Gäi D vµ E lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H trªn AB vµ AC... VËy N lµ trung ®iÓm cña HC.[r]
(1)Luyện thi HSG toán Năm học : 2010 - 2011
Đề số 1
Câu 1: ( điểm) Giải phơng trình sau: a) 9 12x 4x2 4
b) x2 2x 1 x2 6x9 1
C©u 2: ( ®iĨm) a) Cho a + b + c + d = Chøng minh r»ng: a2 + b2+ c2+ d2 1
b) T×m giá trị nhỏ biểu thức: A= x2 2x 1 x2 2x 1
Câu 3: (4 điểm) a) Cho a = x + y; b = x2 + y2; c = x3 + y3 C/m r»ng: a3 - 3ab +2c = 0.
b) Cho sè x, y tho¶ m·n: 2x2 +
2
1 y
x =4, (x 0).Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ
Câu 4: ( điểm) Cho ABC vuông A, đờng cao AH chia cạnh BC thành 2đoạn BH = 4cm CH = 9cm Gọi D E lần lợt hình chiếu H AB, AC Các đờng thẳng vng góc với DE D E lần lợt cắt BC M N
a) Tính độ dài DE
b) C/m M trung điểm BH N trung điểm CH c) C/m BDH BHA đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng d) Tính din tớch t giỏc DENM
Câu 5: (2 điểm) Cho ABC cã gãc ABC b»ng 300, gãc BAC b»ng 450.
Gọi M trung điểm BC Tính số đo góc AMC Giải
Câu1 giải c¸c PT: a) 9 12x 4x2 4
3 2 x2 4 2 x 4
* XÐt trêng hỵp:
- Trêng hỵp 1: NÕu 3- 2x x 1,5 PT cã d¹ng: - 2x = 2x = -1 x=- 0,5 - Trêng hỵp 2: NÕu 3- 2x < x < 1,5 PT cã d¹ng: -3 +2x = 2x=7 x=3,5 VËy PT cã t/n S = 0,5;3,5
b) x2 2x 1 x2 6x 9 1
x12 x 32 1 x1 x 1
* xÐt trêng hỵp:
- Trờng hợp 1: Nếu x < x - < vµ x - < 0, PT cã d¹ng: - x+1-x+3=1 2x = x= 1,5 (loại không thoả mÃn ĐK x < 1)
- Trờng hợp 2: 1x< x-1 > vµ x-3 < , PT cã dạng: x-1-x+3 =1 0x=-1(VN) - Trờng hợp 3: Nếu x x - > x - > PT cã d¹ng: x - + x - =
2x = x = 2,5 ( loại không thoả mÃn ĐK x )
Vậy PTVN hay S =
Câu2: a) Cách 1: Ta cã: a2 + b2 2ab
a2 + c2 2ac
a2 + d2 2ad
b2 + c2 2bc
b2 + d2 2bd
c2 + d2 2cd
3(a2+b2+c2+d2) 2(ab + ac + ad +bc + bd + cd) 4(a2+b2+c2+d2) (a+b+c+d)2 =22 =4
a2 + b2+ c2+ d2 1 DÊu "=" x¶y a = b = c = a =
2 Cách 2: Đặt a =
2 + x ; b =
2 + y; c =
2 + z; d =
2 + u V× a + b + c +d = nªn x + y+ z + u = Ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 = (1
2 + x)
2+ (1
2 + y)
2+(1
2 + z)
2 + (1
2 + u)
2
a2 + b2 + c2 + d2 =
4+ x + x
2 + 1
4 + y + y
2 + 1
4 + z + z
2 + 1
4 + u + u
2
= +(x + y +z + u) + (x2 + y2+ z2+ u2)
= + (x2 + y2+ z2+ u2) 1DÊu "=" x¶y x = y = z = u = 0.
(2)VËy a2 + b2+ c2+ d2 1
DÊu "=" x¶y a = b = c = d =
2 b) Ta cã: A = x12 x12 A x x
C¸ch 1: XÐt trêng hỵp:
*NÕu x <-1 th× A = - x- - x+1 =-2x>2(1) * NÕu -1 x<1 th× A= x+1-x+1 = (2)
* NÕu x 1 th× A = x+1+x-1= 2x 2 dÊu "=" x¶y x=1 (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy A = 1 x
Cách 2: áp dụng BĐT A B A B dÊu "=" x¶y A.B 0, ta cã:
A x x1= x 1 x x 1 x 2
VËy A= x1 x1 0 x
Câu 3: a) Cách 1: Với a = x + y; b = x2 + y2; c = x3 + y3, ta cã:
a3 - 3ab + 2c = (x + y)3 - (x+y)( x2 + y2) + 2(x3 + y3)
= x3 + 3x2y + 3xy2+ y3 - 3x3- 3xy2- 3x2y- 3y3+ 2x3 +2y3
= (3x3 -3y3) +(3x2y- 3x2y) +(3xy2 - 3xy2)
= + + = VËy a3 - 3ab + 2c = 0
C¸ch 2: Thay a, b, c vào vế trái BT cần CM, ta cã: VT = (x+y)3 - 3(x+y)(x2+y2) + 2(x3+y3)
= (x+y)[(x+y)2 - 3(x2 +y2) + 2(x2 - xy +y2)]
=(x+y)(x2 +2xy + y2- 3x2-3y2+2x2-2xy +2y2)
= (x+y).0 = = VP (®pcm) b) (2®) Ta cã:
2
2
1
2
4 y x
x
2
2
2
1
( 2) ( )
4 y
x x xy xy
x
2
1
2 y
x x xy
x
+ xy xy -
Suy Min xy =- x-
x vµ x+2 y
= x = vµ y = -2 x = -1 y = Câu4: (6đ)
ABC, A= 900 , AH BC, BH = 4cm
CH = 9cm, HD AB, HE AC , MD MD DE, NE DE
a) AE = ?
b) MB = MH; NH = NC
c) BDH BHA Tìm tỉ số đồng dạng d) SDENM = ?
C/m
a) ABC vng A, đờng cao AH, ta có: AH = BH HC 4.9 2.3 6 (cm)
AC = AH2 HC2 62 92 117 10,8
(cm)
AH2 = AE.AC AE =
2 62
3,3 10,8 AH
AC (cm)
b) Tø gi¸c ADHE cã A D E 900
nên hình chữ nhật Suy AH = DE = cm
Gọi O giao điểm AH DE, ta cã: OA = OH = OE = OD OHE OEH (2 gãc
đáy cân OHE) Mà EHN OHE OEH HEN 900
EHN HEN NHE cân N
NH = NE (1)
* C EHN CEN HEN 900
C CEN NEC cân N NC = NE (2)
Tõ (1) vµ (2) suy NH = NC VËy Nlµ trung ®iĨm cđa HC C/m t¬ng tù ta cã: M trung điểm BH
2
O D
B M H N C
A
E GT
(3)c) XÐt BDH vµ BHA cã: BDH BHA 90 ;0 BHD BAH
(góc có cạnh tơng ứng vuông
gãc) BDH ~ BHA (g.g) k = 3,3 0,55
HE
HA
d) Vì MD NE vng góc với DE nên MD//NE tứ giác DENM hình thang vuông Mặt khác NE = NH = NC = 9:2 = 4,5 (cm); DM = MH = 4:2 = (cm); DE = AH = 6cm nên SDENM = (DM + NE).DE :2 = (2 + 4,5).6:2 = 19,5 (cm2)
Câu5:(2đ)
ABC: ABC 30 ;0 BAC 450
MB = MC; M BC AMC?
C/m
Kẻ CD MN vu«ng gãc víi AB (D, N AB), ta cã CD//MN DAC vuông cân D (Vì CDA 90 ;0 BAC 450
(GT)) Do DA = DC (1)
Vì CD//MN mà BM = MC nên BN = ND MBD có đờng cao MN trung
tuyến Vậy MBD cân M, MDB MBD 300
Suy MBC 900 300 600 vµ
1800 2.300 1200
BMD , DMC18001200 600
* MDC cã MDC DMC 600
Vậy MDC tam giác đều, DM = DC (2)
Từ (1) (2) suy DMA cân D , DMA DAM
300
DMA DAM MDB (t/c gãc tam giác) hay 2.MAB 300 MAB 150
AMC ABM MAB 300 150 450
Vậy AMC450
Đề số 2: Câu 1: ( điểm) Giải phơng trình sau:
1) 21
2x1x 1 2) x 3 x1 x 8 x1 5 C©u 2: ( ®iĨm)
1) C/mr nÕu 1
a b c vµ a + b + c = abc th× 2
1 1
2 a b c
2/ Biết a, b hai số thực dơng thoả mÃn §K a2 + b2 = Chøng minh r»ng:
2
1
2
a b
a b b a
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh với mäi n N* ta cã:
1) 1
(n1) n n n 1 n n1
2) 1 1
2 1 2 3 4 3 4 5 4 5 + +
1
1 (n1) n n n 1
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt trung điểm cạnh BC AC, điểm H, G, O lần lợt trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng:
1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH 2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG 3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng
B
N
D
M C
A
(4)Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác vng ABC có cạnh huyền BC = 2a, đờng cao AH Gọi O trung điểm BC, D E lần lợt hình chiếu H AB, AC Tìm giá trị lớn của;
1) Độ dài DE
2) Diện tích tứ giác ADHE
Giải : Câu 1: ( điểm)
1) ĐK: x1 x
2
, ta cã:
21
2x1x 1 x
2 - = 2x - x(x - 2) = x = hc x = 2
* x = x = thoả mãn ĐK Vậy PT có t/n: S = 0;2 2) ĐK: x , ta có:
( x1 2) ( x1 3) 5 x1 2 x1 5
Vì x nên x1 2 0 Do cần xét trờng hợp;
+ NÕu x1 0 x1 < x - < x< 10
Kết hợp với ĐK ta cã: 1 x < 10 PT cã d¹ng:
x1 3 x1 5 x1= Nghiệm với giá trị ca x thuc
khoảng xét
+ NÕu x1 0 x1 x - x 10 KÕt hỵp với ĐK với
x 10 Pt cã d¹ng x1 2 x1 5 x1= x1=3
x - = x =10 ( Đợc thuộc khoảng xét) Vậy pt có t/n S = x1 x 10
Câu 2: (4 điểm) 1) Từ: a + b + c = abc 1 1 ab ac bc
vµ tõ: 1 12 12 12 2( 1 ) a b c a b c ab ac bc 12 12 12
a b c + = 2
1 1
a b c = 2) Ta cã: VT =
2
1 1
2
a b a b
a b b a a b b a
= b a a b
a b
(1)
+ Tõ gt suy < a < nên (1) tổng hai số dơng, áp dụng BĐT Co si cho (1)
Ta cã: VT
2 2 2 2 2
1 1
2 a b a b a b a b a b ab 2
a b ab ab
(đpcm)
Dấu "=" xảy a2 + b2 = vµ 1 1
2
a b a b
a b
a b
Câu 3: (4 điểm) 1) Biến đổi VT, ta có: VT =
1
1 1
n n n n n n n n
= 1
1
n n
n n n n
= VP (®pcm)
2) áp dụng công thức TQ vừa c/m trên, ta cã:
VT= 1 1 1 1
2 3 n n
=
1
1 n
<1(Vì nN
* nên 0 1
1 n
)
Câu 4: (6 điểm)
4
A ABC , MB = MC, NA = NC
(5)C/m
ABC có MB = MC, NA = NC (gt) nên MN đờng trung bình, MN//AB MN =
2AB; H trực tâm (gt) nên AH BC; BH AC; G tâm (gt) nªn GM =1
2GA; OM BC , ON AC
1) XÐt MNO vµ AHB có: + MNO ABH (góc có cạnh tơng ứng song song,
MN//AB; ON//HB vuông góc víi AC)
+ NMO BAH (Gãc cã cạnh tơng ứng song song, MN//AB; OM//HA
vu«ng gãc víi BC)
Suy MNO ~ ABH (g.g) 2) XÐt AHG vµ MOG cã: + GM =1
2GA (c/m trªn); OM =
2HA (Do
1
OM MN
HA AB ); OMG GAH (so le trong) Suy AHG ~ MOG (c.g.c)
3) Do A, G, M thẳng hàng nên tổng góc: AGN, NGO, OGM 1800; mặt khác do
2 góc AGH MGO (theo c©u 2) suy tỉng gãc HGA, AGN, NGO 1800 Vậy điểm H, G, O thẳng hàng (đpcm)
Câu 5: (2 điểm)
GT ABC, A= 900, BC = 2a, AH BC.
