Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)

Cùng tham khảo Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)” đây là tài liệu hay dành cho các bạn học sinh ôn tập và luyện thi vào lớp 10, các câu hỏi và bài tập bám sát chương trình, ngoài ra còn có các dạng bài tập nâng cao dành cho thí sinh hệ THPT chuyên. Chúc các bạn ôn tập và luyện thi đạt kết quả cao.

Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 Mơn thi: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) a) Cho số a, b thỏa mãn 2a  11ab  3b2  0, b  2a, b  2a Tính giá trị biểu thức a  2b 2a  3b T  2a  b 2a  b b) Cho số nguyên dương x, y, z biểu thức ( x  y )3  ( y  z )3  ( z  x )3 P x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y )  xyz Chứng minh P số nguyên chia hết cho Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3  x y  x  xy  x  10 b) Cho 19 điểm phân biệt nằm tam giác có cạnh , khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh ln tìm tam giác có đỉnh 19 điểm cho mà có diện tích khơng lớn Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x   x    x3  x y  x  xy   b) Giải hệ phương trình   x  x  y  Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Bên ngồi tam giác ABC dựng hình vng ABDE , ACFG hình bình hành AEKG a) Chứng minh AK = BC AK  BC b) DC cắt BF M Chứng minh A, K , M thẳng hàng c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC (O; R) K ln thuộc đường trịn cố định Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 (2 x  y )( x  y) P    3 3( x  y ) (2 x  y)   ( x  y)  1 ………… HẾT………… Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) Cho số a, b thỏa mãn 2a  11ab  3b  0, b  2a, b  2a Tính giá trị biểu thức a  2b 2a  3b T  2a  b a  b Ta có a  2b 2a  3b ( a  2b)(2a  b)  (2a  3b)(2a  b) 6a  11ab  b T    2a  b a  b (2a  b)(2a  b) 4a  b Từ giả thiết suy 11ab  2a  3b , thay vào T ta được: 6a  11ab  b 6a  2a  3b2  b2 2(4a  b ) T    4a  b2 4a  b 4a  b b) Ta có: a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b2  c  ab  bc  ca) Suy a  b  c  a  b3  c  3abc Vì ( x  y )  ( y  z )  ( z  x )  nên TT  ( x  y )3  ( y  z )3  ( z  x )3  3( x  y )( y  z )( z  x )  3( x  y)( y  z )( z  x)( x  y )( y  z )( z  x) MT  x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y )  xyz  ( x y  y x)  z ( x  y )  (2 xyz  y z  x z )  xy ( x  y )  z ( x  y )  z ( x  y)  ( x  y )( xy  z  zx  zy )  ( x  y )  x( y  z )  z ( y  z )   ( x  y)( y  z )( z  x) TT  3( x  y )( y  z )( z  x)   Trong ba số nguyên dương x, y, z ln có hai số MT tính chẵn lẻ, giả sử x, y  ( x  y ) Vì P  3( x  y )( y  z )( z  x ) nên P Suy P  Câu a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3  x y  x  xy  x  10 (1) Ta có (1)  x ( x  y)  x( x  y )  ( x  x)  10  2( x  y )( x  x)  ( x  x)  10  ( x  x)  2( x  y )  1  10 Nhận xét: +) 10  1.10  2.5  (1)( 10)  (2)(5) ; +) x  x  x( x  1) số chẵn; 2( x  y )  số lẻ; 1  +) x  x   x     1  x  x  2  Từ nhận xét ta thấy có trường hợp (TH) sau:  x  x  10 x2  x    2( x  y )   2( x  y)   Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  x  x  10 TH1  Phương trình x  x  10 khơng có nghiệm ngun 2( x  y )    x   x   x  x   y  H2     x  2     x  2 2( x  y)   x  y      y  Vậy có hai số ( x; y ) thỏa mãn là: (1; 2), (2;5) b) Giả sử 19 điểm nằm tam giác ABC cạnh Chia tam giác ABC thành tam giác đều, có cạnh (gọi tam giác nhỏ) hình vẽ A D E B F K I H G C Vì có 19 điểm nằm tam giác nhỏ nên có điểm thuộc hình tam giác nhỏ Giả sử điểm I1 , I , I Mỗi tam giác nhỏ có diện tích S  Khi tam giác I1I I nằm tam giác nhỏ nên SI1I I3  Câu a) Giải phương trình sau: x   x   (1) Điều kiện: x  (1)  x   x   Ta có  2x   x   x    x3  x x   16( x  3)  x  x  16 x  48    x  12  Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy PT cho có hai nghiệm x  4; x  12  x3  x y  x  xy   (I ) b) Giải hệ phương trình:   x  x  y  Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ( x  x)(2 x  y)  6 Ta có ( I )   ( x  x)  (2 x  y )  ặt u  x  x; v  x  y Hệ cho trở thành:  u  2  uv  6 v    u  v   u    v  2 u  2  x  x  2 Với  Hệ PT vô nghiệm  v  2 x  y   x2  x   x2  x   u  Với    v  2  x  y  2  y  2 x   1  13  1  13 x  x  Giải hệ nghiệm:  ; 2  y  13   y   13     1  13   1  13  Vậy hệ cho có nghiệm  ; 13   ;  ;  13  1 2     Câu K G E C' B' A F D O M B H C   EAG   1800 , BAC   EAG   1800  KEA   BAC  Lại có: a) Ta có KEA EK  AG  AC ; EA  AB  AEK  BAC  AK  BC Ta có   ABC  Gọi H giao điểm KA BC, ta có: AEK  BAC  EAK   ABC   BAH   EAK   900  AH  BC Vậy AK  BC BAH    BCF    KAG   900 ; BCF  ACB  KAC b) Vì KAC ACB  900 mà KAG Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   BCF   KAC  BCF  CKH   FBC  Ta lại có Vì KA  BC ; AC  CF ; KAC   KCH   900  FBC   KCH   900  BF  KC (1) Tương tự ta có KB  CD (2) Từ CKH (1)(2) suy M trực tâm KBC , suy M  KH Vậy A, K, M thẳng hàng c) Dựng hình vuông BCC ' B ' nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy B ' C ' cố định Ta có AKB’B hình bình hành (vì BB ', KA vng góc BC suy BB '  KA ;   Tương tự ta có AKC ' C hình bình hành BB '  KA  BC ) Do B ' K  BA  B ' KA  BAH     HAC   BAC  Vì A  Suy B suy KC '  AC   ' KC '  B ' KA   AKC '  BAH AKC '  HAC thay đổi cung lớn BC đường tròn (O; R) K ln nhìn đoạn B ' C ' cố định  Do K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng đoạn B ' C ' góc khơng đổi   BAC cố định Câu 5: Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 ab  a3   b3   a  b a   a2  a  a2  a2 Ta có a   (a  1)(a  a  1)    a3    2 2 b 1 b  b 1 b  b2 3 Tương tự b   (b  1)(b  b  1)    b 1 1 2 1 2 Mặt khác      ab a b ab a b P   Vậy P 4 ab 2  4 ab 2    ab 2        1    1    2     2Q a b a b a a b a b  b  a b PQ  2 ab 2 ab     33   a b a b  a   a  a   b   b  b  4 Min( P)      a b 2 x  y  a b  2 ab a  b   a  b Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em u thích tốn muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ơn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | ... luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích tốn muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ... www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chun Mơn: Tốn học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương...  xy  x  10 (1) Ta có (1)  x ( x  y)  x( x  y )  ( x  x)  10  2( x  y )( x  x)  ( x  x)  10  ( x  x)  2( x  y )  1  10 Nhận xét: +) 10  1 .10  2.5  (1)( ? ?10)  (2)(5)