9. MIN, MAX MŨ-LÔGARIT NHIỀU BIẾN

MIN, MAX MŨ – LÔGARIT NHIỀU BIẾN SỐ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG x+2 y x, y xy −1 Câu 1: Cho hai số thực dương thay đổi thỏa mãn P = 2x + 3y nhỏ biểu thức A −7 B 10 + 10 C x+2 y + x, y Câu 2: Cho hai số thực dương thoả mãn P = x + 2y nhỏ biểu thức A P =6−2 B P = 4+2 4+3 x, y Câu 3: Cho hai số thực S = x + 2y thức − A ( = − xy − x − y Tìm giá trị 15 − 20 B D + x +1 = + 3− x−2 y + y ( x − ) xy = 4+9 C P = 4−2 x2 − y )7 − 1− x − y 2017 C 33 P =6+2 x + 2018 = y − y + 2019 − D giá trị nhỏ biểu thức nhiêu? 391 16 giá trị lớn nhất, Khi C M,m Gọi B D Tìm giá trị y − x2 + S = ( x + y ) ( y + 3x ) + 25 xy A Tìm giá trị nhỏ biểu thỏa mãn 136 3 −4 xy thỏa mãn ≤ x, y ≤ Câu 4: Cho x2 − y + 1 − ÷  3 383 16 M +m D 25 bao e x −4 y + x, y Câu 5: Cho hai số thực 1− x thay đổi thỏa mãn P = x3 + y − x + y − x + biểu thức S = a+b phân số tối giản Tính A S = 85 − ey B + 1− x −y= y2 − x Biết giá trị lớn a a, b b với số nguyên dương S = 31 x, y Câu 6: Cho hai số thực dương a b 75 C x + y +1 + ln = xy − x − y xy thoả mãn D 41 Tìm giá trị nhỏ P = xy biểu thức P= A P= B log a, b Câu 7: Cho số thực dương S = a + 5b biểu thức A 95 − C thỏa mãn A 10 − B − ab = 3ab + a + b − a +b 95 + 15 12 D P =1 Tìm giá trị nhỏ 95 − 16 95 − 21 C D − ab log = 2ab + a + b − Pmin a b a+b Câu 8: số thực dương , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P = a + 2b Pmin = P=9 Pmin = A Pmin C B Pmin = 10 − Pmin = 10 − C D − xy log = xy + x + y − Pmin x + 2y x y Câu 9: Xét số thực dương , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P = x+ y Pmin = 10 − 11 − 19 18 11 − 29 = Pmin = B Pmin = D 11 + 19 11 − 3 log x, y Câu 10: Cho hai số thực dương S= + x y thức A 2x + y + = x + 2y x+ y thỏa mãn B 3+ Tím giá trị nhỏ biểu C D x + x − y + = log x, y Câu 11: Cho hai số thực không âm thỏa mãn x −1 P = e + 4x − y +1 m biểu thức A m = −1 m=− B m= Tím giá trị nhỏ e m = e −3 Câu 12: Cho số thực thỏa mãn P = ( x3 − y ) + 20 x + y + xy + 39 x trị lớn biểu thức A 100 B 125 C D x+ y = x ( x + y − 3) + y ( y − ) x + y + xy − y + log x, y y +1 x +1 3+ Tìm giá 81 121 C D x+ y log = x ( x − ) + y ( y − ) + xy x + y + xy + x, y Câu 13: Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn Biết x + y +1 a+ b P= a , b, c x+ y+2 c giá trị lớn biểu thức với số nguyên dương a S = a +b+c c tối giản Tính A S = 221 B S = 231 x1 , x2 Câu 14: Biết hai nghiệm phương trình x1 + x2 = A a + b = 16 ( a+ b ) C S = 195 S = 196  4x2 − 4x +  log  ÷+ x + = x 2x   a, b với D hai số nguyên dương Tính a + b = 11 a + b = 14 B C a + b D a + b = 13 3x x, y Câu 15: Cho log ( x − y ) = + y −2 số thực thỏa mãn điều kiện 1 + log ( − xy )  2 Tìm M = ( x + y ) − 3xy giá trị lớn biểu thức A B 13 a , b, c Câu 16: Cho số thực 17 C D a+b+c log 2 = a ( a − 4) + b ( b − 4) + c ( c − 4) a + b2 + c2 + thỏa mãn P = a + 2b + 3c trị lớn biểu thức 10 A B 12 + 35 10 C D a+b+c log 2 = a ( a − 4) + b ( b − 4) + c ( c − 4) a + b2 + c2 + 12 + 42 a , b, c Câu 17: Cho số thực thỏa mãn a + 2b + 3c P= a+b+c trị lớn biểu thức A 12 + 30 B Câu 18: Cho hai số thực dương + 30 + 30 log x y , A Câu 19: Cho hai số thực dương B tìm giá + 30 C D x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy x + y + xy + thỏa mãn x + 2y + P= x + 2y + giá trị lớn biểu thức 69 + 249 94 tìm giá Tìm 43 + 249 94 C 43 + 249 94 D x+ y 3 = ( − xy ) − xy + ( x + y ) + x + y + log − xy x y 37 − 249 21 thỏa mãn P = x + 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A + 15 , B + 15 C 15 − D 15 + DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÁC log x y Câu 20: Cho hai số thực dương , thỏa mãn P = x − 100 y biểu thức A −2499 B −2501 C log a, b Câu 21: Cho hai số thực dương P = a + 2b biểu thức A 10 − thỏa mãn B y = − y2 + 3y + x − 1+ x 1+ x 10 − −2500 − ab = 2ab + a + b − a+b 10 − C xy = 4, x ≥ , y ≥ x, y Câu 22: Cho hai số thực D Tìm giá trị nhỏ −2490 Tìm giá trị nhỏ D 10 − M,m thay đổi thoả mãn Gọi giá trị lớn 2 P = log x + ( log y − 1) S = M + 2m giá trị nhỏ biểu thức Tính A S =6 B S = 11 S= C ln ( x + x ) − 2 x, y Câu 23: Cho hai số thực x+ y 21 S= D = ln ( y + x ) − thay đổi thỏa mãn 11 x2 + x Tìm giá trị nhỏ P = y − xy + x biểu thức A −4 B C log x2 + xy + y ( 11x + 20 y − 40 ) = x, y Câu 24: Cho số thực dương thỏa mãn giá trị lớn giá trị nhỏ A a + b = 10 B x, y a + b = 14 Tính a +b C a+b = −3 a, b Gọi y S= x 11 a+b = D + log xy 81 = − log y log x x > 1, y > Câu 25: Xét số thực thỏa F = x + 6y biểu thức D Tìm giá trị nhỏ A F = 27 F = 12 B x, y , z Câu 26: Cho số thực dương F = C xyz = 10 thỏa mãn D F = 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = log x + + log y + + log z + 29 27 D m  log ( sin ) + log  + − ÷ > π  x m Câu 27: Tìm số tự nhiên lớn để bất đẳng thức với  π x ∈  0; ÷  2 A A 23 B m=5 B 26 C m=3 C m=6 D ( x; y ) m Câu 28: Tìm tất giá trị thực tham số để tồn cặp số thực log x2 + y + ( x + y − ) ≥ x2 + y + x − y + − m = A ( 10 − ) B ( 10 + ) thỏa mãn C x + y +1 = thay đổi thỏa mãn 10 − ( biểu thức a a+b b tối giản Tính x−2 + y+3 S = 3x + y − + ( x + y + 1) 27 − x − y − ( x + y ) a b ) D 10 + Giá trị lớn a, b với số nguyên dương T = 148 T = 151 T = 141 B C D a, b, c > x, y , z Câu 30: Cho số thực số thực dương thay đổi thỏa mãn 16 16 P = + − z2 x y z x y a = b = c = abc Tìm giá trị lớn biểu thức A A T =8 x, y Câu 29: Cho hai số thực m=4 20 20 − B C 24 24 − D c c log 2a b − log b2 c = log a − log b − b b a , b, c c > b > a >1 Câu 31: Cho số thực thỏa mãn T = log b c − 2log a b Mệnh đề đúng? Đặt T ∈ ( −3; −1) A T ∈ ( −1; ) T ∈ ( 2;5 ) B C 20171− x − y x, y Câu 32: Cho số thực T ∈ ( 5;10 ) x + 2018 = y − y + 2019 D Biết giá trị nhỏ a a S = ( x + y ) ( y + 3x ) + 25 xy a, b b b biểu thức với số nguyên dương tối T = a+b giản Tính A T = 27 thay đổi thỏa mãn T = 195 T = 207 C D log x + log ( x + y ) ≤ + log y thoả mãn Biết giá trị lớn x+ y 2x + 3y b − a − 2 x + y x − xy + y a , b, c c B x, y Câu 33: Cho hai số thực dương S= T = 17 biểu thức b P = a+b+c c dương phân số tối giản Tính A P = 30 B P = 15 a, b, c Câu 34: Cho số thực thỏa mãn 2 P = a + b + c − 4( a + b + c) −3 − log A B x, y Câu 35: Cho hai số thực dương S = x + 3y biểu thức A 1+ 10 −4 B 2+ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3+ 30 x + y −1 B a b D D 1+ Biết giá trị lớn T = a + 2b T = 34 −2 − log C + log ( x + y + 1) = thỏa mãn tối giản Tính giá trị biểu thức Tìm giá trị nhỏ của biểu thức D C log x + log y + ≥ log ( x + y ) S = x − y + x3 − y P = 10 −c thỏa mãn Câu 36: Cho số thực dương T = 25 b số nguyên −2 − x, y A P = 17 C = = 15 a với a, b với số nguyên dương phân số C T = 32 D T = 41 a b xy ≤ y − x, y Câu 37: Cho hai số thực dương  x + 2y  6y S= + ln  ÷ x  y  A 24 + ln thỏa mãn B 12 + ln C + ln thỏa mãn D P= log x2 + y2 +1 ( x − y ) = x, y Câu 38: Cho hai số thực S = 4x + 3y − Tìm giá trị nhỏ biểu thức Tính + ln x y biểu thức đạt giá trị lớn A −13 45 81 108 B C xy ≤ y − x y Câu 39: Cho , số dương thỏa mãn Giá trị nhỏ ( 2x + y ) x + 2y P= + ln x y a + ln b ab Giá trị tích A B x, y Câu 40: Cho hai số thực dương thỏa mãn 2 P = ( x + y ) ( y + x ) + xy Pmax = A 27 C +2 =4 x Pmax = 18 B y Tìm giá trị lớn Pmax = 27 D D Pmax 17 44 115 biểu thức Pmax = 12 C D y z x y z Câu 41: Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện + + 16 = + + Tìm giá trị lớn x +1 y +1 z +1 biểu thức P = + + x + 87 A + 87 B + 87 + 87 2 C D 2 < ( x + y) + ( y + z) + ( z + x) ≤ Câu 42: Cho số thực x, y , z không âm thỏa mãn Biết giá trị a P = x + y + z + ln ( x + y + z ) − ( x + y + z ) lớn biểu thức b , với a, b a số nguyên dương b tối giản Tính S = 2a + 3b A S = 13 B S = 42 C S = 54 D S = 71 Câu 43: Cho số thực S = a + 4b + c − a, b, c ∈ [ 2;3] Biết giá trị lớn m với m, n số nguyên dương n tối giản Tính P = m + 2n A P = 257 m ( a + b + c) n B P = 258 C P = 17 D P = 18 y z Câu 44: Cho ba số thực x, y , z không âm thỏa mãn + + = Tìm giá trị nhỏ biểu x y z S= + + thức x A 12 B C D − log 4a − 2a +1 + ( 2a − 1) sin ( 2a + b − 1) + = a, b Câu 45: Cho số thực dương thỏa mãn S = a + 2b nhỏ biểu thức A π −1 Câu 46: Cho B π xy ≤ y − x y Tìm giá trị C π −1 D 3π −1 , số dương thỏa mãn Giá trị nhỏ ( 2x + y ) x + 2y P= + ln x y a + ln b ab Giá trị tích A 45 108 115 C D P a, b a>0 0 0⇒ 0< a< 2a +  10 −  10 − 2( − a) ≥ f ( a ) = f  ÷ ÷= ( 0;2 ) 2a +   x, y Câu 22: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực thay đổi thoả mãn xy = 4, x ≥ , y ≥ M,m Gọi P = log x + ( log y − 1) 2 giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = M + 2m Tính A S =6 B S = 11 S= C Hướng dẫn giải 21 S= D 11 Chọn A y= Ta có ≥ ⇒ x ≤ ⇒ ≤ x ≤ ⇒ t ∈ [ −1; ] x Khi  2  P = log 22 x +  log − 1÷ = log 22 x + ( − log x ) ⇒ f ( t ) = t + ( − t ) x   1 M = max f ( t ) = f ( −1) = f ( ) = 5, m = f ( t ) = f  ÷ = [ −1;2] [ −1;2] 2 S = + = Do VẬN DỤNG CAO: x, y Câu 23: [DS12.C2.9.D04.d] Cho hai số thực ln ( x + x ) − 2 x+ y = ln ( y + x ) − thay đổi thỏa mãn x2 + x P = y − xy + x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A −4 B C Hướng dẫn giải D −3 Chọn A y = x2 Từ điều kiện tốn ta có P = f ( x ) = x − x + x ≥ ( 0;+∞ ) f ( x ) = f + = −4 ( ) log x2 + xy +3 y ( 11x + 20 y − 40 ) = x, y Câu 24: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương thỏa mãn a, b Gọi A giá trị lớn giá trị nhỏ a + b = 10 B a + b = 14 y S= x a+b = C Hướng dẫn giải 11 Tính a +b a+b = D Chọn C log x2 + xy +3 y2 ( 11x + 20 y − 40 ) = ⇔ x + xy + y − 11x − 20 y + 40 = Ta có y = Sx x + Sx + 3S x − 11x − 20 Sx + 40 = Khi ⇔ ( 4S + ) x − ( 20 S + 11) x + 40 = 2 2 ∆ x = ( 20 S + 11) − 160 ( S + ) ≥ ⇔ 240 S − 440 S + 199 ≤ 440 11 = 240 a+b = Do x > 1, y > x, y Câu 25: [DS12.C2.9.D02.d] Xét số thực thỏa F = x2 + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A F = 27 B + log xy 81 = − log y log x F = 12 F = C Hướng dẫn giải D F = 12 Chọn A + log xy 81 = − log y log x Ta có ⇔ log x + = − log y log81 xy ⇔ log x + log y + −4= log x + log3 y ⇔ ( log x + log y ) − ( log x + log y ) + = ⇔ log x + log y = ⇔ log xy = ⇔ xy = ⇔ y = F = x2 + Suy 54 x x 54 ( x − 27 ) F ′ = 2x − = =0⇔ x=3 x x2 Ta có Bảng biến thiên x +∞ − F′ + +∞ 27 F Vậy F = 27 xyz = 10 x, y , z Câu 26: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P = log x + + log y + + log z + 2 biểu thức 29 A 23 B 26 C Hướng dẫn giải 27 D Chọn C y, z Để ý đối xứng nên ta sử dụng bất đẳng thức a + b2 + m2 + n2 ≥ ( a + m) + ( b + n) Ta có ( log y + log z ) P ≥ log x + + + ( + 2) = log x + + log ( yz ) + 16 = log x + + log = log x + + ( − log x ) 10 + 16 x ( − log x + log x ) + 16 ≥ + ( + ) = 26 ⇔ Dấu xảy log x = ⇔ log x = ⇔ x = 10, y = z = 10 − log x ( P − 1) a + ( P − ) b + ( P − 3) c = Cách 2: điều kiện để mặt phẳng 2 ( a − ) + ( b − ) + ( c − ) = 10 có điểm chung d ( I,( α ) ) ≤ R ⇔ mặt cầu ( P − 1) + ( P − ) + ( P − 3) ( P − 1) + ( P − ) + ( P − 3) 2 ≤ 10 ⇔ − 30 + 30 ≤P≤ 3 m Câu 27: [DS12.C2.9.D02.d] Tìm số tự nhiên lớn để bất đẳng thức m   π log ( sin ) + log  + − ÷ > x ∈  0; ÷ π  x  2 với A m=5 B m=3 m=6 C Hướng dẫn giải D m=4 Bất đẳng thức tương đương với m 1 m 1   1  π log  + − ÷ > log ⇔ + − > ⇔ m < π  + − ÷, ∀ x ∈  0; ÷( *) π  sin x x π sin x sin x  x x  2 Xét hàm số   f ( x) = π  +1− ÷ sin x  x  π  0; ÷  2 khoảng ta có: cos x   2 cos x   π 2 f ′( x) = π  − + ÷ < 2π  − + ÷ < 0, ∀x ∈  0; ÷ sin x   x  sin x sin