OB = OC, HD AB, HE AC 1) TÝnh maxDE = ?
2) TÝnh maxSADHE = ?
C/m;
1) (1 đ) Tứ giác ADHE có gãc vu«ng (A D E 900
) nên hình chữ nhật, đó:
DE = AH Suy DE lín nhÊt AH = AO = a ABC vuông cân A VËy Max DE = a ABC vuông cân A
2) (1 đ) Ta có SADHE = AD.AE ; AH2 = AD.AB
2
AH AD
AB
; AH2 = AE.AC
2
AH AE
AC
, SADHE =
4 3
2
AH AH AH AO a
AB AC AH BC a a
VËy Max SADHE =
2
2 a
AH = AO = a ABC vuông cân A
Đề số 3: Câu 1: (4 điểm) Giải c¸c PT sau:
1) 2 3 x 3 b) 2x2 2 4x 6
B
H H H H
M C
N G
D B
O H
E
C KL
(6)C©u 2: (4 ®iĨm) 1) Cho a + b > C/m r»ng: a4 + b4 > 1
8
2) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:
1 1 1
a b c b c a c a b a b c
C©u 3: (4 ®iÓm) 1) Chøng minh r»ng: 10 60 24 40 5 3 2 2)Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A = x3 + y3 + xy biÕt x + y = 1.
Câu 4: (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trong nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AB, ta kẻ tia Ax vuông góc với AB, By vng góc với AB Lấy Ax điểm C By điểm D cho: AC.BD =
4
AB (*) gọi O trung điểm đoạn thẳng AB
1) C/m hÖ thøc CD2 = OC2 + OD2
2) C/m ODC P AOC
3) Tìm quỹ tích hình chiếu I điểm O đoạn thẳng CD C D di chuyển nh -ng (*) đợc thoả mãn
C©u 5: (2 ®iĨm) Cho nhän ABC , AB = c, BC = a, CA = b Chøng minh r»ng: b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB.
Giải:
Câu 1: (4 điểm)1) ĐK x 0, bình phơng hai vÕ ta cã: + 3 x 9 3 x 7
Bình phơng hai vế tiếp ta có: + x 49 x 46 x 462 2116
>
Thö l¹i: Ta cã VT = 2 3 2116 2 3 46 2 49 2 7 9 3 =VP VËy PT cã tËp nghiÖm S = 2116
2) 2x2 2x 1 6 2x 12 6 2 x 1 6
+ NÕu x 1 x1 6 2x1 6 2x 6 x3 1
(Thoả mÃn ĐK x1)
+ NÕu x < th× x1 6 1 x 6 2x 6 x
(Thoả mÃn ĐK x<1) VËy PT cã tËp nghiÖm S =3 1;1 2
C©u 2: (4 điểm) 1) Vì a + b >1> nên bình ph¬ng hai vÕ ta cã: a2 + b2 + 2ab > 1.(1)
Mặt khác (a - b)2 0 a2 + b2 - 2ab (2)
Céng tõng vÕ cđa (1) vµ (2) ta cã: 2(a2 + b2) > 1 a2 + b2 > 1
2.(3)
Bình phơng hai vế (3) ta cã: a4 + b4 + 2a2b2 > 1
4 (4)
Mặt khác (a2 - b2)2 a4 + b4 - 2a2b2 (5)
Cộng vế với vế BĐT (4) (5), ta đợc: 2(a4 + b4) >1 4
4 a b 8 (®pcm) 2) Víi sè x, y > 0, ta cã:
1 y x y x x y xy
x y x y xy x y
=
2
2 4 2 x y
xy y x xy xy x xy y
xy x y xy x y xy x y
0, v× x, y >
Suy ra: 1
x yx y DÊu "=" x¶y x = y
(7)* Trong mét tæng cạnh lớn cạnh lại nªn ; a b c
1 ; b c a
1
c a b dố dơng, áp dụng BĐT
1
xy x y , với x, y > 0, ta đợc:
1 2 a b c b c a b b
T¬ng tù ta cã: 1 2; 1
b c a c a b c c a b a b c a Céng vÕ víi vÕ cđa B§T
trên ta đợc: 1 1
a b c b c a c a b a b c
1 1 1
a b c b c a c a b a b c (đpcm) Câu 3:
1) Ta nhận thÊy: 10 = + + = 5 2 2 2; 60 15 3 ;
24 2 ; 40 2 5 nªn
VT = 5 2 2 2 2 5 2 2
= 5 3 22 5 3 = VP (®pcm)
2) Ta cã: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 - xy + y2 + xy = x2 + y2
C¸ch 1: Tõ x + y = x y2 1 x2 y2 2xy 1
(1)
Mặt khác ta cã: (x - y)2 x2 + y2- 2xy (2)
Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc: 2(x2 + y2) 1 2
2
x y
VËy A = 1
2 x y
C¸ch 2: Tõ x + y = 1 y 1 x, thay vµo A ta cã: A = x2 + (1 - x)2 = 2(x2 - x) +1
2
1 1
2
2 2
A x
Do A =1
2 x=
1 2; y =
1 Cách 3: Đặt x =
2 + a th× y =
2 - a, ta cã: A =
2
2
1 1
2
2 a a a
Do A =
1
2
a x y
C©u4:
1) C/m hƯ thøc CD2 = OC2 + OD2
Ta cã: AC.BD =
2
4 AB
(gt) mµ OA =
2
AC OA AC OB
AB AC BD OA
OA BD OA BD
AOC P BDO (c.g.c) O1 C O1; 2 D 1
Nh vËy
1 1 90 90
O O O D COD
A O B
y D I
x C
1 1
2
(8)Tam gi¸c COD vuông O Theo đ/l Pi-Ta-go ta có: CD2 = OC2 + OD2
2) AOC P BDO OC OA
OD BD
hay OC OB
OD BD BOD P ODC (c.g.c) 3) Từ kết trên, suy ra:
2 2
O D COI D O COI = COA (g.c.g)
Suy OI = OA =
2AB
Điểm I luôn cách điểm O khoảng không đổi
2AB nên điểm I nằm đờng trịn đờng kính AB
Vậy quỹ tích điểm I nửa đờng trịnđờng kính AB (phần nằm nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AB, có cha Ax)
Câu 5: Kẻ AH BC
Cách 1: AHC vu«ng ë H, ta cã:
AC2 = AH2 + HC2 = AH2 + (BC2 - HB2)
= AH2 + BC2 + HB2 - BC.HB
= (AH2 + HB2) + a2 - 2a.HB (1)
Trong vu«ng AHB , ta cã: AH2 + HB2 = AB2 = c2
HB = AB.cosB = c.cosB (2)
Tõ (1) vµ (2) suy b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB (®pcm)
Cách 2: Trong vuông AHB, ta có: AH = AB.sinB = c.sinB; HB = AB.cosB =c.cosB Suy HC = BC - HB = a - c.cosB
Trong vu«ng AHC, ta cã: AC2 = AH2 + HC2 = (c.sinB)2 + (a - c.cosB)2
= c2sin2B + a2 + c2.cos2B - 2ac.cosB = a2 + c2( sin2B + cos2B) -2ac.cosB
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB (®pcm)
§Ị sè 4:
Câu1: (3 điểm) Trong hệ toạ độ xơych hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + (d1)
y = - x + (d2) Gäi giao ®iĨm cđa d1 d2 A, giao điểm d1, d2 với Ox lần lợt
B, C
1) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
2) Tìm tâm bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 2: (4 điểm) Giải phơng trình:
1/ x4 + x2 - = 2/ 2
2 6 x x
C©u 3: (6 điểm)
1/ Cho a số thực không âm Chứng minh rằng: a3a6 a a 2
2) C/mr a, b số dơng thoả mÃn ĐK a + b = 21 2 ab a b
3/ Tìm giá trị lớn biểu thức T = 2ac + bc + cd Trong a, b, c, d số thực thoả mãn ĐK: 4a2 + b2 = c + d = 4.
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC Goi M, N lần lợt trung điểm cạnh BC và AC, điểm H, G, O lần lợt trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng:
1/ Tam giác MNO đồng dạng với tam giác ABH 2/ Tam giác AHG đồng dạng với tam giác MOG 3/ Ba điểm H, G, O thẳng hàng
8
A
B H a C
(9)C©u 3: (2 điểm) Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABC BiÕt gãc ASB b»ng 600,
gãc BSC b»ng 900, góc ACS 1200 cạnh SA = SB = SC = a.
