Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chuyên đề này chỉ đề cập đến một số cách giải và một số dạng đặc biệt của phương trình bậc ba và bậc bốn.. Dạng 1 : Phương trình đưa về được dạng tích. a) Tìm m để pt sau có đún[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Trong chuyên đề đề cập đến số cách giải số dạng đặc biệt phương trình bậc ba bậc bốn
Dạng 1: Phương trình đưa dạng tích. a) Kiến thức:
- Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm x=a ta ln có phân tích: f(x)=(x-a)g(x) Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau:
- Nếu đa thức f x( )a xn n a xn1 n1 a x a1 có nghiệm ngun nghiệm phải ước a0
- Nếu đa thức f x( )a xn n a xn1 n1 a x a1 có tổng hệ số đa thức có nghiệm
- Nếu đa thức f x( )a xn n a xn1 n1 a x a1 có tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẽ đa thức có nghiệm -1
- Để chia đa thức cho đơn thức ta dùng sơ đồ Hooc- ne b) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải pt sau:
3
3
4
)2 10
)
) 12
a x x x
b x x
c x x x
Ví dụ 2: Tìm m để pt sau có ba nghiệm phân biệt
3 3 (2 ) 0
x x m x m Ví dụ 3: Tìm m để pt sau có nghiệm
x3 (1 m x) 3mx2m2 0 c) Bài tập tương tự nhà: Bài 1: Giải pt sau:
3 3
4
) ) 15 ) 14
) 13 22 ) 11 30
a x x x b x x x c x x x
d x x x x e x x x x
Bài 2: Cho pt: x3 3x2 2(m1)x 4m0 a) Tìm m để pt sau có nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có ba nghiệm phân biệt Bài 3: Cho pt x3 4x2 (3m2)x 6m4 0 a) Tìm m để pt có nghiệm dương phân biệt;
b) Tìm m để pt có nghiệm âm ngiệm dương;
(2)Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng: ax4+bx2+c=0 (1) Trong đó: x l n s,
a;b;c;d hệ sè; a0
Cách giải: Đặt t x t 2, 0 Khi pt (1) trở thành: at2 bt c 0 (2)
Chú ý: + pt (1) có bốn nghiệm phân biệt pt (2) có hai nghiệm dương phân biệt;
+ pt (1) có ba nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm t=0 nghiệm dương + pt (1) có hai nghiệm phân biệtpt (2) có nghiệm kép dương pt (2) có hai nghiệm trái dấu + pt (1) vô nghiệm pt (2) vô nghiệm pt (2) cú õm
Vớ d 1: Giải phơng trình: x4 – x2 – =
Ví dụ 2: Cho pt: x4 x2 m 2 0
Tìm m để pt:
a) Có bốn nghiệm phân biệt; b) Có ba nghiệm;
c) Có hai nghiệm phân biệt; d) Vơ nghiệm
Bài tập tương tự nhà:
Cho pt sau: x4 2x2 3m 4 0
Tìm m để pt:
a) Giải pt m=1
b) Có bốn nghiệm phân biệt; c) Có ba nghiệm;
d) Có hai nghiệm phân biệt; e) Vơ nghiệm
Dạng 3: Phơng trình dạng: ( x+a)4 + ( x+b)4 = c (Trong x ẩn, , a,b,c hệ số)
a) Cách giải:
t: t = x +
b a
tøc lµ:
x+a=t x+b=t
2 a b a b
Phơng trình cho trở thành
2t4+12 0
2 2
4
2
c b a t
b a
(Đây phơng trình trùng phơng ẩn t ta biết cách giải)
b) VÝ dô:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x34x54 (*) Giải:
Đặt t=
2
x t Khi đó: x + = t - x + = t +
Phơng trình (*) có dạng: (t -1)4+(t+1)4=2
0
2 12
2
2
t t
t t
Phơng trình t4 + 6t2 = có nghiệm kÐp t = 0
(3) x + =
x = -
Vậy phơng trình (*) có nghiệm kép x = -
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x + 6)4+ (x - 4)4= 82 (**)
Gi¶i
Đặt t=x+
2
x
x + = t + x – = t –
Phơng trình (**) có dạng: (t+5)4 + (t-5)4=82 2t4 + 300t2 + 1250 = 82
t4 + 150t2 + 584 = 0 (***)
Gi¶i phơng trình (***)
Đặt t2 = v0 Thay vào phơng trình (***) ta có:
v2 + 150v + 584 = 0
71 5041
5041 584
5625
' '
Ta cã v1 = - 75+71=-4 Không thoả mÃn điều kiện v0
v2 =-75 -71 =-146 Không thoả mÃn điều kiện v0
Vậy phơng trình (***) vô nghiệm phơng trình (**) vô nghiệm
c) Nhận xét:
Bng phép đổi biến t=x+
b a
ta đa đợc phơng trình (x+a)4+(x+b)4=c phơng trình
trùng phơng (trung gian) có dạng tổng quát: t4+Bt2+C=0
Qua phép biến đổi t2=X (với x0) Ta đa đợc phơng trình phơng trình bậc hai trung gian:
X2 + BX + C=0
Sè nghiÖm phơng trình (x+a)4+(x+b)4=c phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình
bậc hai trung gian X2+BX +C=0
*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian vơ nghiệm có nghiệm âm phơng trình trùng phơng t4 +Bt +C=0 vơ nghiệm phơng trình u vụ nghim.
