Dang 4. Các bài toán cực trị(VDT

Câu [2H3-1.4-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1;4;5) , B ( 3;4;0 ) , C ( 2; − 1;0 ) Gọi M ( a; b; c ) ( P) điểm thuộc a+ b+ c A ( P ) :3x + y − z − 29 = đạt giá trị nhỏ Tính tổng C − 10 D − Lời giải Tác giả: Ngô Quốc Tuấn; Fb: Quốc Tuấn B 10 H ( xH ; y H ; z H ) MA2 + MB + 3MC cho Chọn A Gọi mặt phẳng uuur uuur uuur r HA + HB + 3HC = điểm thỏa mãn 1 − xH + − xH + ( − xH ) =   − yH + − yH + ( − − yH ) = ⇔  Khi đó:  − z H + ( − zH ) + ( − zH ) =  xH =   yH = z = ⇔ H ( 2;1;1)  H uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ta có: T = MA + MB + 3MC = MH + HA + MH + HB + MH + HC uuuur uuur uuur uuur = 5MH + HA2 + HB + 3HC + 2MH HA + HB + 3HC = 5MH + HA2 + HB + 3HC Suy T 2 đạt giá trị nhỏ Phương trình đường thẳng Tọa độ điểm M ) ( ( ⇔ MH nhỏ ) ( ) ⇔ M ) hình chiếu H lên ( P)  x = + 3t   y = + 3t , ( t ∈ ¡ )  qua H ( 2;1;1) vng góc với ( P )  z = − 2t thỏa mãn hệ phương trình  x = + 3t  y = + 3t  ⇔   z = − 2t  3x + y − z − 29 = Câu d ( x = y =    z = −1 t = ⇒ M ( 5;4; −1) Vậy a + b + c = [2H3-1.4-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , E ( a ;b;c) A T = điểm để biểu thức B A ( 2;0; − 3) ; B ( − 1; − 2; ) ; C ( 2; − 1;2 ) Biết điểm uuur uuur uuur P = EA + EB + EC đạt giá trị nhỏ Tính T = a + b + c ABC cho tam giác T = với C T = D T = −1 Lời giải Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu Chọn B Gọi G Ta có: trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ( 1; − 1;1) uuur uuur uuur uuur P = EA + EB + EC = 3EG = 3EG ≥ ⇒ Pmin = E ≡ G ( 1; − 1;1) ⇒ T = , chọn B Câu [2H3-1.4-3] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 14 = mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z − = Gọi tọa độ điểm M (a; b; c) thuộc mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) lớn Tính giá trị biểu thức K = a + b + c A K = B K = C K = −5 D K = −2 Lời giải Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu Chọn C ( S ) có tâm I = ( 1; − 2; − 1) có bán kính R = r P n ( ) Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến = ( 2; − 1;2 ) Mặt cầu Gọi d I đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng ( P) đường thẳng d có  x = + 2t   y = −2 − t  phương trình tham số  z = − + 2t Điểm M thuộc mặt cầu M (S ) cho khoảng cách từ giao điểm đường thẳng Khi tọa độ điểm M d M mặt cầu đến mặt phẳng ( P) lớn ( S) nghiệm hệ phương trình  x = + 2t  y = −2 − t  x = + 2t   y = −2 − t ⇔  z = − + 2t    t =  z = − + 2t   x + y + z − x + y + z − =  t = − + + − 14 =1 Với − + − − 14 t = − ⇒ M ( − 1; − 1; − 3) ⇒ d ( M , ( P ) ) = =7 Với t = ⇒ M ( 3; − 3;1) ⇒ d ( M , ( P ) ) = Vậy Câu M ( − 1; − 1; − 3) thỏa mãn nên a = − 1, b = − 1, c = − ⇒ K = a + b + c = − [2H3-1.4-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Trong không gian đường thẳng ∆1 : x− y−1 z + x− y+ z = = ∆2 : = = −1 − Trong tất mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng mặt cầu A 12 ( S) Oxyz , cho hai ∆1 ∆ Gọi ( S ) mặt cầu có bán kính nhỏ Bán kính B C 24 D Lời giải Chọn B Cách1: Gọi I ∆ ∆ tâm mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng Q tiếp điểm ∆ với mặt cầu R J tiếp điểm ∆2 với mặt cầu QR Ta có: R = IQ ≥ JQ ⇒ R nhỏ I trung điểm của ∆ ∆ , tâm mặt cầu đoạn vng góc chung I trùng J hay QR đoạn vng góc chung trung điểm đoạn vng góc chung, 2R độ dài  Q ( + 3a ;1 − a ; − − 2a ) ∈ ∆ , a ∈ ¡  Gọi  R ( + b ; − + 3b ; b ) ∈ ∆ , b ∈ ¡ uur uuur u = 3; − 1; − u ( ) Khi ta có vec tơ phương ∆ , ∆ = ( 1;3;1 ) , uuur RQ = ( 3a − b + ; − a − 3b + ; − 2a − b − 5) Theo giả thiết đề ta có:  → → RQ  RQ u∆1 =  a = − → ⇒ ⇒ RQ = ( 2; − 2; ) ⇒ RQ = ⇒ R = =  → → b =   RQ u = ∆2  Cách 2: Gọi hai mặt phẳng song song chứa ∆ ∆ Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng ( Q) ∆ ∆ nên đường kính hình cầu khoảng cách hai mặt phẳng cách từ ∆2 tới mặt phẳng ( P) ( P) ( Q) tiếp xúc với ( Q) ( P) khoảng ( P) uur uuur Khi ta có VTCP u∆ = ( 3; − 1; − ) ; u∆ = ( 1;3;1 ) N = ( 2; − 3;0 ) ∈ ∆ uur uur uuur u =  u ; u  = ( 5; − 5;10 ) = ( 1; − 1;2 ) Véc-tơ pháp tuyến ( P ) ∆  ∆ ∆  Ta có phương trình mặt phẳng Vậy x − y + 2z + = d ( ( P) ,( Q) ) = d ( ∆ 2,( P) ) = d ( N,( P) ) = Suy bán kính mặt cầu Câu ( P) R= [2H3-1.4-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ điểm A M cho M ( 5;0;0 ) Oxyz , cho hai điểm A ( − 1;3;4 ) , B ( 9; − 7;2 ) Tìm trục Ox MA2 + MB B đạt giá trị nhỏ M ( − 2;0;0 ) C M ( 4;0;0 ) D M ( 9;0;0 ) toạ độ Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Mai; Facebook: Mai Nguyen Chọn C Gọi M ( x;0;0 ) ∈ Ox MA2 = ( x + 1) + 32 + 42 MB = ( x − ) + + 22 Suy Nên Câu MA2 + MB = x − 16 x + 160 = ( x − ) + 128 ≥ 128, ∀ x ∈ ¡ MA2 + MB đạt giá trị nhỏ 128 x = Vậy M = ( 4;0;0 ) [2H3-1.4-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Trong không gian Oxyz , cho A(6;0;0) , B(0;3;0) mặt phẳng ( P) : x − y + z = Gọi d đường thẳng qua M (2 ; ; 0) , song song với ( P) tổng khoảng cách từ A , B đến đường thẳng d đạt giá trị điểm nhỏ Vectơ vectơ phương A r u1 = (− 10 ;3; 8) B r u = (14 ; − 1; − 8) C d? r u = (22 ; ; − 8) D r u = (− 18 ; − 1; 8) Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Đắc; Fb:Dac V Nguyen Chọn B M (2 ; ; 0) song song với ( P) Phương trình mặt phẳng (Q ) là: 1( x − 2) − 2( y − 2) + 2( z − 0) = ⇔ x − y + z + = Theo d ⊂ (Q ) Gọi A′ , B′ hình chiếu A , B (Q ) Khoảng cách từ A , B đến d Gọi (Q) mặt phẳng qua k1 , k2 Khi k1 + k2 ≥ AA′ + BB′ uuur uuuur Vì AB = (− ; ; 0) , AM = (− ; ; 0) Do đó, dấu xảy d qua hai vectơ phương nên M thẳng hàng d B′ Đường thẳng qua B′ ∈ (Q) A′ , B′ Ta có hai cách sau để tìm tọa độ vectơ phương Cách 1: Tìm A, B suy B vng góc với (Q) x = t   y = − 2t  ⇒ B′ ( t ;3 − 2t ;2t ) có phương trình:  z = 2t t − 2(3 − 2t ) + 2(2t ) + = ⇔ t = ⇒ B′ =  ; 19 ;   ÷  9 9 uuuur  − 14  − MB′ =  ; ; ÷ = (14 ; − 1; − 8) Từ  9 9 (14 ; − 1; − 8) Cách 2: Ta thấy d giao hai mặt phẳng: (Q ) ( R ) với ( R ) mặt phẳng chứa A , B vng góc với (Q) Do vectơ phương d phương với tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến tương ứng (Q) ( R ) r uuur Vectơ pháp tuyến (Q ) n ( Q ) = (1; − ; 2) Vectơ phương AB AB = (− ; 3; 0) r r uuur Nên vectơ pháp tuyến ( R ) n ( R ) = [ n(Q ) , AB ] = ( − ; − 12 ; − 9) = − 3(2 ; ; 3) r r [ n Từ vec tơ phương d ( Q ) , n ( R ) ] = ( − 14 ;1; 8) Do vậy, vectơ phương Câu d [2H3-1.4-3] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính A ( 0;3; − 1) , B ( − 2;1; − 1) , C ( 4; − 1; − 1) Gọi ( S ) Mặt cầu A ( S) r=1 có tâm điểm mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu có bán kính nhỏ bao nhiêu? R = 10 B R = 10 − C R = 2 − D R= 2 Lời giải Tác giả:Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần Chọn B Ta có: AB = ; AC = 32 ; BC = 40 ⇒ AB + AC = BC ⇒ ∆ ABC ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) Thấy mặt cầu Khi đó: Mặt cầu ( S) ⇔ ( S) có tâm thuộc ⇔ ( S) có tâm I thuộc A có đơi nằm ngồi tiếp xúc với mặt cầu mp ( ABC ) vuông mp ( ABC ) ( S) ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính nhỏ tiếp xúc với mặt cầu IA = IB = IC ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) ⇔ ( S) có tâm Vậy mặt cầu Câu I ( 1;0; − 1) , (trong I ( S) có bán kính nhỏ trung điểm BC ) Rmin = IA − r = 10 − [2H3-1.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Trong khơng gian ( S ) :( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) 2 −2 A B cho mặt cầu = mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi M điểm ( S ) Khoảng cách từ M mặt cầu Oxyz , đến ( P) có giá trị nhỏ − C Lời giải D − Tác giả: Nghiêm Phương ; Fb: nghiêm Phương Chọn C Mặt cầu ( S) d ( I,( P) ) = > R M ∈ ( S) Điểm Câu I ( 1; − 2;2 ) có tâm bán kính ( P) suy mặt phẳng thỏa mãn d ( M ,( P) ) R= không cắt mặt cầu nhỏ ( S) d ( I ,( P) ) − R = − [2H3-1.4-3] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho số thực thay đổi thỏa mãn biểu thức A ( x + 3) + ( y − ) + ( z + 1) 2 x , y , z , a , b , c = a + b + c = Giá trị nhỏ P = ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) 3− 2 3+ B C 5− D 5+ Lời giải Tác giả:Lê Văn Quý ; Fb:Lê Văn Quý Chọn C Giả sử M ( x; y; z) Khi P = ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = MN Vì N ( a ;b;c) ( x + 3) + ( y − ) + ( z + 1) 2 2 = nên M thuộc mặt cầu ( S ) có tâm I ( − 3;2; − 1) bán kính R= Vì a + b + c = nên N Ta có d ( I;( P) ) = thuộc mặt phẳng −3 + − 1− 1+ 1+ = 3>R ( P) : x + y + z − = ⇒ mặt phẳng ( P) không cắt mặt cầu ( S)   ⇒ P = MN =  d ( I ; ( P ) ) − R  = 2 ( ) − = 5− Câu 10 [2H3-1.4-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Trong không gian A ( 1;2;1) , B ( 2; − 1;3) điểm A B M ( a ; b ;0 ) cho MA2 + MB C Lời giải Oxyz , cho hai điểm nhỏ Giá trị D a+ b − Chọn B Ta có: MA2 + MB = ( − a ) + ( − b ) + 12 + ( − a ) + ( −1 − b ) + 32 2 2 = 2a − 6a + 2b − 2b + 20 2 3   1 =  a − ÷ +  b − ÷ + 15 ≥ 15 2   2   a =  b = Đẳng thức xảy  a + b = Câu 11 [2H3-1.4-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu trị nhỏ A 25 ( S ) : ( x − 4) + ( y − 2) + ( z − ) 2 a + b2 + c2 B 29 = Điểm M ( a ; b ; c ) 24 C D thuộc ( S ) Tìm giá 26 Lời giải Tác giả: Mai Ngọc Thi; Fb: Mai Ngọc Thi Chọn A Mặt cầu ( S) có tâm OM = a + b + c I ( 4;2;4 ) , bán kính R = Ta có Nên OM ≥ OI − IM = OI − R OM 2 OM = OI − R = + + − = nhỏ Vậy giá trị nhỏ a + b + c = 25 Câu 12 [2H3-1.4-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong khơng gian B ( ; − 1;1) , C ( ;1;1) ( P ) : x + y + z − = Xét điểm M ( a ; b ; c ) trị nhỏ Giá trị A 2a + 4b + c B 12 thuộc mp ( P ) cho Oxyz , cho A ( ;1;1) , uuur uuur uuuur MA + 2MB + MC đạt giá bằng: C D5 Lời giải Tác giả: Hồ Văn Thảo ; Fb: Thảo Thảo Chọn B uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uur T = MA + MB + MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC = MI + IA + IB + IC Ta có Tìm tọa độ điểm I ( xI ; y I ; z I ) cho uur uur uur r IA + IB + IC =  − xI + ( − x I ) + − x I =  ⇔ 1 − yI + ( − − yI ) + − yI =  1 − zI + ( − zI ) + − zI =  xI =  ⇔  yI =  z = ⇒ I ( ; ;1)  I uuur ⇒ T = MI mà điểm M thuộc mp ( P ) Vậy giá trị nhỏ biểu thức đạt điểm T = 4.d( I ,( P ) ) = + + 1− 12 + 12 + 12 =4 M hình chiếu điểm I lên mp ( P ) uuur n Đường thẳng IM qua điểm I nhận vectơ ( P ) = ( 1;1;1) làm vectơ phương x = + t  y = t (t∈¡ )  z = 1+ t  Gọi điểm M ( + t ; t ;1 + t ) ∈ IM mà M ∈ ( P) ⇒ + t + t + + t − = ⇔ t = ⇒ M ( ;1; ) Vậy giá trị 2a + 4b + c = 2.3 + 4.1 + = 12 Câu 13 [2H3-1.4-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d: x− y −1 z − = = hai điểm A ( 2;0;3) , B ( 2; − 2; − 3) P = MA4 + MB + MA2 MB A y0 = B Biết M ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm nhỏ Tìm y0 y0 = C y0 Lời giải d thuộc = D thỏa mãn y0 = − Tác giả: Cấn Duy Phúc ; Fb: Duy Phuc Can Chọn D Vì M∈ d Suy nên M ( t + 3;2t + 1;3t + 3) uuur uuur MA = ( − t − 1; − 2t − 1; − 3t ) , MB = ( − t − 1; − 2t − 3; − 3t − ) MA2 = ( t + 1) + ( 2t + 1) + 9t = 14t + 6t + ( 1) 2 MB = ( t + 1) + ( 2t + 3) + ( 3t + ) = 14t + 50t + 46 ( ) 2 ( ) Ta có P = MA4 + MB + MA2 MB = MB − MA2 + 3MA2 MB Thay ( 1) ( 2) vào P ( )( P = ( 44t + 44 ) + 14t + 6t + 14t + 50t + 46 ta ) = 442 ( t + 1) + 14 ( t + 1) + 10 − 22 ( t + 1)  14 ( t + 1) + 10 + 22 ( t + 1)     2 { 2 2 = 1936 ( t + 1) + 14 ( t + 1) + 10  − 222 ( t + 1)   } 2 = 1936 ( t + 1) + 196 ( t + 1) + 280 ( t + 1) + 100 − 484 ( t + 1)    = 588 ( t + 1) + 1324 ( t + 1) + 300 Đặt u = ( t + 1) , u ≥ ⇒ P = 588u + 1324u + 300, u ≥ 2 f ( u ) = 588u + 1324u + 300, u ≥ Xét hàm số có f ' ( u ) = 1176u + 1324 > 0, ∀u ≥ f ( u ) ≥ f ( 0) , ∀ u ≥ Ta Pmin = f ( ) = 300 u = ⇒ t + = ⇔ t = − ⇒ y0 = 2.(− 1) + = − Vậy y0 = − Câu 14 [2H3-1.4-3] (Chuyên KHTN) Trong không gian với hệ tọa độ A ( 8;5; − 11) , B ( 5;3; − ) , C ( 1;2; − ) ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) uuur uuur uuuur MA − MB − MC 2 Oxyz cho ba điểm mặt = Gọi điểm đạt giá trị nhỏ Hãy tìm M ( a; b; c ) a+ b điểm ( S) cho A B C D Lời giải Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb: Phạm Hoàng Điệp Chọn B Gọi N điểm thỏa mãn uuur uuur uuur r NA − NB − NC = , suy N ( − 2;0;1) Khi đó: uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur MA − MB − MC = MN + NA − MN + NB − MN + NC = NA − NB − NC − MN = MN ( Suy ) ( uuur uuur uuuur MA − MB − MC nhỏ ) ( MN ) ( nhỏ Mặt cầu ) ( S) có tâm I ( 2;4; − 1) , suy ra:  x = + 2t  NI =  y = + 2t uur  z = −1 − t NI = ( 4;4; − ) = ( 2;2; − 1) Phương trình Thay phương trình NI vào phương  trình ( S) Suy Vì NI ta được: cắt NN1 > NN Suy ra: ( 2t ) + ( 2t ) + ( − t ) ( S) 2  t =1 = ⇔ t2 = ⇔  t = −1 hai điểm phân biệt N1 ( 3;6; − ) , N2 ( 0;2;0 ) nên MN nhỏ M ≡ N Vậy M ( 0;2;0 ) điểm cần tìm a + b = Câu 15 [2H3-1.4-3] (CổLoa Hà Nội) Trong không gian C (5; − 1; − 6) Xét điểm M thuộc mặt phẳng có độ dài lớn Oxyz , cho điểm A(4; − 2;4) , B(− 2;6;4) ( Oxy ) cho · AMB = 90o , đoạn thẳng CM , 73 A B C 10 Lời giải D Tác giả: thuy hoang ; Fb: thuy hoang Chọn C Giả sử I Gọi Do M ( x; y;0 ) trung điểm MA ⊥ MB AB R= = M , suy M ( −6 ) AB ⇒ I (1;2;4) + 82 + 2 =5 thuộc mặt cầu tâm I bán kính ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 25  Mặt khác M ∈ Oxy suy toa độ điểm M thỏa mãn  z =  ( x − 1) + ( y − ) = ⇒  z = Suy M thuộc đường Gọi C′ hình chiếu C ( C) lên có tâm H ( 1;2;0 ) lớn C ′M lớn C ′M R = ( Oxy ) , suy C′ ( 5; − 1;0) , CC′ = HC ′ = 42 + ( − 3) = CM bán kính lớn ( HC ′ + R ) = + = −6 = Suy độ dài đoạn CM lớn C ′M + CC ′ = 82 + 62 = 10 Câu 16 [2H3-1.4-3] (Gang Thép Thái Nguyên) Trong không gian với hệ trục tọa độ A ( 2;4; − 1) điểm B ( 1;4; − 1) , , MA2 + MB + MC + MD A đạt giá trị nhỏ 21 B C ( 2;4;3) , D ( 2;2; −1) , x+ y+ z Oxyz , cho M ( x; y; z ) biết để C Lời giải D Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy Chọn B 7  I  ; ;0 ÷ Xét điểm I ( a; b; c ) thỏa mãn 4  uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur 2 2 = MI + IA + MI + IB + MI + IC + MI + ID Ta có MA + MB + MC + MD uur uur uur uur r IA + IB + IC + ID = Khi ( ) ( ) ( ) ( uuur uur uur uur uur = MI + MI IA + IB + IC + ID + IA2 + IB + IC + ID ( ) ) = 4MI + IA2 + IB + IC + ID ≥ IA2 + IB + IC + ID ( MI ≥ với điểm M ) Dấu " = " xảy ⇔ M ≡ I 7 7  M  ; ;0 ÷ ⇒ x + y + z = + = 21 tức 4 4  Câu 17 [2H3-1.4-3] (Cẩm Giàng) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( − 10; − 5;8) , B ( 2;1; − 1) , C ( 2;3;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Xét M MA2 + 2MB + 3MC A 54 đạt giá trị nhỏ Tính B 282 điểm thay đổi MA2 + 2MB + 3MC C 256 D ( P) cho 328 Lời giải Tác giả: Đinh Văn Trường; Fb: Đinh Văn Trường Chọn B uur uur uur r I ( x; y; z ) điểm thỏa mãn IA + IB + 3IC = uur uur uur IA = − 10 − x ; − − y ;8 − z IB = − x ;1 − y ; − − z ( ) ( ) Ta có , , IC = ( − x;3 − y; − z ) Gọi  ( − 10 − x ) + ( − x ) + ( − x ) = x =   ( −5 − y ) + ( − y ) + ( − y ) = ⇔  y =  z = Khi đó,  ( − z ) + ( − − z ) + ( − z ) = ⇒ I ( 0;1;1)  Với điểm M thay đổi ( P ) , ta có uuur uur uuur uur uuur uur = MI + IA + MI + IB + MI + IC MA + 2MB + 3MC uuur uur uur uur 2 2 = 6MI + IA + IB + 3IC + 2MI IA + IB + 3IC 2 ( ) ( ( ) ( ) ) uur uur uur r = 6MI + IA + IB + 3IC IA + IB + 3IC = ) Ta lại có IA2 + IB + 3IC = 185 + 2.8 + 3.9 = 228 2 2 (Vì Do đó, MA2 + 2MB + 3MC ⇔ M hình chiếu vng góc Khi đó, đạt giá trị nhỏ I MI = d ( I , ( P ) ) = ( P) ⇔ MI đạt giá trị nhỏ MA2 + 2MB + 3MC 6MI + 228 = 6.9 + 228 = 282 Giá trị nhỏ MA2 + 2MB + 3MC đạt M Vậy giá trị nhỏ của I ( P) Lưu ý thêm cách tìm điểm Gọi ∆ Ta có hình chiếu vng góc đường thẳng qua I M sau: vng góc với M = ∆ ∩ ( P ) Xét phương trình ( P ) Phương trình ∆ x = t   y = + 2t  :  z = − 2t t + ( + 2t ) − ( − 2t ) − = ⇔ 9t − = ⇔ t = ⇒ M ( 1;3; −1)  HẾT  Câu 18 [2H3-1.4-3] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Trong không gian ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) 2 =9 điểm M ( a ; b ; c) ∈ ( S ) P = a + 2b + 2c đạt giá trị nhỏ Tính T = a + b + c A B C − Oxyz cho mặt cầu cho biểu thức D − Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Phu; Fb: Nguyễn Văn Phu Chọn D Cách 1: Ta có M ( a ; b ; c ) ∈ ( S ) ⇔ ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1) = 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có 2 2 1 ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1)  ≤ ( 12 + 22 + 22 )  ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1)    ⇔ 1 ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1)  ≤ 9.9 ⇔ −9 ≤ ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1) ≤ ⇔ − ≤ a + 2b + 2c ≤ 15 hay − ≤ P ≤ 15 Pmin Vậy Khi a − b −1 c −1 = =  = −3 ⇔  2 ⇔ 1 ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1) = −  a =  b = −1 c = −1  T = a + b + c = + ( − 1) + ( − 1) = − Cách 2: Tác giả: Kiều Thanh Bình; fb: Kiều Thanh Bình Mặt cầu ( S) có tâm I ( 2;1;1) , bán kính R = Để M ( a ; b ; c ) ∈ ( S ) đạt giá trị nhỏ Suy Ta có Vậy M phải điểm chung ( S) đồng thời mặt phẳng ( Q) : x + y + 2z − P = d ( I ; ( α ) ) ≤ R ⇔ − P ≤ ⇔ − ≤ P ≤ 15 P = − a = , b = − , c = − T = a + b + c = − Câu 19 [2H3-1.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Trong không gian ( S ) : x + ( y − 3) + ( y + ) trị nhỏ A P = a + 2b + 2c −4− B cho mặt cầu = Xét hai điểm M , N di động ( S ) cho MN = Giá OM − ON − 10 Oxyz , C −5 D − − Lời giải Tác giả: Nguyễn Đông; Fb:Nguyễn Đông Chọn A Cách 1: = có tâm I ( 0;3; − ) , bán kính R = uur uuur uur uur uur uuur uur 2 OM − ON = OI + IM − OI + IN = 2OI IM − IN , (vì IM = IN = R ) Ta có: uur uuuur uur uuuur = 2OI NM = 2.OI NM.cos OI , NM ≥ −2OI NM = −10 Mặt cầu ( S ) : x + ( y − 3) + ( y + ) ( ) ( ( Dấu “=” xảy hai véc tơ ) ( ) ) uur uuuur OI , NM ngược hướng Vậy giá trị nhỏ biểu thức OM − ON − 10 Cách 2:  x + ( y − 3) + ( z + ) = ( 1) M ∈ ( S )   2   N ∈ ( S ) ⇔  a + ( b − 3) + ( c + ) = ( )  MN =  2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = 1(3) Xét điểm M ( x ; y ; z ) , N ( a ; b ; c ) ta có  Lấy ( 1) − ( ) theo vế có: x2 + y + z − a2 − b2 − c2 = ( y − b ) − ( z − c ) Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacopski) (3) ta có OM − ON = x + y + z − a − b − c = ( y − b ) − ( z − c ) ( ≥ − ( 62 + 82 ) ( y − b ) + ( z − c ) 2 ) ≥ − ( + ) ( ( y − a) 2 + ( y − b) + ( z − c ) ) = − 10  x + ( y − 3) + ( z + ) =  2  a + ( b − 3) + ( c + ) =  2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) =  x−a =  y−b z−c  = =k Lấy điểm Khi C có phương trình nên A, B đối xứng với y = nằm phía với mặt phẳng A qua ( Oxz ) Suy C ( − 1; − 3;4 ) MA + MB nhỏ MC + MB đường thẳng BC ( Oxz ) với mặt phẳng ( Oxz ) nhỏ Suy M giao điểm  x = −1+ t   y = −3 + t , ( t ∈ ¡ )  Đường thẳng BC :  z = − t Tọa độ điểm M ( x; y; z)  x = −1 + t  y = −3 + t  ⇔ −3 + t =  z = − t nghiệm hệ :  y = ⇔ ⇒ M ( 2;0;1) ⇒ x0 = t =  ...   RQ u = ∆2  Cách 2: Gọi hai mặt phẳng song song chứa ∆ ∆ Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng ( Q) ∆ ∆ nên đường kính hình cầu khoảng cách hai mặt phẳng cách từ ∆2 tới mặt... vectơ phương nên M thẳng hàng d B′ Đường thẳng qua B′ ∈ (Q) A′ , B′ Ta có hai cách sau để tìm tọa độ vectơ phương Cách 1: Tìm A, B suy B vng góc với (Q) x = t   y = − 2t  ⇒ B′ ( t ;3 − 2t... =k