Giải: Câu1: ( ®iĨm)
1) * Tìm toạ độ điểm A
Vì A giao điểm d1 d2 x+1 =- x +
2x = x = 1/2 y = 1+1/2=3/2 VËy A(1/2; 3/2)
* Tìm to im B
Vì B giao ®iĨm cđa d1 vµ Ox y = vµ
x+1 = x = -1 Vậy B(-1; 0) * Tìm toạ độ điểm C
Vì C giao điểm d2 Ox y = vµ
-x+2 = x = VËy C(2; 0)
Diện tích ABC có BC = 3; đờng cao AH = 3/2 SABC =1/2.3.3/2 =9/4 (đvS)
2) Ta cã a1.a2 = 1.(-1) = - d1d2 t¹i A ABC vuông A
đờng trịn ngoại ABC có tâm I trung điểm BC bán kính IA = IB = IC=3/2
Câu 2: (4 điểm) Giải phơng trình:
1/ x4 + x2 - = x41 x21 0 x2 1 x21 x21 0 x21 x22 0
V× x2 0 x2 2 0
nªn x2 - = x2 1 x1 phơng trình có tập nghiệm:
S = 1; 1
2) x2 2x 1 6 2 6 2
2
2
1 2 2
x
x1 2 2 x1 2 + XÐt trêng hỵp:
* Nếu x phơng trình trở thành: x - = 2 x 1 2 (tho¶ mÃn ĐK x1)
* Nếu x< phơng trình trở thành: x - = - 2 x 2(Thoả mÃn ĐK x<1)
Vậy phơng trình có tập nghiệm: S = 1 2;1 2
Câu 3: (5 điểm)
1) Đặt x = a 0, ta cần c/m: x6 - x3 - x2 - x +2
x6 2x3 1 x3 2x2 x x2 2x 1 0
x3 12 x x 12 x 12 0
Do x nên BĐT luôn Vật bất đẳng thức đợc c/m, dấu xảy
chØ x = 1 a1
2) Vì a, b > ; a + b =1 (a + b)2 = 1, đó:
2
2 2
1 2( )
2
a b a b
ab a b ab a b
=2( 2) ( 2 2) 22
a b ab a b ab
ab a b
= +
2 2
2
2
2
a b a b ab
ab ab a b
= +
2 2
2
2
2
a b a b ab
ab ab a b
Theo BĐTCôsy ta có: a2 + b2 2ab nªn
2
1
a b
ab
(DÊu "=" x¶y a= b =1
2) y=-x+2
O C
A
H B
y
(10)2 22 2 2 22 2
2
a b ab a b ab
ab a b ab a b
(DÊu "=" x¶y
a= b =1 2) Suy ra: 21 2
ab a b VËy 2
1
6
ab a b (DÊu "=" x¶y a= b= 2) 3) Ta cã:
2
2
2
2
c c
a ac a
(1);
2
2
0
4
d d
b bd b
a
(2) c d 2 0 2cd c 2d2 8cdc d 24cdc
2
8
c d cd
cd
(3)
Cộng vé với vế BĐT (!), (2) (3) ta cã:
T = 2ac + bd + cd
2 2
2
4
4
c d
c d cd
a b
= +
2 2
2
4
2 2
2
c d
Vậy giá trị lớn T lµ a =
2, b = 1, c = d = (V× c- d = c d mặt khác c + d = nªn 2c = 2d = c = d =2; 2a -
2=0 2a - = a = 2;
2
1
+ b2=2 b2 + = b2 = 1 b1 loại giá trị b = -1)
Câu 4: (6 điểm)
C/m:
ABC có: MB = MC, NA = NC (GT) suy MN đờng trung bình nên MN//AB; H trực tâm nên AH vng góc với BC, BH vng góc với AC; O giao điểm đờng trung trực nên OM vng góc với BC, ON vng góc với BC Do AH//MO (Do vng góc với BC), BH//ON(do vng góc với AC)
1) XÐt MNO vµ ABH cã: NMO HBA (góc có cạnh tơng ứng song song);
MNOABH ( góc có cạnh tơng øng song song) Suy MNO P ABH (g.g)
2) MNO P ABH suy
MO MN
AH AB ; G trọng tâm ABC nên
1 GM
GA XÐt AHG vµ MOG cã ;
2
MO GM
OMG HAG
AH GA
(so le trong) suy ra:
AHG P MOG (c.g.c)
3) AHG P MOG suy HGA OGM (2 gãc t¬ng øng)
Ta cã: HGO HGA AGN NGO OGM AGN NGO 1800
Suy điểm H, G, O
thẳng hàng Câu 4: (2 điểm)
10 A
B M C
N o H
G
ABC , MB = MC, NA = NC GT Trực tâm H, trọng tâm G, O giao đờng trung trực a) MNO P ABH
KL b) AHG P MOG c) H, G, O thẳng hàng
S B
H×nh chãp S.ABC, GT ASB 60 ,0 BSC 90 ,0
ASC1200
SA = SB = SC = a
KL STP cđa h×nh chãp S.ABC
(11)C/m * SAB cã SA = SB = a vµ ASB 600
nên có độ dài đờng cao
SH =
a Do diện tích SAB 3
4
a .
* SBC cã SB =SC = a vµ BSC 900
nên vng cân Do diện tích SBC
2
2 a * SAC cã SA = SC = a cã ASC 1200
nên cân có góc đáy 300 suy độ
dài đờng cao SK = a
, cạnh đáy AC = a Do diện tích
a .
* ABC có AB = a; BC = a 2; AC = a AB2 +BC2 = AC2 (=3a2) nờn l tam
giác vuông B cã diƯn tÝch lµ 2
a .
Vậy diện tích toàn phần hình chãp lµ:
a +
2
a + 3
4
a + 2
2
a =
2
1
2 a
(đơn vị diện tích)
Đề 5 Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:
1/ 22
1 1
x
x x x ; 2/ x x1 x2 x1
Câu 2: (4 điểm)
1/ Tìm a, b, c biết a, b, c số dơng 12 12 12 32
a b c abc
2/ T×m a, b, c biÕt: a =
2
2
2
b b
; b =
2
2
2
c c
; c =
2
2
2
a a
Câu 3: (4 điểm) :
1/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 2x2 2009 x
2/ Cho sè a, b, c tho¶ m·n : a(a-1) + b(b-1) + c( c-1)
C/mr: - a b c
Câu 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi D E lần lợt hình chiếu H AB AC Biết BH = 4cm, HC = 9cm
a) Tính độ dài AE
b) Chøng minh: AD.AB = AE.AC
c) Các đờng thẳng vng góc với DE D E lần lợt cắt BC M N Chứng minh M trung điểm BH; N trung điểm CH
d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c DENM
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Hãy xác định cạnh AB điểm D, cạnh AC điểm E cho DE song song với BC DE = DB + EC
Gi¶i : Câu1: (4 điểm)
1/ ĐK: x , ta cã: 22
1 1
x
x x x
2
1 2
x x x x x
(x-1)(x+1) +2(x-1) = 0(x-1)(x+3) = x-1=0 hc x+3= x =1 hc x = -
(12)Đói chiếu với ĐK , loại nghiệm x = Vởy phơng trình có tập nghiƯm S = 3 2/ §K: x 1, ta cã:
2 2
x x x x x x1 x x1 2 x x1 x2 x1 4
2
2
2x x x x x 2
x x
+ Nếu x phơng trình trë thµnh x - = - x 2x 4 x2
+ Nếu x < phơng trình trở thành x - = x - 0x0 nghiệm với giá trị
cña x
VËy x 2 KÕt hỵp víi ĐK phơng trình có tập nghiệm S = x x R ,1 x 2
C©u 2: (4 điểm)
1/ áp dụng BĐT Cô- Si, ta có: 12
a a (1);
1 2
2
b b (2);
1
8
c c (3) Nhân vế với vế BĐT (1), (2) (3) ta đợc: 12 12 12 32
a b c abc
DÊu "=" x¶y khi: 12 1, 12 2, 12 1, 2,
2
a b c
a b c VËy a = 1, b =
2 , c =
2 2/ Ta có: + b22b, + c2 2c, + a22a Do đó:
a =
2
2
2
b b
2 2 2
2
2 2 2
; ;
2 2
b c c a a
b b c c a
b c c a a
Suy ra: ab, bc, ca nªn dÊu
"=" x¶y a = b = c Suy a = b = c = vµ a = b = c =1 Câu 3: (4 điểm)
1) Ta cã: A =
2 2
2
2 2009 2009 2.2009 2009
2009
x x x x
x x
2
2 2
2 2
2009
2.2009 2009 2008 2008 2008
2009 2009 2009 2009 2009
x
x x x
A
x x x
(DÊu "=" x¶y
x = 2009 VËy A = 2008 2009
2009 x
2) Ta cã: a(a-1) + b(b-1) + c( c-1)
3(a2 + b2 + c2) - 3(a + b + c) 4
3(a2 + b2 + c2) + 3(a + b + c) (1)
Mµ 3(a2 + b2 + c2) = (11 + 12 + 12)(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: (a + b + c)2 - 3(a + b + c) - 0.
Đặt x = a + b + c ta cã: x2 - 3x - (x2 - 4x) + (x - 4) 0
x(x - 4) + (x - 4) (x - 4)( x + 1)
Suy : a) 4
1
x x
x
số thoả mÃn ĐK nên loại
Hoặc b) 4
1
x x
x
x x
VËy 1 x hay 1 a b c (đpcm)
Câu4: (6 điểm)
ABC, A= 900 , AH BC, BH = 4cm
CH = 9cm, HD AB, HE AC , MD MD DE, NE DE
a) AE = ? b) AD.AB = AE.AC c) MB = MH; NH = NC d) SDENM = ?
12
O D
B M H N C
A
E GT
(13)C/m
a) ABC vuông A, đờng cao AH, ta có: AH = BH HC 4.9 2.3 6 (cm)
+ áp dụng đ/l Pi -Ta Go vào AHC vuông H ta có: AC2 = AH2 + HC2 suy ra:
AC = AH2 HC2 62 92 117 10,8
(cm)
+ AHC vuông H, đờng cao HE ta có: AH2 = AE.AC AE =
2 62
3,3 10,8 AH
AC (cm)
b) Ta cã: AH2 = AE.AC (1)
+ AHB vng H, đờng cao HD, ta có: AH2 = AD.AB (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD.AB = AE.AC (đpcm)
c) Tứ giác ADHE có A D E 900 nên hình ch÷ nhËt Suy AH = DE = cm.