x   2 π   π f ( x ) > f  ÷ = 4, ∀x ∈  0; ÷ 2  2 Do ( *) ⇔ m ≤ Vậy Chọn D m Câu 28: [DS12.C2.9.D02.d] Tìm tất giá trị thực tham số để tồn cặp số thực log x2 + y2 + ( x + y − ) ≥ ( x; y ) x2 + y + x − y + − m = thỏa mãn A ( 10 − ) B ( 10 + ) 10 − C Hướng dẫn giải 10 + D Chọn A 4x + y − ≥ x2 + y2 + ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) ≤ 2 Biến đổi giả thiết ta có ( C1 ) I1 ( 2; ) R1 = Đây hình trịn có tâm , bán kính 2 I ( −1;1) , R2 = m ( x + 1) + ( y − 1) = m ⇒ m ≥ ( C2 ) Và đường trịn có tâm C , C C , C ( 1) ( ) ( 1) ( ) m Ta cần tìm điều kiện để có điểm chung Do I1 I = R1 + R2 ⇔ 10 = m + tiếp xúc ngồi với Vậy có điều kiện ⇔m= ( 10 − ) x + y +1 = x, y Câu 29: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực thay đổi thỏa mãn ( x−2 + y+3 S = 3x + y − + ( x + y + 1) 27− x − y − ( x + y ) Giá trị lớn biểu thức a a+b b số nguyên dương tối giản Tính A T =8 B T = 141 T = 148 C Hướng dẫn giải D Chọn D Chú ý với hai thức ta có đánh giá sau: x + y +1 = ( a + b ≥ a+b Và  Nếu  Nếu x = 9476 x + y +1 = ⇔  ⇒S =− 243  y = −3 ,ta có với T = 151 ) x + y +1 = x − + y + ≥ x + y +1 ⇒  x + y +1 ≥ ) t = x + y ∈ [ 3; ] a, b a + b ≤ 2( a + b) Vậy theo giả thiết,ta có x + y + = x − + y + ≤ 2 ( x + y + 1) ⇒ x + y + ≤ ( a b ) x ≥ x ( x ≥ ) ; ( y − 1) ≥ ⇒ y ≥ y − ⇒ x + y ≥ ( x + y ) − S ≤3 Vì x+ y−4 + ( x + y + 1) f ( t) = t −4 7− x− y + ( t + 1) − 6( x + y) + −t f '' ( t ) = ln + 2 −t ln − ( [ 3; 7] − 6t + Xét hàm số f ' ( t ) = 3t − ln + 27 −t − ( t + 1) 27 −t ln − t −4 đoạn ta có: −t − ( t + 1) 27 −t ln ) ln = 3t − ln + ( t + 1) ln −  27 −t ln > 0, ∀t ∈ [ 3;7 ] f ' ( 3) f ' ( ) < ⇒ f ' ( t ) = t0 ∈ ( 3; ) Mặt khác có nghiệm f ( t) Vậy ta lập bảng biến thiên hàm số đây: max S = max f ( t ) = f ( 3) = [ 3;7] Suy 148 T = 148 + = 151 x = 2; y = Dấu đạt Do *Chú ý Hướng dẫn giải trình bày phía tư tự luận xử lí bất đẳng thức Để làm nhanh với thi trắc nghiệm,kinh nghiệm làm bất đẳng thức có điều x − ≥ 0; y + ≥ x−2 = kiện biên,cụ thể dấu thường đạt biên tức y+3= y + = y + ⇔ y = −3; y = x=2 Do với thay vào điều kiện có y = −3 x − = x − ⇔ x = 2; x = Với thay vào điều kiện có 2; − , 2;1 , 6; − ( ) ( ) ( 3) S S Do ta thử giá trị cặp điểm nhận kết mà đạt giá trị lớn a, b, c > x, y , z Câu 30: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực số thực dương thay đổi thỏa mãn 16 16 P = + − z2 x y z x y a = b = c = abc Tìm giá trị lớn biểu thức A 20 20 − B C 24 24 − D Hướng dẫn giải Theo giả thiết tốn, ta có:   x = log a t = log a t   y = log b t =  log t b  a x = b y = c z = ( abc ) = t ⇔   z = log t = c  log t c  1  = log t = = abc  log t abc log t a + log t b + log t c 1 1 16 = ⇔ + = − ⇒ P = f ( z ) = 32 − − z ≤ f ( ) = 20 1+1+1 x y z z x y z Do đó: Chọn A a , b, c c > b > a >1 Câu 31: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực thỏa mãn c c log 2a b − log b2 c = log a − log b − T = log b c − log a b b b Đặt Mệnh đề đúng? T ∈ ( −3; −1) A T ∈ ( −1; ) B T ∈ ( 2;5 ) C Hướng dẫn giải T ∈ ( 5;10 ) D Chọn B Ta có log 2a b − log b2 c = log a c c − log b − ⇔ 6log b − log c = log c − log b − log c + a b a a b b b ⇔ log 2a b − logb2 c = log a b log b c − log a b − log b c + ⇔ 6log b = log a b ( log b c − 1) + ( log b c − 1) a ⇔ a log b ( logb c − 1) − log a b −1 = ( logb c − 1) −1  log a b = ( 1)  log b c −  log b  log a b ⇔ 6 −1 = ⇔  ÷ −  log a b  log b c −  log b c −  log c − = ( )  b a ( 1) ⇔ 3log a b = − log b c ⇔ logb c = − 3log a b TH1: T = − 5log a b Vậy log a b > log a a = ⇒ T < − 5log a a = −4 Ta có ( ) ⇔ log a b = log b c − ⇔ log b c = 2log a b + TH2: T =1 Vậy 20171− x − y = x, y Câu 32: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực thay đổi thỏa mãn Biết S = ( x + y ) ( y + 3x ) + 25 xy giá trị nhỏ biểu thức a T = a+b b nguyên dương tối giản Tính A T = 27 T = 17 B Chọn D (x Theo điều kiện đề ta có x + 2018 y − y + 2019 a b a, b với T = 195 C Hướng dẫn giải ( số D T = 207 ) + 2018 ) 2017 x = ( − y ) + 2018 20171− y ⇔ x = − y ( ) S = ( x + ( − x ) ) ( − x ) + x + 25 x ( − x ) = 16 ( x − x ) + ( x − x ) + 12 Khi  b    191 g ( t ) = 16t + 2t + 12 ≥ g  − ÷ = g  − ÷ =  2a   16  16 Do T = 191 + 16 = 207 1 1  t = x −x =x− ÷ − ≥− 2 4  , log x + log ( x + y ) ≤ + log y x, y Câu 33: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương S= thoả mãn x+ y 2x + 3y − 2 x + 2y x − xy + y a− Biết giá trị lớn biểu thức b P = a+b+c c số nguyên dương phân số tối giản Tính A P = 30 B P = 15 P = 17 C Hướng dẫn giải b c D a , b, c với P = 10 Chọn D  x  x + 3 ÷≤ 2 ⇔ x + xy ≤ y ⇔  ÷ log ( x + 3xy ) ≤ log y  y  y Theo giả thiết ta có x ⇒ < t = ≤1 y 2 t +1 S = f ( t) = t2 − t + Khi f ′( t ) = − 3t (t − t + 2) − − 2t + ,0 < t ≤ t+2 ( t + 2) ≥ 2 23 ( t + 2) − 2 > − = 2 2 ( t + 2) ( t + 2) Ta có Dó max S = max f ( t ) = f ( 1) = − ⇒ a = 2, b = 5, c = ⇒ P = 10 ( 0;1] a, b, c Câu 34: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực P = a2 + b2 + c2 − ( a + b + c ) biểu thức −3 − log A Chọn B B −4 = = 15 a thỏa mãn b −2 − C Hướng dẫn giải −c Tìm giá trị nhỏ −2 − log D a −c 3a = 5b = 15− c ⇔ a = b log = −c log 15 = −c ( + log ) ⇒ log = b = b + c Ta có ⇒ ab + bc + ac = P = a + b + c − ( a + b + c ) = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ac ) − ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b + c ) − ) − ≥ −4 log x + log y + ≥ log ( x + y ) x, y Câu 35: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương S = x + 3y giá trị nhỏ biểu thức A 1+ 10 B 2+ thỏa mãn Tìm 3+ 30 C Hướng dẫn giải D 1+ Chọn B Ta có x y≥ 10 x − 1 log x + log y + ≥ log ( x + y ) ⇔ 10 xy ≥ x + y ⇔ y ( 10 x − 1) ≥ x > ⇒ x > 10 S = x + 3y ≥ x + 3x 10 x − Xét hàm  1+  + f ( x ) = f  ÷ ÷=   10 x∈ ;+∞ ÷    10  f ( x) = x + số 3x 10 x − 1   ; +∞ ÷  10  2x x, y Câu 36: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương + y −1 + log ( x + y + 1) = thỏa mãn S = x − y + x3 − y a b a, b Biết giá trị lớn biểu thức với a T = a + 2b b dương phân số tối giản Tính giá trị biểu thức A T = 25 B Chọn B T = 34 số nguyên T = 32 C Hướng dẫn giải D f ( t ) = 2t −1 + log ( t + 1) đồng biến S = x − y + x − y = x − y ( + x + y + xy ) ⇔ S = ( x − y ) t = xy Ta Đặt ( + xy ) , từ = ( − xy ) ( + xy ) g ( t ) = ( − 2t ) ( + t ) t ∈ [ −1;1] 2 nên Xét hàm số 512   512 16 max g ( t ) = g  − ÷ = S2 ≤ ⇔S≤ t∈[ −1;1] [ −1;1]   27 S >0 T = 34 27 Do nên Vậy xy ≤ y − x, y Câu 37: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ  x + 2y  6y S= + ln  ÷ x  y  biểu thức A 24 + ln x2 + y2 =1 f ( 2) = Nhận xét hàm số 2 x + y −1 + log ( x + y + 1) = ⇔ x + y = xy ≤ T = 41 B 12 + ln + ln C Hướng dẫn giải D + ln Chọn C 1  x xy ≤ y − ⇔ ≤ − = −  − ÷ + ≤ y y y y  Ta có  x + 2y  6y S= + ln  ÷ x  y  S= thành f ( t ) = f ( ) = + ln x∈( 0;4] + ln(t + 2) t t= Đặt x y 0   x chia ve  → < − + = −  − 2.2 + ÷+  cho y2 y y y y  xy ≤ y − y  - Ta có: 1  x = −  − ÷ + ≤ ⇒ ≤ y y  t= x ⇒ < t ≤ ⇒ D = ( 0; ] y - Đặt - Biến đổi biểu thức P dạng:  x = − 21 ∉ D 1 t − 6t − 12  P =  + ÷+ ln ( t + ) ⇒ P ' ( t ) = − + = =0⇔  t t t+2 t (t + 2)   x = + 21 ∉ D ( 0; 4] Lập bảng biến thiên, từ ta thấy rằng, khoảng hàm P(t) nghịch biến 27  27 a = P ( t ) = P ( ) = + ln ⇒  ⇒ a.b = 81 b = nên Chọn B x, y 2x + y = Câu 40: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn 2 P = ( x + y ) ( y + x ) + xy Pmax biểu thức Pmax = A 27 Pmax = 18 B Pmax = 27 C Hướng dẫn giải Pmax = 12 D Chọn B = 2x + y ≥ 2x+ y ⇔ ≥ 2x+ y ⇔ x + y ≤ Ta có Suy  x+ y xy ≤  ÷ =1   P = ( x + y ) ( y + x ) + xy = ( x3 + y ) + x y + 10 xy Khi P = ( x + y ) ( x + y ) − 3xy  + ( xy ) + 10 xy   2 ≤ ( − 3xy ) + x y + 10 xy = 16 + x y + xy ( xy − 1) ≤ 18 Pmax = 18 Vậy x = y =1 x , y , z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + 16 z = x + y + z Câu 41: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x +1 y +1 z +1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = + + + 87 A + 87 B + 87 + 87 2 C D Hướng dẫn giải  a , b, c >  2 x y z a +b +c = a +b+c Đặt a = , b = , c = ta có:  1  1 1   ⇒ P − =  a − ÷+  b − ÷+  c − ÷ 2  2 2   Ta cần tìm P = 2a + 3b + 4c 2 2  9 1  1  1   2 ⇒  P − ÷ ≤ ( + + )  a − ÷ +  b − ÷ +  c − ÷  2 2  2      9 + 87  ⇒  P − ÷ ≤ 29 ⇒ Pmax = 2  Chọn A Câu 42: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2 < ( x + y) + ( y + z) + ( z + x) ≤ Biết giá trị lớn biểu thức a P = x + y + z + ln ( x + y + z ) − ( x + y + z ) b , với a, b số nguyên dương a b tối giản Tính S = 2a + 3b A S = 13 B S = 42 C S = 54 D S = 71 Hướng dẫn giải 2 ≥ x ⇒ x ≤ Từ giả thiết ta có: ; Tương tự ta có: ≤ x, y, z ≤ ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) ≤ ⇒ x + y + z ≤ Và Ta có: x + y + z ≤ x + y + z ⇒ ln ( x + y + z ) ≤ ln ( x + y + z ) ≤ f ( t ) = 4t − 3t − Xét hàm số ta có: Lập bảng biến thiên từ suy ra: f ' ( t ) = 4t ln − 3; f ' ( t ) = ⇔ t = log ∈ [ 0;1] ln  f ( t ) ≤ max [ 0;1] f ( t ) = max  f ( ) ; f ( 1) ;    f  log ÷ = f ( ) = f ( 1) = ln    t x y z ≤ 3t + 1, ∀t ∈ [ 0;1] + + ≤ 3( x + y + z ) + Vậy ta có: Áp dụng ta có: 21 P ≤ 3( x + y + z ) + − ( x + y + z ) ≤ 4 Từ suy ra: Chọn C a, b, c ∈ [ 2;3] Câu 43: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực Biết giá trị lớn m m S = a + 4b + c − ( a + b + c ) n với m, n số nguyên dương n tối giản Tính P = m + 2n A P = 257 B P = 258 C P = 17 D P = 18 Hướng dẫn giải x ≤ 48 x − 80, ∀x ∈ [ 2;3] x ∈ { 2;3} Ta có: Dấu đạt S ≤ 48 ( a + b + c ) − 240 − ( a + b + c ) ≤ 16 ( a; b; c ) = ( 3;3; ) Do Dấu đạt hoán vị Chọn D x y z Câu 44: [DS12.C2.9.D02.d] Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn + + = Tìm giá trị x y z S= + + nhỏ biểu thức A 12 B C D − log Hướng dẫn giải ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇒ ab ≥ a + b − Với a, b, c ≥ ta có abc ≥ ( a + b − 1) c = ac + bc − c ≥ ( a + c − 1) + ( b + c − 1) − c = a + b + c − Do x + y + 3z x + y + 3z ≥ ⇒ S = ≥ x y z x y z 6 Áp dụng ta có ≥ + + − = Do Chọn C a, b Câu 45: [DS12.C2.9.D02.d] Cho số thực dương thỏa mãn a a +1 a a − + ( − 1) sin ( + b − 1) + = S = a + 2b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A π −1 Biến đổi giả thiết, ta có: B π π −1 C Hướng dẫn giải D 3π −1 (2 ) a − 2.2a + ( 2a − 1) sin ( 2a + b − 1) + = ⇔ ( a − 1) + ( a − 1) sin ( a + b − 1) + = ( ⇔ 2a − + sin ( 2a + b − 1) ) ( + − sin ( a + b − 1) = ⇔ a − + sin ( a + b − 1) ) + cos ( a + b − 1) = π  a cos ( a + b − 1) =   + b − = + kπ ⇔ ⇔ a a  − + sin ( + b − 1) =  2a − ± =  a = 1, b = Do Chọn C π − + kπ , k ∈ Z x y Câu 46: [DS12.C2.9.D02.d] Cho , ( 2x + y ) x + 2y P= + ln x y A 45 B b>0⇒b≥ Do π π  − ⇒ S ≥ +  − 1÷ = π − 2  xy ≤ y − số dương thỏa mãn a + ln b 81 Giá trị tích ab Giá trị nhỏ 108 C Hướng dẫn giải D Chọn B xy ≤ y − ⇔ xy + ≤ y ≤ y + x, y ⇔0< x ≤4 y dương ta có: x  y P = 12 + + ln  + ÷ x y  Có x t= y 00 0 1) b ... dương thỏa mãn 2 P = ( x + y ) ( y + x ) + xy Pmax = A 27 C +2 =4 x Pmax = 18 B y Tìm giá trị lớn Pmax = 27 D D Pmax 17 44 115 biểu thức Pmax = 12 C D y z x y z Câu 41: Cho x, y, z số... 17.D 27.D 37.C 47.C 8.A 18.A 28.A 38.C 9.D 19.C 29.D 39.B 10.A 20.B 30.A 40.B DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO: x, y Câu 1: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương thay... dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn 2 P = ( x + y ) ( y + x ) + xy Pmax biểu thức Pmax = A 27 Pmax = 18 B Pmax = 27 C Hướng dẫn giải Pmax = 12 D Chọn B = 2x + y ≥ 2x+ y ⇔ ≥ 2x+ y ⇔ x + y ≤ Ta có