*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X0 phơng trình ®Çu cã nghiƯm:
x=t0
-2 b a
t0= X0
t0 = - X0
Lu ý số nghiệm phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình trùng phơng phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình bậc hai trung gian
Nh vËy: NÊu ph¬ng trình bậc hai trung gian X2+BX+C=0
+ Vô nghiệm có nghiệm âm phơng trình đầu vô nghiệm
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm dơng, nghiệm âm phơng trình đầu có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu phơng trình bậc trung gian có hai nghiệm dơng (phân biệt) phơng trình đầu có nghiệm phân biệt
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm dơng nghiệm ph-ơng trình dầu có nghiệm
+ phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dơng phơng trình đầu có hai nghiệm kép phân biÖt
d) Bài tập tương tự nhà:
Giải pt sau:
a) (x 2)4 (x 3)4 1
(4)c) (x 3)4 (x 5)4 16
d) (x2)4(x4)4 82
e) (x1)4 (x 3)4 32 f) (2x1)4 16(x 2)4 17
Dng Phơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e, ú a+b=c+d.
a) Cách giải: Pt x2 (a b x ab x ) (c d x cd ) e
Đặt t x2 (a b x)
ta có pt trở thành (t ab t cd )( )e b)Ví dụ:
Vớ d 1: Giải phơng trình: (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 (1)
Giải:
Nhn xột: Ta thy 4+8=5+7=12 Ta biến đổi phơng trình (1)
(x4)(x8) (x5)(x7)4
4 ) 35 12 )( 32 12
( 2
x x x x (*)
Đặt x2+12x+32=t x2+12x+35=t+3
Thay vµo (*) ta cã: t(t+3)=4 hay t2+3t-4=0 (2)
Phơng trình (2) có nghiệm t1=1; t2=-4 (Vì a+b+c=0)
+ Víi t=1 Ta cã x2+12x+32=1 hay x2+12x+31=0
5 '
x1=-6+ 5; x2=- 6- 5;
+ Víi t=-4 Ta cã x2+12x+32=-4 hay x2+12x+36=0
0 '
Phơng trình có nghiệm kép x3,4=-6
Vậy phơng trình ban đầu cho ta nghiệm: S = 5; 6 Ví dụ 2: Giải phơng trình:
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19
c) Bài tập tương tự nhà: Giải pt sau:
a) (x1)(x 2)(x 3)(x 4) 4 b) (x2 3x 2)(x2 9x 20) 4
c) (x2 3x 2)(x2 7x 12) 24
d) (x2 1)(x2 8x 15) 9
e) (x1)(x2)(x3)(x4) 3 f) (x 4)(x 5)(x 6)(x 7) 1680 g) (x 1)(x5)(x 3)(x7) 297
Dạng 5: Phương trình dạng: x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex2, trong ab=cd
a) Cách giải: Chia hai vế cho x x2( 0)
ta
2 ( ) ( )
Pt x a b x ab x c d x cd ex
ab cd
x a b x c d e
x x
Đặt t x ab
x
ta pt: (t+a+b)(t+c+d)=e
(5)
1 1 2
2
2
1
1)
ax ax +c
2)
ax ax
a x b x c a x b x c kx
c k
b x c b x c
b) Ví dụ: Giải pt sau
2
2 2
2
9 )( 1)( 2)( 4)( 8)
10
)( 2)( 18) 168
3
)
4
a x x x x x
b x x x x x
x x
c
x x x x