Gọi O giao điểm AH DE, ta cã: OA = OH = OE = OD OHE OEH (2 gãc
đáy cân OHE) Mà EHN OHE OEH HEN 900 EHNHEN NHE cân
N NH = NE (3)
C EHN CEN HEN 900
C CEN NEC cân N NC = NE (4)
Tõ (3) vµ (4) suy NH = NC Vậy N trung điểm HC C/m tơng tự ta có: M trung ®iĨm cđa BH
d) Vì MD NE vng góc với DE nên MD//NE tứ giác DENM hình thang vng Mặt khác NE = NH = NC = 9:2 = 4,5 (cm); DM = MH = 4:2 = (cm); DE = AH = 6cm nên SDENM = (DM + NE).DE :2 = (2 + 4,5).6:2 = 19,5 (cm2)
Câu 5: (2 điểm)
GT ABC, A 900
, D AB, E AC , DE//BC
KL Xcá định vị trí diểm D, E để DE = DB + EC C/m
a) Ph©n tÝch:
Giả sử xác định đợc D, E thoả mãn ĐK ra: D AB, E AC , DE//BC
Qua E dựng đờng thẳng Ex//AB cắt BC F BF = DE, DB = EF
Qua C dựng đờng tjhẳng Cy tạo với AC góc 450 (Cy khác phía với CB đối với
CA) cắt Ex I CE = EI Ta có DE = BF = EF + EI = FI BFI cân F nên IBF BIF , mà ABI BIF (so le trong) ABI IBF BI phân giác góc B Từ suy cách dựng
b) C¸ch dùng:
+ Dựng phân giác góc B, dựng đờng thẳng Cy tạo với AC góc 450 Hai đờng
thẳng cắt I
+ Từ I dựng đờng thẳng Ix song song với AB cắt AC E, cắt BC F
+ Từ E dựng đờng thẳng song song với BC căts AB D, ta có D, E điểm cần tìm
c) Chøng minh: Theo c¸ch dùng ta cã:
+ Tứ giác BFED hình bình hành (Vì DE// BF, EF//BD) nên DE = BF, FE = BD (1) + BI phân giác góc B nên ABI IBF, mặt khác ABI BIF (so le trong) nên IBF BIF BFI cân F, suy FB = FI = FE + EI (2)
+ ECI vuông cân E (vì E 90 ;0 ECI 450
) EI = EC (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra: DE = BD + EC thoả mÃn yêu cầu d) Biện luận:
+ Đờng phân giác góc B cắt Cy điểm I Từ I kẻ đợc đờng thẳng Ix vng góc với AC E
+ Qua E kẻ đợc đờng thẳng song song với BC cắt AB điểm D
Vì tốn ln xác định đợc điểm E AC, điểm D AB để DE//BC DE = BD + EC Tức tốn có nghiệm hình
A C
y I
E F x B
D
(14)Đề số 6: Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:
1/ 21
2x1x 1 2/
2 2 1 6 9 4 x x x x
Câu 2: (4 điểm) 1/ Rót gän biĨu thøc:
A =
2 2
4
2 2 4
2
1
1 1
1 1
1
x x
x x x x
x x x x
x x
2/ T×m x, y biÕt: 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + = 0
Câu 3: (4 điểm )
1/ Chứng minh r»ng: NÕu a > 0, b > th×: (a + 2)(b + 2)(a + b) 16ab
2/ Chøng minh r»ng víi mäi a 2 th× 2 1
2 2 2
a a a a
a a a a
C©u 4: (5 ®iĨm) Cho ABC vu«ng ë A, C 300
, BC = 10cm
a) TÝnh AB, AC
b) Từ A kẻ AM, AN lần lợt vuông góc với đờng phân giác ngồi góc B Chứng minh: MN//BC MN = AB
c) Chứng minh: MAB đồng dạng với ABC Tìm tỉ số đồng dạng Câu 5: (3 điểm) Cho ABC có B 60 ,0 C 20 ,0 BC 4cm
Gäi D lµ trung điểm
AC Trên cạnh BC lấy điểm E cho CE = CD TÝnh tỉng diƯn tÝch ECD ABD
Giải: Câu 1: (4 ®iĨm) 1) §K: x 1,
2 x
, ta cã: 21
2x1x 1 x
2-1= 2x -1 x(x-2) = 0 x= 0; x=2 Cả nghiệm thoả mãn ĐK Vậy PT có tập nghiệm S = 0;2 2) x2 2x 1 x2 6x 9 4
x12 x 32 4 x 1 x 4
XÐt trêng hỵp:
* NÕu x < - 1, phơng trình có dạng: - x - - x + = 2x 2 x1.(Lo¹i ,
không thuộc khoảng xét)
* Nu - 1 x 3, phơng trình có dạng: x + - + x = 0x0, nghiệm ỳng vi mi
giá trị x thuộc khoảng xét
* Nếu x 3, phơng trình có d¹ng: x +1 + x - = 2x = x3(Thoả mÃn ĐK
trên)
VËy PT cã tËp nghiÖm S = x x R , 1 x 3 C©u 2: (4 ®iĨm)
1) Rót gän biĨu thøc: A =
2 2
4
2 2 4
2
1
1 1
1 1
1
x x
x x x x
x x x x
x x
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x x x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x x x x
V× x2- x + =
2 x
; x2 + x +1 =
2 x
; x2 + x- =
2 x ; x2 - x - =
2 x
nªn A =
2 2
2 2
1 1
1 1
x x x x x x
x x x x x x
= 2 1 x x x x
2) 5x2 + 5y2 + 8xy - 2x + 2y + = (4x2 + 8xy + 4y2) + (x2- 2x +1) +(y2+2y+1) = 0
(15) 4(x+y)2 + (x - 1)2 + (y +1)2 =
2
2
2
0 0
1
1 1
1
1
1
x y x y x y
x
x x x
y
y y
y
VËy x = 1; y = -1
Câu 3: (4 điểm) 1) Vì a > 0, b > nên áp dụng BĐT Cô-Si ta cã:
a + 2 2a ; b + 2 2b ; a + b 2 ab Do đó, nhân vé với vế BĐT ta
cã: (a + 2)(b + 2)(a + b) 16ab(®pcm)
2) Víi a 2, ta cã: * Tö thøc:
2 1 1 1
a a a a a a a a
= a1 1 2 a1 1 2 a1 1 a1 2 a1 * MÉu thøc: 2a2 2a1 2a 2a1 2a12 2a1 1 2a1 2a1 1
= 2a1 1 2 2a1 1 2 2a1 1 2a1 1 = 2a1
Nªn 2 1
2 2
2 2 2
a a a a a a
a a
a a a a
Mặt khác a -1< 2a -1 víi mäi a2 vµ a- 1>0 ; 2a - > nªn a1 2a1, suy ra:
1
2
a a
VËy
2
1
2 2 2
a a a a
a a a a
(đpcm) Câu 4: (5 ®iĨm)
C/m
a) Ta cã: ABC, A 90 ,0 C 30 ,0 BC 10cm
(gt) 1.10
2
AB BC cm
,
AC = BC2 AB2 102 52 75 8, 66cm
b) ABC, A 90 ,0 C 300 ABC 900 300 600
1 1.600 300
2
ABM MBC ABC
(1)
XÐt tø gi¸c AMBN cã: AMB MBN BNA 900
tứ giác AMBN hình chữ nhật,
MN = AB, BMN = MBA (c.c.c) nªn BMN MBA 300
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy BMN MBC MN//BC.
c) XÐt MAB vµ ABC cã AMB BAC 90 ,0 MBA ACB 300
MAB ABC(g.g)
theo tỉ số đồng dạng k = AB BC Câu 5: (3 điểm)
15
A
M
C B
x N
10 300
ABC, A 90 ,0 C 30 ,0 BC 10cm
GT xBNNBA ABM; MBC ; AM BM
AN BN a) AB = ?; AC = ? KL b) MN//BC; MN = AB
c) MAB ABC, t×m k = ?
F ABC, B 60 ,0 C 200
, BC = 4cm
(16)C/m
Vẽ BCF đều.( F A cựng phớa i vi BC)
Trên cạnh FB lấy ®iÓm G cho FG = AB Ta cã ABC = GFC (c.g.c), suy ra: + GCF ACB 20 ,0 ACG 600 200 200 200
+ ACG c©n C (do CA = CG : Hai cạnh tơng ứng tam giác trên) Và có gãc ACG = 200.(10
Ta cã: DCE c©n C (CD = CE theo gt) có góc DCE = 200 (2)
Từ (1) (2) suy DCE ACG (g.g) với tỉ số đồng dạng k = DC AC
Do 1
4
ECD
ECD ACG ACG
S
k S S
S (3)
Ta cã: SABD =
2SABC =
1
4 SABCSGCF (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra: SECD + SABD =
1
4 SACGSABCSGCF 4SBCF
SECD + SABD =
2
2
1
1,73( )
4 cm
(L u ý : Đờng cao tam giác cạnh a
a nên diện tích tam giác cạnh a là
2 3
4
a )
Ngày 21/11/09: Đề số 7: (Thời gian làm 150/)
Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình: a) x2 16x 64 x2 10
b) 23 xx 1
Câu 2: (4 điểm) Tính c¸c tỉng sau:
a) A = 1 1
1 2 3 3 2023 2024 2024 2025
b) B =
2 2
2 2
x y z
a b c BiÕt
a b c
x yz vµ
x y z
a b c (Trong đó: a; b; c; x; y; z số khác khác khơng)
C©u 3: (5 ®iÓm)
1) Trong hệ trục toạ độ xOy cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = x + (d1)
y = - x + (d2) Gọi giao điểm d1 d2 A, giao điểm (d1), (d2) với Ox lần lợt
là B, C
a) Tính diện tích tam giác ABC
16
A B
E D
(17)b) Tìm tâm bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Cho biểu thức: A = 22
2
x x
x x
(víi x1)
a) Tìm x để A đạt giá trị lớn b) Tìm x để A đạt giá trị nh nht
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vu«ng ë A, AB = 9cm, AC = 12cm a) Tính BC, B C ; ;
b) Phân giác cđa gãc A c¾t BC ë D TÝnh BD; CD;
c) Qua D kỴ DE AB, DF AC Tø giác AEDF hình ? Tính chu vi diện tích tứ
giác AEDF
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có diện tÝch b»ng 100 cm2 §iĨm D
nằm cạnh huyền BC có khoảng cách đến cạnh góc vng 4m 8cm Tính độ dài cạnh AB, AC
Giải: Câu 1: (4 điểm) Giải phơng tr×nh:
a) x2 16x 64 x2 10
x 82 x2 10 x 8 x 10
XÐt trêng hỵp:
* Nếu x < 0, phơng trình có dạng: - x - x + = 10 2x 2 x1 (Đợc, x =-1
thuộc khoảng xét)
* Nếu x 8, phơng trình có dạng: x - x + = 10 0x2phơng trình vo nghiệm
* Nếu x 8, phơng trình cã d¹ng: x + x - = 10 2x18 x9(Đợc, x = thuộc
khoảng xét)
Vậy phơng trình có tập nghiệm S = 1;9
b) §K: x 1, 2 x1 0 2 x1 x 2 x3 VËy §K: x1 vµ x3
Ta cã: 3
2
x x
3 x 6 2x x 3 2x
x 32 2 x 2 x2 6x 18x 18
x2 - 12x + 27 = x212x36 9 0
x 62 32 0 x 6 3 x 6 3 0
x 9 x 30suy x = x=3(loại
nghiệm x= 3, không thoả mÃn ĐKtrên) Vậy phơng trình có tập nghiệm S = 9
Câu 2: (4 điểm) Tính c¸c tỉng:
a) A = 1 1
1 2 3 3 2023 2024 2024 2025
1 1 1
2025 2024 2024 2023 2023 2022 3 2
A
= 2025 2024 2024 2023 2023 2022 3 2
2025 2024 2024 2023 2023 2022 3 2
= 2025 2024 2024 2023 2023 2022 4 3 3 2 1
= 2025 45 44 VËy A = 44
b) Tõ x y z a b c
2 2
2 2
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
(1)
V× a; b; c; x; y; z số khác khác không nên xyz
abc 0, ú nhõn c hai vế a b c
xyz víi xyz
abcta đợc
xy xz yz xy xz yz
ab ac bc ab ac bc
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
2 2
2 2
x y z
(18)Câu 3: (5 điểm) 1)
a) * Tỡm to im A
Vì A giao ®iĨm cđa d1 vµ d2 x+1 =- x +
2x = x = 1/2 y = 1+1/2=3/2 VËy A(1/2; 3/2)
* Tìm toạ độ điểm B
Vì B giao điểm d1 Ox y = vµ
x+1 = x = -1 Vậy B(-1; 0) * Tìm to im C
Vì C giao ®iĨm cđa d2 vµ Ox y = vµ
-x+2 = x = VËy C(2; 0)
Diện tích ABC có BC = 3; đờng cao AH = 3/2 SABC =1/2.3.3/2 =9/4 (đvS)
b) Ta có a1.a2 = 1.(-1) = - d1 d2 A ABC vng A Suy đờng trịn
ngoại ABC có tâm I trung điểm BC b¸n kÝnh IA = IB = IC=3/2 2) a) Tìm giá trị lớn biểu thức: A =
2
2
1
2
x x
x x
(víi x1)
Ta cã: : A =
2
2
1
2
x x
x x
=
2
2 2
1
1
1 1
x x x
x x x
, dÊu "=" x¶y vµ chØ
x= VËy maxA = x0
b) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A = 22
2
x x
x x
(víi x1)
Ta cã: A =
2
2
1
2
x x
x x
=
2
2
2
2
3 1
4 4 3
4
4
x x
x x x
x
x x
, dấu "=" xảy x=1
VËy A =
4 x
Câu4: (5 điểm)
ABC, A= 900, AB = 9cm, AC = 12cm
GT BAD DAC , DE AB, DF AC KL a) BC = ?, B ?,C ?
