pt bac cao

Trong chuyên đề này chỉ đề cập đến một số cách giải và một số dạng đặc biệt của phương trình bậc ba và bậc bốn.. Dạng 1 : Phương trình đưa về được dạng tích. a) Tìm m để pt sau có đún[r]

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

Trong chuyên đề đề cập đến số cách giải số dạng đặc biệt phương trình bậc ba bậc bốn

Dạng 1: Phương trình đưa dạng tích. a) Kiến thức:

- Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm x=a ta ln có phân tích: f(x)=(x-a)g(x) Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau:

- Nếu đa thức f x( )a xn n a xn1 n1  a x a1  có nghiệm ngun nghiệm phải ước a0

- Nếu đa thức f x( )a xn n a xn1 n1 a x a1  có tổng hệ số đa thức có nghiệm

- Nếu đa thức f x( )a xn n a xn1 n1 a x a1  có tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẽ đa thức có nghiệm -1

- Để chia đa thức cho đơn thức ta dùng sơ đồ Hooc- ne b) Ví dụ

Ví dụ 1: Giải pt sau:

3

3

4

)2 10

)

) 12

a x x x

b x x

c x x x

   

  

   

Ví dụ 2: Tìm m để pt sau có ba nghiệm phân biệt

3 3 (2 ) 0

x  x   m x m  Ví dụ 3: Tìm m để pt sau có nghiệm

x3 (1 m x)  3mx2m2 0 c) Bài tập tương tự nhà: Bài 1: Giải pt sau:

3 3

4

) ) 15 ) 14

) 13 22 ) 11 30

a x x x b x x x c x x x

d x x x x e x x x x

           

         

Bài 2: Cho pt: x3  3x2 2(m1)x 4m0 a) Tìm m để pt sau có nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có ba nghiệm phân biệt Bài 3: Cho pt x3  4x2 (3m2)x 6m4 0 a) Tìm m để pt có nghiệm dương phân biệt;

b) Tìm m để pt có nghiệm âm ngiệm dương;

Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng: ax4+bx2+c=0 (1) Trong đó: x l n s,

a;b;c;d hệ sè; a0

Cách giải: Đặt t x t 2, 0 Khi pt (1) trở thành: at2 bt c 0 (2)

Chú ý: + pt (1) có bốn nghiệm phân biệt pt (2) có hai nghiệm dương phân biệt;

+ pt (1) có ba nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm t=0 nghiệm dương + pt (1) có hai nghiệm phân biệtpt (2) có nghiệm kép dương pt (2) có hai nghiệm trái dấu + pt (1) vô nghiệm pt (2) vô nghiệm pt (2) cú õm

Vớ d 1: Giải phơng trình: x4 – x2 – =

Ví dụ 2: Cho pt: x4 x2 m 2 0

    Tìm m để pt:

a) Có bốn nghiệm phân biệt; b) Có ba nghiệm;

c) Có hai nghiệm phân biệt; d) Vơ nghiệm

Bài tập tương tự nhà:

Cho pt sau: x4 2x2 3m 4 0

    Tìm m để pt:

a) Giải pt m=1

b) Có bốn nghiệm phân biệt; c) Có ba nghiệm;

d) Có hai nghiệm phân biệt; e) Vơ nghiệm

Dạng 3: Phơng trình dạng: ( x+a)4 + ( x+b)4 = c (Trong x ẩn,  , a,b,c hệ số)

a) Cách giải:

t: t = x +

b a

tøc lµ:

x+a=t x+b=t

2 a b a b 



 

 

 



 

  Phơng trình cho trở thành

2t4+12 0

2 2

4

2

                

c b a t

b a

(Đây phơng trình trùng phơng ẩn t ta biết cách giải)

b) VÝ dô:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x34x54 (*) Giải:

Đặt t=

2

  

x t Khi đó: x + = t - x + = t +

Phơng trình (*) có dạng: (t -1)4+(t+1)4=2

0

2 12

2

2

  

   

t t

t t

Phơng trình t4 + 6t2 = có nghiệm kÐp t = 0

 x + =

 x = -

Vậy phơng trình (*) có nghiệm kép x = -

Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x + 6)4+ (x - 4)4= 82 (**)

Gi¶i

Đặt t=x+

2



x

 x + = t + x – = t –

Phơng trình (**) có dạng: (t+5)4 + (t-5)4=82  2t4 + 300t2 + 1250 = 82

 t4 + 150t2 + 584 = 0 (***)

Gi¶i phơng trình (***)

Đặt t2 = v0 Thay vào phơng trình (***) ta có:

v2 + 150v + 584 = 0

71 5041

5041 584

5625

' '

 



 

 

Ta cã v1 = - 75+71=-4 Không thoả mÃn điều kiện v0

v2 =-75 -71 =-146 Không thoả mÃn điều kiện v0

Vậy phơng trình (***) vô nghiệm phơng trình (**) vô nghiệm

c) Nhận xét:

Bng phép đổi biến t=x+

b a

ta đa đợc phơng trình (x+a)4+(x+b)4=c phơng trình

trùng phơng (trung gian) có dạng tổng quát: t4+Bt2+C=0

Qua phép biến đổi t2=X (với x0) Ta đa đợc phơng trình phơng trình bậc hai trung gian:

X2 + BX + C=0

Sè nghiÖm phơng trình (x+a)4+(x+b)4=c phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình

bậc hai trung gian X2+BX +C=0

*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian vơ nghiệm có nghiệm âm phơng trình trùng phơng t4 +Bt +C=0 vơ nghiệm phơng trình u vụ nghim.

*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X0 phơng trình ®Çu cã nghiƯm:

x=t0

-2 b a

t0= X0

t0 = - X0

Lu ý số nghiệm phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình trùng phơng phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình bậc hai trung gian

Nh vËy: NÊu ph¬ng trình bậc hai trung gian X2+BX+C=0

+ Vô nghiệm có nghiệm âm phơng trình đầu vô nghiệm

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm dơng, nghiệm âm phơng trình đầu có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu phơng trình bậc trung gian có hai nghiệm dơng (phân biệt) phơng trình đầu có nghiệm phân biệt

+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm dơng nghiệm ph-ơng trình dầu có nghiệm

+ phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dơng phơng trình đầu có hai nghiệm kép phân biÖt

d) Bài tập tương tự nhà:

Giải pt sau:

a) (x 2)4 (x 3)4 1

c) (x 3)4 (x 5)4 16

    d) (x2)4(x4)4 82

e) (x1)4 (x 3)4 32 f) (2x1)4 16(x 2)4 17

Dng Phơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e, ú a+b=c+d.

a) Cách giải: Pt  x2 (a b x ab x )     (c d x cd )   e

Đặt t x2 (a b x)

   ta có pt trở thành (t ab t cd )(  )e b)Ví dụ:

Vớ d 1: Giải phơng trình: (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 (1)

Giải:

Nhn xột: Ta thy 4+8=5+7=12 Ta biến đổi phơng trình (1)

(x4)(x8) (x5)(x7)4

4 ) 35 12 )( 32 12

( 2

   



x x x x (*)

Đặt x2+12x+32=t x2+12x+35=t+3

Thay vµo (*) ta cã: t(t+3)=4 hay t2+3t-4=0 (2)

Phơng trình (2) có nghiệm t1=1; t2=-4 (Vì a+b+c=0)

+ Víi t=1 Ta cã x2+12x+32=1 hay x2+12x+31=0

5 '



  x1=-6+ 5; x2=- 6- 5;

+ Víi t=-4 Ta cã x2+12x+32=-4 hay x2+12x+36=0

0 '



  Phơng trình có nghiệm kép x3,4=-6

Vậy phơng trình ban đầu cho ta nghiệm: S = 5; 6 Ví dụ 2: Giải phơng trình:

(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19

c) Bài tập tương tự nhà: Giải pt sau:

a) (x1)(x 2)(x 3)(x 4) 4 b) (x2 3x 2)(x2 9x 20) 4

    

c) (x2 3x 2)(x2 7x 12) 24

    

d) (x2 1)(x2 8x 15) 9

   

e) (x1)(x2)(x3)(x4) 3 f) (x 4)(x 5)(x 6)(x 7) 1680 g) (x 1)(x5)(x 3)(x7) 297

Dạng 5: Phương trình dạng: x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex2, trong ab=cd

a) Cách giải: Chia hai vế cho x x2( 0)

 ta

2 ( ) ( )

Pt x a b x ab x c d x cd ex

ab cd

x a b x c d e

x x

   

           

   

           

   

Đặt t x ab

x

  ta pt: (t+a+b)(t+c+d)=e

   

1 1 2

2

2

1

1)

ax ax +c

2)

ax ax

a x b x c a x b x c kx

c k

b x c b x c

    



 

   

b) Ví dụ: Giải pt sau

2

2 2

2

9 )( 1)( 2)( 4)( 8)

10

)( 2)( 18) 168

3

)

4

a x x x x x

b x x x x x

x x

c

x x x x

    

