nổi tại sao lại có thể nghĩ ra nó nên hay cho rằng đấy là những lời giải không đẹ[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Trong thời cấp hai đọc lời giải nhiều tốn đặc biệt bất đẳng thức tơi khơng thể hiểu lại nghĩ nên hay cho lời giải không đẹp thiếu tự nhiên.Đến cấp ba học kiến thức tơi bắt đầu có tư tưởng sâu vào chất toán lời giải chúng.Như anh Hatucdao nói :khi gặp tốn điều quan trọng "nhận đâu kĩ thuật chính,qua giải thích vi lại giải cao lại nghĩ tốn"Trong q trình học tốn với lối suy nghĩ tơi rút hiểu nhiều hay tốn lời giải chúng.Và từ cộng thêm tổng hợp định rút phương pháp chứng minh bất đẳng thức:"Phương pháp hệ số bất định" Đây phương pháp hay mạnh kèm với lời giải đẹp,ngắn ấn tượng
Bây ta xét vài ví dụ Ví dụ
Cho số dương Chứng minh rằng:
Nháp
Nhận thấy dấu xảy
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Nhiệm vụ phải tìm số thực cho bất đẳng thức :
Đúng với
Giả sử tồn để với Ta có: Đăt
Vì với nên ttheo định lí Fermat ta có
Với bạn THCS chưa học đạo hàm phải phát biểu nhiệm vụ sau: Tìm số thực cho phương trình:
Có nghiệm kép (Tương tự với phần bên dưới.) Bây ta phải chứng minh :
Thật
Vậy số cho với Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
(2)Nhưng đường lối tổng quát được.Để khẳng định điều thử chứng minh bất đẳng thức:
Với số dương thỏa mãn
Ở phía ta chứng minh bất đẳng thức sau chuẩn hóa từ ta thấy bất đẳng thức :
Đúng với số dương Ta thấy bất đẳng thức khơng nên có cách khác tìm mà khơng cần chuyển (qua chuẩn hóa) Bây phải tìm cho bất đẳng thức :
Đúng với số dương
Ta biết bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức với điều kiện xảy dấu nghiêm ngặt.Do áp dụng Cơsi có trọng số ta tìm hệ sơ thích hợp với bất đẳng thức xác định vế
Áp dụng Cơsi ta có:
Đồng hệ số ta có: Chú ý việc áp dụng Cơsi dẫn đến việc tìm hệ số thành cơng có từ nhận xét dấu bằng,qua ta áp dụng Cơsi có trọng số
Bây ta cần chứng minh :
Thật ta có:
Mà:
Vậy số cho với số dương Theo kiểu khơng thể khẳng định số
Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
Ví dụ
Cho số dương Chứng minh rằng:
Nháp
(3)làm phù hợp với viết Nhận thấy dấu xảy
Nhiệm vụ phải tìm số thực cho bất đẳng thức :
Đúng với số thực dương
Giả sử tồn sap cho với số thực dương Cho với dương ta có:
Đặt
Vì với nên
Việc lại phải chứng minh :
Thật vậy:
Mà :
Vậy tức giá trị cho với số dương Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
Cũng giống trình tìm giúp ta khẳng định có số thực thỏa mãn.Bây ta theo đường khác có tính chất dự đốn
Áp dụng Cơsi ta có:
Đồng hệ số ta có Nhận xét:
Cách giải hai sử dụng đẳng thức:
Và lúc phải tìm lúc phải tìm nói nhìn biết ngay.Ví dụ xét bất đẳng thức:
Thì cố định cho nên bất đẳng thức với số dương Biểu diễn số hai dạng giúp ta giải nhiều toán dạng này,nhưng liệu cịn cách biểu diễn khơng?
Ví dụ
(4)Nháp
Nhận thấy dấu xảy
Với số thực không âm áp dụng Cơsi Ta có: Từ chọn:
Cộng bất đẳng thức lại ta có:
Đây toán báo toán tuổi thơ với nhiều lời giải khác (khơng có cách này).Tơi nghĩ đưa lời giải lên chắn có nhiều bạn THCS thắc mắc Ví dụ
Cho số dương Chứng minh rằng:
Nháp
Nhận thấy ba phần dấu xảy a, Áp dụng Cơsi ta có:
Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
b,Ở phần khơng thể có đoạn dùng Cơsi phần a ta thiết lập bất đẳng thức tương tự phần a cách tìm số thực cho bất đẳng thức :
Đúng với số dương
Giả sử tồn cho với số dương Cho với dương ta có:
Đặt
Vì với a dương nên
(5)Thật vậy:
Vậy số thỏa mãn với số dương
Cũng trước có cách dùng Cơsi để dự đốn sau.Dễ thấy ngược lại tức cố định dương cho
nên khơng thể với số dương được.Với viết lại dạng:
Rồi áp dụng Cơsi ta có:
Đồng hệ số ta có
Thực việc lý luận để áp dụng Côsi với số dương.Nhưng khơng cần thiết mà áp dụng sau:
Đồng hệ số ta có
Rõ ràng với vừa tìm ta sử dụng Cơsi với số âm điều khơng nháp
Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
c,Tương tự phần b ta dự đoán bất đẳng thức :
đúng với số dương
Nhưng điều khơng cho Như
phương pháp khơng hiệu với phần
Tuy không có tác dụng khơng nhỏ ta có:
Cùng đẳng thức tương tự ta có: Tức quy bất đẳng thức dạng SOS
Cách giải dạng hay không thuộc phạm vi viết
Cũng từ việc khơng với số dương ta nghĩ đến tốn:Tìm tất số thực cho tồn số thực thỏa mãn bất đẳng thức:
(6)Đây tốn khơng khó thể ý tưởng.Và với tìm ta có tốn
Phía ta xét ví dụ bất đẳng thức Và câu hỏi đặt sử dụng phương pháp bất đẳng thức nhất?Bằng kinh nghiệm thân tơi cho điều kiện cần để sử dụng phương pháp với bất đẳng thức là:
1,Dấu bất đẳng thức xảy biến số giá trị tập hữu hạn (thường tập có số hai)
2,Bất đẳng thức tổng dãy biểu thức đối xứng tồn cách chuẩn hóa để biểu thức phụ thuộc vào biến số biểu thức hoán vị liên tiếp
Đây điều kiện cần cịn cịn điều kiện đủ tơi biết thử cho toán Bây ta xét ví dụ bất đẳng thức có điều kiện
Ví dụ
Cho số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Nháp
Nhận thấy dấu xảy Ta có:
Rõ ràng nhìn ta có tư tưởng ban đầu phải tìm số thực cho bất đẳng thức:
Đúng với số thực
Giả sử tồn cho với số dương Ta có:
Đặt
Vì với nên
Bây ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy giá trị cần tìm Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
Từ toán ta đến cách giải cho lớp tốn bất đẳng thức có điều kiện dạng sau:
Cho số thực thỏa mãn :
(7)Vì bất đẳng thức cần chứng minh biểu thức điều kiện toán mang tính đối xứng với biến nên dấu thường đạt biến nhau.Việc ta phải làm tìm số thực cho bât đẳng thức :
Đúng với số thực thỏa mãn đề bài.Đây đường lối để giải dạng toán này.Đồng thời với bất đẳng thức sau chuẩn hóa ta chuyển tốn dạng
Ví dụ
Cho số thực không âm thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
Nháp
Khác với toán trước bất đẳng thức xác định dấu ,đây tốn cực trị có điều kiện chưa xác định điểm cực trị
Ta có:
Bây theo đường lối chung ta tìm số thực cho bất đẳng thức:
Đúng với số thực
Giả sử tồn cho với số thực Ta có:
Đặt
Ta có: với Vì nên theo định lí Rolle tồn
cho Xét hệ phương trình: Bây ta phải chứng minh:
Thật : Mà ta có:
Vậy giá trị cần tìm Cùng bất đẳng thức tương tự ta có:
Dấu xảy
(8)Và cách trình bày lời giải chúng ta.Tơi đưa ví dụ lên để thể lúc sử dụng phương pháp ta cần phải có dấu bất đẳng thức xảy tất biến số
Có điều ý hầu hết toán sử dụng phương pháp mở rộng cho biến số.Tuy tơi lấy ví dụ bất đẳng thức có ba biến số tơi nghĩ hay có ba biến
Hy vọng qua viết bạn hiểu phần nội dung phương pháp này.Sau số tập áp dụng (có nhiều diễn đàn)
Bài
Cho số dương Chứng minh rằng:
Bài 2
Cho số thực dương Chứng minh rằng:
Bài 3
Cho số dương Chứng minh rằng: Bài 4
Cho số dương Chứng minh rằng:
Bài 5
Cho số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 6
Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
Bài 7
Cho số dương Chứng minh rằng:
Bài 8
Cho số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 9
Cho số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức :
Bài 10
Cho số thực dương Chứng minh rằng:
(9)1, Bất đẳng thức Côsi mở rộng
Cho biến số dương số thực dương cho trước Khi
đặt ta có:
Dấu xảy 2, Định lí Fermat
Cho hàm số liên tục Khi hàm số đạt cực trị 3,Định lý Rolle