b)DB = ?, DC = ?
c) Tø gi¸c AEDF hình ? Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF
C/m:
a) ABC, A= 900 áp dụng đ/l Pi-Ta-Go ta cã: BC2 = AB2 +AC2= 92 + 122 =225
suy BC = 15cm
Ta cã: SinB = 12 0,8 53 80 /
15 AC
B
BC , C 900 B900 53 80 / 36 520 / b) AD phân giác góc A, nên theo tính chất đờng phân giác ta có:
9 15
12 4 7
DB AB DB DC DB DC BC
DC AC
Do đó: DB = 3.15 6, 43
7 cm , DC =
15
4 8,57
7 cm
18
y=-x+2
O C
A
H B
y
x
A
B D C
(19)c) Tứ giác AEDF hình chữ nhật có góc vuông (góc A, góc E, góc F), lại có AD phân giác góc A nên AEDF hình vuông
Ta có BDE P BCA (g.g) nªn DE BD
CA BC suy DE =
12.45 36
15.7
AC BD
BC
Do chu vi hình vng AEDF là: 4.36 20,57
7 cm ; diện tích hình vuông AEDF là: S = DE2 =
2
2
36
26, 45
7 cm
Câu 5: (2 điểm)
ABC, A 900
, SABC = 100 cm2
GT DE AB, DF AC, DE = 4cm DF = 8cm
KL AB = ?; AC = ? C/m: Đặt BE = x; CF = y
XÐt BED vµ DFC cã E F 90 ;0 EDB FCD
(đồng vị) BED P DFC (g.g)
Do BE ED DF FC hay
4
32
8 x
x y y
(1)
Mặt khác AB.AC = 2.SABC = 2.100 = 200 (x + 8)(y + 4) = 200
xy + 8y + 4x + 32 = 200 4x + 8y + 64 = 200 x + 2y = 34 x34 2 y(2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: (34 - 2y).y = 32 17y - y2 =16 y2 - 17y + 16 = 0
(y-1)(y-16) = suy y1 = 1; y2 = 16
* Với y1= 1, ta có: x.1 = 32 x = 32 Khi đó: AB = 32 + = 40cm; AC = + =5 cm
* Với y2= 16, ta có: x.16 = 32 x = Khi đó: AB = 8+ = 10cm; AC =16 + =20cm
VËy AB = 40cm, AC = 5cm vµ AB = 10cm, AC =20cm
Ngày 24/11/09 Đề 8: (Thời gian làm 150/)
Câu 1: (2 điểm) Cho điểm A có toạ độ (xa; ya), điểm B có toạ độ (xb; yb)thì độ dài đoạn
th¼ng AB = xb xa2yb ya2 (1)
Căn vào hệ thức (1) c/mr ABC có toạ độ đỉnh A(1; 1), B(2; 1+ 3), C(3; 1) tam giác
C©u 2: (5 điểm) Giải phơng trình: a)
3
1 2
x x x x ; b) 2 3 x 3 c) 2x2 2 4x Câu 3: (5 điểm)
1) C/mr n n n n n
, từ suy ra:
2004 < + 1
2 3 1006009 < 2005
2) Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thøc sau: a) A= 9 x2
; b) B = 1- x22x5
A B
C D
E
F
(20)Câu 4:( điểm)
Cho hình chữ nhËt ABCD, sinDAC0,8; AD = 42cm, kỴ CE BD DF AC.
a) AC cắt BD O, tính sinAOD.
b) C/m tứ giác CEFD hình thang cân tính diện tích củ
c) Kẻ AG BD BH AC, c/m tứ giác EFGH hình chữ nhật diện tích Câu 5: (3 điểm) Trong tam giác ABC có cạnh BC diện tích, hÃy tìm tam giác có chu vi nhỏ
Giải: Câu 1: (3 điểm)
Theo ta cã:
* AB2 = (2 - 1)2 + (1 + 3 1)2
= + = 4 AB = * AC2 = (3 - 1)2 +(1 - 1)2= + = AC = 2
* BC2 = ((3 - 2)2 + (1 - 1- 3)2 = + = BC = 2
ABC có cạnh nên tam giác Câu 2: (5 điểm) Giải phơng trình:
a) §K: x1;x2, ta cã:
3
1 2
x x x x 3(x - 2) - (x+ 1) = - 3x - - x - = - 2x = - x = - 1(kh«ng thoả mÃn ĐK trên) Vậy phơng trình vô nghiệm
b) ĐK: x 0, bình phơng hai vÕ ta cã: + 3 x 9 3 x 7 3 x 49
46 2116
x x
(Thoả mÃn ĐK x 0) Thử lại: Thay x = 2116 vào vế trái
ph-ơng trình, ta có: VT = 2 3 2116 2 3 46 2 49 2 7 9 3 VP. Vậy phơng trình cã tËp nghiÖm S = 2116
c) 2x2 2 4x 6
2x2 2x1 6 2x12 6 x1 6
XÐt hai trêng hỵp:
* NÕu x 1, phơng trình có dạng: 2 1 6
2
x x (thoả mÃn ĐK: x 1)
* Nếu x < 1, phơng trình có dạng: 1 x 6 x3 2 x 1 (thoả mÃn ĐK:
x < 1)
Vậy phơng trình có tập nghiệm S = 1 2;1 2 C©u 3: (5 ®iĨm)
1) Ta cã: 2 1 2
1
n n n n
n n
n n
= 2 2
1
n n
n n n n n n
(v× n 1 n ) VËy 2 n n
n
(1)
* 2 1 2 1 1 1 2
1 1
n n n n n n
n n
n n n n n n n n
(v× n n1) VËy 2 n n 1
n
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: n n n n n
Do đó:
(21)+ Khi n = 2, ta cã: 2 2 2
+ Khi n = 3, ta cã: 3 2
+ Khi n = 4, ta cã: 4
+ Khi n = 5, ta cã: 5
+ Khi n = 1006009, ta cã: 1006010 1006009 1006009 100608 1006009
Céng vÕ với vế BĐT ta có:
1 1 1
2 1006010 2 1006009
2 1006009
=2006 - (1)
Mµ 1006010 1006009 2006;3 2 2006 1006010 2 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2006 - < 1 1 2006
2 3 4 5 1006009
2004 1 1 2005
2 1006009
(®pcm)
2.a) ĐK để biểu thức có nghĩa là:
- x2 0 3 3 0 3
3
x x
x x
x x
x
hc 3
3
x x
x x
(loại, khơng có số nh thế) Vậy để biểu thức có nghĩa ĐK x là: -3 x
Ta cã: A = 9 x2 9 3
, dÊu "=" x¶y vµ chØ x = VËy maxA= 3 x =
Mặt khác A = 9 x2 0
, dÊu "=" x¶y x= -3 x =
VËy minA = x = - hc x = b) Ta cã: B = 1- x2 2x 5
1, dÊu "=" xảy - x2 +2x + =
2
2 2 1 6 1 6 1 6
1
x
x x x x
x
VËy maxB = x 1 6;x
Câu 4: (5 điểm)
Hình chữ nhật ABCD, sinDAC0,8; AD = 42cm,
GT CE BD, DF AC, AC c¾t BD ë O, AG BD, BH AC
KL a) sinAOD.= ?
b) CEFD hình thang cân tính SCEFD= ?
c) EFGH hình chữ nhật tÝnh SEFCH = ?
C/m: a) ADC vuông D nên: sinDAC 0,8=
2
2 2 2
2
4 42
14
5 5 25 16 25 16
DC AC DC AC DC AC DC AD
AC
A B
C D
F E
0 42
(22)suy 14 5.14 70 ; 4.14 56
5
AC DC
AC cm DC cm
Vì ABCD hình chữ nhËt nªn OA = OB = OC = OD = 1.70 35
2AC 2 cm ;
ADF vuông F nên: DF = AD.sinDAB 42.0,8 33,6 cm;
ODF vu«ng ë F nªn: sin 33,6 0,96 35
DF FOD
DO
suy sinAOD0,96.
b) Ta cã:
2
2 2 2
96 24
100 25 25 24 625 576 625 576 49
DF DO DF DO DF DO DF OF OF
DO
suy 7.35 9,8
25 25 25
DO OF DO
OF cm
XÐt OFD vµ OEC cã: F E 90 ;0 OC OD FOD EOC;
(đối đỉnh), đó:
OFD = OEC (g.c.g) OE = OF = 9,8 cm, ED = FC = 9,8 + 35 = 44,4cm
+ Tõ OE = OF, OD = OC OE OF
OD OC
EF//CD EFDC hình thang, mà DE = CF nên EFDC hình thang cân
+ SEFDC = SDFC + SCOE + SOEF , mµ SDFC = 2
1
44,8.33,6 752, 64
2FC DF2 cm ;
SCOE = 1.33,6.9,8 164,64 2
2CE OE2 DF OE2 cm ; SODC=
2
1
.56.42 588
2
AD
DC cm
2
2
9,8
0,0784 0,0784 0,0784.588 46,10
35 OEF
OEF ODC ODC
S OF
S S cm
S OC
Nnªn SEFDC = 752,64 + 164,64 + 46,10 = 963,38 (cm2)
c) Ta cã: AOG = DOF = BOH = COE (c¹nh hun- gãc nhän) Suy ra: OE = OF = OG = OH EFGH hình chữ nhật
+ SEFGH = 2(SOEF + SOEH), mµ SOEF = 46,10 cm2;
SOEH =
2
2
9,8 56
.42 46,1
35 2
OBC OE
S cm
OB
nªn SEFGH = 2(46,1+46,1) = 184,4(cm2)
Câu 5: (3 điểm)
Xét ABC có đáy BC khơng đổi có diện tích Do chiều cao ứng với cạnh BC không đổi nên A chuyển động đờng thẳng d//BC (nh hình vẽ) Gọi D điểm đối xứng với B qua d, ta có: AB = AD
Chu vi ABC nhỏ AB + AC nhỏ Ta có: AB + AC = DA + AC DC (không đổi);
Dấu "=" xảy D, A, C thẳng hàng
Khi ú A v trí giao điểm E DC d, EBC cân E
Vậy tam giác ABC có cạnh BC diện tích, tam giác cân với cạnh đáy BC có chu vi nhỏ
22
A
B C
E D
(23)Ngày 26/11/09 Đề 9: (Thời gian làm 150/)
Câu1:(4 điểm) Giải phơng trình: a) 1 9x2 6x 2x 6
b) 4x12 9x 27 4 x 3 x0
Câu 2: (3 điểm) Cho biÓu thøc: A =
2
2 2
4
1
x x x x
x x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tìm số ngun x để biểu thức A số nguyên Câu 3: (6 điểm)
1) Cho x + y + z =
a) Tìm giá trị nhỏ cña A = x2 + y2 + z2.
b) Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx 2) chøng minh r»ng a, b, c > th×:
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
3) Cho x, y, z số thực dơng, chứng minh r»ng:
1 1 1
x y z
xy yz zx
Câu 4: (5 điểm) Cho ABC vuông A Kẻ đờng thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh góc vng AB AC M N Biết MB =12 cm, NC = cm, trung điểm MN BC E F
a) Chøng minh ®iĨm A, E, F thẳng hàng
b) Trung im ca BN l G Tính độ dài cạnh số đo góc tam giác EFG c) Chứng minh GEF đồng dạng với ABC
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC Hãy dựng đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên E F cho
DE + DF cã gi¸ trị nhỏ
Giải:(Đề 9) Câu 1:(4 điểm)
a) 1 9x2 6x 2x 6
1 3 x2 2x 6 3 x 2x6
XÐt trêng hỵp: + NÕu x
3
phơng trình có dạng 1- 3x = 2x + 5x = - x = - 1(Thuộc khoảng xét)
+ Nếu x
phơng trình có dạng 3x -1 = 2x + x = (thuéc khoảng xét) Vậy phơng trình có tập nghiÖm S = 1;7
b) ĐK xác định x 3, ta có: 4x12 9x 27 4 x 3 x0
4 x x x 3 x
2 x 3 3 x 3 4 x 3 3 x0
x 3 x 32 0 x 1 x 30 suy ra: * x 0 x 0 x3(Tho¶ mÃn ĐK x 3)
* x 0 x 1 x 1 x4(Thoả mÃn ĐK x 3)
Vậy phơng trình có tập nghiệm S = 3; 4 Câu 2:(3 ®iÓm)
(24)A =
2
2 2
4
1
x x x x
x x
=
2
2 4 4
4
x x x x
x x x = 2 2
2 2 2 2
2
x x x x
x x x x
XÐt trêng hỵp:
* NÕu 2< x < th× A =
2 2
2 2
x x x
x x
x
* NÕu x 6 th× A =
2 2 2
2 2
x x x x
x x
x
b) * Víi 2< x < th× A = 4
2
x
x x , A nguyên
8 x
nguyên 8x mà
2< x < nên x-2 = Suy x = 3, hc x = * Víi a 6th× A = 2
2 x x
x
, đặt x tthì t2
2
2
x t x t
Ta cã: A =
2 2
2
2 2 4 4
2
t t t
t
t t t
Do để A ngun t2thì t = t =
Suy x = 22 + = 6, hc x = 42 + = 18.
VËy víi x = 3; 4; 6; 18 A nguyên Câu 3: (6 điểm)
1) Bình phơng hai vế đẳng thức x + y +z = 3, ta đợc: x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) = (1)
hay A + 2B = XÐt hiÖu:
A - B = x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz = 1 2 2 2 2 2 2
2 x xy y x xz z y yz z
= 2 2 2
2 x y x z y z , dấu "=" xảy chØ x = y = z
Nªn A B, dấu "=" xảy x = y = z (2)
a) Từ (1) (2) suy 3A A + 2B = 9, nên A Do A = x = y = z = b) Từ (1) (2) suy 3B A + 2B = 9, nên B Do max B = x = y = z = 2) Xét:
2 2
2 2 2
( ) ab a b ac a c
a a a ab ac b c
b c b c b c b c b c b c
(1)
T¬ng tù:
2
2 2
bc b c ba b a
b b
c a c a c a c a
(2) ;
2
2 2
ca c a cb c b
c c
a b a b a b a b
(3)
Cộng vế (1), (2) (3) ta đợc:
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c b a b b c c a a b
= ab(a - b) 2 2
1
b c b c a c a c
(25)+ac(a- c)
2 2 2 2
1 1
bc b c
b c b c a b a b a c a c a b a b
Giả sử a b c dấu ngoặc trịn, ngoặc vng biu thc trờn u khụng
âm nên:
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
Suy ra:
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b (đpcm)
3) Với x, y, z số dơng nên áp dụng BĐT Co=si ta có; 1 1
x y x y xy (1); t¬ng tù:
1 1 1
2 (2);
xz xz yz yz (3) Cộng vế với vế (1), (2) (3) ta đợc 1 1
x y z xy xz yz
Suy ra:
1 1 1
x y z
xy yz zx (đpcm) Câu 4: (5 ®iĨm)
`
C/m
a) Ta cã: EM = EN (gt) AE lµ trung tuyến ứng với cạnh huyền vuông AMN nên EA = EM = EN EAM cân E MAEAME (1).
* T¬ng tù ta cã FAB cân F BAF ABF (2) Mà MN//BC (gt) AMEABF (3).
Tõ (1), (2) vµ (3) suy MAE BAF A, E, F thẳng hàng.
b) NBM có EM = EN, GB = GN (gt) nên EG đờng trung bình EG//BM (4) EG = 1.12 6
2BM 2 cm
* Tơng tự với BNC, ta có GF đờng trung bình nên GF//NC (5) GF = 1.9 4,5
2NC2 cm
* v× BM NC (tại A) nên từ (4) (5) suy ra: EG GF (góc có cạnh tơng ứng song song) EGG 900
Do GEF vng G áp dụng định lí Pi- ta- go
ta cã: EF2 = GE2 + GF2 = 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25 EF 7,5cm
* sin E = 4,5 0,6 36 520 / 7,5
GE
E
EF F 900 E 900 36 520 / 53 80 /
VËy GEF cã GE = 6cm, GF = 4,5cm, Ì = 7,5cm, G 90 ,0 E 36 52 ,0 / F 53 80 /
A N C
F B
M G
E ABC , A 900
, MN//BC,
MAB N, AC, MB =12 cm, NC =9cm GT EM = EN, FB = FC, EMN F BC, , GB = GN, GBN
a) A, E, F thẳng hàng
KL b) EF =?, EG =?, FG =?, tÝnh gãc G, E, F cña GEF
(26)c) ABC cã MN//BC (gt) nªn 12
9
AB AC AB MB
MB NC AC NC
Mµ
4,5
GE
GF nªn
AB GE
AC GF XÐt GEF vµ ABC cã A G 900
, AB GE
AC GF nªn GEF P ABC (c.g.c)
C©u 5: (2 ®iĨm)
a) Phân tích: Giả sử dựng đợc EF thoả mãn yêu cầu Trên nửa mặt phẳng bờ AC (khác phía với AD, dựng tia Ax cho
CAx BAD , tia Ax lấy điểm D/ cho
AD/ = AD Ta có D/ điểm cố định và
D/F = DE (V× D/AF = DAE (c.g.c))
Khi DF + DE = DF + D/F DD/
(h»ng sè)
Do DF + DE nhỏ DF + D/F nhỏ F giao điểm DD/ và
AC Từ suy cách dựng b) Cách dựng:
- Dùng tia Ax cho CAx BAD
- Trên tia Ax lấy điểm D/ cho D/F = DE
- Dùng DD/ c¾t AC t¹i F.
- Qua E dựng đờng thẳng song song với BC cắt AB E ta có DF + DE nhỏ
c) Chøng minh:
Theo c¸ch dùng ta cã: D/AF = DAE v× chóng cã AE = AF, /
EAD FAD vµ
AD = AD/ nên DE = D/F DF + DE = DF + D/F = DD/
d) Biện luận: Bài tốn ln dựng c v cú nghim hỡnh
Ngày 01/12/09 Đề 10: (Thời gian làm 150/)
Câu1:(4 điểm) Giải phơng trình:
a) 49 98 14 18
49 x
x x ; b) x 2x1 x 2x1 2
Câu 2: ( điểm)
1) Cho a + b + c = vµ ab + bc + ca =
Chøng minh r»ng: 0 a 4, 0 b vµ 0 c
2) Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 2.
