Đưa ra một số phương pháp giải một số phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực”, với phương pháp này giúp đỡ các em học sinh luyện tập và làm quen với phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” để từ đó biết cách tư duy suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” khác. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực”.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC A/ Đặt vấn đề: Trong q trình học Tốn, em học sinh gặp tốn mà đầu đề lạ, khơng bình thường, tốn khơng thể giải trực tiếp quy tắc, phương pháp quen thuộc Những toán thường gọi “khơng mẫu mực”, có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư Toán học thường thử thách học sinh kỳ thi HSG, thi vào cấp 3, lớp chuyên toán,… Tuy nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực”, phụ thuộc vào trình độ người giải Tốn Tơi xin đưa số phương pháp giải số phương trình hệ phương trình “khơng mẫu mực”, với phương pháp giúp đỡ em học sinh luyện tập làm quen với phương trình hệ phương trình “khơng mẫu mực” để từ biết cách tư suy nghĩ trước phương trình hệ phương trình “không mẫu mực” khác B Giải vấn đề I Phần I: Phương trình Phương trình ẩn: Với phương trình ẩn có phương pháp thường vận dụng là: Đưa phương trình tích, áp dụng bất đẳng thức chứng minh nghiệm đưa hệ phương trình a Phương pháp đưa phương trình tích * Các bước: - Tìm tập xác định phương trình - Dùng phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x).g(x)….h(x) = (gọi phương trình tích) Từ suy f(x) = 0; g(x) = 0; … h(x) = phương trình quen thuộc Nghiệm phương trình tập hợp nghiệm phương trình f(x) = 0, g(x) = 0, … h(x) = thuộc tập xác định - Đôi dùng ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ân đưa phương trình dạng tích (với ẩn phụ) Giải phương trình với ẩn phụ, từ tìm nghiệm phương trình cho - Dùng cách nhóm số hạng, tách số hạng…để đưa phương trình dạng quen thuộc mà ta biết cách giải *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: x 10 x 21 x x ĐK: x ≥ -3 x 10 x 21 x x ( x 3)( x 7) x x x ( x 3) 2( x 3) ( x 3)( x 2) x7 3 x x7 3 x Vì vế dương nên ta có: x x 2(TM ) x x 1(TM ) Vậy tập hợp nghiệm phương trình S = 1;2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = TXĐ: x R Giải x+1 x + 2x.3 - 18x - 27 = x (3 + 2x) – 9(2x + 3) = x (2x + 3) (3 - 9) = 2 x x 3 x x Vậy tập nghiệm phương trình S = ;2 Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TXĐ: R 3 áp dụng đẳng thức (a - b) - (a - b ) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 x 3 2 3( x x 1)(3x 2)( x x 1) x x (1) 3x (2) x x (3) Giải (1): x2 - x - = = + = > 0, Pt có nghiệm x1 x 3x 2 x x 3 x 1 1 ; x2 2 Giải (2): 3x - = x Giải (3): x2 - 4x + = ’ = - = > 0, Pt có nghiệm x1 3; x Vậy tập nghiệm phương trình là: 1 ; ; ;2 ;2 S= Ví dụ 4: Giải phương trình: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36TXĐ: R x x x 4( x 8) 36 ( x x 12)( x x 32) 36(*) Đặt y = x2 + 4x - 12 x x 32 y 20 Phương trình (*) trở thành: y ( y 20 ) 36 y 20 y 36 ( y 18)( y 2) y 18 y 18 y y x x 12 18(1) x x 12 2( 2) Giải (1) ta có: x x 12 18 x x 30 ' 30 34 Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 2 34 ; x 2 34 Giải (2) ta có: x x 12 x x 14 ' 14 18 Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 2 18 2 x 2 18 2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 34 2; 34 2;3 2;3 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: (x + 2)4 + x4 = 82 Đặt y = x + (x + 2)4 + x4 = 82 4 (y + 1) + (y - 1) = 82 y + 6y - 40 = Đặt y2 = t ≥ t + 6t - 40 = ’ = + 40 = 49 > 0, Pt có nghiệm phân biệt t1 = -3 + = 4; t2 = -3 - = -10 (loại) y = 4, y = Với y = x + = x = Với y = -2 x + = -2 x = -3 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {1;-3} Chú ý: Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c số) đặt ẩn phụ y = x + ab , phương trình đưa dạng dy4 + ey2 + g = (d, e, g số) Ví dụ 6: Giải phương trình 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 ĐK: x -4; x -5; x -6; x -7 1 1 1 ( x 4) ( x 5) ( x 5) x x x 18 1 ( x 4) x 18 18( x 7) 18( x 4) ( x 4)( x 7) x 11x 26 x 13 x x 13 x 13 x x Thoả mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S = {-13; 2} b Phương pháp áp dụng bất đẳng thức *Các bước: - Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g(x) a (a số) - Nghiệm phương trình giá trị thoả mãn đồng thời f(x)=a g(x)=a - Biến đổi phương trình dạng h(x)=m (m số), mà ta ln có h(x) m h(x) m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy - áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki… *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x x x 10 x 14 x x 3( x 1) 5( x 1)2 ( x 1) : x R 3( x 1) x 1 Mà: x 1 Nên ta có: (x+1)2 = x = -1 Vậy nghiệm phương trình x = -1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 11 x x 13 x x ( x 3)2 ( x 3)2 ( x 2) Mà: ( x 3)2 ( x 3)2 ( x 2) ( x 3)2 Nên dấu “=”xảy x Điều xảy Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: x 3x 3,5 ( x x 2)( x x 5) Ta có: x x ( x 1)2 x x ( x 2)2 x 3x 3,5 ( x x 2) ( x x 5) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ( x x 2); ( x x 5) ta có: ( x x 2) ( x x 5) ( x x 2)( x x 5) Vậy x x 3,5 ( x x 2)( x x 5) Dấu xảy khi: ( x x 2) ( x x 5) 2x x 3 Vậy nghiệm phương trình x= Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 13 x x x x x 12 x 33 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số : a b c d (ac bd )2 Dấu xảy khi: a.d=b.c Với a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta có: 2 32 x x x x x x x x 2 13 x x x x x 12 x 33 2 Dấu xảy khi: 3( x 3x 6) 2( x x 7) x x 18 x x 14 x2 5x a b c 1 c a Phương trình có nghiệm: x1 1; x2 Vậy nghiệm phương trình x1 1; x2 c Phương pháp chứng minh nghiệm *Các bước giải: số phương trình ta thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng sau tìm cách chứng minh ngồi nghiệm chúng khơng cịn nghiệm khác *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 3 3x 9(1) Giải: +) x=0 nghiệm phương trình (1) +) Nếu x ta có: x 2x 3 3x 20 30 Do x khơng thể nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm phương trình (1) x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 10 x x (2); Với x > Giải: +Ta nhận thấy x=1 nghiệm phương trình(2) +Với x>1 ta có : x x 1x 2 x x nên x x 10 x x 100 10 x x x x Vậy x>1 khơng thể nghiệm phương trình xx 1x 1 +Với 0