+NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn nhng ®a thøc cã nghiÖm h÷u tû... Bµi to¸n rót gän biÓu thøc[r]
(1)A Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử I/ Ph ơng pháp đặt nhân tử chung
Ph
ơng pháp
Tỡm nhân tử chung đơn thức, đa thức có maởt tất caỷ hạng tử
Ph©n tÝch hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x2y2 – 5x2 y
b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
c) 10x2 (x + y) – 5(2x + 2y)y2
Bµi lam
a) 3xy + x2 y2 – 5x2y = xy(- + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x2 (x + y) – 5(2x + 2y)y2 = 10x2 (x + y) – 10y2(x + y) = 10(x + y)
(x2 – y2)
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x –
y)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy2 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c) 75 x(y – 2007) – 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bài 2: Tính giá trị biểu thøc sau
a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45
b) 2x3(x – y) + 2x3(y – x ) + 2x3(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Ph ơng pháp dùng đẳng thức Ph
ơng pháp
S dng cỏc hng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản
Những đẳng thức :
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A – B = (A + B)(A – B)
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
(2)A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2 )
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA
An – Bn = (A – B)(An1 + An2B + … + ABn2 + Bn1)
A2k – B2k = (A +B)(A2k1 - A2k2B + … - B2k1)
A2K1 + B2K1 = (A + B)(A2k – A2k1B + A2k2B2 - … +B2k ) (A + B)n = An + n An1B -
2
) (n
n
An2 B2 + … +
2
) (n
n
A2Bn2 +
nABn1+ Bn
(A - B)n = An - n An1B +
2
) (n
n
An2 B2 - … +(-1)n Bn
Ví dụ Phân tích đa thức tành nh©n tư
a) x2 + 6xy2 + 9y4
b) a4 – b4
c) (x – 3)2 - (2 – 3x)2
d) x3 – 3x2 + 3x -
Bµi Lµm
a) x2 + 6xy2 + 9y4 = x2 + 2x3y2 + (3y)2 = (x + 3y2 )2
b) a4 – b4 = (a2 )2 – (b2)2 = (a2 + b2 ) (a2 – b2) = (a2 + b2 ) (a
+ b) (a – b)
c) (x – 3)2 - (2 – 3x)2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (-
2x – 1)(- + 4x)
d) x3 – 3x2 + 3x - = (x – 1)3
2.2/ Ph©n tích đa thức thành nhân tử
a) a3 + b3 + c3 – 3abc
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
Bµi Lµm
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= ( a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 ] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a3 – b3 –c3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
Bài tập tự luyện Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x 15)2 – 16
b) 25 – (3 – x)2
c) (7x – 4)2 – ( 2x + 1)2
(3)e) 9(x + 5)2 – (x – 7)2
f) 49(y- 4)2 – 9(y + 2)2
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x3 + 27y3
b) (x + 1)3 + (x – 2)3
c) – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3
d) 20042 - 16
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Ph
ơng pháp
S dng tớnh chất giao hốn, kết hợp để nhóm hạng tử thích hợp vào nhóm
Áp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải tốn Ví d
2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 3xy + x – 3y
b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y
c) x2 + 6x – y2 +
d) x2 + y2 – z2 – 9t2 – 2xy + 6zt Bµi Lµm
a) x2 – 3xy + x – 3y = (x2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x –
3y) (x + 1)
b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y = (7x2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x –
y)=(x – y) (7x – 4)
c)x2 + 6x – y2 + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 - y2 = (x + + y)(x
+ – y)
d)x2 + y2 – z2 – 9t2 – 2xy + 6zt = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 6zt + 9t2 )
= (x – y)2 – (z – 3t)2 = (x – y + z – 3t)(x –
y – z + 3t
2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2y + xy2 + x2 z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz
b) x2y + xy2 + x2 z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
Bµi Lµm
a) x2y + xy2 + x2 z + xz2 + y2 z + yz2 + 2xyz
= (x2 z + y2 z + 2xyz) + x2y + xy2 + xz2 + yz2
= z(x + y)2 + xy(x + y) + z2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z2)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z2 )]
(4)= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x2 y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
= (x2 y + x2z + xyz) + ( xy2 + y2 z + xyz) + (x2 z + yz2 + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z)
3 Bµi Tập
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tö
a) x4 + 3x2 – 9x – 27
b) x4 + 3x3 – 9x –
c) x3 – 3x2 + 3x – – 8y3
BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều ph ơng pháp
1 Ph ơng pháp
Vn dng linh hot cỏc phơng pháp biết thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng t
2 Vớ dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x3 - 45x
b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bµi lµm
a) 5x3 – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3 Bài tập
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
(5)c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)]
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)3 – x3 – y3 - z3
H
íng dÉn
(x + y + z )3 – x3 – y3 - z3
=[(x + y + z)3 – x3] – (y3 + z3)
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1 P h ơng pháp
Ta phõn tớch mt hng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta phân tích thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2 VÝ dô: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + Bµi lµm
Cách 1: x2 – 6x + = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Caùch 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) 2 – = (x –3 + 1)(x – – 1) = (x – 2)(x – 4)
Caùch 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + – 6) = (x – 2)(x – 4)
Caùch 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + –6) = (x –4)(x – 2)
Caùch 5: x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – – 2) = (x – 2)(x – 4)
3 Bµi tËp
Bµi 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + 5 c) 3x2 – 7x – 6 d) 10x2 – 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 4x2 29x + 24
(6)c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x – 1
VI/ Ph ơng pháp thêm bớt hạng tử Ph
ơng pháp
Ta thờm hay bt hạng tử vào đa thức cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta phân tích đợc thành nhân tử chung ph-ơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức,
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tö.
x4 + 64 = x4 + 64 + 16x2 – 16x2 = (x2 + 8)2 – (4x)2 = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x4 + 4y4
b) x5 + x +
Bµi lµm
a) x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2 y2 – 4x2y2= (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y
+ 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x5 + x + = (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2 ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + (x2 + x +1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 +1)
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x5 + x4 +
b) x8 + x7 +
c) x8 + x +
d) x8 +
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tö.
a) x3 + 5x2 + 3x –
b) x3 + 9x2 + 11x – 21
c) x3 7x +
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 - 5x2 + 8x –
b) x3 – 3x +
c) x3 – 5x2 + 3x +
d) x3 + 8x2 + 17x + 10
e) x3 + 3x2 + 6x +
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 – 2x –
(7)c) x3 + x2 +
d) x3 + 3x2 + 3x +
e) x3 + 9x2 + 26x + 24
f) 2x3 – 3x2 + 3x +
g) 3x3 – 14x2 + 4x +
* Một số phương pháp khác
VII/ Ph ơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Ph
ơng pháp
Mt s bi toỏn phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức biến Từ viết đa thức cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử
VÝ dơ : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 6x4 – 11x2 +
b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) –5
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bµi Lµm
a) 6x4 – 11x2 + - Đặt x2 = y
- a thc ó cho trở thành: 6y2 – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ:
6x4 – 11x2 + = (3x2 – 1) (2x2 – 3) = ( 3 x – 1)( 3 x + 1)( 2 x
- 3)( x + 3)
b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x 3)
- Đặt x2 + 3x + = y x2 – 3x – = y –
- Đa thức cho trở thành
y(y – 4) – = y2 – 4y – = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ
(x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) – = (x2 + 3x + + 1)(x2 + 3x + – 5)
= (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x2 + 8x + = y x2 + 8x + 15 = y +
- Đa thức cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) =
(y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x2 + 8x +7 + 5)(x2 + 8x + + 3)
(8)3 Bài tập
Bài 14: Phân tích đa thức thành nh©n tư.
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) –
c) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tö
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x2
d) 3x6 – 4x5 + 2x4 – 8x3 + 2x2 – 4x +
VIII/ Ph ơng Pháp hệ số bt nh Ph
ơng Pháp : Sử dụng tính chất: Hai đa thức bậc hệ số t-ơng ứng chúng phải
an xn + an1 xn1 + + a2 x2 + a1x + a0 = bn xn + bn1xn1 + +
b2x2 + b1 x + b0
ai = bi i = 1; n
2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Ví dụ 1: A = x3 + 11x + 30
Vì A đa thức bậc 3, hệ số cao Nên A phân tích đợc A có dạng
A = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
§ång nhÊt hÖ sè, ta cã
30
11
0
ac
c
ab
b
a
Chän a = c = 15; b = -2
VËy (x3 + 11x + 30) = (x + 2)(x2 – 2x + 15) 2.2 VÝ dô 2: B = x4 – 14x3 + 15x2 – 14x +1
Vì B đa thức bậc 4, hệ số cao nên B phân tích đợc thành nhân tử B có dạng:
B = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
B = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
(9)14 15 14
a c ac b d ad bc bd
1 13
1
d c b a
hc
13
1 a b c d
Do vËy B = (x2 – x + 1)(x2 – 13x + 1) hc B = (x2 – 13x + 1)(x2 – x + 1)
Bµi tập
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tö
a) x3 + 4x2 + 5x +
b) 2x4 – 3x3 –7x2 + 6x +
c) 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x –
Bài 17: Tìm a, b, c
a) x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + a = (x2 – 2x + 1)(x2 + bx + c)
b) x3 + 3x2 – x – = (x – 2)( x + bx + c) + a
c) 4x3 + 7x2 + 7x – = (ax + b)(x2 + x +1) + c
IX/ Ph ơng pháp xét giá trị riêng Ph
ơng phá p: Khi biến có vai trò nh đa thức ta xét giá trị riêng
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z)3- x3 – y3 – z3 Bµi Lµm Coi P đa thức biến x
Khi ú x = -y P = P (x + y) Trong P, vai trò x, y, z bình đẳng nên P (x + z)
P (y + z)
P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P đa thức bậc biế x, y, z nên Q số Với x = ; y = z = 1, ta có Q =
VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
VÝ dô 2:
M = a(b + c)(b2 - c2 ) + b(c + a)(c2 - a2 ) + c(a + b)(a2 - b2 ) Bài Làm
Coi M đa thức biến a Khi a = b th× M =
M (a - b)
Trong M vai trò a, b, c bình đẳng nên : M (b - c)
M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M đa thức bậc biến a nên N đa thức bậc a Nhng a,b,c có vai trị bình đẳng nên:
(10) M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chän a = 0, b = 1, c = R =
VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
Bµi tËp
Bµi 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c a)
X Ph ơng pháp tìm nghiệm đa thức 1 Ph ơng pháp
Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) =
Nh đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ớc hệ số tự
2 VÝ dô: x3 + 3x -
Nếu đa thức có nghiệm a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) nhân tử lại có dạng x2 + bx = c suy - ac = - suy a lµ íc cđa -
Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ớc hạng t khơng đổi
Ước (- 4) : -1; 1; -2; 2; - 4; sau kiÓm tra ta thÊy1 nghiệm đa thức suy đa thức chứa nh©n tư (x - 1)
Do vËy ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x 1)
* Cách 1:
x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
* C¸ch 2:
x3 + 3x2 – = x 3– + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2
Chó ý:
+ Nếu đa thức có tổng hệ số không đa thức chứa nhân tử (x 1)
+ Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử (x + 1)
VÝ dơ :
* §a thøc : x3 - 5x2 + 8x – cã - + - =
Suy đa thức có nghiệm hay đa thức cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : x3– 5x2 + 3x + cã (- 5) + = + 3
Suy ®a thøc có nghiệm - hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
+Nếu đa thức nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p
q
đó p ớc hạng tử khơng đổi, q ớc dơng hạng tử cao
VÝ dô: 2x3 – 5x2 + 8x –
Nghiệm hữu tỷ Nếu có đa thức lµ :
(11)Sau kiểm tra ta thấy x =1/2 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x -1 ) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1)
2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI Ph ơng pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a) Ph ơng pháp : Tam thức bËc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac bình phơng số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phơng pháp biết
Nếu b2 – 4ac khơng bình phơng số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp đợc
b) VÝ dô: 2x2 – 7x + Víi a =2 , b =- , c = XÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy Phân tích đợc thành nhân tử : 2x2 - 7x + = ( x - 3)(2x - 1)
Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c = cã nghiÖm x
1 , x2
P(x) =a( x- x1)(x - x2)
* CÁC BAØI TỐN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN T.
I) Bài toán rút gọn biểu thức
1 Ph ơng pháp
+Phõn tớch t thc v mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung +áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung
Học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức giúp phát triển t suy luận lôgic, sáng tạo
2)VÝ dơ: Rót gän biĨu thøc
A = 32 45 31 x x x x x x
B = 13 11 31
x x x x x x Bµi Lµm a) A =32 32 4 3 31
2 x x x x x x x x x x
A =32 2(( 11)) 4(( 1)1) 3(( 11)) x x x x x x x x x x
A =(( 11)()(32 31)) (( 11)()(2 1)(3)(3 11)) x x x x x x x x x x x x
A =(( 11))2((23 13)) 23 13 x x x x x x
(12)B = (x3)(x 1)(x(21x)(x1)(1x)1) (x 3) B = x2 2x(3x21)(x2xx1)1 x3
B =
( 1)( 1)
x
x x
3 Bµi tËp
Bµi 19 Rót gän biĨu thøc
A = 2
2
2( ) ( ) ( )
bc b ac ab b a c a c b c b a
B =23 197 1233 459 x x x x x x
C = 2
3 3 ) ( ) ( ) ( x z z y y x xyz z y x
D = 2
3 3 ) ( ) ( ) ( x z z y y x xyz z y x
Bµi 20 Rót gän biĨu thøc
A = x(x1 y) y(x1 y) x(x1 y) y(y1 x)
B =a(a b1)(a c) b(b a1)(b c) c(c a1)(c b)
Bµi 21 Cho x2 - 4x + = 0
Tính giá trị biểu thøc A = 2
4 1
x x x
II) Bài toán giải ph ơng trình bậc cao Ph
ng pháp: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình tích
AB = hc A = hc B = Ví dụ: Giải phơng trình
* VÝ dô 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 =
x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = (x- 5)(x2- 2x + 5) =
5 x x x
2
( 1) 0( )
x x voly
(13)(2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0
(1)
Đặt: 2x2 + 3x - = t (*)
2x2 + 3x + = t +
Phơng trình cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 =
t2 - 5t + = (t - 1)(t - 4) = t t t t
+ Thay t = vµo (*), ta cã: 2x2 + 3x - =
2x + 3x - = (2x + 4x) - x - = 2x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (2x - 1) =
2
1
2
0
1
2
0
2
x
x
x
x
+ Thay t = vµo (*), ta cã :
2x2 + 3x - = 4 2x + 3x - = (x - 1)( 2x +5) =
2
5
1
0
5
2
0
1
x
x
x
x
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; 25; 21`; 1} * VÝ Dô 3:
(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)
(x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40
Đặt x2 + 6x + = t (*) x2 + 6x + = t + 3
Phơng trình cho trở thành: t(t + 3) = 40
(14)
8
t t Thay t = vµo (*), ta cã: x2 + 6x + =
x2 + 6x =
x(x + 6) =
6 -x
0 x Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + = -
x2 + 6x + 13 =
x2 + 2x25 +254 + 274 = (x + 25 )2 + 274 = (Vô lý) Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6}
Ví dụ 4: Giải phơng trình đối xứng bậc chẵn
x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + = (4) Ta thấy x = không nghiệm phơng trình (4)
Chia hai vế (4) cho x2 0, ta đợc
x2 + 3x + +
x
+x12 =
(x2 + 12
x ) + 3(x + x
) + =
Đặt x + x1 = t (*)
x + x2
= t2 –
Phơng trình cho trở thành : t2 + 3t + =
(t + 1)(t + 2) =
2
t t
Thay t = - vào (*), ta đợc : x + x1 = -1 x2 + x + = (Vô nghiệm) Thay t = - vào (*), ta đợc : x + x1 = - 2 x2 + 2x + = 0 (x + 1)2 =
0 x = -1
Vậy phơng trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 5: Giải Phơng trình đối xứng bậc lẻ
x5 – x4 + 3x3 + 3x2 – x + = (5) Cã x = - nghiệm phơng trình (5)
Do ú (5) (x + 1)(x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1) =
Giải phơng trình đối xứng bậc chẵn
(15)Ta thÊy x = không nghiệm (5) Chia vÕ cña (5’) cho x2 0, ta cã:
x2 – 2x + -
x
+ x2
= (x2 + x2
) – 2(x + x1) + =
Đặt (x + x1 ) = t (*)
(x2 + x2
) = t2 –
(5’) t2 – 2t +3 =
(t – 1) + = ( vô nghiệm)
Vậy Phơng trình (5) có tập nghiêm S = {-1}
Bài tập:
Bài 22: Giải phơng trình
a) 2x3 + 3x2 +6x +5 =0
b) x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 =
c) 4x4 + 12x3 + 5x2 – 6x – 15 =
d) x3 + 3x2 + 4x + = Bµi 23: giải phơng trình
a) x(x + 1) (x 1)(x+ 2) = 24
b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1)2 (2x + 3) = 18
d) 12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = Bµi 24: giải phơng trình
a) (x2 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) =
b) (x2 + x + 1) +(x2 + x + 1) – 12 =
c) (x2 + 5x)2 2x2 10x = 24 Bài 25: giải phơng tr×nh
a) x4 - 2x3 + 4x2 – 3x + =
b) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + =
c) 2x4 – 9x3 + 14x2 – 9x + =