giải pt bậc cao(GV Trần Mai Ninh)

HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Phần I Đặt vấn đề Toán học môn khoa học tự nhiên có từ lâu đời Nó tồn phát triển với tồn phát triển xã hội loài người Từ 2000 năm trước công nguyên người Cổ đại biết cách giải phương trình bậc nhất, người cổ Babilon biết giải phương trình bậc hai dùng bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba Nhưng để giải phương trình bậc cao phải đến đầu kỷ 19, nhà Toán học Nauy Abet ( 1802 – 1829) chứng minh phương trình tổng quát bậc lớn bậc không để giải phương tiện tuý đại số Sau nhà toán học Pháp Galoa ( 1811 – 1832) giải cách trọn vẹn vấn đề phương trình đại số Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán bậc trung học sở nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao đưa sách giáo khoa lớp 8, khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho ỏi Bên cạnh nội dung tập ứng dụng phong phú, đa dạng phức tạp Các phương trình bậc cao nội dung thường gặp kỳ thi Bậc THCS, THPT đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận với phương trình bậc cao Cùng với tích luỹ kinh nghiệm có thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà lĩnh hội chương trình Đại học Toán mà đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài “Những phương pháp giải phương trình bậc cao.” Qua đề tài, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại số dạng toán giải phương trình bậc cao, nêu lên số phương pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc giải phương trình bậc cao Qua nội dung hy vọng học sinh phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả tư sáng tạo học tập HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Phần II : Nội dung đề tài nghiên cứu Để giải toán đòi hỏi người giải phải biết phân tích để khai thác hết giả thiết, điều kiện yêu cầu đề bài, thể loại toán để từ định hướng cách giải Đại phận học sinh không hiểu rõ quan trọng cần thiết việc phân tích nhận định hướng giải, nhiều em không học lý thuyết vận dụng ngay, không giải chán nản, bỏ không giải giở sách giải chép v.v Trong trình giảng dạy, đặc biệt dạy chương phương trình ta thấy dạng phương trình đa dạng phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng, dùng phép biến đổi tương đương phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử Công cụ giải phương trình đòi hỏi không cao xa, với kiến thức toán cấp hai đủ Cái quan trọng yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ khía cạnh, trường hợp cụ thể vấn đề Đặc biệt yêu cầu học sinh khá, giỏi phải sáng tạo, linh hoạt giải phương trình, biết đặc biệt hoá tổng quát hoá vấn đề cần thiết Là giáo viên trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinh phải thực quy trình bước biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ giải tập hợp lôgíc toán học Việc giải phương trình bậc cao quy bậc nằm chương trình bậc ẩn phần cuối chương, vấn đề khó với em học sinh trung bình học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần lại * Đối với giáo viên : Phải hệ thống khái niệm định nghĩa dạng phương trình, tính chất cách giải phương trình từ đơn giản đến phức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm ứng dụng đa dạng, phong phú phương trình Mặt khác phải lựa chọn phương pháp thích hợp đối tượng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ giáo viên HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn * Đối với học sinh : Nắm cách có hệ thống khái niệm, định nghĩa, phép biến đổi tương đương, tính chất hệ Từ phát triển khả tư duy, lôgíc cho người học Giúp cho học sinh có khả độc lập, suy diễn vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh Đồng thời cho học sinh thấy thuận tiện nhiều giải phương trình II- Những kiến thức giải phương trình : 1- Các định nghĩa : 1.1 Định nghĩa phương trình : Giả sử A(x) = B(x) hai biểu thức chứa biến x Khi nói A(x) = B(x) phương trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tương ứng hai biểu thức Biến x gọi ẩn Giá trị tìm ẩn gọi nghiệm Việc tìm nghiệm gọi giải phương trình Mỗi biểu thức gọi vế phương 1.2 Định nghĩa phương trình bậc ẩn : Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b số; a ≠0 gọi phương trình bậc ẩn số, b gọi hạng tử tự 1.3 Tập xác định phương trình : Là tập hợp giá trị ẩn làm cho biểu thức phương trình có nghĩa 1.4 Định nghĩa hai phương trình tương đương : Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm 1.5 Các phép biến đổi tương đương : Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình cho thành phương trình tương đương với ( đơn giải hơn) Phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương 1.6 Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn : Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng ax + bx + c = 0; x ẩn số; a, b, c hệ số cho; a ≠ 1.7 Định nghĩa phương trình bậc cao : HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Ta gọi phương trình đại số bậc n trường số thực dạng phương trình đưa dạng : anxn + an-1xn-1 + + a1 + a0 = Trong n nguyên dương; x ẩn; a1, a2, a3, , an số thực xác định ( an ≠ 0) 2- Các định lý biến đổi tương đương phương trình : a) Định lý : Nếu cộng đa thức ẩn vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : 2x = 2x + 5x = +5x * Chú ý : Nếu cộng biểu thức chứa ẩn mẫu vào hai vế phương trình phương trình không tương đương với phương trình cho Ví dụ : x – (1) Không tương đương với phương trình x−2+ 1 = x−2 x−2 Vì x = nghiệm (1) không nghiệm (2) * Hệ 1: Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : 8x – = 2x + 8x – 2x = + * Hệ : Nếu xoá hai hạng tử giống hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : -9 – 7x = ( x +3) – 7x -9 = x ( x + 3) * Chú ý : Nếu nhân hai vế phương trình với đa thức ẩn phương trình không tương đương với phương trình cho HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn III- Một số cách giải phương trình bậc cao : A- Phương hướng : phổ thông không học phép giải tổng quát cho phương trình bậc ba, bậc bốn phương trình bậc phép giải tổng quát Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt đưa phương trình cần giải phương trình bậc 1, bậc Ta phải dựa vào đặc thù phương trình cần giải để có phương pháp thích hợp Giải giảng dạy toán giải phương trình bậc cao quy bậc ẩn bậc hai nằm trình giải phương trình bậc nhất, bậc Nói chung bao gồm nhiều dạng phong phú nhà toán học sư phạm quan tâm đề cập tới nhiều tài liệu, tập san toán học v.v Căn vào mục đích ý nghĩa kết điều tra thực tế giảng dạy chương phương trình Trong trình giảng dạy, thân nghiên cứu, áp dụng lý luận trình dạy học, phương pháp đặc trưng môn, áp dụng kiến thức học để đưa phương trình bậc cao bậc nhất, bậc hai nhiều cách Các dạng phương trình bậc cao thường gặp phương trình trùng phương, phương trình đối xứng, phương trình thuận nghịch B- Các toán phương pháp giải : 1- Phương pháp đưa phương trình tích : 1.1 áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : Để giải phương trình dạng trước hết ta phải nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đưa phương trình cho dạng tích f(x).g(x) h(x) = f(x) =0 g(x) = =0 h(x) = Vì tích phần tử Nghiệm phương trình cho tập hợp nghiệm phương trình : f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = * Bài toán : Giải phương trình (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1) Giải : (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + x3 - 3x2 - 3x – x3 – – 3x2 – 3x – = (x-1) ( x2 + x+ 1) – (x2 + x + 1) = ( x2 + x + 1) ( x – 4) = =0 (2) Với học sinh lớp ta làm sau: Do x2 + x + ≠ nên phương trình có nghiệp x – = x = Với học sinh lớp : (2) x2 + x + = x–4 =0 (*) (**) Giải phương trình (*) : ∆ = – = -3 < nên (*) vô nghiệm Giải (**) : x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1.2 Nhẩm nghiệm dùng lược đồ Hoócne để đưa phương trình tích * Lược đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x = x0 f(x) chứa nhân tử ( x – x0) tức : f(x) = ( x – x0).g(x) Trong : f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 = g(x) = bnxn + bn - 2xn - + + b1x + b0 = với : bn – = an bn – = x0bn – + an – bi – = x0b1 + b0 = x0b1 + a1 Ta có bảng sau ( Lược đồ Hoócne) xi an an - a1 a0 x0bn-1 x0b1 x0b1 x = x0 bn-1=an bn-2 b0 Việc nhẩm nghiệm phương trình dựa sở sau : 1.2.1 Nếu đa thức có tổng hệ số nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số x –1 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 1.2.2 Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số ( x + 1) 1.2.3 Mọi nghiệm nguyên đa thức ước số hệ số tự a0 1.2.4 Mọi nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên : xn + an-1 xn-1 + + a1x + a0 = số nguyên * Bài toán : Giải phương trình : x4 + x3 – x – = (2) Nhận thấy : a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = + + + (-1) + (-1) = Và : a4 + a2 + a0 = + + (-1) = a3 + a1 = + (-1) áp dụng mục 1.2.1 1.2.2 ta có nghiệm phương trình (2) : x1 = 1; x2= -1 áp dụng lược đồ Hoócne ta có : xi a4 =1 a3 =1 a2 =0 a1=-1 a0=-1 x =1 2 x=-1 1 Phương tình (2) có dạng phân tích sau : (x-1) (x+1) (x2 + x + ) = Ta dễ dàng nhận thấy phương trình(2) có nghiệm : x1 = 1; x2 = -1 * Bài toán : Giải phương trình : x3 – 5x2 + 8x – 16 = (3) toán ta áp dụng việc nhẩm nghiệm theo nhận xét 1.2.1 1.2.2 áp dụng nhận xét mục 1.2.3 1.2.4 ta có: Ư (4) ∈{± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 8; ± 16} Kiểm tra thấy x = nghiệm áp dụng lược đồ Hoocne ta đưa phương trình (3) dạng (x – 4) ( x2 – x + 4) = x – = x2 – x + = (*) (**) (*) x – = x = (**) x2 – x + = ∆ = – 4.4 = – 16 = - 15 < => (**) vô nghiệm Vậy nghiệm pt (3) x = HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn * Bài toán 4: Giải pt: 2x3 – 5x2 + 8x – = ( 4) Việc áp dụng nhận xét mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 giải vấn đề ( phương trình nghiệm nguyên) Ta nghĩ đến hội cuối phương trình có nghiệm hữu tỉ áp dụng nhận xét mục 1.2.4 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = (4) (2x)3 – (2x)2 + 16(2x) – 12 = Đặt y= 2x ta có: y3 - 5y2 + 16y – 12 = ( 4’) Nhận thấy: a3 + a2 + a1 + a0 = + ( -5) +16 + ( -12) = áp dụng 1.2.1 ta có y = áp dụng lược đồ Hoócne (4’) dạng ( y – 1) ( y2 – 4y + 12) = y–1=0 (*) y2 – 4y + 12 = (**) (*) y – = y = => x = 1/2 (**) y2 – 4y + 12 = vô nghiệm ( y – 2)2 + > ∀ y Vậy phương trình ( 4) có nghiệm x = 1/2 1.2.5 Việc nhẩm nghiệm gặp nhiều khó khăn số hạng tạ a0 lớn có nhiều ước số Trong trường hợp ta áp dụng nhận xét sau để loại trừ bớt ước không nghiệm phương trình cách nhanh chóng - Nếu x0 nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1) ≠ 0; f(-1) ≠ f (1) f ( −1) giá trị nguyên x0 − x0 + *Bài toán : Giải phương trình : Giải : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = (0) U(18) ∈{ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} Hiển nhiên –1, không nghiệm (5) =>f(1) ≠0, f(-1) ≠0 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Ta thấy : Email: forever_qv96@yahoo.com.vn f (1) − 18 = = −9 ∈ Z −1 f (`1) − 44 = = −11 ∈ Z +1 => Phương trình (5) có khả có nhiệm x1 = áp dụng lược đồ Hoócne ta đưa (5) dạng sau : (x-3) ( 4x2 – x + ) = x – = (*) 4x2 – x + = (**) (*) x = (**) 4x2 – x = = ∆ = (-1)2 – 4.4.6 < => (**) vô nghiệm Nên phương trình (5) có nghiệm : x = * Chú ý : - Việc nhẩm nghiệm phương trình nhẩm miệng dùng thuật toán chia đa thức cho đa thức để hạ bậc đưa phương trình dạng tích - Có thể dùng lược đồ Hoócne để xác định ước số a nghiệm, ước số không nghiệm đưa dạng phân tích VD : Xét phương trình : x3 – 5x2 – 8x - = (*) Ư(4) ∈{±1, ±2, ±4} áp dụng lược đồ Hoócne ta có : x0 x =1 x=-1 a3 =1 1 a2 =-5 -4 -6 a1 =8 14 a0=-4 -18 x=2 -3 x = -2 -7 22 -48 x=4 -1 12 x = -4 -9 44 172 Nhận thấy x= x = nghiệm phương trình (*) lúc (*) viết dạng phương trình tích sau : HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn ( x – ) ( x – 2) ( x – ) = 2- Phương pháp đặt ẩn phụ : - Phương pháp thường sử dụng với dạng phương trình * Dạng : Phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = ( a≠0) gọi phương trình trùng phương + Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x2 ( y ≥0) đưa phương trình bậc hai y sau : ay2 + by + c = * Bài toán : Giải phương trình : x4 – 5x2 + = (1) Đặt y = x2 ( y ≥0) Giải : (1) y2 – 5y + = (y-1)(y-4) = y – = y = y–4=0 y=4 x2 = x1 = 1; x2 = -1 x2 = x3 = 2; x4 = -2 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 1; x = -1; x = 2; x = -2 * Dạng : Phương trình có dạng : ( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m Với a + b = c + d a + c = b + d a + d = b + c * Bài toán : Giải phương trình ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = (1) Giải : (1) ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = ( x2 + 4x – 5) ( x2 + 4x + 3) = Đặt y = x2 + 4x – HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 10 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Ta phương trình : y ( y+8) = y2 + 8y – = (y-1)(y+9) = y – = y = y +9 = y = -9 x2 + 4x – = x2 + 4x - = x1,2 = − ± 10 x2 + 4x – = -9 x2 + 4x + = x3,4 = - Vậy phương trình ( 1) có nghiệm : x1 = − + 10 ; x2 = − − 10 ; x3 = -2 * Dạng : Phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + Cách giải :Ta đưa phương trình dạng phương trình trùng phương cách đặt y = x + ( a+b)/2 * Bài toán : Giải phương trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Giải : Đặt y = x + ta phương trình ( y-1)4 + ( y+1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 – = ( Phương trình trùng phương) Đặt m = y ( m≥0) ta phương trình m2 + 6m – = (8) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ( a+b+c = 0) (*) m1 = (thoả mãn); m2 = -7 (loại) y2 = => y1 = 1; y2 = -1 x+2=1 => x = -1 x + = -1 => x = -3 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x = - 1; x = -3 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 11 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Dạng 4: Phương trình đối xứng bậc chẵn có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + + an – 1xn + anxn –1 + .+ a1x + a0 = Cách giải: Vì không nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 đưa phương trình bậc n cách đặt y = x + 1/x * Bài toán 10: Giải phương trình 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + = ( 1) Giải: x = không nghiệm ( 1) Với x ≠ chia vế (1) cho x2 ta phương trình tương đương x + 3x − + + =0 x x2 1 ) + 3( x + ) − = x x 1 ⇔ 2( x + ) + 3( x + ) − = x x ⇔ 2( x + + Đặt y = x + Đưa phương trình 2y2 + 3y – = (2) x ∆ = + 40 = 49 > => Phương trình (2) có nghiệm y1 = − 3+ − 3− − = 1; y = = 4 x+ =1 ( nhân vế với x ≠ 0) x x2 – x + = ( *) ∆ = – = -3 < => Phương trình (*) vô nghiệm −5 x+ = x ( nhân vế với 2x ≠ 0) 2x2 + 5x + = ( **) ∆ =25 – 16 = > => phương trình ( **) có nghiệm x1 = −5 +3 −1 = ; x2 = −5 −3 = −2 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1 = -1/2 ; x2 = -2 * Dạng 5: Phương trình đối xứng bậc lẻ có dạng: HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 12 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn a0x2n-1 + an-1x2n + + anxn -1 + anxn + .+ a1x + a0 = Cách giải: Phương trình có nghiệm x = -1 chia vế phương trình cho ( x +1) ta phương trình đối xứng bậc chẵn 2n * Bài toán 11: Giải phương trình 2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 + 5x + = ( 1) Giải: Ta có + (-13) + = + (-13) +2 => a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0 => x0 = -1 nghiệm phương trình Với x ≠ - chia vế phương trình ( 1) cho ( x+1) ta có phương trình 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + = ( 3) Dễ dàng thấy x = không nghiệm (3) Chia vế ( 3) cho x2 ≠ 0, ta có phương trình tương đương 2x2 + 3x – 16 + 1 + 2 = x x 1 ⇔ 2( x + ) + 3( x + ) − 20 = x x Đặt y = x + ta phương trình x 2y2 + 3y – 20 = ( 4) ∆ = + 160 = 169 > => phương trình ( ) có nghiệm phân biệt y1 = −3 +13 = ; y2 = −3 −13 = −4 Từ giải phương trình x+ = −4 x ( nhân vế với x ≠ 0) x2 + 4x + = ( *) ∆’ = - = > => phương trình ( *) có nghiệm : x+ x1 = − + ; x2 = − − = x ( nhân vế với 2x ≠ 0) 2x – 5x + = ( **) HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 13 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn ∆ = 25 – 16 = > => phương trình ( **) có nghiệm +3 −3 x1 = = x2 = = 4 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1 = − + ; x = −2 − ; x =3 ; x4 = * Nhận xét: Bài tập tương đối khó với học sinh nên dạy giáo viên cần lưu ý khai thác hết giả thiết, nhận xét sử dụng phương pháp nào, đẳng thức để phân tích cho thích hợp Mỗi tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề kiến thức sử dụng trình giải nhằm giúp học sinh nắm kiến thức cần sử dụng trình giải tổng quát, tương tự, đặc biệt dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát triển tư * Dạng 6: Phương trình có dạng: (x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2 Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + ad/2 y = (x + a) (x + d) *Bài toán 12: Giải phương trình 4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2 (1) Giải: * Cách 1: (1) (x2 + 17x + 60) ( x2 + 16 x + 60 ) = 3x2 4(x + 17 + Đặt y = ( x + 16 + (2) 60 60 ) (x + 16 + ) = ( x ≠ 0) ( 2) x x 60 ) x 4y ( y + 1) = 4y2 + 4y – = y1 = 1/2 ; y2 = -3/2 Với y = 1/2 ta có : 2x2 + 31x + 120 = x1 = - 8; x2 = -15/2 Với y = -3/2 ta có :2x2 + 35x + 120 = HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 14 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH ⇔ x3 = Email: forever_qv96@yahoo.com.vn − 35 + 265 − 35 − 265 ; x4 = 4 * Cách 2: Đặt y = x2 + 16x + 60, ta phương trình 4y ( y + x) – 3x2 = (3) ( 2y – x) ( 2y + 3x) = x1 = 2y x2 = -2y/3 Thay vào ( 3) ta tìm nghiệm *Bài toán 13: Giải phương trình ( x – 3) ( x +2) ( x – 4)( x + 6) = 14x2 (1) Giải: * Cách 1: Khai triển, thu gọn phương trình f(x) = với vế trái đa thức bậc bốn * Cách 2: Nhận thấy ( -3)(-4) = 12 2.6 = 12 (1) ( x – 3)( x – 4)( x + 2)( x + 6) = -14x2 (x2 – 7x + 12) ( x2 – 8x + 12) = - 14x2 (2) Dễ thấy x = nghiệm (1) nên chia vế cho x2 12 12 )( x + + ) = −14 (3) x x 12 12 Đặt t = x − + => x + + = t + 15 x x (2) ( x − + (3) trở thành: t (t + 15) = -14 t2 + 15t + 14 = t1 = -1; t2 = -14 12 Với t = -1: x − + x = -1 x2 – 6x + 12 = (*) (vì x ≠ 0) ∆’ = – 12 = -3 < => (*) vô nghiệm Với t = -14: x −7 + 12 = −14 x x2 + 7x + 12 = (**) (vì x ≠ 0) ∆ = 49 – 48 = > => (**) có nghiệm x1 = 3; x2 = HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 15 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Vậy phương trình (1) có nghiệm : x = ; x = * Dạng 7: Phương trình có dạng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx Trong đó: d = a+b+c ; m = (d – a)(d – b)(d – c) * Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + d, nghiệm phương trình y = * Nhận xét: Một số thiếu sót thường mắc biến đổi phương trình: - Khi chia vế cho đa thức phương trình f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thành f1(x) = f2(x) - Khử luỹ thừa bậc chẵn vế phương trình f2n(x) = g2n(x) (2) thành f(x) = g(x) Hai phép biến đổi làm nghiệm - Đối với phương trình đầu nên chuyển vế để đưa phương trình tích giải phương trình f1(x) = f2(x) - Đối với phương trình (2) giải phương trình f(x) = g(x) f(x) = -g(x) * Dạng : x3 + ax2 + bx + c = (Phương pháp giải với phương trình nghiệm hữu tỉ) + Cách giải : - Bước : Quy dạng y3 + py + q = cách đặt y = a/3 + x - Bước : Đặt y = u + v ( u+v)3 + p( u+v) + q = u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv + p ) + q = u3 + v3 = - q Nên u v thoả mãn hệ phương trình : 3uv = - p u3 + v3 = - q u3v3 = - p3/27 Sau áp dụng hệ thức Viét để tìm nghiệm u, v *Bài toán 14 : Giải phương trình : x3 + 9x2 + 18x + 28 = (*) Đặt y = x + a/3 = x + => x = y – (*) y3 – 9y + 28 = ( **) Đặt y = u + v (**) (u + v )3 – ( u + v) + 28 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 16 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv – 9) + 28 = ( ***) Nếu u, v thoả mãn phương trình( ***) u,v nghiệm hệ u3 + v3 = - 28 u3 + v3 = - 28 u3v3 = 27 uv = => u3, v3 nghiệm phương trình: X2 + 28X + 27 = => u3 = - 1; v3 = - 27 => u = - 1; v = - => y = u + v = - – = - mà x = y – => x = -7 Vậy phương trình (*) có nghiệm x = – Phương pháp đưa hai luỹ thừa bậc * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức thích hợp từ đưa hai vế phương trình luỹ thừa bậc Sau vận dụng đẳng thức học để giải phương trình *Chú ý: A2n = B2n A = ± B A2n – = B2n – A = B *Bài toán 15: Giải phương trình x4 = 24x + 32 Giải: (1) Thêm 4x2 + vào vế (1) x4 + 4x + = 4x4 = 24x + 36 (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 (2) x + = x + ⇔  x + = −(2 x + 6) (3) Giải (2): x2 + = 2x + x2 – 2x – = ∆’ = + = > => phương trình có nghiệm x1 = − + ; Giải (3): x2 = − − x2 + = - 2x – HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 17 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn x2 + 2x + = ∆’ = – = -7 < => phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1 = − + ; x2 = − − *Bài toán 16: Giải phương trình x4 + 8x2 – 8x + 17 = Giải: (1) (1) x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + = ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = Vì (2) ( x − 4) ≥  (4 x − 1) ≥ x − = Nên (2)  4 x − =  x = ±2    x = Vậy phương trình (1) vô nghiệm *Bài toán 17: Giải phương trình: x3 – x2 – x = (1) Giải : Nhân vế (1) với (1) 3x3 – 3x2 – 3x = 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + (3 x) = ( x + 1) x = x + (3 −1).x = x = −1 Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = −1 – Phương pháp dùng bất đẳng thức: * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu hàm số khoảng * Bài toán 18: Giải phương trình: x −8 + x −9 =1 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH (1) Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 18 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Giải: Viết phương trình dạng x −8 + x −9 =1 (1) Dễ thấy x = ; x = nghiệm (1) Xét giá trị lại x +) Với x < − x >1⇒ 9− x >1 x−8 > Nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm +) Với x > x − > ⇒ x − > 9−x > Nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm +) Với < x < < x – < => x − < x − < – x < => − x < − x Nên vế trái (1) nhỏ : x – + – x = ; ( 1) vô nghiệm Vậy (1) có nghiệm : x = ; x = – Phương pháp dùng điều kiện dấu “ =” bất đẳng thức không chặt: * Bài toán 19: Giải phương trình x2 − x +1 + x2 − x − = Giải: Ta có x2 – x + ≥ nên (1) (1) x2 – x – = – ( x2 – x +1) x2 – x – = – ( x2 – x - 2) áp dụng bất đẳng thức A ≥ - A xảy dấu “ =” với A ≤ tức x2 – x – ≤ ( x + 1) ( x – 2) ≤ - ≤ x ≤ – Phương pháp dùng hệ số bất định: Giả sử phương trình bậc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = có phân tích thành (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = lúc ta có: HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 19 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn a1 + a = a a a + b + b = b  2  a1b2 + a b1 = c b1b2 = d Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm hệ số a1; b1; a2 ; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d thử với giá trị nguyên *Bài toán 20: Giải phương trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (1) Giả sử phương trình phân tích thành dạng: (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = a1 + a = −4 a a + b + b = −10  2 ⇔b1 = −2; b2 = −7; a1 = −5; a = Ta có:  a1b2 + a b1 = 37  b1b2 = −14 Phương trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = Tiếp tục giải phương trình bậc hai: x - 5x + = x2 + x – = ta có nghiệm phương trình (1) : x1 = + 17 ; x2 = − 17 ; x3 = − + 29 ; x4 = − − 29 * Chú ý: Với phương pháp giải với phương trình nghiệm hữu tỷ Phần III Kết luận chung Phương pháp dạy học người thầy để học sinh nắm bắt nội dung cần thiết trình nghệ thuật Để giúp em học sinh nắm bài, hiểu yêu môn học, có hứng thú học, say mê với tập khó Thì trình tích luỹ phương pháp giảng người thầy, không sớm chiều có mà phải trình rèn rũa, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm, nghiên cứu đối tượng làm cho học sinh yêu quý môn học khao khát học HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 20 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Dạy cho học sinh phương pháp tìm lời giải cho tập có ý nghĩa vô quan trọng Đòi hỏi người giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, tạo cho học sinh có thói quen tư khả lập luận Phương pháp giảng môn Toán bậc THCS môn đại số phần chương trình Bản thân đúc rút trình giảng dạy chừng mực vấn đề dạy học Phương pháp tìm lời giải cho tập thực có tác dụng giúp học sinh làm quen với phương pháp tư duy, phương pháp làm Tìm cách giải xác định rõ bước cần tiến hành theo trình tự lôgíc để hoàn thành giải Một số cách giải phương trình bậc cao đưa phương trình bậc bậc hai chương trình lớp 8, mà thân đúc rút trình giảng dạy Trong chừng mực vấn đề dạy học phương pháp tìm lời giải tập thực có tác dụng cho dạng tập giúp học sinh làm quen với phương pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể đối tượng học sinh, tăng cường công tác kiểm tra cũ, có biện pháp khích lệ cách giải hay, hạn chế tối đa cho học sinh tâm lý chán môn học, ỉ nại chờ giáo viên chữa tập Bản thân lần nghiên cứu đề tài này, trao đổi tham khảo, bàn bạc, xin ý kiến thầy cô trước thầy cô giáo dạy môn Toán nhà trường Song vấn đề mà toán có cách giải khác Bản thân kính mong thầy cô trước tạo điều kiện giúp đỡ tôi, đóng góp cho nhiều ý kiến hay bổ ích để tiếp tục giảng dạy cho em học sinh đạt kết cao suốt trình dạy học Xin chân thành cảm ơn! Ngêi viÕt: Cha râ HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH ., ngày tháng năm 20 Người ®a lªn: NguyÔn Quèc ViÖt Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 21 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 22 [...]... NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 11 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Dạng 4: Phương trình đối xứng bậc chẵn có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + + an – 1xn + anxn –1 + .+ a1x + a0 = 0 Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho x2 rồi đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x * Bài toán 10: Giải phương trình... Phương trình đối xứng bậc lẻ có dạng: HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 12 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn a0x2n-1 + an-1x2n + + anxn -1 + anxn + .+ a1x + a0 = 0 Cách giải: Phương trình này bao giờ cũng có nghiệm x 0 = -1 và khi chia 2 vế của phương trình cho ( x +1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn 2n * Bài toán 11: Giải phương trình 2x5... của phương trình (1) là: x = 3 1 4 −1 4 – Phương pháp dùng bất đẳng thức: * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số trên từng khoảng * Bài toán 18: Giải phương trình: 5 6 x −8 + x −9 =1 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH (1) Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 18 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Giải: Viết phương trình dưới dạng 5 6 x −8 + x −9 =1 (1) Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều... một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học Phương pháp tìm lời giải cho các bài tập thực sự có tác dụng giúp học sinh làm quen với phương pháp tư duy, phương pháp làm bài Tìm cách giải trong đó xác định rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự lôgíc để hoàn thành bài giải Một số cách giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi... (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 (2) x 2 + 2 = 2 x + 6 ⇔ 2  x + 2 = −(2 x + 6) (3) Giải (2): x2 + 2 = 2x + 6 x2 – 2x – 4 = 0 ∆’ = 1 + 4 = 5 > 0 => phương trình có 2 nghiệm x1 = − 1 + 5 ; Giải (3): x2 = − 1 − 5 x2 + 2 = - 2x – 6 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 17 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn x2 + 2x + 8 = 0 ∆’ = 1 – 8 = -7 < 0 => phương... Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 14 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH ⇔ x3 = Email: forever_qv96@yahoo.com.vn − 35 + 265 − 35 − 265 ; x4 = 4 4 * Cách 2: Đặt y = x2 + 16x + 60, ta được phương trình 4y ( y + x) – 3x2 = 0 (3) ( 2y – x) ( 2y + 3x) = 0 x1 = 2y x2 = -2y/3 Thay vào ( 3) ta tìm được 4 nghiệm *Bài toán 13: Giải phương trình ( x – 3) ( x +2) ( x – 4)( x + 6) = 14x2 (1) Giải: * Cách... NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 20 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Dạy cho học sinh các phương pháp tìm lời giải cho các bài tập có ý nghĩa vô cùng quan trọng Đòi hỏi người giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, tạo cho học sinh có thói quen tư duy và khả năng lập luận Phương pháp giảng môn Toán của bậc THCS về môn đại... là x = 7 3 – Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đưa hai vế của phương trình về luỹ thừa cùng bậc Sau đó vận dụng các hằng đẳng thức đã học để giải phương trình *Chú ý: A2n = B2n A = ± B A2n – 1 = B2n – 1 A = B *Bài toán 15: Giải phương trình x4 = 24x + 32 Giải: (1) Thêm 4x2 + 4 vào 2 vế của (1) x4 + 4x +... + a2x + b2) = 0 lúc đó ta có: HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 19 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn a1 + a 2 = a a a + b + b = b  1 2 1 2  a1b2 + a 2 b1 = c b1b2 = d Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a1; b1; a2 ; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các giá trị nguyên *Bài toán 20: Giải phương trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1)... = 1 > 0 => (**) có 2 nghiệm x1 = 3; x2 = 4 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn 15 HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x = 3 ; x = 4 * Dạng 7: Phương trình có dạng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx Trong đó: d = a+b+c ; m = (d – a)(d – b)(d – c) 2 * Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + d, một nghiệm của phương trình là y = 0 * ... phương trình bậc ba, bậc bốn phương trình bậc phép giải tổng quát Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt đưa phương trình cần giải phương trình bậc 1, bậc Ta phải dựa vào đặc thù phương trình cần giải để... phương trình cần giải để có phương pháp thích hợp Giải giảng dạy toán giải phương trình bậc cao quy bậc ẩn bậc hai nằm trình giải phương trình bậc nhất, bậc Nói chung bao gồm nhiều dạng phong phú nhà... ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn HS: NguyÔn Quèc ViÖt- TPTH Email: forever_qv96@yahoo.com.vn III- Một số cách giải phương trình bậc cao : A- Phương hướng : phổ thông không học phép giải