Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hạ Hòa

Nhằm giúp cho các em chuẩn bị tinh thần tốt nhất để bước vào kỳ thi chọn HSG chính thức trong thời gian tới. Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hạ Hòa có kèm theo đáp án để học sinh dễ đối chiếu với kết quả làm bài của mình. Mời các bạn cùng tham khảo!

Ề Í – 2016 Mơn: Tốn Ứ ( làm bài: - Đề có r ) Bài 1(3 đ ểm): a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x + xy + y = b) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab  11b2 chia hết cho a  b chia hết cho Bài 2( đ ểm): a) Cho f ( x)  ( x3  12 x  31)2015 Tính f (a) với a  16   16  x4 y b) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x  y    a b ab x 2016 y 2016 Chứng minh rằng: 1008  1008  a b (a  b)1008 Bài ( đ ể ) a) Giải phương trình: x    x  3x2  12 x  14 2  4 x  y  b) Giải hệ phương trình sau :    x  xy  Bài (7 đ ể ) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định điểm A chuyển động nửa đường tròn (A khác B C) Hạ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn tâm P đường kính HB tâm Q đường kính HC, chúng cắt AB AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng AH c) Chứng minh tỷ số không đổi BC.BE.CF d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Bài ( đ ể ) Cho x;y;z dương cho Tìm giá trị lớn P  1   6 x y yz zx 1   3x  y  z y  3z  x 3z  3x  y HẾT Ư Ẫ ẤM M Môn Toán Nội dung Câu I.a I.b -2016 Chia để a , đ ể - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y  N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) b , đ ể - Ta có :     4a  3ab  11b2  5a  5ab  10b  a  2ab  b  a  2ab  b 2  a  b ( Vì số nguyên tố) - Ta có: a  b   a  b2   a  b a  b  (đpcm) 0,75 0,5 0,25  a  b  0,75 0,5 0,25 âu a( đ ể ) II a  16   16   a3  32  3 (16  5)(16  5).( 16   16  )  a3  32  3.(4).a  a3  32 12a  a3  12a  32   a3  12a  31   f (a)  12015  0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b( đ ể ) x4 y (x2  y )2   a b ab  b(a  b) x  a(a  b) y  ab( x  x y  y )  b x  a y  2abx y   (bx  ay )  Ta cã: ( x  y )  nªn Tõ ®ã: x2 y2 x2  y2 x 2016 y 2016 x 2016 y 2016     1008  1008   1008  1008  1008 a b ( a  b) a b (a  b)1008 a b ab ab III KL:… õu a( ) Giải ph-ơng trình: x    x  3x2 12 x  14 §K: 1,5  x  2,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT + Đánh giá VP  0,75  VT   2x    2x  x2 x  VP   0,75 Do ®ã: PT   III KL âu b( đ ể ) 0,5 Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y x = 2 y - Nếu x = y thay vào (1) ta x = ;x = -1 2 - Nếu x = y Thay vào hệ ta hệ vô nghiệm 1 KL : Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1) IV N K A F M I E B IV P H O C Q Câu a(1 đ ) Xét tam giác vuông ABH có HE AB AB.AE = AH2 (1) Xét tam giác vuông ACH cã HF  AC  AC.AF = AH2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy AE.AB = AF.AC IV Gãc IAH b»ng lÇn gãc BAH Gãc KAH b»ng lÇn gãc CAH Suy gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 Suy I, A K thẳng hàng IV õu ( đ ể ) Ta có: AH2 = BH.CH  AH4 = BH2 CN2 = BE.BA.CF.CA = AH 3 BE.CF.AH.BC  AH = BE.CF.BC  =1 BE.CE.BC âu d( đ ể ) 1 BC SPQFE = ( PE  FQ).FE  BC.FE Mà FE  PQ hay FE   2 SPQFE  BC Dấu đẳng thức xảy A điểm nửa đường trịn tâm O, đường kính BC ( để ) IV V HD Áp dụng BĐT + với a; b số dương Ta có: 0,5 0,5 + + + )= ) )+ + )] = + ) Tương tự + ) + ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: + )+ + )= + + )= ... M M Môn Toán Nội dung Câu I.a I.b -2 016 Chia để a , đ ể - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y  N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ; (9 ;0) ;(1 ;4) ;(4... có :3x2-xy -2 y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y x = 2 y - Nếu x = y thay vào (1) ta x = ;x = -1 2 - Nếu x = y Thay vào hệ ta hệ vô nghiệm 1 KL : Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ; (-1 ;-1 ) IV... ) nên Từ đó: x2 y2 x2 y2 x 2016 y 2016 x 2016 y 2016     1008  1008   1008  1008  1008 a b ( a  b) a b (a  b)1008 a b ab ab III KL: õu a( ) Giải ph-ơng tr×nh: x    x  3x2 12