    

 

   

c) Bài tập tương tự nhà:

Giải cac pt sau:

a) (x2 2x 4)(x2 3x 4) 14x2

     b) (x2  x1)(x2 5x1)3x2

c) ( 1)( 2)( 4)( 8) 10

9

x x x x  x d)

2

2

2 2

6

2 2

x x x x

x x x x

   

 

   

f) 2

3

3

4 1

x x

x  x  x  x  h) 2

1

2 2 2( 4)

x  x x  x  x  x

i) 2 2

4 10

x x

x  x  x  x 

Dạng Phơng trình đối xứng (pt hồi quy)

a) Dạng:

4 2

4 2

1)

2)

ax bx cx kbx k a ax bx cx kbx k a

    

    

b) Cách giải:

+ Chia hai vế phương trình cho x x2( 0)

+ Đặt t x kx c) VÝ dô:

VÝ dô 1: Giải phơng trình 2x4+3x3-16x2+3x+2=0 (*)

Giải:

Ta thấy x=0 khơng phải nghiệm phơng trình (*) nên chia hai vế cho x2 ta đợc

phơng trình tơng đơng: 2x3+3x-16+3 0

2 



x x

Suy 2 12 1160 

   

     

 



x x x

x (**)

Đặt x t

x

1 2

2

 

 t

x x

Phơng trình (*) trở thành 2 2 16   

 t

t

0 20

2 2

Giải phơng trình: 2 20    t

t

Ta đợc

4 13

1 

  

t 2,5

4 13     t +) Víi t=-4 ta cã x+1 4

x (x0)

0 2  

 x x

Giải phơng trình  x

x

Ta đợc: x1=-2+ 3; x2=-2- 3; (Thoả mãn x0)

+)Víi t 2,5 ta cã 1 2,5

x

x (x0)

0 , 2   

 x x

Giải phơng trình 2,5

   x x

Ta đợc: ;

2 , ,   x ; , ,

4

x (Thoả mÃn x0) Vậy phơng trình (*) cã nghiÖm:

s  2 3;2 3;0,5;2

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

2x4-12x3+74x2-105x+50=0 (***)

Gi¶i:

Vì x=0 khơng nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình (***) cho x2 ta đợc

0 50 105 74 21

2 2

     x x x x 74 105 21 50 2 2

                 x x x x 74 21 25

2 2

                 x x x x Đặt t x

x5 2252 t210

x x

Phơng trình (****) trở thµnh: 2( 10) 21 74

    t t 54 21 2   

 t t

Giải phơng trình: 2t2-21t+54+0 ta đợc: t

1=6; t2=4,5

+) Víi t=6 ta cã x+5 6

x (x0) 2 x x

Giải phơng tr×nh    x

x ta cã: x1=1; x2=5 tho¶ m·n (x0)

Víi t=4,5 Ta cã x+5 4,5

x (x0) 5 ,   

 x x

Giải phơng trình x2 4,5

 

 x ta cã: x3=2;x42,5 (tho¶ m·n x0)

Vậy phơng trình (***) có nghiệm: S=1;5;2;2,5

d) Bài tập tương tự nhà:

4

4

) )2 )9 30 15 10 d) 10

a x x x x b x x x x

c x x x x x x x x

         

         

(Trong a0; f(x) biểu thức biến x, x ẩn ca phng trỡnh)

a) Cách giải:

- Tỡm tập xác định phơng trình phép đổi biến f(x)=t - Đa phơng trình dạng: at2+bt+c=0 (2)

- Nếu phơng trình (2) có nghiệm t=t0, ta giải tiếp phơng trình f(x)=t0 (*)

- Nghim ca phơng trình (*) thoả mãn điều kiện)  nghiệm phơng trình cho Ví dụ 1: Giải phơng trỡnh: x6-9x3+8=0 (*)

Giải: Đặt x3=y: (*) trở thành y2-9y+8=0 víi nghiƯm sè y

1=1 y2=8 Từ ú ta cú hai phng

trình: x3=1 x3=8

Suy (*) cã hai nghiƯm x1=1; x2=2 Ví dụ 2: Giải pt

2

4 2

4 3 0

2 1

x x

x  x  x   

Bài tập tương tự nhà:

Bµi Giải phơng trình sau:

a) x2 x12  3x2  3x 0 b) 3(x2 x1)2 2(x1)2 5(x31)

c)

2 2

2

2

5 44 12

1 1

x x x

x x x

 

  

   

   

   

  

      d)

2

2 15 ( 1)

1 x x

x x

  