c) Bài tập tương tự nhà:
Giải cac pt sau:
a) (x2 2x 4)(x2 3x 4) 14x2
b) (x2 x1)(x2 5x1)3x2
c) ( 1)( 2)( 4)( 8) 10
9
x x x x x d)
2
2
2 2
6
2 2
x x x x
x x x x
f) 2
3
3
4 1
x x
x x x x h) 2
1
2 2 2( 4)
x x x x x x
i) 2 2
4 10
x x
x x x x
Dạng Phơng trình đối xứng (pt hồi quy)
a) Dạng:
4 2
4 2
1)
2)
ax bx cx kbx k a ax bx cx kbx k a
b) Cách giải:
+ Chia hai vế phương trình cho x x2( 0)
+ Đặt t x kx c) VÝ dô:
VÝ dô 1: Giải phơng trình 2x4+3x3-16x2+3x+2=0 (*)
Giải:
Ta thấy x=0 khơng phải nghiệm phơng trình (*) nên chia hai vế cho x2 ta đợc
phơng trình tơng đơng: 2x3+3x-16+3 0
2
x x
Suy 2 12 1160
x x x
x (**)
Đặt x t
x
1 2
2
t
x x
Phơng trình (*) trở thành 2 2 16
t
t
0 20
2 2
(6)Giải phơng trình: 2 20 t
t
Ta đợc
4 13
1
t 2,5
4 13 t +) Víi t=-4 ta cã x+1 4
x (x0)
0 2
x x
Giải phơng trình x
x
Ta đợc: x1=-2+ 3; x2=-2- 3; (Thoả mãn x0)
+)Víi t 2,5 ta cã 1 2,5
x
x (x0)
0 , 2
x x
Giải phơng trình 2,5
x x
Ta đợc: ;
2 , , x ; , ,
4
x (Thoả mÃn x0) Vậy phơng trình (*) cã nghiÖm:
s 2 3;2 3;0,5;2
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2x4-12x3+74x2-105x+50=0 (***)
Gi¶i:
Vì x=0 khơng nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình (***) cho x2 ta đợc
0 50 105 74 21
2 2
x x x x 74 105 21 50 2 2
x x x x 74 21 25
2 2
x x x x Đặt t x
x5 2252 t210
x x
Phơng trình (****) trở thµnh: 2( 10) 21 74
t t 54 21 2
t t
Giải phơng trình: 2t2-21t+54+0 ta đợc: t
1=6; t2=4,5
+) Víi t=6 ta cã x+5 6
x (x0) 2 x x
Giải phơng tr×nh x
x ta cã: x1=1; x2=5 tho¶ m·n (x0)
Víi t=4,5 Ta cã x+5 4,5
x (x0) 5 ,
x x
Giải phơng trình x2 4,5
x ta cã: x3=2;x42,5 (tho¶ m·n x0)
Vậy phơng trình (***) có nghiệm: S=1;5;2;2,5
d) Bài tập tương tự nhà:
4
4
) )2 )9 30 15 10 d) 10
a x x x x b x x x x
c x x x x x x x x
(7)(Trong a0; f(x) biểu thức biến x, x ẩn ca phng trỡnh)
a) Cách giải:
- Tỡm tập xác định phơng trình phép đổi biến f(x)=t - Đa phơng trình dạng: at2+bt+c=0 (2)
- Nếu phơng trình (2) có nghiệm t=t0, ta giải tiếp phơng trình f(x)=t0 (*)
- Nghim ca phơng trình (*) thoả mãn điều kiện) nghiệm phơng trình cho Ví dụ 1: Giải phơng trỡnh: x6-9x3+8=0 (*)
Giải: Đặt x3=y: (*) trở thành y2-9y+8=0 víi nghiƯm sè y
1=1 y2=8 Từ ú ta cú hai phng
trình: x3=1 x3=8
Suy (*) cã hai nghiƯm x1=1; x2=2 Ví dụ 2: Giải pt
2
4 2
4 3 0
2 1
x x
x x x
Bài tập tương tự nhà:
Bµi Giải phơng trình sau:
a) x2 x12 3x2 3x 0 b) 3(x2 x1)2 2(x1)2 5(x31)
c)
2 2
2
2
5 44 12
1 1
x x x
x x x
d)
2
2 15 ( 1)
1 x x
x x