TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐỀ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN Thời gian 120 phút Câu 1: (5,0 điểm) � x2 3x �� 6x � P :� Cho biểu thức � �3 � 2 �x 3x 9x 27 x ��x x 3x 9x 27 � a Rút gọn P b Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu: 2: (4 điểm) a) Cho 4a2 + b2 = 5ab với 2a> b >0 Tính giá trị biểu thức: P ab 4a b 2 b) Tính giá trị biểu thức : B 20 14 20 14 Câu : ( điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình : x xy y b) Giải phương trình: 2x x x x 1 x x 1 Câu 4: ( điểm) Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c 1 a 1 b 1 c Chứng minh tam giác ABC Câu 5: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu: 1(5đ) � x2 3x �� 6x � :� Cho biểu thức P � � � 2 �x 3x 9x 27 x ��x x 3x 9x 27 � a Rút gọn P b Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên � x2 3x �� 6x � P :� a � �3 � 2 x 3x 9x 27 x x x 3x 9x 27 � � �� � � x x 3 �� 6x �2 :� � ĐKXĐ : x �3 �x x 3 x x ��x x x 3 x � � � �� � � x3 x2 6x �� �x 6x � x � � �2 : : � � x x x 3 x x x x �x x �� � � x 3 x3 : x x x 3 b P x x2 x � x2 x x x 3 x 3 6 1; �2; � 3; � 6 1 �Z x �U � x3 x 3 x3 � x � 2;1;0; 3;4;5;6;9 Vậy P �Z x � 2;1;0; 3;4;5;6;9 Câu: (4đ) a) Phân tích 4a2+b2=5ab thành (a-b)(4a-b)=0 a = b 4a= b Lập luận a=b (nhận) 4a=b (loại) Tính P 0,5đ 0,5đ 0,5đ ab a2 2 4a b 3a b) B 20 14 20 14 B 20 14 20 14 3B 0,5đ 20 14 g3 20 14 0,5đ � B 40 B � B B 40 � B B B 10 1đ � B 4 � B4 � �2 �� B 4B 10 � S � 0,5đ Vậy B = Câu 3: ( điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình : GV: Nguyễn Đình Huynh x xy y Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG x xy y � x 1 y 1 � x x = 0; 1; 2; ; Ta có: + y �1 x �1 ۣ Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) 2 � 1� � 1� b) Ta có x x �x � x; x x �x � x � 2� � 2� Dể thấy x = khơng phải nghiệm phương trình x Đặt t = t x Ta có phương trình cho tương đương với t 1 t 1 t2 � � � 5t 3t 14 0(t �1; t �1) � (t 2)(5t 7) � � t � x * Nếu t = � x � ( x 1) � x * Nếu t 7 � � 51 � x � �x � vô nghiệm x � 10 � 100 Vậy phương trình cho có nghiệm x =1 Câu : ( điểm) Từ giả thiết ta suy a > ; b > ; c > � a b c a b c � 1 a 1 b 1 c bc ac a b a b c 1 1 1 bc ac a b �1 1 � 1 � �1 � 2 a b c � � � x y z � � ( Nhân biểu thức) �a b b c a c � �x y z � �x y � �y z � z x � � (với x a b 0; y b c 0; z c a ) � � � � � � � � �y x � �z y � �x z x y � xy y z yz z x zx � x y z � a b c Vậy tam giác ABC A HA'.BC S HBC HA' Câu 5: ( điểm) a) ; C' H S ABC AA' AA'.BC N S HAB HC' S HAC HB' Tương tự: ; S ABC CC' S ABC BB' B' M HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC 1 B A' I AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin C TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin ...TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu: 1(5đ) � x2 3x �� 6x � :� Cho biểu thức P � � � 2 �x 3x 9x 27 x ��x x 3x 9x 27 � a Rút gọn P b... x, y nguyên thỏa mãn phương trình : GV: Nguyễn Đình Huynh x xy y Tổ : Toán - Tin TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG x xy y � x 1 y 1 � x x = 0; 1; 2; ; Ta có: + y �1... x �U � x3 x 3 x3 � x � 2;1;0; 3;4;5;6 ;9? ?? Vậy P �Z x � 2;1;0; 3;4;5;6 ;9? ?? Câu: (4đ) a) Phân tích 4a2+b2=5ab thành (a-b)(4a-b)=0 a = b 4a= b Lập luận a=b (nhận) 4a=b (loại)