Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Nam Định

Để dễ dàng bước qua kì thi tuyển sinh vào lớp 10, cách ôn luyện hiệu quả nhất là giải các đề thi tuyển sinh của các năm trước. Xin giới thiệu đến các em Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Nam Định, nội dung đề thi bám sát chương trình học, cấu trúc đề trình bày rõ ràng và khoa học. Mời các em tham khảo!

Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: 1    a + b + c = a b c Chứng minh  a  1 b  1 c  1   n   2) Với số nguyên dương n; chứng minh     n số nguyên dương Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình    x   x   x  x  12   x  xy  y  y  2) Giải hệ phương trình  hơm qua tơi đánh nhầm y     x  x2   Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác ABC cắt H Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) K khác A 1) Chứng minh A1 trung điểm HK 2) Hãy tính HA HB HC   AA1 BB1 CC1 3) Gọi M hình chiếu vng góc O BC Đường thẳng BB1 cắt (O) giao điểm thứ AN  AB1  hai E, kéo dài MB1 cắt AE N Chứng minh   NE  EB1  Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x  y  3xy  Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi số nguyên dương có hai chữ số trở lên Người ta thiết lập số cách xóa chữ số hàng đơn vị số cho, sau cộng vào số cịn lại lần số vừa bị xóa Ban đầu bảng ghi số 6100 Hỏi sau số bước thực ta thu 1006 hay khơng ? Tại ? 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng: x2 y2 z2    4 x  yz y  xz z  xy Hết Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: 1    a + b + c = a b c Chứng minh  a  1 b  1 c  1  Từ GT ta có:  1 1 ab ab 1 1 1           0 0 a b c a bc  a b  c abc  ab c  a  b  c  ab ab     a  b  c  a  b  c   ab     a  b  ca  cb  c  ab   ab c  a  b  c  a  b    a  b  c  b  a  c    c  b  c  a  Nếu a + b = => c = => c – = =>  a  1 b  1 c  1  Nếu c + b = => a = => a – = =>  a  1 b  1 c  1  Nếu a + c = => b = => b – = =>  a  1 b  1 c  1  Vậy ta có đpcm  n    n 2) Với số nguyên dương n; chứng minh    số nguyên dương Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình    x   x   x  x  12  x   a  0; x   b   a  b  PTTT: a  b  a  b 1  ab   a  b   a  b 1  ab  a  b     1  ab  a  b  +) với a  b taco : x   x  vô nghiệm ĐKXĐ x  , đặt a   x    x   vonghiem  b   x    x    x  3(TM ) +) với  ab  a  b    a  1 b  1    PT cho có nghiệm x =  x3  xy  y  y 1  2) Giải hệ phương trình    x3   2 y    x 1 x  y2   x  y2 2  x  y  xy  y  x  y x  xy  y  y          2  x  xy  y  y   3  3   x   Với x  y 2 x  2 Thỏa mãn (2) y   y  y2     y  Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x3  y  3xy  Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x3  y  xy    x  y   xy  x  y   xy  , đặt x + y = a xy = b (a, b nguyên) ta có: a  3ab  3b    a  1  a  a  1  3b  a  1    a  1  a  a   3b   Vì a, b nguyên nên có TH sau : a  a    1)   1 (loại) a  a   b   b  a   a  x  y  (nhận)   2)     x; y    0;1 , 1;   xy   a  a   3b  b   a   1  a  2  x  y  2 (nhận)   3)     x; y   b   xy   a  a   3b  2  a   2  x  y  3  a  3 (nhận)   4)     x; y    xy   a  a   3b  1 b  Vậy  x; y    0;1 , 1;0  A Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC a) góc A1 = góc C2 = góc C1 => ∆CHK cân C, CA1 đ/cao + đ trung trực => đpcm b) Có: HA HB HC  HA1   HB1   HC1     1    1    1   AA1 BB1 CC1  AA1   BB1   CC1   HA HB1 HC1   3      AA1 BB1 CC1  S S S     HBC  HAC  HBA      S ABC S ABC S ABC  N E B1 C1 H B c) Từ GT => M trung điểm BC => => ∆B1MC cân M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => B1 N  AE Áp dụng hệ thức lương tam giác vng ta có: A1 O M C K  AB1  AN AE AN (đpcm)     EN EA EN  EB1  Bài 5: (1,5 điểm): 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng: A x2 y2 z2    4 x  yz y  xz z  xy Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cơ-si ta có: +) x yz  x  yz  x yz  x2   1 x  yz x  yz yz Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 1 11 1        (2) yz y z yz  y z  y2 11 1 x2 11 1 z2 11 1 Từ (1) (2) => :     ;     Tương tự :     y  xz  x z  x  yz  y z  z  xy  x y   1 1 1   1  xy  yz  zx (3)  A             4 y z x z x y  2 y z x  xyz +) Lại có xy  yz  zx  x  y  z (4) x  y  z 3xyz    đpcm xyz xyz Dấu « = » xảy x  y  z  Từ (3) (4) có :  A   Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em u thích tốn muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | ... trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em u thích tốn muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ... www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương... gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ơn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương