SKKN: Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập liên quan - Hướng khắc phục

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬA CHỮA NHỮNG SAI SÓT CỦA HỌC SINH KHI KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ, BÀI TẬP LIÊN QUAN HƯỚNG KHẮC PHỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, nội dung khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tập liên quan ứng dụng đạo hàm có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có chương trình, số điểm cấu trúc điểm đề thi TN THPT hàng năm Là công cụ hữu dụng để giải hầu hết toán đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh lớp 12 trường PTDTNT hay gặp khó khăn giải toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Học sinh thường mắc sai lầm mà em khơng tự khắc phục khơng có hướng dẫn thầy giáo Chẳng hạn, với tập: Cho hàm số y = x  mx  (m  m  1)x  1.Khảo sát vẽ đồ thi hàm số với m = 2.Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = Đa số em sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số Số lượng Tỷ lệ 36) Không giải 06 16,6 % Giải sai phương pháp 24 66,8 % Giải phương pháp 06 16,6 % Lớp 12 B (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng Tỷ lệ 13 19 04 36 % 53 % 11 % Biểu đồ so sánh mức độ sai sót lớp 12 A, B giải tập 45 40 35 30 25 20 15 10 Không giải Sai PP Giải 12A 12B Tổng lớp Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số, chọn đề tài " Sửa chữa sai sót học sinh khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tập liên quan - Hướng khắc phục" II Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III Nhiệm vụ nghiên cứu - Đánh giá thực tế trình vận dụng giải tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban bản) để có giải tốn hồn chỉnh xác IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 - Học sinh 02 lớp phụ trách 12 A, B (tổng số học sinh 72) trường PTDT NT, năm học 2011 – 2012 kinh nghiệm số năm học trước V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận Nội dung chương trình (Chương I - giải tích 12 - Ban bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số: * Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2) * Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) > f(x2) 1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến: * Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f(x) - g(x) * Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x).g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f(x).g(x) f(x) g(x) hai hàm số khơng dương D 1.3 Cơng thức tính đạo hàm: Hàm số hợp y  u  có đạo hàm y '  .u 1.u ' (*) * công thức (*) với số mũ  số * Nếu  khơng ngun cơng thức (*) u nhận giá trị dương 1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí: * Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f '  x   với x  K hàm số f(x) đồng biến K b Nếu f '  x   với x  K hàm số f(x) nghịch biến K c Nếu f '(x) = với x  K hàm số f(x) khơng đổi K + Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần 1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí sau: * Định lý (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K  (x  h; x  h) có đạo hàm K K \ x  , với h > a Nếu f '  x   khoảng (x  h; x ) f '  x   khoảng (x ; x  h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b Nếu f '  x   khoảng (x  h; x ) f '  x   khoảng (x  h; x ) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) * Định lý (Quy tắc II): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x  h; x  h) , với h > Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại + Quy tắc để tìm điểm cực trị hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung khơng 1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D: f (x)  m , x  D f (x)  M , x  D , M  max f (x)   D x  D : f (x )  m x  D : f (x )  M m  f (x)   D + Nếu f (x)  m , x  D (hay f (x)  M , x  D ) không x  D : f (x )  m (hay x  D : f (x )  M ) dấu "=" khơng xảy Khi đó, khơng tồn giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D + Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) cần chuyển đổi điều kiện để toán tương đương 1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x): * Tiếp tuyến điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0 * Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: f (x)  k(x  x1 )  y1 y = k.(x - x1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:  f '(x)  k (I) + Nếu điểm M1(x1;y1) nói thuộc (C) hệ số góc k thỏa mãn hệ (I) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến Sai sót thường gặp giải tốn 2.1 Sai sót tốn xét tính đơn điệu hàm số, khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay không ý tới điểm tới hạn hàm số 2.2 Sai sót tốn chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến 2.3 Sai sót việc giải tốn liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai cơng thức lũy thừa với số mũ thực 2.4 Sai sót việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) 2.5 Sai sót việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi tốn khơng tương đương 2.6 Sai sót việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số 2.7 Sai sót vẽ đồ thị hàm số, xác hóa đồ thị hàm số II Cơ sở pháp lý - Dựa khái niệm, định nghĩa, định lý học chương I "ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " - Dựa khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới q trình giải tập ứng dụng đạo hàm - Dựa kết đắn chân lý hiển nhiên hay chứng minh, thừa nhận CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua điểm đến đồ thị hàm số cho CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I Biện pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, giải thích rõ khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lý - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng mức độ cao - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên có đổi phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai làm thường mắc phải giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, số toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân loại tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo II Nghiên cứu thực tế: Phân tích sai sót thơng qua số ví dụ Sai sót xét tính đơn điệu hàm số * Các em thường mắc phải sai lầm không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu hàm số: y  f (x)  x 1 x 1 Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ \ {- 1} Ta có: y '   0, x  D (x  1)2 Bảng biến thiên: x - ¥ +¥ -1 Y' + + +¥ y 1 - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến (- ¥ ;- 1) È (- 1; + ¥ ) Phân tích: Lời giải đúng, ta khơng ý đến kết luận toán Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = - Ỵ D x = Ỵ D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) Lời giải đúng: Tập xác định: D = ¡ \ {- 1} Ta có: y '   0, x  D (x  1)2 Bảng biến thiên: x - ¥ y' +¥ -1 + + +¥ y 1 - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ;- 1) (- 1; + ¥ ) * Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu hàm số: y  f (x)   x  x  Học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = [- 2; 2] Ta có: y '   x  x2 y '   1 x  x2 0 x     x2  x   x2  x2    x  Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: -2 x - y' - + -3 Y 2 - 2- -1 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng (- 2; - 2) ( 2; 2) Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn é- 2; - ù giá trị hàm số giảm từ –3 xuống – Thực - úû ëê điểm tới hạn hàm số Lời giải đúng: Tập xác định: D = [- 2; 2] y '   1 Ta có: y '   x  x2 x  x    x2  x   2  x2 4  x  x x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) giữ nguyên dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: x -2 2 y' + - 2- Y -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) Sai sót chứng minh bất đẳng thức *Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm không nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, SGK Giải tích 12 CB) ỉ pư Chứng minh rng: tanx > x, vi " x ẻ ỗỗỗ0; ÷÷÷ è 2ø Một số học sinh trình bày sau: ỉ pư Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗỗỗ0; ữữữ ố 2ứ - = tan x > , " x Ỵ cos2 x Ta có: f '(x) = ỉ p ửữ ỗỗ0; ữ, suy hm s f(x) ng bin çè ÷ ø ỉ pư khoảng ççç0; ÷÷÷ è 2ø ỉ pư Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ỗỗỗ0; ữữữ è 2ø Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm khó để phát ỉ pư khơng chặt chẽ Sau kết luận f(x) ng bin trờn khong ỗỗỗ0; ữữữ thỡ vỡ từ x > è 2ø Þ f(x) > f(0) ổ pử Sai lm õy l ẽ ỗỗỗ0; ÷÷÷ è 2ø Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn [a; b ] (tức f(x) liên tục [a; b ] f '(x)> với " x Î (a; b)) với " x1 , x Î [a; b ], x1 > x Þ f (x1 ) > f (x ) Lời giải đúng: é pö Xét hàm số f(x) = tanx - x, vi x ẻ ờ0; ữữữ ởờ ứ Ta cú: f '(x) = - = tan x ³ , " x Ỵ cos x é p÷ ê0; ÷ , dấu "=" xảy x = 0, suy ÷ êë ø é pö hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng ê0; ÷÷÷ êë ø ỉ pư Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với " x ẻ ỗỗỗ0; ữữữ ố 2ứ * Cỏc em cng hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ 4: Chứng minh với " x Ỵ ¡ , x > - x.e x > Một số học sinh trình bày sau: e Xét hàm số f(x) = x, g(x) = ex hàm đồng biến ¡ Suy hàm số h(x) = x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến ¡ Suy ra, từ x > - Þ f(x) > f(-1) hay x.e x > - e Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ , " x ³ - , dấu "=" xảy x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng [- 1; + ¥ ) Từ x > - Þ f(x) > f(-1) hay x.e x > - e Sai sót giải toán liên quan tới đạo hàm * Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ 5: Tính đạo hàm hàm số y = (2x+1)x Học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2x + 1) x- (2x + 1) ' = 2x.(2x + 1) x- Phân tích: Lời giải vận dụng cơng thức (u a )' = a u a - 1.u ' Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ a số Lời giải đúng: Điều kiện: x > - , x ¹ (khi y > 0) Từ y = (2x+1)x Þ ln y = x.ln(2x + 1) Þ (ln y) ' = (x.ln(2x + 1))' Þ y' 2x = ln(2x + 1) + y 2x + é 2x ù ú Þ y ' = (2x + 1) x êln(2x + 1) + 2x + ú ëê û * Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức (u a )' = a u a - 1.u ' , a Ỵ ¡ , qn a khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương Ví dụ 6: Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = - Một số học sinh trình bày sau: Với x = - ta có y = (- 1)2 = Ta có y = x suy y ' = x 3 2 2 -1 (- 1) = (- 1) = éëê(- 1) ùúû = = 3 3 y '(-1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 (x + 1) + hay y = x + 3 Phân tích: Sai sót em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ - khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết (- 1) khơng (!) Lời giải đúng: Với x = - ta có y = (- 1)2 = Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - 2x 2 = Þ y '(-1) = 3y 3 x 2 (x + 1) + hay y = - x + 3 Sai sót giải tốn liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số học sinh quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  y ' > , " x ẻ (a; b) ị hàm số đồng biến khoảng (a;b)  y ' < , " x ẻ (a; b) ị hm số nghịch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng Ví dụ 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x - mx + x - đồng biến ¡ Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ ìï a > ïỵ D ' < y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến ¡ Û y ' > , " x Ỵ ¡ Û ïí ï >0 ïì Û Û ïí ïïỵ m - < 3< m< Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến ¡ , y ' = 3x ³ 0, " x Ỵ ¡ , dấu "=" xảy x= Nhớ rằng: hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), f '(x) ³ , " x Ỵ (a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) Lời giải đúng: ìï a > Hàm số đồng biến ¡ Û y ' ³ , " x Ỵ ¡ Û ïí ïïỵ D ' £ ìï >0 Û Û ïí ïïỵ m - £ 3£ m£ * Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số, nhiều học sinh qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc: ìï f '(x ) = + ïí Þ x điểm cực tiểu ïïỵ f ''(x ) > ïì f '(x ) = + ïí Þ x điểm cực đại ïïỵ f ''(x ) < Điều ngược lại nói chung khơng Do tìm điểm x , cần thử lại Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 ïì f '(0) = ïì 4m.0 = Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là: ïí hệ vơ nghiệm Û ïí ï ï ïỵ f ''(0) < ïỵ 12m.0 < Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x - ¥ y' +¥ + y - - ¥ - ¥ Suy hàm số đạt cực đại x = Lời giải sai đâu? ïì f '(x ) = Þ x điểm cực đại hàm số, cịn điều ïỵ f ''(x ) < Nhớ rằng, x0 thỏa mãn ïí ï ngược lại chưa Vì x0 điểm cực đại f ''(x0) = Lý điều kiện f ''(x0) < điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), đó: ìï f '(x) > f '(x ) = 0, " x ẻ (x - h; x ) ị x điểm cực đại hàm số íï ïïỵ f '(x) < f '(x ) = 0, " x Ỵ (x ; x + h) Lời giải đúng: Cách 1: Ta có y ' = 4mx3 Để hàm số đạt cực đại x = y '(x) > 0, " x Ỵ (- h;0) , với h > ìï 4mx Tức là: ùớ >0 ị ùùợ - h < x < m < Thử lại, ta thấy với m < điều kiện cần tìm Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta có y = f(x) = hàm nên hàm số cực trị + m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực tiểu hàm số + m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = m < Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx ìï 4.03 +3m.02 = ìïï f '(0) = Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: í Û ïí ïïỵ f ''(0) > ïï 12m.02 + 6m.0 > î hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x +¥ y' y +¥ - + +¥ +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = Lời giải đúng: Cách 1: ìï f '(x) < 0, " x Î (- h;0) (1) Để hàm số đạt cực tiểu x = ïí (với h > 0) ùùợ f '(x) > 0, " x ẻ ( ; h) (2) ìï " x Ỵ (- h; 0) Û (1) Û ïí ïïỵ 4x + 3mx < ìïï " x Ỵ (- h; 0) í ùợù 4x + 3m < ùỡù " x ẻ (- h;0) 3m Û ïí Û ³ Û m £ (1') 3m ïï x < 4 ỵï ïì " x Ỵ (0; h) (2) Û ïí Û ïïỵ 4x + 3mx > ïìï " x Ỵ (0; h) 3m Û ïí Û £ Û 3m ïï x > 4 ỵï ïíìï " x ẻ (0; h) ùùợ 4x + 3m > m ³ (2') Từ (1') (2') suy m = Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x - ¥ y' Y +¥ - + +¥ +¥ Suy hàm số đạt cực tiểu x = + m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = + m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = Û x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Sai sót giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số * Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos x + + cos x ỉ ÷ ỗỗcosx + ữ- ỗố ứ cosx ữ Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx + 1 = t2 - Þ cos x + cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - ³ - 4, " t Ỵ ¡ Vậy f (x) = - , t = - Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), " t Ỵ ¡ Có thể thấy t = - khơng tồn giá trị x để cosx + = - cosx f(x)  m , x  D x  D : f(x )  m Nhớ rằng, số m  f(x)   D Lời giải đúng: ìp ü , với x Ỵ D = ¡ \ ïí + kp , k Ỵ Â ùý ùợù cosx ỵùù 1 ị t = cosx + = cosx + ³ Dấu "=" xảy cosx = cosx cosx Đặt t = cosx + Khi đó: cos x + = t - 2 cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ ): t -2 - ¥ g '(t) - - -1 +¥ + + +¥ +¥ G(t) -3 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m  f(x) = g(t)  3 D t 2 = - Û cosx = - Û x = p + k2p , k ẻ Â cosx Sai sút vit phng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Đạt t = - Û cosx + Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến y (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) Một số học sinh trình bày sau: h x = 4 A f '(x) = - 3x + 6x Ta có điểm A(-1;4) Ỵ đồ thị (C) suy phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 Û y = - 9(x + 1) + x Û y = - 9x - Phân tích: -1 O qx = -9 x-5 fx = -x3 +3 x2 Phương trình tiếp tuyến y = - 9x - tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có -5 tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải đúng: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: ìï - x + 3x = k(x + 1) + ïí (I) ïï = - 3x + 6x k ỵ ìï x - 3x - = éx = 2, k = ê Hệ (I) Û ïí Û ïï k = - 3x + 6x î êëx = - 1, k = - Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4, y = - 9x - Sai sót vẽ xác hóa đồ thị hàm số: Học sinh bỏ qua việc tìm thêm điểm đặc biệt lân cận điểm cực trị, điểm vơ định Khơng tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, lúc tìm giao điểm với trục Ox dễ dàng Khơng chứng minh tính đối xứng khơng tìm điểm uốn Vẽ gấp khúc vẽ đồ thi cắt tiệm cận Giải pháp: Lưu ý khơng tìm giao điểm với Ox, cần cho y giá trị CĐ, CT để tìm x, tìm điểm uốn, cho thêm vài giá trị x để xác hóa điểm đồ thị qua Bài tập tương tự Bài 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = 2x + x- b y = x2 + x + x+ c y = cosx - sinx Bài 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y= x + 2mx - x- m Bài 3: Tìm cực trị hàm số sau: a y = (7 - x) x + b y = cosx - sinx c y = sin2x Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x = 1: ỉ 2ư y = x - mx + ỗỗm - ữ ữx + ỗố ứ 3÷ Bài 5: Xác định a để hàm số sau đồng biến ¡ : y= (a - 1)x + ax + (3a - 2)x Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a y = x + 3x - 72x + 90 đoạn [- 5;5] é 3p ù ú êë ú û b y = 2sinx + sin2x đoạn ê0; c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a e x + cos x ³ + x - x2 , "xỴ ¡ ( ) b e x - e- x ³ 2ln x + 1+ x , " x ³ x c 8sin + sin 2x > 2x, " x Ỵ éë0; p ùû Bài 9: Cho hàm số y = x - (m - 1)x + (m - 3)x + (m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + ba điểm phân biệt Bài 10: Với giá trị tham số m phương trình: x - x = m( x - 1) có nghiệm thực phân biệt ? Bài 11: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau 1) y  2x  x 1 , 2) y  , x 1 3x  3) y  3x  x3 4) y  x3  3x  5) y  ( x  4) 6) y   x  x  III Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt có khả quan Cụ thể qua số kết thu hoạch kiểm tra khả giải tập học sinh lớp 12 A 12 B sau: Bài 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  (m2  24)x  đạt cực tiểu x  Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Không giải 02 Giải sai phương pháp 04 Giải phương pháp 30 Tỷ lệ 5,5 % 11 % 83,5 % Lớp 12 B (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Tỷ lệ 8,3 % 13,8 % 77,9 % Số lượng 03 05 28 x2  2x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Không giải 01 Giải sai phương pháp 03 Giải phương pháp 32 Bài 2: Xét tính đơn điệu hàm số y  f (x)  Lớp 12 B (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 02 06 28 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: ex + cos x ³ + x - Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Lớp 12 B (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Tỷ lệ 2,7 % 8,3 % 89 % Tỷ lệ 5,5 % 16,7 % 77,8 % x2 , "x Î ¡ Số lượng 04 23 Tỷ lệ 25 % 11,1 % 63,9 % Số lượng 18 05 13 Tỷ lệ 50 % 13,8 % 36,2 % BIỂU ĐỒ SO SÁNH SAU KHI ĐÃ CHỈ RA SAI LẦM VÀ UỐN NẮN HỌC SINH SỬA CHỮA SAI SÓT 80 70 60 50 Không giải 40 Sai PP 30 Giải 20 10 Lớp 12 A Lớp 12 B Tổng lớp Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh ( yếu học sinh khá) đem lại hiệu rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung học Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I Kết luận Thơng qua sai sót cách hiểu sai định nghĩa, khái niệm, định lý học sinh, giáo viên phát ra, tìm nguyên nhân, kịp thời uốn nắn sửa chữa sai sót giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu chất toán học tri thức học, đồng thời giúp học sinh tránh sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Thông qua viết này, cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng ; người học quay trở lại để kiểm chứng lý thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ hữu hiệu để giải nhiều toán, nữa, tốn giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đễ hiểu Đối với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, học sinh có lực học trung bình trở xuống Học sinh thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lý kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu Ở cấp độ trường trung học phổ thông dân tộc, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, chia sẻ đồng nghiệp, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lý kiến thức liên quan học, giúp học sinh tránh khỏi lúng túng trước tốn đặt khơng mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tơi khơng có tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học cấp trường , Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo quý thầy II Kiến nghị Đạo hàm hàm số có nhiều ứng dụng, mà ứng dụng khảo sát, vẽ đồ thị hàm số giải tốn liên quan Ngồi ra, đạo hàm cịn cơng cụ sắc bén để giải nhiều dạng tốn khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Tơi hi vọng đề tài đóng góp phần vào việc giải dạng tốn nêu ; Các thầy cô phát thêm sai sót học sinh q trình giải toán, để uốn nắn kịp thời, tạo cho học sinh hội sửa sai thêm yêu thich môn Tốn Đây sai sót thường gặp em học sinh q trình học tốn, ơn thi tốt nghiệp thi vào trường Đại học, Cao đẳng Người viết Alex Tài liệu tham khảo: SGK Tốn Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2007 SGV Toán 12 – CB NXB Giáo dục 2007 SBT Tốn Giải tích 12 – CB NXB Giáo dục 2007 Chuẩn kiến thức kỹ mơn Tốn NXB Giáo dục năm 2010 Hướng dẫn ôn tập thi TN THPT môn Toán năm học 2011-2012 NXB Giáo dục năm 2012 Tham khảo tài liệu đồng nghiệp: Bài báo internet, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáp dục thời đại, SKKN đồng nghiệp  ... chọn đề tài " Sửa chữa sai sót học sinh khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tập liên quan - Hướng khắc phục" II Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất... lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh ( yếu học sinh. .. đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, số toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân loại tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập