Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Chúng tôi xin giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức để giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này....
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Phương trình, bất phương trình chứa thức phần quan trọng môn Đại số bậc phổ thơng Đây dạng tốn khiến bạn học sinh gặp khó khăn dạng tập phong phú, địi hỏi nhiều kỹ tính tốn biến đổi Chúng xin giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa thức để giúp bạn học sinh nắm cách giải toán dạng I Một số dạng phương trình, bất phương trình chứa thức Phương trình a) ⎧⎪ f ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ ⎨ ⎪⎩ f ( x ) = g ( x ) b) ⎧⎪ g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ ⎨ ⎪⎩ f ( x ) = ⎡⎣ g ( x ) ⎦⎤ Vd1: Giải phương trình sau: x − x + = x − (1) Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng f ( x ) = g ( x ) nên ta giải sau Ta có (1) ⇔ ⇔ ⎧⎪ x − ≥ ⎨ 2 ⎪⎩ x − x + = ( x − 1) ⎧x ≥ ⇔ x =1 ⎨ ⎩x = Vậy S = {1} Vd2: Giải phương trình: x − x + = −2 x − x + 12 ( 2) Hướng dẫn: Ta có ( 2) ⇔ x − x + = −2 x − x + 12 ⎧⎪ x − x + ≥ ⇔⎨ 2 ⎪⎩ x − x + = −2 x − x + 12 ⎧⎪( x − 1)( x − ) ≥ ⇔⎨ ⎪⎩3 x − x − = Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình ⎧⎡ x ≤ ⎪⎢ ⎣x ≥ −8 ⎪⎪ ⎨⎡ x = ⇔ x = ⎪⎢ ⎪ ⎢ x = −8 ⎪⎩ ⎣ ⇔ ⎧ 8⎫ ⎩ 6⎭ Vậy S = ⎨− ⎬ Bất phương trình a) ⎧⎪ g ( x ) ≥ f ( x) < g ( x) ⇔ ⎨ ⎪⎩0 ≤ f ( x ) < ⎣⎡ g ( x ) ⎦⎤ b) ⎡ ⎧⎪ g ( x ) < ⎢⎨ ⎢⎪⎩ f ( x ) ≥ f ( x) > g ( x) ⇔ ⎢ ⎢ ⎧⎪ g ( x ) ≥ ⎢⎨ f x > ⎡g x ⎤ ⎣⎢⎪⎩ ( ) ⎣ ( ) ⎦ Vd3: Giải bất phương trình sau: a) x + ≥ ( x − 1) ⎡ 14 ⎞ b) x − < − x + x − , S = ⎢1; ⎟ ⎣ 5⎠ Hướng dẫn a) Ta có : x + ≥ ( x − 1) ⎧ x ≥ −1 ⎧⎪ x + ≥ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨ x2 − 2x − ≤ 2 ⎪⎩( x + 1) ≥ ( x − 1) ≥ ⎪ ⎩x −1 ≥ ⎧ ⎪ ⎪ x ≥ −1 ⎡ x = −1 ⎪ ⇔ ⎨ −1 ≤ x ≤ ⇔ ⎢ ⎣1 ≤ x ≤ ⎪ x ≤ −1 ⎡ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ x ≥ Vậy tập nghiệm S = [1;3] ∪ {−1} b)Ta có x − < − x2 + x − ⇔ Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ⎡ ⎧2 x − < ⎢⎨ ⎢ ⎩− x + x − ≥ ⎢ ⎧2 x − ≥ ⎢⎪ 2 ⎢⎨ ⎣ ⎪⎩( x − ) < − x + x − (1) ( 2) ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Giải (1) ⎧ ⎪x < (1) ⇔ ⎨ ⇔ ≤ x < ⎪⎩1 ≤ x ≤ Giải (2) ⎧ ⎧ x≥ ⎪ x≥ 14 ⎪ ⇔⎨ ⇔ ≤x< ( ) ⇔ ⎪⎨ 2 ⎪5 x − 24 x + 28 < ⎪2 < x < 14 ⎩ ⎪⎩ ⎡ 14 ⎞ ⎟ ⎣ 5⎠ Từ suy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢1; II CÁC PHƯƠNG PHÁP Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình dạng khơng cịn chứa thức Tuy nhiên bình phương hai vế phương trình, bất phương trình nhớ đặt điều kiện cho hai vế dấu (đối với phương trình giải phương trình hệ sau thử lại kết quả, cịn bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế dấu) Vd1: Giải phương trình 3x + − x − = − x Hướng dẫn: ⎧3 x + ≥ ⎪ ⎧1 Điều kiện ⎨2 x − ≥ ⇔ ⎨ ≤ x ≤ ⎩2 ⎪6 − x ≥ ⎩ Với điều kiện ta có 3x + − x − = − x ⇔ 3x + = − x + x − ⇔ 3x + = − x + x − + − x x − ⇔ 2x − = − x 2x −1 ⇔ x − = − x 2x −1 ( x ≥ 2) ⇔ x − x + = −2 x + 13x − ⇔ 3x − 17 x + 10 = ⎡x = ⇔⎢ ⎢ x = (l ) ⎣ Vậy S = {5} Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Vd2: Giải bất phương trình x − − − 2x ≥ 2 ( 2) Hướng dẫn ⎧x − ≥ ⇔3≤ x≤ ⎩9 − x ≤ Điều kiện ⎨ Với điều kiện ta có ( 2) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − 2x + 2 ( x − 3) ≥ ( − x ) + + − 2x 4 16 x − 48 ≥ 18 − x + − x x−3 ≥ ⎧⎪18 x − 64 ≥ x − 33 ≥ − x ⇔ ⎨ ⎪⎩( x − 33) ≥ ( − x ) 32 ⎧ x≥ ⎪ 32 ⎧ ⎪ ⎪x ≥ ⇔⎨ ⇔ ⎨⎡ 28 ⇔ x ≥ ⎪81x − 576 x + 1008 ≥ ⎪⎢ x ≤ ⎩ ⎪⎢ ⎩⎣ x ≥ ⎡ 9⎤ Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ 4; ⎥ ⎣ 2⎦ Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bất phương trình dạng dạng biết cách giải Từ nghiệm phương trình, bất phương trình ta suy nghiệm phương trình, bất phương trình ban đầu Chú ý: Phương trình, bất phương trình khơng tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình ta suy nghiệm phương trình, bất phương trình ngược lại Dạng Đặt ẩn phụ thấy biểu thức có dạng giống Đặt t = f ( x ) , đưa phương trình, bất phương trình theo biến x phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)) Vd1: Giải phương trình Nhận xét: 3x − x + + 3x − x + = Ta thấy biểu thức dấu có số hạng x − x , biểu thức chung, ý quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, cịn có thêm số khơng quan trọng, ta đặt ẩn t = x − x , để đưa phương trình dạng bản, nhiên để toán gọn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức đặt t = x − x + Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Ta giải tốn sau: Đặt t = x − x + điều kiện t ≥ Khi x − x + = t + Phương trình trở thành t2 + + t = ⇔ t2 + = − t ⇔ t + = (7 − t ) ⇔ ⇔ t + = t − 14t + 49 t =3 ( dk t ≤ 7) Với t = ta có 3x − x + = ⇔ 3x − x + = ⇔ 3x − x − = ⎡ + 22 ⎢x = ⇔⎢ ⎢ − 22 ⎢x = ⎣ ⎛ + 22 − 22 ⎞ Vậy S = ⎜ ; ⎟ 3 ⎠ ⎝ Vd2: Giải bất phương trình ( x + 1)( x + ) < x + x + 28 Hướng dẫn: Ta có: ( x + 1)( x + ) < ⇔ x + x + 28 x + x + < x + x + 28 Đặt t = x + x + 28 điều kiện t ≥ Khi bất phương trình trở thành: t − 24 < 5t ⇔ t − 5t + 24 < ⇔ −3 < t < Kết hợp với điều kiện ta có < t < (1) Với t < ta có: x + x + 28 < ⎧x ∈ \ ⎪⎧ x + x + 28 ≥ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ −9 < x < ⎪⎩ x + x + 28 < 64 ⎩ x + x − 36 < ( 2) Với t > ⇔ x + x + 28 > ⇔ x ∈ \ (3) Từ (1), (2) (3) ta có nghiệm bất phương trình S = ( −9; ) Vd3: Giải bất phương trình: x ( x − 1) + > x − x + Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Hướng dẫn: Đặt t = x − x + , điều kiện t ≥ , suy x ( x − 1) = ( t − 1) Bất phương trình trở thành: ( t − 1) + > t ⇔ 2t − t − > ⎡ t < − (l ) ⎢ ⇔ ⎢ ⎣t > ⎡x < x2 − x + > ⇔ x2 − x + > ⇔ x2 − x > ⇔ ⎢ ⎣x > Với t > ta có Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) Dạng Các phương trình, bất phương trình có biểu thức số Khi đặt t = A ± B , suy AB = ± A ± B ± m AB A + B t2 − ( A + B) Đưa phương trình bất phương trình ẩn t x + + − x + ( x + 2)(5 − x) = Vd4: Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện −2 ≤ x ≤ Đặt t = x + + − x (điều kiện t ≥ ) t2 − Suy t = + x + − x = + ( x + )( − x ) ⇒ ( x + )( − x ) = Khi phương trình trở thành: ⇔ t2 − =4 t+ t + 2t − 15 = ⎡t = −5 ( l ) ⇔⎢ ⎢⎣t = ( n ) Với t = ta có: x+2 + 5− x = ⇔ ⇔ ⇔ 7+2 ( x + )( − x ) = ( x + )( − x ) = x − 3x − = ⇔ ⎡ 3+3 ⎢x = ⎢ ⎢ 3−3 ⎢x = ⎣ Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ( n) ( n) ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình ⎪⎧ + − ⎪⎫ Vậy tập nghiệm phương trình S = ⎨ ; ⎬ ⎭⎪ ⎩⎪ Vd5: Giải bất phương trình: 2x + + − 2x + ( x + 1)( − x ) > 13 Hướng dẫn Điều kiện − ≤ x ≤ 2 Đặt t = x + + − x (điều kiện t ≥ ) Suy ( x + 1)( − x ) = t − 10 Bất phương trình trở thành t − 10 > 13 3t + 2t − 56 > t + ⇔ ⇔ 14 ⎡ ⎢t < − ( l ) ⎢ ⎢⎣t > ( n ) Với t > ta có 2x + + − 2x > ⇔ ⇔ ( x + 1)( − x ) > 16 ( x + 1)( − x ) > 10 + 16 x − x > ⇔ 0< x ) Khi bất phương trình trở thành 2x −1 t x −1 −16 ⎡ t≤ (l ) ⎢ 6 3t − ≥ ⇔ 6t − t − ≥ ⇔ ⎢ t ⎢ ( n) ⎢t ≥ ⎣ ta có Với t ≥ 2x −1 2x −1 −x + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔1< x ≤ x −1 x −1 4 ( x − 1) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [1;5] Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Vd8: Giải phương trình: x3 − = 2x + Hướng dẫn t3 −1 Đặt t = x + ⇒ x = ⎧⎪ x − = 2t Khi ta có hệ ⎨ ⎪⎩t − = x Lấy (1) trừ (2) ta có: (1) ( 2) Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình x3 − t = 2t − x ⇔ ( x − t ) ( x + xt + t ) + ( x − t ) = ⇔ ( x − t ) ( x + xt + t + ) = ⇔ x −t = t⎞ ⎛ (Vì x + xt + t + = ⎜ x + ⎟ + t + > ) 2⎠ ⎝ Với t = x ta có x3 − = x ⇔ x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) = ⎡ ⎢ x = −1 ⎢ 1+ ⇔ ⎢x = ⎢ ⎢ ⎢x = 1− ⎢⎣ ⎧⎪ + − ⎫⎪ Vậy phương trình có nghiệm S = ⎨ −1; ; ⎬ 2 ⎭⎪ ⎩⎪ Vd9: Giải phương trình: x + 34 − x − = ( *) Hướng dẫn ⎧⎪u = x + 34 Đặt: ⎨ ⇒ u − v = 37 ⎪⎩v = x − ( *) ⇔ u − v = ⎧⎪u − v = 37 (1) Ta có hệ: ⎨ ( 2) ⎪⎩u − v = ( ) ⇔ u = v + ( 3) , sau thay vào (1) ta có: ( v + 1) − v = 37 ⎡v = ⇔⎢ ⎣ v = −4 • v = ⇔ x − = ⇔ x = 30 • v = −4 ⇔ x − = −4 ⇔ x = −61 Vd10: Giải phương trình: x + x − − 14 x − x + = 17 x − 13 ( *) Hướng dẫn ( *) ⇔ ( x − x + 3) + 17 x − 13 − 14 x − x + = 17 x − 13 Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình u + 13 ⎧ x= ⎪ ⎧⎪u = 17 x − 13 17 ⎪ Đặt: ⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎪v = ⎛ u + 13 ⎞ − ⎛ u + 13 ⎞ + = u − 25u + 373 ⎩⎪v = x − 3x + ( v ≥ ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 289 ⎝ 17 ⎠ ⎝ 17 ⎠ ( *) trở thành 4v + u − 14v = u ⎧7 4v + u = 14v + u (1) ⎪ Ta có hệ: ⎨ u − 25u + 373 ⎪v = ( 2) 289 ⎩ (1) ⇔ 49 ( 4v + u ) = (14v + u ) ⇔ 49u = 28uv + u ⇔ u ( u + 28v − 49 ) = ⎡u = ⇔⎢ ⎣u = 49 − 28v 13 •u=0⇔ x= 17 • u = 49 − 28v Thay vào ( ) : − 25 ( 49 − 28v ) + 373 289 2 ⇔ 289v = 784v − 2044v + 1549 v ( 49 − 28v ) = ⇔ 495v − 2044v + 1549 = ⎡ ⎡v = ⎢ ⇔ ⎢ 1549 ⇔ ⎢ ⎢v = ⎢⎣ 495 ⎣ ⎡⎡ x = ⎢⎢ ⎢⎣ x = x − 3x + = ⎢⎡ 746 1549 ⇔ ⎢ ⎢ x = − x − 3x + = 495 ⎢⎢ 495 ⎢⎢ 2231 ⎢⎢ x = 495 ⎣⎣ Thay giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: x = 2, x = − 746 495 ⎧ 746 13 ⎫ Vậy S = ⎨− ; ;2 ⎬ ⎩ 495 17 ⎭ Chú ý: • Từ phương trình ta suy hệ, nên giải nghiệm ta phải thử lại • Phương pháp hiệu việc giải phương trình, cịn bất phương trình khó sử dụng Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk 10 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Vd11: Giải phương trình x − + 10 − x = x − 12 x + 40 Hướng dẫn Đặt: t = x − + 10 − x , t > ⇒ t2 = ( x − + 10 − x ) ≤ (1 + ) ( x − + 10 − x ) = 16 BCS 2 ⇒ t ≤4 ⇒0≤t ≤4 Dấu " = " xảy ⇔ x − = 10 − x ⇔ x = Mặt khác: x − 12 x + 40 = ( x − ) + ≥ , dấu " = " xảy ⇔ x = ⇒ x − + 10 − x ≤ x − 12 x + 40 Vậy S = {6} Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số 3+ x + 6− x − Vd12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( + x )( − x ) = m Hướng dẫn Điều kiện: x ∈ [ −3;6] Đặt t = + x + − x , x ∈ [ −3;6] t′ = 1 6− x − 3+ x − = + x − x ( − x )( + x ) t′ = ⇔ x = ⇒t =3 2 Ta có: • x = −3 ⇒ t = t = • x=6⇒t =3 ( 3+ x + 6− x ) =9+2 ( + x )( − x ) Bảng biến thiên: x −3 t’ + - t 3 ⇒ t ∈ ⎡⎣3;3 ⎤⎦ Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk 11 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Xét t2 − f (t ) = t − , t ∈ ⎡⎣3;3 ⎤⎦ ( f ′ (t ) = − t, ) f ( 3) = 3, f = − Bảng biến thiên: t 3 f ′(t ) – f (t ) − 9⎤ ⎡ Vậy m ∈ ⎢3;3 − ⎥ phương trình có nghiệm 2⎦ ⎣ BÀI TẬP RÈN LUYỆN I Giải phương trình sau: x2 − x x2 − x + − =1 x2 − x + x2 − x − 1) 2) x + + x −1 + x + − x −1 = 3) x −5 − 4) x + − 2x − = 4x − 5) x− x − 14 =3 x+ x−5 S = {0;1} S = [1;10] S = {3;14} + x+2 =0 x+2 S = {2} ⎧2⎫ S =⎨ ⎬ ⎩3⎭ ⎧⎪ −1 + 17 − 21 ⎫⎪ S =⎨ ; ⎬ 2 ⎭⎪ ⎪⎩ 6) x + x + = 7) − x = 1− x −1 S = {1; 2} 8) x + 26 + x + x + = S = {1} 9) 1 +x+ − x =1 2 ⎧ 1⎫ S = ⎨− ; ⎬ ⎩ 2⎭ x− 10) 11) ( ⎧⎪1 + ⎫⎪ S =⎨ ⎬ ⎩⎪ ⎭⎪ 1 + 1− = x x x )( 1+ x −1 ) − x +1 = 2x Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ⎧ 24 ⎫ S = ⎨− ;0 ⎬ ⎩ 25 ⎭ 12 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình II Giải bất phương trình 3x − 2− x < 1) 2− x S = ( −∞;1) 2) 2x2 + x − < x+4 ⎛1 8⎞ S = ( −∞; −4 ) ∪ ⎜ ; ⎟ ⎝2 7⎠ 3) x + + x + − 2x + > S = [ −2; +∞ ) 4) x − 3x + + x − x + ≥ x − x + S = {1} ∪ [ 4; +∞ ) 5) ⎛ 2⎞ ⎛2 ⎞ S = ⎜ −1; ;1⎟ ⎟∪⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3x > −1 1− x − x2 6) x + x x2 − > ⎛ 5⎞ S = ⎜1; ⎟∪ ⎝ ⎠ 5 + x − −3 − x < −1 + 9) + x + − x ≤ − 10) 5; +∞ ) ⎡ 3⎞ ⎛ ⎤ S = ⎢ −1; − ,1⎥ ⎟∪⎜ ⎠ ⎝ ⎦ ⎣ 7) − x + < − x 8) ( ( x + 5)( −3 − x ) x2 ⎡ −8 + ⎞ S = ⎢ −5; ⎟ ⎣ ⎠ S = [ −1;1] S = [ 2;10 ) 5x − − x − > 2x − 1⎤ ⎛ S = ⎜ −∞; − ⎥ ∪ {2} ∪ [3; +∞ ) 2⎦ ⎝ 11) ( x − x ) x − x − ≥ III Tìm m để: 1) x + − x = − x + x + m có nghiệm 2) 12 − 3) x2 = 2m − x có hai nghiệm x ( − x ) + m + ≥ x − x + có nghiệm chứa [ 0;1] 4) x + mx + = x + có nghiệm phân biệt IV Phương trình bất phương trình chứa thức kỳ thi đại học gần Bài Giải bất phương trình ( x − 3x ) x − 3x − ≥ (D – 2002) Bài Giải bất phương trình ( x − 16 ) + x−3 > x−3 Bài Xác định m để phương trình sau có nghiệm m ( 7−x (A – 2004) x−3 ) + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 Bài Giải bất phương trình x − − x − > x − (A – 2005) Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk (B – 2004) S = [ 4; +∞ ) m ∈ ⎡⎣ − 1;1⎤⎦ S = [ 2;10 ) 13 ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình Bài x + + x + − x + = (D – 2005) S = {3} Bài Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: Bài Giải phương trình x + mx + = x + (B – 2006) ⎡9 ⎞ m ∈ ⎢ ; +∞ ⎟ ⎣2 ⎠ x − + x − 3x + = (D – 2006) S = 1; − { } Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x − + m x + = x − ( A – 2007) ⎛ 1⎤ m ∈ ⎜ −1; ⎥ 3⎦ ⎝ Bài Chứng minh với giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x − = m ( x − ) (B – 2007) Bài 10: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 2x + 2x + − x + − x = m ( m ∈ \) (A – 2008) m ∈ ⎡⎣ + 6;3 + Nhóm giáo viên Tốn TT Quang Minh http://trungtamquangminh.tk ) 14 ... nghiệm bất phương trình S = ⎢ 4; ⎥ ⎣ 2⎦ Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bất phương trình dạng dạng biết cách giải Từ nghiệm phương trình, bất phương trình. .. nghiệm bất phương trình S = ⎢1; II CÁC PHƯƠNG PHÁP Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình dạng khơng cịn chứa thức. .. nghiệm phương trình, bất phương trình ban đầu Chú ý: Phương trình, bất phương trình khơng tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà tương đương theo nghĩa từ phương