Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tôi chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường Phổ thông, dạy toán dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh, coi việc giải tốn hoạt động chủ yếu hoạt động toán học Các toán trường phổ thông phương tiện hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ sảo ứng dụng tốn học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Vì vậy, tổ chức có hiệu giải tập tốn học có vai trị định chất lượng dạy học tốn Hệ phương trình dạng tốn phổ biến đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ đề thi HSG cấp Đối với nhiều học sinh, tốn giải hệ phương trình coi tốn khó, chí câu khó cấu trúc đề thi ĐH, CĐ, thi THPT Quốc gia Qua trình giảng dạy học sinh ơn thi ĐH, CĐ bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình này, tơi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo kĩ giải hệ phương trình thơng thường ý tới số kĩ thường áp dụng giải “hệ không mẫu mực” Trong viết xin gọi hệ phương trình mà thuật giải khơng trình bày sách giáo khoa Bài viết chia làm ba mục: Mở đầu tóm tắt hệ phương trình thường gặp, giới thiệu chi tiết sách giác khoa Mục thứ hai số kĩ giải hệ phương trình khơng mẫu mực Các tốn đưa phần lớn sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, kì thi KS, thi HSG,…Lời giải tốn tơi ý đến cách đưa hệ không mẫu mực dạng quen thuộc Cuối hệ thống tập để bạn đọc tham khảo Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ ôn thi HSG cho học sinh khối 12 Thời gian giảng dạy chuyên đề cho học sinh khối 12 ôn thi ĐH, CĐ buổi Mặc dù tâm huyết với chuyên đề, thời gian khả có hạn nên viết khó tránh khỏi thiếu sót Tối mong nhận góp ý q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hồn thiện trở thành tài liệu có ích giảng dạy học tập PHẦN II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Một số hệ phương trình học chương trình phổ thơng có phương pháp giải rõ ràng, học sinh cần nhớ thuật giải, rèn luyện kĩ biến đổi, tính tốn làm Thực chất hệ phương trình ta gặp nhiều THCS THPT, khơng riêng mơn tốn mà mơn lí, mơn hóa, … Một lần ta nhắc lại dạng hệ phương trình Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , x, y ẩn a ' x + b ' y = c ' b) Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,… Hệ ba phương trình bậc ba ẩn a1x + b1 y + c1z = d1 a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng a2 x + b2 y + c2 z = d , a x + b y + c z = d 3 x, y, z ẩn b) Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,… Hệ gồm phương trình bậc phương trình khác ax + by + c = a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , x, y f ( x, y ) = ẩn f(x,y) biểu thức hai biến x, y b) Cách giải: Sử dụng phương pháp Hệ đối xứng loại a) Định nghĩa: Là hệ mà ta đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình khơng thay đổi b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất tổng tích nghiệm đặt tổng S, tích P ( S ≥ P ) Thông thường sau bước ta hệ đơn giản Hệ đối xứng loại a) Định nghĩa: Là hệ mà ta đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình biến thành phương trình b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất nhân tử chung x-y đưa hệ cho hai hệ đơn giản Hệ đẳng cấp f1 ( x; y ) = f ( x; y ) a) Định