Chøng minh r»ng: 4,0
3
a b
vµ
3 c
3) Cho a, b, c số dơng thoả mÃn diều kiÖn 1
1a1b1c
Tìm giá trị lớn tích: A =abc Câu 3: (3 ®iĨm)
1) Chứng tỏ hai đờng thẳng ax + by = c (1) a/x + b/y = c/ (2) (a, b0; ,a b/ / 0)
26
A
B D C
D/
F E
x
A
C E
B D
x D/
(27)a) C¾t a/ b/
a b ; b) song song / / /
a b c
a b c ; c) Trïng / / /
a b c
a b c 2) Lập hệ phơng trình bậc hai ẩn víi tõng cỈp nghiƯm sau:
a) (-1; 3) b) (3; -4) Câu 4: (5 điểm) Cho ABC cã BC = a, ABC 450
VÒ phía ABC vẽ hình
vuụng ABDE ACFG Giao điểm đờng chéo hai hình vng Q N Trung điểm BC EG M P
a) Chøng minh: AEC = ABG;
b) Chøng minh tø giác MNPQ hình vuông
c) Biết BGC Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a
Câu 5: ( điểm) Cho ABC vuông A Các điểm D, E thuộc cạnh BC cho BD = DE = EC Biết AD =10 cm, AE = 15cm Tính độ dài BC
Gi¶i: (Đề 10) Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình:
a) §K: x 2, ta cã:
2
49 98 14 18
49 x
x x 49x 2 x 2 9x 2 8
7 x 2 x x x
x 4 x 16 x18(thoả mÃn
ĐK ) Vậy phơng trình cã tËp nghiƯm lµ: S = 18
b) §K: 2x -1 x
Nhân vế với 2, ta có:
2 2
x x x x 2x2 2x1 2x 2x1 2
2x 2x 1 2x 2x 1
2x 12 2x 12
2x1 1 2x1 2
XÐt trêng hỵp: * NÕu 1
2 x , phơng trình có dạng: 2x1 1 2x1 2 0x0(Nghiệm với giá trị x thuộc khoảng xột )
* Nếu x 1, phơng trình cã d¹ng: 2x1 1 2x 1 2 2x1 2
(28)VËy phơng trình có tập nghiệm là: S = ,1
x x R x
Câu 2: (6 điểm)
1) Ta có: a + b + c = b c 6 a;
ab + bc + ca = bc 9 a b c 9 a6 a 9 6a a
áp dụng BĐT: (b+c)2 4bc, ta đợc: (6- a)2 4(9- 6a + a2)
36 6a a2 36 24a 4a2 3a2 12a 0
a a 40
0 0
4
a a a a a
hc
0
4
a a a a
(loại, số
thoả mÃn ĐK này) Vậy a
Chøng minh t¬ng tù ta cã: 0 b 4; 0 c
2) Ta cã: a + b + c = b c 2 a b c 2 2 a2
a2 + b2 + c2 = 2 b2 c2 2 a2 2b2c2 2 2 a2
áp dụng BĐT: 2(b2 + c2) (b + c)2, ta cã: 2(2- a2) (2- a)2
- 2a2 - 4a + a2 3a2 - 4a a(3a - 4)
0
0
0
3
3 a a a a a hc 0
3
3 a a a a
(loại, số Thoả mÃn ĐK này) Vậy
3 a
Chøng minh t¬ng tù ta cã: b 4
3; c 3) Ta cã:
1 1
1
1 1 1 1
b c bc
a b c b c b c
(1)
T¬ng tù ta cã:
2
1 1
ac
b a c
(2);
1
1 1
ab
c a b
(3)
Vì vế BĐT (1), (2), (3) dơng nên nhân vế với vế BĐT với nhau, ta đợc:
2
2
1 1
1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
=8
1 1 1 abc
a b c
1 abc
VËy max A = 1
8 a b c Câu 3: (3 điểm)
1) Vì b nên ax + by = c y ax c
b a
(1)
Vì b/ 0 nên a/x + b/y = c/
/ / /
a c
y x
b b
92)
a) Đờng thẳng (1) (2) cắt khi: -
/
/ / /
a a a b
b b a b b) Đờng thẳng (1) (2) song song khi: -
/ /
a a
b b vµ
/ /
c c
b b (hai hệ số góc hai tung độ gốc khác nhau) a/ b/
a b
vµ c/ b/
(29)Vậy đờng thẳng (1) (2) song song a/ b/ c/ a b c c) Dờng thẳng (1) (2) trung khi: -
/
/
a a
b b vµ
/
/ / / /
c c a b c
b b a b c 2) a) Cặp số (-1; 3) nghiệm hệ phơng trình:
1
2 3
x y
x y
hay
2
x y
x y
hay
2
2
x y
x y
b) Cặp số (3; - 4) nghiệm hệ phơng trình:
3
2 3
x y
x y
hay
2
x y
x y
hay
1
2
x y
x y
Câu 4: (5 điểm)
C/m:
a) XÐt AEC vµ ABG có: AE = AB (Cạnh hình vuông ABDE);
gãc EAC = gãc BAG = 900 + gãc BAC; AG = AC (cạnh hình vuông ACFG)
Nên AEC = ABG (c.g.c)
b) Xét BCG có MB = MC, NC = NG (gt) MN đờng trung bình, MN//BG MN =
2BG
Chøng minh t¬ng tù ta cã MQ//EC vµ MQ =1
2EC; PQ//BG vµ PQ =
2BG; NP//EC vµ NP =
2EC mà EC = BG (hai cạnh tơng ứng tam giác AEC va ABG) nên MN = MQ = PQ = PN MNPQ lµ hình thoi.(1)
Gọi giao điểm AB vµ CE lµ I, cđa BG vµ CE lµ K
XÐt AEI vµ IBK cã AEI KBI (2 góc tơng ứng tam giác AEC vµ
ABG); AIEKIB (đối đỉnh) nên IKB IAE 900
suy EC BG
Ta cã: PQ//BG, NP//EC mµ EC BG nªn PQ NP QPN 900
(2)
Từ (1) (2) suy MNPQ hình vu«ng
c) BE đờng chéo hình vng ABDE nên đờng phân giác góc ABD, ú
450
ABE , mà ABC450 nên CBE = ABC ABE 450450 900
BCE cã CBE 900
, BEC nªn CE =
sin sin
BC a
MQ = 2sin
a
Do SMNPQ =
2
2
2sin 4sin
a a
Câu 5: (2điểm)
29
A
C B
D E
Q P
G
F
N
KI ABC , gãc A =900, BC = a
Gãc ABC = 450 Hình vuông
GT ACFG, ABDE, MB = MC, BEAD = Q , PE = PG, AFGC = N , gãc BEC =
a) AEC = ABG;
KL b) MNPQ hình vuông c) Tính diện tích hình vuông MNPQ
M
Â
K ABC, A 90 ;0
D, EDC
GT BD = DE = EC
(30)C/m
KỴ DH// AC, EK//AB Đặt DH = x, EK = y AC = 3x, AK = 2x, AB = 3y, AH =2y Xét AHD vuông H, ta cã: HD2 + HA2 = AD2 x2 + 4y2 = 102 = 100
XÐt AEK vuông K, ta có: KA2 + KE2 = AE2 4x2 + y2 = 152 = 225
Suy ra: 5(x2 + y2) = 325 x2 + y2 = 65.
xÐt HBD vu«ng t¹i H, ta cã: BD2 = HD2 + BD2 = x2 + y2 = 65
65 BD
(cm)
Do đó: BC = 65 24,19 cm
Ngày 07/12/09 Đề 11: (Thời gian làm 150/)
Câu 1: (6 điểm)
1) Giải phơng trình:
a) x 3 2 x32 x 26 b) x22x22 x2 2x
2) Giải hệ phơng trình:
a) 2
2 15
x y
x y
b)
7 37
x y z
x y z
C©u 2: (3 ®iĨm)
Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:
a) a b c
b c a a c b a b c ;
b) , ,
a b b c c a độ dài cạnh củ tam giỏc
Câu 3: (3 điểm)
1) Tính giá trÞ biĨu thøc M = x22 y22 z22
a b c , biÕt:
a b c
x yz vµ
x y z
a b c 2) Cho sè d¬ng x, y có tổng x + y = Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = 12 12
x y
Câu 4: (6 điểm) Cho điểm A, B, C theo thứ tự đờng thẳng AB = 4BC Vẽ hai nửa đờng trịn tâm O tâm O/ đờng kính AB BC nửa mặt
phẳng bờ AC Tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn có tiếp điểm với đờng trịn(O) F nửa đờng tròn (O/) G, tiếp tuyến cắt tiếp tuyến vẽ từ A C hai
nửa đờng tròn (O) (O/) theo thứ tự D E Tiếp tuyến chung hai nửa đờng
tròn B cắt DE I
a) Chứng minh tam giác ôI/; DOI IO/E tam giác vuông.
b) Tớnh BI, EG v AD theo O/C = a (a độ dài cho trớc)
c) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ACED theo a
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân có AB =AC = 10cm Tam giác DEF vuông cân D nội tiếp tam giác ABC (D AB, F AC, E BC)
Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ
30
B D E C
H
(31)Giải: (Đề 11) Câu 1: (6 điểm) a) ĐK: x 0, ta có:
x 3 2 x32 x 26 x 3 x3 x 3 x 3 x 26
12 x x 26 13 x 26 x x
(thoả mÃn ĐK trên)
Vởy phơng trình có tập nghiệm S = 4 b) x2 2x 22 x2 2x 1 0
x22x22 x12 0
2 2 2 1 0
x x x
x121 x1 0
V× (x+1)
2 +1
x1 nên vế trái
luôn lớn Vậy phơng trình vô nghiệm., hay S =
2) §K: x1, y -2 §Ỉt x1 u 0, y2 v 0, ta cã hƯ phơng trình:
2 11 11
2 15 15 15 15 5.1 10
u v u v v v
u v u v u v u
5 u v
(thoả mÃn ĐK
trên)
* Với u = x 5 x1 25 x26;
* Víi v = y2 1 y 2 y1
Cả hai giá trị x =26 y = - thoả mãn ĐK: x1, y -2 Vậy hệ phơng trình có
mét nghiƯm nhÊt lµ: (x; y) = (26; -1)
b) Cách 1: Đặt , ,
4
x y z
k x k y k z k
vào phơng tr×nh ta cã:
7.4k - 3.3k + 9k = 37 28k- 9k + 18k = 37 37k = 37 k=1 Do đó:
x = 4, y = 3, z = Vëy ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm nhÊt (x; y; z) = (4; 3; 9) C¸ch 2:
4
7 37
x y z
x y z
7 37
1
4 28 18 28 18 37
7 37
x y z x y z x y z
x y z
x 4,y 3,z
VËy hÖ phơng trình có nghiệm nhất: (x; y; z) = (4; 3; 9) Câu 2: (3 điểm)
1) a) Đặt b + c - a = x, c + a - b = y, a + b - c = z th× 2a = y + z, 2b = x + z, 2c = x + y
Ta cã: 2a 2b 2c y z z x x y
b c a a c b a b c x y z
=
y x z x z y
x y x z y z
Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên tổng hai cạnh lớn cạnh cịn lại, theo cách đặt x, y, z số dơng nên theo BĐT Cơ- Si ta có:
2
y x y x
x y x y , dÊu "=" x¶y x = y; t¬ng tù: z x
xz , dÊu "=" x¶y x = z vµ z y
(32)y x z x z y
x y x z y z
6, dÊu "=" x¶y x = y = z
Chia hai vế cho 2, ta đợc: a b c
b c a a c b a b c , dÊu "= x¶y a = b = c
b) Vì a, b, c cạnh tam giác nên: a + b > c, b + c > a, a + c > b Do đó:
1 1 2
2
a c b c a b c a b c a b c a b a b a b a b
1 1
a c b c a b
T¬ng tù ta cã:
1 1
a b a c b c vµ
1 1
a b b c a c
Điều chứng tỏ: , ,
a b b c c a độ dài cạnh củ tam giỏc
Câu 3: (3 điểm) 1)* Từ x y z
a b c suy ra:
2 2 2 2
2 2
1
x y z x y z xy xz yz
a b c a b c ab ac bc
2.xyc xzb yza M
abc
(1)
* Tõ a b c
x y z 0
ayz bxz cxy
yza xzb xyc xyz
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy M = 2) Ta cã: A =
2
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 x y
x y x y x y x y x y
Mà x + y = nên (x + y)2 = x2 y2 2xy 1 x2 y2 1 2xy
Nªn A = 1- 2 21 21 2
x y xyx y xy Do A nhỏ xy
nhỏ x y lớn Vì x, y số dơng x + y = 1(không đổi) nên x.y lớn
2 x y
Khi A = 1+ 2
1
2
VËy A =
2 x y
C©u 4: (6 ®iĨm)(Tù ghi GT &KL)
Chøng minh:
a) c/m OIO/, DOI, IO/E tam giác vu«ng.
- Ta có: * IB, IF tiếp tuyến đờng tròn (0) nên IO phân giác góc FIB góc FOB;
* IB, IG tiếp tuyến đờng tròn (0/) nên OI phân giác góc BIG
vµ gãc BO/G;
* DA, DF tiếp tuyến đờng tròn (0) nên DO phân giác góc AOF; * EC, EG tiếp tuyến đờng tròn (0/) nên EO/ phân giác góc CO/G.
Mµ gãc AOF vµ gãc FOB lµ hai gãc kỊ bï DO OI nªn DOI vuông O;
Góc FIB góc BIG hai góc kề bù OI IO/ nên OIO/ vuông I; góc
BO/G gãc GO/C lµ hai gãc kỊ bï IO/
O/E nên IO/E vuông O/
b) TÝnh BI, EG, AD
32
A 0 B 0/ C
E I
G F
(33)Ta cã: O/C = a mµ AB = 4BC suy O/B = a, OB = 4a.
* OIO/ vuông I, đờng cao IB, theo hệ thức lợng tam giác vng ta có:
IB2 = OB.BO/ = 4a.a = 4a2 BI = 2a.
* EIO/ vng O/ có đờng cao O/G, theo hệ thức lợng tam giác vuông
ta cã: O/G2 = IG.GE mµ IG =IB = 2a, O/G =a nªn GE =
/ 2
2
O G a a
IG a
* OID vng O, có đờng cao OF, theo hệ thức lợng tam giác vng ta có: OF2 = DF.FI mà DF = DA, OF = OB = 4a, FI = IB = 2a
nªn DA =
2 4
8
a OF
a
FI a
c) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ACED
Ta có: AD//CE vng góc với AC nên tứ giác ACED hình thang vng có đáy lớn AD = 8a, đáy bé CE = GE =
2 a
, đờng cao AC = AB + BC = 2(OB + O/B)
AC = 2(4a + a) = 10a nên diện tích là: S = 10 42,5
2 a a
a a
C©u 5: (2 ®iÓm)
Chøng minh:
Gäi AD = x Kẻ EH AB AD = EH = BH = x, DH = 10 - 2x
Ta cã: SDEF =
2
2 2
1 1
10
2DE DF 2DE 2 EH DH 2x x
= 1 100 40 4 2 15 40 100
2 x x x 2 x x
= 5 20 5 42 10 10
2 x x 2 x
Suy SDEF = 10 (cm2) x = Do AD = 4cm Vậy điểm D cỏch A mt
khoảng 4cm diện tích tam giác DEF nhỏ 10cm2.
Phòng gd & đt thọ xuân
thi chn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 - 2010 Mơn: tốn lớp
(thêi gian lµm bµi 150 phút) Câu I (4,0 điểm) Giải phơng trình sau:
A F C
D H B
E x x
x ABC: AB = AC = 10cm, A 900
,
DEF: DE = DF, D 900
GT DAB E BC F, , AC
KL Xác định vị trí điểm D để SDEF nhỏ
(34)1/ x6 - 9x3 + = 2/ x2 16x 64 x2 10
C©u II (4,5 điểm)
1/ Tìm số dơng a, b, c biÕt abc = vµ a + b + c + ab + bc + ca
2/ Giải hệ phơng trình:
4
4
4
x y z
y z x
z x y
C©u III (4,5 ®iĨm)
1/ Chøng minh r»ng: 22
3
x x
x x
2/ Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x y
x y
Câu IV (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, HB = 20cm, HC = 45cm Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đờng tròn (M, N tiếp điểm khác điểm H)
1/ Chøng minh ®iĨm M, A, N thẳng hàng 2/ Tính diện tích tứ gi¸c BMNC
3/ Gọi K giao điểm CN HA Tính độ dài AK, KN Câu V (2,0 điểm)
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AD = BC) Gọi O giao điểm hai đờng chéo hình thang M, N, P theo thứ tự trung điểm OA, OD, BC Nu AOB 600
thì tam giác MNP tam giác ?
Giải: Câu 1: (4 điểm) giải PT
1/ x6 - 9x3 + = x3(x3 -1) - 8(x3 -1) = (x3- 1)(x3- 8) = 0
3
3
1 1
2
8
x x x
x
x x
VËy PT cã t/n S = 1; 2 2/ x2 16x 64 x2 10
x 82 x2 0 x 8 x 0
XÐt trêng hỵp:
a) Nếu x < PT trở thành: - x + - x = 10 2x 2 x1 (Thoả mÃn ĐK x<0)
(35)c) Nếu x 8thì PT trở thành: x + x - = 10 2x = 18 x = (Thoả mÃn ĐK x8)
Vậy PT có t/n: S = 1;9 Câu2: (4,5 điểm)
1/ Từ abc = suy ra: ab = 1;ac 1,bc c b a Ta cã: a + b + c + ab + bc + ca = (a +1
a) + (b +
b ) + (c +
c) (1) V× a, b, c số dơng nên áp dụng BĐT Cô Si cho tổng ta có: a+ a.1
a a , dÊu "=" x¶y
1
1
a a
a
;
T¬ng tù ta cã: b + 2;c
b c dấu "=" xảy b = c = Do đó: (a +1
a) + (b +
b) + (c +
c) + + = 6, dÊu "=" x¶y a = b = c =1.(2) Tõ (1), (2) vµ (3) suy a = b = c =
2) §K: x 1; 1;
4 y z
4
4
4
x y z
y z x
z x y
cộng vế với vế phơng trình ta cã:
2(x+ y + z ) = 4z1 4x1 4y1 4x y z 2 4z1 4x1 4y1
(4x 4x 1) (4y 4y 1) (4z 4z 1)
4x 1 2 4y 1 2 4z 12
4 1 1 4 1 1
4 1 1 1
4 1
4 1 1
x x x
y y y
z z z
4 0,5
4 0,5
4 0,5
x x y y z z
VËy hÖ PT cã nghiÖm nhÊt (x; y; z) = (0,5; 0,5; 0,5) C©u 3: (4,5 ®iĨm)
1/ XÐt hiƯu: *
2
2 2
2 2
2
1 3 2( 1)
1 3 1 3 1 3
3
2 4
x
x x x x x x x x
x x x x
x x
22 1
x x
x x
(1) Dấu "=" xảy x = -1
*
2
2 2
2
2 2
2 2
1 3
3
1 1 1 3
2
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x 2 x x x x
(2) DÊu "=" x¶y vµ chØ x =
VËy 22
3 x x x x
2/ Đặt x1=t 0 x t 2 1; y 2 z y z 22 vµ B = x 1;C y
x y
(36)A = B + C, A lín nhÊt B vµ C lín nhÊt Mµ B =
1 1 t
t t
t
B lín nhÊt t +
1
tnhá nhÊt V× t
t=1 (không đổi) nên tổng t + t nhỏ t=1 t2 t
t Do maxB =
1
1
2 t x
C =
1 2
z
z z
z
C lín nhÊt z
z
nhá nhÊt V× z.2
z =2 (khơng đổi) nên tổng z + z nhỏ z z2 z
z
Do maxC = 2
4 z y
VËy max A = 2 2,
2 4 x y
Câu4: (5 điểm)
C/m:
a) Ta có:+ BM, BH tiếp tuyến đờng trịn (A; AH) nên MAB BAH ; + CN, CH tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) nên NAC CAH ;
Do NAC NAB CAH HAB 900
nên MAN MAH HAN 2BAH HAC 2.900 1800. M, A, N thẳng hàng b) Ta có BM//CN ( vng góc vớ MN) BMNC hình thang vng SBMNC =
2 BM CN
MN
Mµ MN = AM = 2AH = CH HB 2 45.20 2.30 60 cm, BM = BH= 20cm,
CN = CH= 45cm
Nªn SBMNC = 20 45.60 1950 2
2 cm
c) Ta cã: KNA P KHC (g.g) (V× K chung, N H 900
30
45
KN KA NA
KH KC CH
suy ra: 3KN = 2KH hay 3KN = 2(KA + 30)
3KN = 2KA +60 3KN - 2KA = 60 (1)
Vµ 3KA = 2KC hay 3KA = 2(KN + 45) 2KN - 3KA = - 90 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:
3 60 120
2 90 270
KN KA KN KA
KN KA KN KA
78
5 390 78
2.78 60
3 60 72
3 KA
KA KA
KN KA KN KN
VËy AK = 78 cm, KN = 72cm Câu 5: (2 điểm)
36
A B
M H C
N
K ABC, A 900
HB = 20cm,
HC = 45cm, (A; AH),BM AM,
GT CN AN, M,N (A; AH), CNAH t¹i K
a) M, N, A thẳng hàng KL b) SBMNC = ?
c) AK = ?, KN = ?
A B
M Hình thang ABCD cân, AB//CD, AD=BC
GT ACBD 0 , MA = MO, NO = ND, PB = PC, AOB 600
KL MNP tam giác gì?
(37)C/m
Vì ABCD hình thang cân nên OA = OB AOB c©n cã gãc b»ng 600 nên tam
giỏc u Do ú trung tuyến BM đờng cao MBC vng M, MP trung tuyến ứng với cạnh huyền nên MP =
2BC (1)
Tơng tự ta có NP trung tuyến ứng với cạnh huyến NBC nên NP =1
2BC (2) OAD có MN đờng trung bỡnh nờn MN =1
2AD mà AD BC nên MN =
2BC (3) Từ (1), (2) (3) suy tam giác MNP tam giác
P C D