nghĩa: Là hệ có dạng , fi ( x; y ) & gi ( x; y ) g ( x ; y ) = g ( x ; y ) đa thức đẳng cấp hai biến bậc b) Cách giải: Xét riêng x=0 Nếu x khác ta đặt y=kx nhận xét chia cho vế ta phương trình ẩn k Tìm k ta tìm x y II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Phương pháp biến đổi tương đương Một số kĩ thường áp dụng phân tích thành tích, bình phương lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất nhân tử chung,… x + xy + y = y + x (1) Bài Giải hệ phương trình: (2) y x − y + + x = Giải: Cách 1: Nhận thấy, coi phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn x y tham số, ta có phương trình (1) ⇔ x + x( y − 2) + y − y = 2 ∆ = ( y − 2) − ( y − y ) = ( y − 2) (3) x = y (1) ⇔ x = − y (4) y = 0; x = x = − y ⇔ Từ (3) & (2) ta có x=y=1 Từ (4) & (2) ta có y = − ;x = y − y = y 3 3 Kết luận: Hệ có nghiệm (1; 1); (2; 0); ( ; − ) Cách 2: ĐK: x − y + ≥ Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất nhân tử chung (3) x = y (1) ⇔ x − y + xy − y + y − x = ⇔ ( x − y )( x + y − 2) = ⇔ x = − y (4) y = 0; x = x = − y ⇔ Từ (3) & (2) ta có x=y=1 Từ (4) & (2) ta có y = − ;x = y − y = y 3 3 Kết luận: Hệ có nghiệm (1; 1); (2; 0); ( ; − ) xy 2 x + y + x + y = (1) Bài (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình: x + y = x2 − y (2) Giải: ĐK: x + y > Ta có xy x + y −1 (1) ⇔ x + xy + y + − xy = ⇔ ( x + y ) − − xy =0 x+ y x+ y (3) x =1− y xy ⇔ ( x + y − 1) x + y + − = ⇔ x2 + y + x + y ÷ x+ y = (4) x+ y y = 0; x = - Từ (3) (2) ta có y − y = ⇒ y = 3; x = −2 - Vì x + y > nên (4) khơng thỏa mãn Vậy hệ có hai nghiệm 1 + x3 y = 19 x (1) Bài (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình: 2 y + xy = −6 x (2) Giải: Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí Vậy x khác Nhân hai vế 6 + x3 y = 114 x (1) với 6, hai vế (2) với 19x ta được: 2 19 xy + 19 x y = −114 x Cộng vế với vế ta được: x3 y + 19 x y + 19 xy + = , giải phương trình bậc ba ta xy = − ; xy = − ; xy = −1 2 = 19 x3 ⇔ x = ⇒ y = −2 - Nếu xy = − (1) ⇔ − 27 3 27 = 19 x3 ⇔ x = − ⇒ y = - Nếu xy = − ,(1) ⇔ − xy = − 1,(1) ⇔ x = 0, - Nếu vơ lí (1) 3x (1 + x + y ) = Bài (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình: y (1 − ) = (2) x+ y Giải: ĐK x ≥ & y ≥ Dễ thấy x=0 y=0 không thỏa mãn hệ Với x>0, y>0 ta có 2 + = + 1 = x+ y 3x 3x 7y 1 ⇔ ⇒ = − (nhân vế với vế) x + y 3x y 1 − = = −2 x + y x+ y 7y 3x 7y ⇒ 21xy = (7 y − 24 x)( x + y ) ⇒ 24 x + 38 xy − y = ⇒ y = x (vì x, y dương) Thay vào phương trình (1) ta 1 − +1= ⇔ = 7 ± ÷ 7x x x 21 Từ suy x y Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình sau nhân chia hai vế cho biểu thức khác không số động tác tách ghép khéo léo ta làm xuất đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta đưa hệ phức tạp hệ đơn giản, quen thuộc Bài (Thi KSCL môn thi THPT QG THPT Lê Lợi năm học 2014-2015) Giải hệ phương trình: y − + = y + x 2 ( y − x ) + ( x + 1) = 2( y − 1) − y ( x − 3) − y ≥1 ( *) x ≥ Giải: Điều kiện: Từ pt (1), đặt t = x ta có pt y = −2t y − (1 − t ) y − 2t (t + 1) = ⇔ y = t +1 • Với y = −2t kết hợp với đk (*) suy vơ nghiệm • Với y = t + ⇒ y = x + ⇔ x = ( y − 1)4 Thay vào (1) ta có y − + = y + ( y − 1) ⇔ y − − − ( y − 1) − 1 − ( y − 8) = ⇔ y−2 − y ( y − 2) − ( y − 2)( y + y + 4) = y −1 +1 y = ( tm (*) ) ⇔ ( y − 2)( − y − y - 4) = ⇔ − y − y - = ( 3) y −1 +1 y −1 +1 Thay y=2 vào (2) suy x=1 Xét f( y ) = y − + − y − y - Với y ≥ ⇒ y − + ≤ 1; − y − y - ≤ −8 ⇒ f ( y ) < suy pt (3) vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm (x;y)=(1;2) x + y + xy + = y (1) Bài Giải hệ phương trình: 2 y ( x + y ) = x + y + (2) Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế x2 + +x+ y=4 y (1) (2) cho y ta được: x + ( x + y ) = +7 y a = x + y Đặt x2 + b = y a = −5, b = a + b = b = − a b = − a ⇔ ⇔ ⇔ ta a = 3, b = a = 2b + a = 2(4 − a) + a + 2a-15=0 Từ ta tìm x y Bài Giải hệ phương trình: 2 y ( y + 3x ) = x ( x + 3) x y − x + − x + = 4030 2015 ( ) Giải: Điều kiện: 2y – 2x + ≥ Nếu x = 0, từ (1) suy y = Khi khơng thỏa mãn (2) Vậy x ≠ 2y 2y Chia hai vế (1) cho x3, ta được: ÷ + = x3 + 3x (3) x x Xét hàm số : f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ Dễ thấy f(t) hàm số đồng biến R 2y = x ⇔ y = x2 x x −1 Thế vào (2) ta có: 2015 ( x − 1) + − ( x − 1) = Do từ (3) ta được: u Đặt u = x – , ta PT: 2015 g ( u ) = 2015u ( ) ( ) u + − u = (4) u + − u R có g ′ ( u ) = 2015u ( Xét hàm số : ) u + − u ln 2015 − ÷ u2 + Vì u + − u > u +4 < < ln 2015 nên g ′ ( u ) > 0, ∀u ∈ ¡ ⇒ Hàm g(u) đồng biến R Mặt khác g(0) = nên u = nghiệm (4) ⇒ x = 1; y = Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y ) = 1; ÷ 2 y + xy = x (1) Bài Giải hệ phương trình: 2 1 + x y = x (2) Giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ Chia hai vế (1) (2) cho y1 y y2 + y ÷= + = x x x ta hệ x ⇔ x 1 y + y =5 + y −2 =5 ÷ x x x S = +y P.S = x ⇒ Đến ta đặt y S − P = P = x Giải hệ ta tìm S P, từ ta tìm x y ( x + y )1 + = xy Bài Giải hệ phương trình: ( x + y )1 + = 49 x y Giải: Trước hết ta thấy hệ có dạng quen thuộc hệ đối xứng loại 1, nhiên đặt ẩn phụ theo tổng tích cách thơng thường ta gặp hệ khó, phức tạp khơng có nghiệm đẹp Nhưng sau đặt điều kiện khai triển ta được: 1 x + + y + =5 x+ =a a + b = y x x , đặt ta a + b = 53 x + + y + = 49 y + = b y y2 x2 Đến ta có hệ quen thuộc x + y + x y + xy + xy = − Bài 10 (KA 2008) Giải hệ phương trình: x + y + xy (1 + x) = − 2 x + y + xy ( x + y ) + xy = − Giải: Hệ cho tương đương với 2 ( x + y ) + xy = − 5 a + ab + b = − b = − − a2 x + y = a 4⇔ Đặt ta hệ xy = b a + b = − a − a − a3 − − a = − 4 a a + a + = a = 0, b = − 4 ⇔ ⇔ a = − ; b = − b = − − a 2 Từ ta tìm x, y Phương pháp Nhiều phương trình sau rút ẩn (hoặc biếu thức) từ phương trình vào phương trình ta phương trình đơn giản nhờ mà ta có cách biến đổi hệ đơn giản Ta thường áp dụng cách với hệ mà ta quan sát thấy phương trình hệ mà ẩn có hai phương trình hệ có biểu thức chung Bài 11 (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: x + y + x + y = (1) (2) x + y + x − y = 7 x + y ≥ Giải: ĐK: , từ (2) ta suy x + y = + y − x , vào (1) ta 2 x + y ≥ x + y = + x − y Do ta có hệ −3 ≤ x − y ≤ −3 ≤ x − y ≤ x = y =1 2 x + y = + x + y + x − xy − y ⇔ x = y − ⇔ x = 19; y = 10 2 2 x + y = + y + x + y − x − xy y − 11 y + 10 = Dễ thấy nghiệm x = y = thỏa mãn hệ cịn nghiệm khơng Bài 12 (KS-THPT Chun VP) Giải hệ phương trình: 2 4( x + y ) + xy + =7 ( x + y )2 2 x + = x+ y Giải: ĐK x + y ≠ Phương trình thứ tương đương với 3( x + y ) + + + ( x − y ) = 13 ⇔ x + y + + ( x − y ) = 13 (*) ÷ x+ y ( x + y) = − 2x , vào phương trình (*) ta Từ phương trình thứ hai ta suy x+ y : x − y =1 3( x + y + − x) + ( x − y ) = 13 ⇔ 4( x − y ) − 18( x − y ) + 14 = ⇒ x − y = Từ phương trình thứ hai hệ ta tìm nghiệm x y Bài 13 (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình: x3 + 3xy = −49 (1) 2 x − xy + y = y − 17 x (2) Giải: Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: x3 + x( − x + xy + y − 17 x) = −49 ⇔ 24 xy ( x + 1) = x + x + 49 x − 49 (3) - Nếu x = (1) vơ lí - Nếu x = -1 hệ trở thành y = 16 ⇒ y = ±4 x + 49 x − 49 - Nếu x ≠ −1& x ≠ từ (3) suy y = Thế trở lại 24 x phương trình (2) ta 2 x + 49 x − 49 x + 49 x − 49 x + 49 x − 49 x − x + − 17 x ÷ ÷ = 24 x 24 x x x x + 49 x − 49 −49 2 ⇔ + = ⇔ 192 x + (2 x + 49 x − 49) = −49.192 x ÷ ÷ 24 x x ⇔ 196 x + 196 x3 + 2205 x + 4606 x + 2401 = ⇔ 196 x3 + 2205 x + 2401 = ⇔ 196 x3 + 196 + 2205 x + 2205 = ⇔ 196 x − 196 x + 2401 = Phương trình cuối vơ nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4) Khơng phái lúc ta may mắn áp dụng phương pháp ‘‘ đến cùng’’ vậy, chẳng hạn gặp phương trình bậc mà khơng nhẩm nghiệm toán sau : b − 2bc + 2c + = (1) Bài 14 Giải hệ phương trình : 2 b − c − 2b + 2c − = (2) Giải: Rõ ràng phương trình đầu có bậc b c, điều gợi ý cho ta rút ẩn từ phương trình vào phương trình Tuy nhiên sau rút gọn ta phương trình bậc mà nghiệm lẻ Ở ta cần kĩ tách khéo léo : Ta có (1) ⇔ 2c(b − 1) = b + ⇔ 2c(b − 1) = b − 2b + + 2b − + , rõ ràng b=1 không thỏa mãn, với b ≠ suy 2c = b − + + , vào (2) ta b −1 4b − 8b + = 4c − 8c + 16 ⇔ 4(b − 1) = (2c − 2) + 12 ⇔ 4(b − 1) = (b − 1) + + 12 ⇔ 3(b − 1) − 22(b − 1) − 25 = b − 1 5+ 4+ ;c = b = 3 Suy −5 3−4 ;c = b = 3 Hệ phương trình xuất ta giải tốn hình học phẳng: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng ∆ : y=3 Tìm điểm B thuộc ∆ điểm C thuộc Ox cho tam giác ABC Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Để vận dụng phương pháp ta cần đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f(x) đơn điệu liên tục khoảng (α ; β ) phương trình f(x)=0 có nghiệm khoảng (α ; β ) , f(a)=f(b) a=b Bài 15 (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình: x5 + xy = y10 + y (1) x + + y + = (2) Giải: ĐK: x ≥ − Nếu y=0 từ phương trình (1) ta suy x=0, vào phương trình (2) ta thấy khơng thỏa mãn, y khác Đặt x=ky ta (1) trở thành 10 k y + ky = y10 + y ⇔ k + k = y + y (3) Xét hàm số f (t ) = t + t R , ta có f '(t ) = 5t + > 0∀t ∈ R Do f(t) hàm số đồng biến R , (3) ⇔ f ( k ) = f ( y ) ⇔ k = y ⇒ x = y Thế vào (2) ta : x + + x + = ⇔ x + 13 + x + 37 x + 40 = 36 ⇔ x + 37 x + 40 = 23 − x 5 x ≤ 23 x = 23 − x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = 41 2 16 x + 148 x + 160 = 25 x − 230 x + 529 9 x − 378 x + 369 = Suy x=1 y = ±1 2 x + = y − + y (1) Bài 16 Giải hệ phương trình: 2 y + = x − + x (2) Giải: ĐK x ≥ 0, y ≥ Ta thấy hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế biến đổi ta được: x + + x − + x = y + + y − + y (3) Xét hàm số f (t ) = t + + t − + t [1;+∞) , dễ thấy f’(t)>0 (1; +∞) nên f(t) đồng biến [1;+∞) (3) tương đương với x=y Thế vào (1) ta x + = x − + x Giải MTCT ta x=2 Do ta biến đổi sau x + − = x − − + x − x2 − x−2 ⇔2 =2 + ( x − 2)( x + 2) x − + x +5 +3 x = 2 ⇔ 2( x + 2) = + x + (4) x + + x −1 +1 Phương trình (4) có VP>3, VT t ≥ −t ⇒ t + + t > ⇒ f ' ( t ) > , , mà f(t) hàm đồng biến, (3) ⇔ f ( x ) = f ( −2 y ) ⇔ x = −2 y , vào (2) ta 3x + x + = x3 + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x3 + + x3 + (4) 3 Xét hàm số g ( t ) = t + 2t ; TXĐ: R Có g ' ( t ) = 3t + > 0; ∀t ⇒ g(t) hàm đồng biến R (4) ⇔ g ( x + 1) = g ( ) x = ⇒ y = x + ⇔ x + = x3 + ⇔ 3x + x = ⇔ x = −1 ⇒ y = Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) ; ( −1; ) Bài 21 (Đề thi KS lớp 12 lần năm 2013 Sở GD – ĐT Vĩnh Phúc) ( Giải hệ phương trình x + − 3x y + )( ) y + + = x y (1) x y−x+2=0 (2) Giải: Trường hợp 1: y = ⇒ x = nghiệm hệ Trường hợp 2: y ≠ , (1) ⇔ ⇔ x + − 3x y + = x y ( ) ( x + − 3x y + y = x y ) y2 +1 −1 ( ) y2 +1 −1 ( 3) 2 2 Thay = x − x y từ (2) vào (3) ta x + − 3x y + x − x y = x y ⇔ x2 + + x = 2x2 y Nhận xét: ( ) y2 +1 +1 ) y2 +1 −1 (4) x + > x ≥ − x ⇒ VT (4) > ⇒ VP(4) > ⇒ y > , (2) ⇔ x = x y + > x2 + + x Với x, y > , phương trình (4) ⇔ = 2y x ⇔ ( 1 + + = x2 x4 x ( 2y) ( ) y2 +1 +1 + ( y ) + ( y ) (5) 15 Xét hàm số f ( t ) = t + t + t ; t ∈ ( 0; +∞ ) , có f ' ( t ) = 2t + t t4 + t2 + > 0; ∀t > , f(t) hàm đồng biến, ( ) ⇔ f ÷ = f ( y ) ⇔ = y , vào (2) ta − x + = x x ⇔ x =4⇒ y = x (thỏa mãn điều kiện) Kết luận: Hệ cho có nghiệm ( x; y ) = 4; ÷ 8 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x + y − 3x + y = Bài Giải hệ phương trình 2 3 x − y − x − y = xy = 18( x + y ) − 38 xy Bài Giải hệ phương trình 2 x − xy + y = 7( x − y ) + 14 x + xy − y = Bài Giải hệ phương trình y x −5 x − y = − xy y (1 + x ) = x(1 + y ) Bài Giải hệ phương trình 2 x + y = x( x + y + 1) − = Bài Giải hệ phương trình ( x + y ) − +1 = x2 xy + x + y = x − y Bài Giải hệ phương trình x y − y x − = x − y xy + x + = y Bài Giải hệ phương trình 2 x y + xy + = 13 y x + x y + x y = x + Bài Giải hệ phương trình x + xy = x + (4 + y + x ) x = Bài Giải hệ phương trình (4 − ) y =4 y + 2x 16 81x y − 81x y + 33 xy − 29 y = Bài 10 Giải hệ phương trình 3 25 y + x y − xy − y = 24 Bài 11 Tìm tất giá trị tham số a cho hệ phương trình sau có (a − 1).x + y = nghiệm với giá trị tham số b: bx e + (a + 1)by = a ( x + y )3 y − x = Bài 12 Giải hệ phương trình 4 8( x + y ) − x − y = x − x = y − y Bài 13 Giải hệ phương trình 2 y = x3 + 2 x + y = − x − y Bài 14 Giải hệ phương trình x + + − y = bc − 4b − c + = Bài 15 Giải hệ phương trình 2 b − 2b = c − 8c + 18 y x − + y − = x − Bài 16 Giải hệ phương trình 2 xy + y x − + = 13 y 3( y + y )(1 + x − 2) = x + x − + Bài 17 Giải hệ phương trình 2 y + y + x − = x − 3x − y − y + = Bài 18 Giải hệ phương trình x − − y + x = Bài 19 Giải hệ phương trình 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x x − y − = x + y + − x + y − 17 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN - Trên tập mà đúc rút trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Đề tài kiểm nghiệm năm học này, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải hệ phương trình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp 12A1 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói Kết khảo sát qua thi thử sau: Tổng số Lớp thực nghiệm (12A1) Giỏi 39 học sinh Khá Tổng số TB 35 89,7% 10,3% 0% 39 học sinh Lớp đối chứng (12A2) Giỏi Khá TB 20 13 51,3% 33,3% 15,4% - Nhìn vào bảng thống kê, ta thấy lớp đối chứng lớp thực nghiệm có chênh lệch rõ rệt, điều khẳng định tính khả thi việc vận dụng đề tài KIẾN NGHỊ - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi vào phòng thư viện để giáo viên học sinh nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Tổ chuyên môn cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy mảng chuyên đề hay buổi họp tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm - Học sinh cần tăng cường tính tự giác học tập, ôn nhà để nâng cao chất lượng học tập Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn! 18 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2016 Tôi cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Đỗ Thị Hồng Hạnh 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn Nhà xuất Giáo dục; [2] Bài tập Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục; [3] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất Giáo dục; [4] Bài tập Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm - Nhà xuất Giáo dục; [5] Các giảng luyện thi mơn tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất Giáo dục; [6] Toán nâng cao Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn Vĩnh Cận - Nhà xuất Đại học Sư phạm; [7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục; [8] Đề thi tuyển sinh mơn Tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải Nhà xuất Giáo dục; [9] Các đề thi đại học năm trước; [10] Các đề thi thử đại học năm trước; [11] Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10, 11, 12 tỉnh năm trước 20 MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ……………………………………….….…… …………… PHẦN II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC ……… ……….…………………….…………………………… ………… I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP………………….……2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn…….……………………………….…… 2 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn ……………………………………… .2 Hệ gồm phương trình bậc phương trình khác … … …2 Hệ đối xứng loại 1…………………………………………………………………2 Hệ đối xứng loại 2…………………………………………………………………3 Hệ đẳng cấp …………………………………………………………………… …3 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC ………………………………………………………………………………… Phương pháp biến đổi tương đương ………………………………………… Phương pháp đặt ẩn phụ …………………………………………………………5 Phương pháp ………………………………………………………………… Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số ……………….………… 10 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN ………………………………………………………16 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ………………………………………….18 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………………20 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, THPT QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ - NĂM 2016 22 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, THPT QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI Người... SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Một số hệ phương trình học chương trình phổ thơng có phương pháp giải rõ ràng, học sinh cần nhớ thuật giải, ... dưỡng học sinh giỏi - Đề tài kiểm nghiệm năm học này, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải hệ phương trình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung